第三章 積分變換法舉例-5.ppt

第三章：積分變換法,深圳大學(xué)電子科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,3.5積分變換法舉例,第三章：行波法與積分變換法,一維波動(dòng)方程的達(dá)朗貝爾公式三維波動(dòng)方程的定解問(wèn)題拉普拉斯變換法傅立葉變換法積分變換法舉例,本章內(nèi)容提要:,參考了顧樵教授和孫秀泉教授的課件,把函數(shù)經(jīng)過(guò)積分的手段變?yōu)榱硪活惡瘮?shù):稱為象函數(shù)，稱為原函數(shù)，稱為積分變換的核。,什么是積分變換？,(求解微分方程)原空間：常微分方程偏微分方程象空間：代數(shù)方程常微分方程求解象空間的代數(shù)方程或常微分方程，得到象函數(shù)，再將它“反演”成原函數(shù)(即為所求的解）。積分變換法在求解常微分方程和偏微分方程的定解問(wèn)題中有非常廣泛的應(yīng)用。,什么是積分變換法？,Fourier積分變換法Laplace積分變換法混合變換法,用來(lái)解常微分方程,將未知函數(shù)的常微分方程，化成象函數(shù)的代數(shù)方程，達(dá)到消去對(duì)自變量求導(dǎo)運(yùn)算的目的。,用來(lái)解偏微分方程,通過(guò)選取積分變換,在工程力學(xué)、電磁場(chǎng)理論、光學(xué)、熱學(xué)、無(wú)線電學(xué)、通訊理論、微電子學(xué)、核科學(xué)與技術(shù)、地震資料數(shù)據(jù)處理等方面，均有廣泛的應(yīng)用。,在偏微分方程的兩端，對(duì)某個(gè)變量取變換，消去未知函數(shù)對(duì)該自變量求偏導(dǎo)的運(yùn)算，得到象函數(shù)的較為簡(jiǎn)單的微分方程。如果原來(lái)的偏微分方程只包含兩個(gè)自變量，通過(guò)一次變換就能得到象函數(shù)的常微分方程。,Fourier積分變換Laplace積分變換,數(shù)學(xué)中的變換手段，旨在化繁為簡(jiǎn).,傅里葉變換與拉普拉斯變換的最重要的用途是求解微分方程,傅里葉變換拉普拉斯變換,關(guān)于x的傅氏變換關(guān)于t的拉氏變換,關(guān)于x的傅氏反演關(guān)于t的拉氏反演,慣用表示,解：對(duì)（1）兩邊關(guān)于x進(jìn)行傅里葉變換（將t視為參數(shù)）,（1）,例題1：無(wú)界波動(dòng)方程1,（零速度的達(dá)朗貝爾公式）,反演(解1):,位移性質(zhì):,反演(解2):,例題2：無(wú)界波動(dòng)方程2,解：利用傅立葉變換的性質(zhì)，兩邊對(duì)x取變換,解：對(duì)（1）兩邊關(guān)于x作傅里葉變換（2）是關(guān)于t的常微分方程，兩邊關(guān)于t作拉普拉斯變換,（1）,（2）,例題3：有源熱傳導(dǎo)方程,拉氏反演：傅氏反演：,（查表）,現(xiàn)在反演：,求解常微分方程的定解問(wèn)題：解：對(duì)方程兩邊取拉普拉斯變換，并利用初始條件：這是象函數(shù)的代數(shù)方程（初始條件已含其中）將初始條件的取值代入：,例題4：常微分方程,解出：,反演：,求解半無(wú)限長(zhǎng)細(xì)桿熱傳導(dǎo)的定解問(wèn)題：解：對(duì)(1)和(3)兩邊取t的拉氏變換，并利用(2)：這是象函數(shù)的常微分方程的邊值問(wèn)題。,(1)(2)(3)(4)(5),例題5：半無(wú)限熱傳導(dǎo)問(wèn)題,(4)的通解為：自然邊界條件：再利用條件（5）：反演：,(4)(5),（查表）,變量x變化范圍：，原則上可以對(duì)x用拉普拉斯變換，這樣(1)變成：這是關(guān)于t的常微分方程，但條件不夠，無(wú)法求解。,(1)(2)(3),未知,討論：可否對(duì)x作拉氏變換？,解：對(duì)x作付氏變換：,(3)和(4)的通解為：自然邊界條件：再利用條件（4）：,（1）（2）,（3）（4）,例題6：上半平面的拉氏方程,現(xiàn)在反演：利用原函數(shù)：,？,一個(gè)公式：,如何給出邊界函數(shù)？,求解非齊次波動(dòng)方程的定解問(wèn)題解：對(duì)t求拉氏變換并利用初始條件得：上式對(duì)x求傅氏變換：,例題7：非齊次波動(dòng)方程,上式取非零值的條件是進(jìn)行拉氏和傅氏變換的反演，結(jié)果為：,解出：,求解有界細(xì)桿熱傳導(dǎo)的定解問(wèn)題：解：對(duì)(1)兩邊取t的拉氏變換，并利用(3)：這是象函數(shù)的常微分方程的邊值問(wèn)題。,(1)(2)(3)(4)(5),例題8：有界桿熱傳導(dǎo)問(wèn)題,反演,變量x變化范圍：，對(duì)x用傅里葉變換例如無(wú)界弦2.變量x變化范圍：，對(duì)x用拉普拉斯變換例如半無(wú)界熱傳導(dǎo)3.時(shí)間變量的變化為，只能用拉普拉斯變換,傅里葉變換與拉普拉斯變換比較,1.用拉普拉斯求解常微分方程的初值問(wèn)題，不需要考慮方程是否齊次，解題步驟都是一樣的。象函數(shù)是代數(shù)方程（包含了初始條件），容易求解，比經(jīng)典的方法（先求通解，再利用初始條件確定常數(shù)）更優(yōu)越。2.用拉普拉斯求解數(shù)學(xué)物理方程的定解問(wèn)題，不管方程與邊界條件是否齊次，不管方程定義在無(wú)界還是有界區(qū)域（見(jiàn)例題6），都可以求解。對(duì)于偏微分方程,既可以對(duì)t求拉氏變換，也可以對(duì)x求拉氏變換(如果有)。,拉普拉斯變換(法)的優(yōu)點(diǎn),根據(jù)變量x的變換范圍選擇傅氏變換或拉氏變換:變換后得到象空間的常微分方程和定解條件。2.求解象空間的定解問(wèn)題，得到象函數(shù)3.對(duì)象函數(shù)反演后得到原定解問(wèn)題的解。,：傅氏變換：拉氏變換,時(shí)間變量t的變化范圍為，只能取拉氏變換。,積分變換法