（江蘇專用）2013年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) （數(shù)學(xué)思想方法部分）專題4函數(shù)與方程思想學(xué)案

專題4函數(shù)與方程思想縱觀近幾年的高考試題，對函數(shù)與方程等數(shù)學(xué)思想方法的考查，一直是高考的重點內(nèi)容之一.在高考試卷上，與函數(shù)相關(guān)的試題所占比例始終在20%左右，且試題中既有靈活多變的客觀性試題，又有一定能力要求的主觀性試題.函數(shù)與方程思想是最重要的一種數(shù)學(xué)思想，高考中所占比重比較大，綜合知識多、題型多、應(yīng)用技巧多.在高中新課標數(shù)學(xué)中，還安排了函數(shù)與方程這一節(jié)內(nèi)容，可見其重要所在.在近幾年的高考中，函數(shù)思想主要用于求變量的取值范圍、解不等式等，方程觀點的應(yīng)用可分為逐步提高的四個層次：(1)解方程；(2)含參數(shù)方程討論；(3)轉(zhuǎn)化為對方程的研究，如直線與圓、圓錐曲線的位置關(guān)系，函數(shù)的性質(zhì)，集合關(guān)系；(4)構(gòu)造方程求解.預(yù)測2013年高考對本講考查趨勢：函數(shù)的零點問題、二次函數(shù)、二次方程、二次不等式間的關(guān)系.1關(guān)于x的方程sin2xcos xa0有實根，則實數(shù)a的取值范圍是_解析：asin2xcos x2，最小值為，最大值為1.所以a的范圍是.答案：2在等差數(shù)列an中，已知a510，a1231，則通項an_.解析：顯然公差不為零，故通項為n的一次函數(shù)，設(shè)ananb，a，b為常數(shù)，由題意得解得an3n5.答案：3n53若a，b是正數(shù)，且滿足abab3，則ab的取值范圍是_解析：法一：abab3，a1，b.而a0，0，a1.aba(a1)59.當(dāng)且僅當(dāng)a1，即a3時取等號法二：若設(shè)abt，則abt3，a，b可看成方程x2(t3)xt0的兩個正根從而有即解得t9，即ab9.答案：9，)4函數(shù)f(x)sin xcos xsin xcos x的值域為_解析：設(shè)sin xcos xt，t，則sin xcos x，構(gòu)造二次函數(shù)yt(t1)21，t，當(dāng)t1時，y最小為1；當(dāng)t時，y最大為.答案：5已知拋物線E：y24x與圓M：(x4)2y2m有四個交點，則實數(shù)m的取值范圍為_解析：將拋物線E：y24x與圓M：(x4)2y2m的方程聯(lián)立，消去y2整理得x24x16m0(*)拋物線E：y24x與圓M：(x4)2y2m有四個交點的充要條件是方程(*)有兩個不相等的正根，即f(x)x24x16m在(0，)上有兩個不相同的零點因為對稱軸x20，所以解得12m0，nn10，所以f(n)f(n1)，所以當(dāng)nN*時，f(n)單調(diào)遞減設(shè)g(n)，則g(n1)，g(n1)g(n).所以當(dāng)1n4時，g(n)單調(diào)遞增；g(4)g(5)；當(dāng)n5時，g(n)單調(diào)遞減設(shè)L(n)f(n)g(n)，則L(1)L(2)L(4)L(5)L(6).所以L(3)最大，且L(3).所以實數(shù)k的取值范圍為.(1)數(shù)列是特殊的函數(shù)，所以數(shù)列問題多與函數(shù)、方程有密切的關(guān)系，數(shù)列中的基本運算就是方程思想的應(yīng)用，求數(shù)列中的最大(小)項的問題，一般是構(gòu)造函數(shù)利用函數(shù)的單調(diào)性解決(2)解決不等式的恒成立問題的一種重要方法就是構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的性質(zhì)解決設(shè)數(shù)列an的前n項和Snn2，數(shù)列bn滿足bn(mN*)(1)若b1，b2，b8成等比數(shù)列，試求m的值；(2)是否存在m，使得數(shù)列bn中存在某項bt滿足b1，b4，bt(tN*，t5)成等差數(shù)列？若存在，請指出符合題意的m的個數(shù)；若不存在，請說明理由解：(1)因為Snn2，所以當(dāng)n2時，anSnSn12n1，又當(dāng)n1時，a1S11，適合上式，所以an2n1(nN*)，所以bn，則b1，b2，b8，由bb1b8，得2，解得m0(舍)或m9，所以m9.(2)假設(shè)存在m，使得b1，b4，bt(tN*，t5)成等差數(shù)列，即2b4b1bt，則2，化簡得t7，分別存在t43,25,19,16,13,11,10,9,8適合題意，即存在這樣的m，且符合題意的m共有9個已知橢圓方程為1，在橢圓上是否存在點P(x，y)到定點A(a,0)(其中0a3，即a0，點M(a2，a)，N(ln a，a)，易知a2ln a，MNa2ln a記f(a)a2ln a，則有f(a)2a.當(dāng)0a時，f(a)時，f(a)0.于是，函數(shù)f(a)a2ln a在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，f(a)a2ln a在a處取得最小值，即當(dāng)MN取得最小值時a.答案：1函數(shù)描述了自然界中量的依存關(guān)系，反映了一個事物隨著另一個事物變化而變化的關(guān)系和規(guī)律函數(shù)思想的實質(zhì)是剔除問題的非數(shù)學(xué)特征，用聯(lián)系和變化的觀點提出數(shù)學(xué)對象，抽象其數(shù)學(xué)特征，建立函數(shù)關(guān)系2在解決某些數(shù)學(xué)問題時，先設(shè)定一些未知數(shù)，然后把它們當(dāng)做已知數(shù)，根據(jù)題設(shè)本身各量間的制約，列出等式，所設(shè)未知數(shù)溝通了變量之間的關(guān)系，這就是方程的思想3函數(shù)與方程是兩個不同的概念，但它們之間有著密切的聯(lián)系，一個函數(shù)若有解析表達式，那么這個表達式就可看成是一個方程一個二元方程，兩個變量存在著對應(yīng)關(guān)系，如果這個對應(yīng)關(guān)系是函數(shù)，那么這個方程可以看成是一個函數(shù)，因此，許多有關(guān)方程的問題可以用函數(shù)的方法解決；反之，許多有關(guān)函數(shù)的問題則可以用方程的方法解決1對任意實數(shù)m，過函數(shù)f(x)x2mx1圖象上的點(2，f(2)的切線恒過一定點P，則點P的坐標為_解析：因為f(x)2xm，故f(2)4m.于是過點(2，f(2)的切線方程是y(52m)(4m)(x2)，即y(m4)x3，因此切線恒過點(0，3)答案：(0，3)2對于滿足0p4的所有實數(shù)p，使不等式x2px4xp3成立的x的取值范圍是_解析：設(shè)f(p)p(x1)x24x3，f(p)為關(guān)于p的一次函數(shù)，要使f(p)0對p0,4恒成立，則解得x3或x1.答案：(，1)(3，)3設(shè)F1是橢圓1的左焦點，弦AB過橢圓的右焦點F2，則F1AB面積的最大值為_解析：如圖所示，由橢圓方程可知，a23，b22，c1.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則SF1ABF1F2|y1y2|y1y2|.設(shè)直線AB的方程為xmy1，代入橢圓方程，化簡得(2m23)y24my40.由根與系數(shù)的關(guān)系，得|y1y2| .令t1，則SF1AB.f(t)2t在1，)上是增函數(shù)，f(t)minf(1)3.(SF1AB)max，此時t1，即m0.答案：4函數(shù)f(x)axa1存在零點x0，且x0(0,2)，則實數(shù)a的取值范圍是_解析：f(0)f(2)0，得a1.答案：(，1)(1，)5設(shè)函數(shù)f(x)x，對任意x1，)，f(mx)mf(x)0恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是_解析：因為對任意x1，)，f(mx)mf(x)2mx0恒成立，顯然m0.所以當(dāng)m0對任意x1，)恒成立，即2m211m20，解得m21，即m0時，有2m2x21m20對任意x1，)恒成立，m無解，綜上所述m1，則雙曲線1的離心率e的取值范圍是_解析：e2212，因為是減函數(shù)，所以當(dāng)a1時，01，所以2e25，即e1時，原方程有兩個不等的根，當(dāng)0t1時，原方程有4個根，當(dāng)t1時，原方程有3個根當(dāng)k2時，方程(*)有一個正根t2，相應(yīng)的原方程的解有2個；當(dāng)k時，方程(*)有兩個相等正根t，相應(yīng)的原方程的解有4個；當(dāng)k0時，此時方程(*)有兩個不等根t0或t1，故此時原方程有5個根；當(dāng)0k時，方程(*)有兩個不等正根，且此時方程(*)有兩正根且均小于1，故相應(yīng)的滿足方程|x21|t的解有8個答案：9設(shè)f(x)，g(x)分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，當(dāng)x0，且g(3)0，則不等式f(x)g(x)0的解集是_又當(dāng)x0，所以x0時，F(xiàn)(x)也為增函數(shù)因為F(3)f(3)g(3)0F(3)，如上圖，是一個符合題意的圖象，觀察知不等式F(x)0的解集是(，3)(0,3)答案：(，3)(0,3)10設(shè)f(x)是偶函數(shù)，g(x)是奇函數(shù)，且f(x)g(x)ex1，則f(x)_.解析：由f(x)g(x)ex1得f(x)g(x)ex1.所以相加得f(x)(exex2)答案：11某公司生產(chǎn)某種消防安全產(chǎn)品，年產(chǎn)量為x臺(0x100，xN)時，銷售收入函數(shù)R(x)3 000x20x2(單位：萬元)，其成本函數(shù)C(x)500xb(單位：萬元)已知該公司不生產(chǎn)任何產(chǎn)品時，其成本為4 000(萬元)(1)求利潤函數(shù)P(x)；(2)求該公司生產(chǎn)多少臺產(chǎn)品時，利潤最大，最大利潤是多少？(3)在經(jīng)濟學(xué)中，對于函數(shù)f(x)，我們把函數(shù)f(x1)f(x)稱為函數(shù)f(x)的邊際函數(shù)，記作Mf(x)對于(1)求得的利潤函數(shù)P(x)，求邊際函數(shù)MP(x)，并利用邊際函數(shù)MP(x)的性質(zhì)解釋公司生產(chǎn)利潤情況(本題所指的函數(shù)性質(zhì)主要包括：函數(shù)的單調(diào)性、最值、零點等)解：(1)由題意得C(0)4 000，所以b4 000，所以C(x)500x4 000，故P(x)R(x)C(x)3 000x20x2500x4 00020x22 500x4 000(0x100，xN)(2)由(1)知P(x)20274 125(0x100，xN)，所以當(dāng)x62或x63時，利潤最大，最大利潤P(x)maxP(62)P(63)74 120.所以該公司生產(chǎn)62臺或63臺產(chǎn)品時，利潤最大，最大利潤是74 120萬元(3)由(1)的結(jié)論及題中定義知MP(x)P(x1)P(x)40x2 480(0x99，xN)邊際函數(shù)為減函數(shù)，說明隨著產(chǎn)量的增加，每生產(chǎn)一臺產(chǎn)品的利潤與生產(chǎn)前一臺產(chǎn)品的利潤相比在減少當(dāng)x0時，邊際函數(shù)取得最大值2 480，說明生產(chǎn)一臺產(chǎn)品與不生