云南保山曙光學(xué)校高一數(shù)學(xué)《指數(shù)與指數(shù)冪的運(yùn)算一》教學(xué)設(shè)計(jì)

2.1.1指數(shù)和指數(shù)冪的計(jì)算(一)一、內(nèi)容和分析(1)內(nèi)容：第一章緒論，引出指數(shù)冪的概念及其根形式的推廣。(2)分析：本課是一堂關(guān)于部首形式的概念課，是高中新課程改革A版教材第二章的第一課。第一章主要介紹函數(shù)的概念。本章計(jì)劃用14個(gè)課時(shí)來重點(diǎn)講解幾個(gè)具體的基本函數(shù)，以便進(jìn)一步理解函數(shù)的概念和函數(shù)的概念。其中，指數(shù)函數(shù)計(jì)劃使用6課時(shí)，具體分配如下：部首形式1課時(shí)(含章節(jié)介紹)，分?jǐn)?shù)指數(shù)冪1課時(shí)，非理性指數(shù)冪1課時(shí)，指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)3課時(shí)。1.本章的引言在本課中起著承上啟下的作用，尤其是在指導(dǎo)基本初等函數(shù)的學(xué)習(xí)方面。2.本章首先介紹的是指數(shù)函數(shù)，即f(x)=ax(a0和a1)，其中ax是指數(shù)冪，其中X R。這涉及到實(shí)指數(shù)冪的概念。在此之前，學(xué)生只學(xué)習(xí)了整數(shù)指數(shù)冪的概念，所以在學(xué)習(xí)指數(shù)函數(shù)之前，有必要普及學(xué)生現(xiàn)有的指數(shù)冪的概念，從整數(shù)指數(shù)冪到有理指數(shù)冪。它進(jìn)一步擴(kuò)展到真正的指數(shù)冪。因?yàn)樵谟欣碇笖?shù)冪(分?jǐn)?shù)指數(shù)冪)之前有一個(gè)根形式，所以根形式成為有理指數(shù)冪的基礎(chǔ)，而平方根是根形式概念的核心。因此，這節(jié)課主要集中在有理指數(shù)冪上，從第n個(gè)平方根開始逐漸理解根的形式，為進(jìn)一步理解有理指數(shù)冪打下基礎(chǔ)。3.由于本模塊、本章和本節(jié)都圍繞函數(shù)的核心，從不同的角度進(jìn)行研究，指數(shù)和指數(shù)冪的運(yùn)算以及根公式都是為函數(shù)教學(xué)服務(wù)的，不是我們研究的重點(diǎn)。這樣，本節(jié)的重點(diǎn)應(yīng)放在為以下內(nèi)容鋪平道路上，即把積分指數(shù)冪推廣到有理指數(shù)冪，并引入指數(shù)函數(shù)。關(guān)鍵在于根公式的概念，包括n根的定義、表示和性質(zhì)。二。目標(biāo)和分析(一)教學(xué)目標(biāo)1.對指數(shù)冪和指數(shù)函數(shù)的初步認(rèn)識：2.通過與平方根和立方根的類比，我們可以知道第n個(gè)根，然后理解根式的概念。(2)分析1.課程標(biāo)準(zhǔn)沒有明確提出本課的具體教學(xué)內(nèi)容和要求，但根據(jù)其對本模塊、本章和本節(jié)的要求，結(jié)合當(dāng)前和未來教材的內(nèi)容，并在分析相關(guān)內(nèi)容的基礎(chǔ)上，提出了上述教學(xué)目標(biāo)的內(nèi)容和相應(yīng)的要求。2.對指數(shù)冪和指數(shù)函數(shù)的初步理解，主要是指對它們的表達(dá)式的理解，而不是給出它們的定義，更不用說它們的運(yùn)算或圖像或性質(zhì)，并結(jié)合具體的例子。3.由于本課的教學(xué)內(nèi)容不僅涉及部首的定義，還涉及部首的表達(dá)和性質(zhì)，后續(xù)內(nèi)容也涉及部首的操作，部首概念的定位應(yīng)該是理解層面。但是，本節(jié)教材將不再具體介紹部首的概念，所以本課旨在對部首的概念有一個(gè)初步的理解，并在下一課的部首操作中逐步達(dá)到真正的理解。4.在與平方根和立方根比較的過程中，我們可以進(jìn)一步學(xué)習(xí)類比的思維方法，提高學(xué)生的思維水平，在提升和轉(zhuǎn)化的過程中形成根型知識鏈。三、問題診斷與分析學(xué)生在理解根的概念的過程中可能會遇到困難，這體現(xiàn)在他們對第n個(gè)根的定義，尤其是第n個(gè)根的存在和性質(zhì)的理解上。由于從平方根、立方根到n次根的過程是一個(gè)特殊的到一般的變化過程，要求學(xué)生具有一定的歸納、概括能力和抽象能力。要克服這個(gè)困難，關(guān)鍵是要引導(dǎo)學(xué)生建立n次根與平方根、立方根之間的聯(lián)系。用平方根和立方根來類比問題1:老師想和這里的每個(gè)學(xué)生簽訂一份合同。合同的具體要求是：從今天開始的一個(gè)月內(nèi)(即31天)，老師每天給你10萬元，而你只需要在第一天給老師1美分，是前一天的兩倍。你愿意簽署這份合同嗎？在做決定之前，請考慮一下。設(shè)計(jì)意圖：通過創(chuàng)造一個(gè)有趣的場景，將學(xué)生的注意力引向本章的學(xué)習(xí)，從而揭示指數(shù)函數(shù)的形式和爆發(fā)性增長的特點(diǎn)。師生活動：要求愿意和不愿意簽訂合同的學(xué)生解釋原因，即：(1)學(xué)生每天得到的錢(萬元):10，10，10；一個(gè)月內(nèi)獲得的金額(萬元):=310。(2)老師每天得到的錢(萬元):10-6，210-6，2210-6，2n-110-6，23010-6；一個(gè)月內(nèi)獲得的金額(萬元):10-6 210-6 2210-62n-110-623010-6=2 147.483 647。注：上述公式的計(jì)算可通過計(jì)算工具實(shí)現(xiàn)。如果求和太復(fù)雜，只能計(jì)算最后一個(gè)數(shù)字，23010-6=1，073.741，824。如果其余的學(xué)生還沒有筋疲力盡，他們可以進(jìn)一步問：從哪一天開始，學(xué)生的支出會超過他們的收入？第三章引導(dǎo)學(xué)生使用計(jì)算器進(jìn)行探究，為學(xué)習(xí)函數(shù)零點(diǎn)打下基礎(chǔ)。問題2:閱讀本章的介紹，看一下章節(jié)標(biāo)題的圖表，思考一下章節(jié)標(biāo)題的問題，然后回答：我們將在本章中學(xué)到什么？為什么教科書是這樣安排的？你打算怎么學(xué)？設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生對本章內(nèi)容有一個(gè)大致的了解，并對學(xué)習(xí)目標(biāo)和方法有一個(gè)清晰的理解。師生活動：從學(xué)生的回答中把握理解的程度，并從中引導(dǎo)；(1)當(dāng)學(xué)生普遍回答本章將學(xué)習(xí)基本初等函數(shù)時(shí)，他們可以進(jìn)一步問：哪些基本初等函數(shù)，每種類型的函數(shù)將學(xué)習(xí)什么？為了引導(dǎo)學(xué)生仔細(xì)閱讀課本中這一章的介紹，并思考前一章的內(nèi)容。(2)對于教科書中的“為什么會這樣安排”問題，我們可以將章頭圖和章頭問題結(jié)合起來，引導(dǎo)學(xué)生形成從特殊到一般再到特殊的認(rèn)知問題和解決問題的方法。具體來說，我們可以將特殊函數(shù)從初等函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)轉(zhuǎn)變?yōu)橐话愫瘮?shù)，然后從一般函數(shù)轉(zhuǎn)變?yōu)閹追N基本初等函數(shù)，并理解本章的學(xué)習(xí)目標(biāo)。(3)在學(xué)習(xí)方法的指導(dǎo)下，可以引導(dǎo)學(xué)生使用第一章功能的相關(guān)內(nèi)容的學(xué)習(xí)方法。(4)為了進(jìn)一步理解相關(guān)概念，學(xué)生可以給出與前面的情景問題和章節(jié)標(biāo)題問題相似的例子，也可以在本節(jié)教材的開頭給出兩個(gè)例子。問題中涉及的指數(shù)冪可以概括為一種形式。問題3:繼續(xù)閱讀課本P48頁上的兩個(gè)例子，然后回答：(1)正整數(shù)指數(shù)冪的含義是什么？它有什么操作屬性？(2)兩個(gè)例子中的數(shù)字可以用相同的形式表示。請寫下這張表格。問題4:對于一個(gè)，我們已經(jīng)知道當(dāng)N是正整數(shù)時(shí)的含義；當(dāng)n是正數(shù)時(shí)，它的意思是什么？設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生與根形態(tài)建立聯(lián)系。師生活動：可以進(jìn)一步提供以下指導(dǎo)，幫助學(xué)生建立根型聯(lián)系：以一個(gè)簡單的a為例，如果整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)也適用于有理指數(shù)冪，那么就有。根據(jù)平方根的含義，它是2的正平方根，2的正平方根是，因此=。因此，我們可以通過已知的根公式知道指數(shù)冪。2.概念介紹問題5:我們知道如果x2=a，那么X被稱為A的平方根(二次根)；如果x3=a，那么x被稱為一個(gè)對不起的立方根(立方根):(1)你認(rèn)為還有什么其他根源？(2)你能根據(jù)上面的定義定義這些平方根嗎？設(shè)計(jì)意圖：通過復(fù)習(xí)平方根和立方根，讓學(xué)生在已有認(rèn)知的基礎(chǔ)上與相似概念進(jìn)行比較，通過類比獲得對新概念理解方法的啟發(fā)，找到理解新概念的固定點(diǎn)，從而引出第n個(gè)立方根的定義。這促進(jìn)了泛化，澄清了第n個(gè)立方根概念的內(nèi)涵，進(jìn)而準(zhǔn)確地把握了這個(gè)概念。師生活動：為了幫助學(xué)生進(jìn)行類比，平方根和立方根的定義可以從上到下對齊寫在黑板上，然后讓學(xué)生在它們下面寫類比定義。3.概念的形成問題6:根據(jù)平方根和立方根的定義，我們可以舉一個(gè)例子。例如，因?yàn)?2)2=4，2是4的平方根；因?yàn)?3=8，所以2是8的立方根。同樣，請根據(jù)你給的其他立方根的定義給出相應(yīng)的例子。設(shè)計(jì)意圖：當(dāng)n大于或等于n時(shí)，學(xué)生很難給出例子，因此引入了n次根的表示。師生活動：引導(dǎo)學(xué)生類比平方根和立方根的表達(dá)式，給出第n個(gè)平方根的表達(dá)式；(1)我們知道4的平方根是2，可以表示為=2；8的立方根是2，可以表示為=2；-8的立方根是-2，可以表示為=-2。類似地，16的立方根表示什么？如何表達(dá)32的第5個(gè)根？-32的第五個(gè)根是什么意思？a的第n個(gè)根呢？(2)我們能從上面的例子中看出什么規(guī)律嗎？那就是：當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，正數(shù)a的n個(gè)根是多少？它是正的、負(fù)的還是零的？如何表達(dá)？負(fù)數(shù)a的n根是多少？它是正的、負(fù)的還是零的？如何表達(dá)？當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，正數(shù)a的n根是多少？它是正的、負(fù)的還是零的？如何表達(dá)？(3)負(fù)數(shù)有偶數(shù)根嗎？(4)0的第n個(gè)根是什么？你能說什么？4.清晰的概念問題7:請總結(jié)一下你以前學(xué)過的東西。什么是n根？如何表達(dá)？設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生定義n根的概念。師生活動：為了讓學(xué)生更清楚根據(jù)第n個(gè)根的概念，解決以下問題：(1)當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，()n=；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，()n=0。舉個(gè)例子。(2)當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，=；當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，=。舉個(gè)例子。5.概念的表達(dá)用于表示a的第n個(gè)根的前一個(gè)公式稱為根公式，它在第n個(gè)根符號(通常稱為根符號a)下被讀取為a，其中n稱為根索引，a稱為根號。當(dāng)根指數(shù)是n時(shí)，它也被稱為第n個(gè)根公式。問題8:請寫一個(gè)根表，讀出它，然后指出它的根索引和要打開的方塊數(shù)。設(shè)計(jì)意圖：在定義了激進(jìn)概念的概念后，讓學(xué)生通過實(shí)例和表達(dá)來判斷具體的例子，并利用概念來促進(jìn)他們對概念的理解，從而進(jìn)一步形成對激進(jìn)概念的抽象理解。師生活動：為了給學(xué)生提供豐富的概念范例，根據(jù)他們的范例，可以提出以下問題：讀出下列根表達(dá)式，指出根索引和每個(gè)根表達(dá)式要