怎樣探討軌跡的純粹性人教

怎樣探討軌跡的純粹性 求曲線的軌跡方程是解析幾何的基本知識，課本在談到曲線的方程和方程的曲線時，指出兩個關系： 曲線上的點的坐標都是方程的解； 以這個方程的解為坐標的點都是曲線上的點。 其中我們叫曲線方程的完備性；叫曲線的方程的純粹性。在求軌跡方程時，教材強調(diào)分五步求軌跡方程，“除個別情況外。化簡過程都是同解變形過程，步驟5（即證明）可以省略不寫，如有特殊情況，可適當予以說明。”所謂予以說明，就是要探討軌跡方程的純粹性很多學生對此缺乏規(guī)律性的認識，以至心有余而力不足，那么，解決軌跡方程的純粹性問題應該怎樣進行呢?筆者總結了一首歌訣： 純粹性，看轉換，以等價，找特征；條件顯，看方程，條件隱，畫圖形。 下面就幾個實例來研究一下。 一、顯性條件的制約 例1、設動直線軸，且與橢圓交于A，B兩點，P是上滿足的點，求P點的軌跡方程，并說明軌跡是什么圖形?解：列方程的主要依據(jù)是，由AB軸可設，且A、B在橢圓上，若設P點坐標為， 即，即。代入條件得：，即。 又，即。故軌跡方程為或。 點評：很多學生到此為止，不再考慮條件限制。這道題屬于顯性條件約束P點軌跡是因AB移動而產(chǎn)生的，即，而有范圍：-22（由橢圓決定）。故必有-22。又當時，A，B兩者重合于一點（原已知橢圓的頂點），不滿足題意，因此為必備條件，顯然所求軌跡中的超過了這個范圍，應該剔除不合條件的點，“純粹”所求軌跡。正確的結論是：或，軌跡圖形是兩個橢圓夾在直線間的部分。 總結：本題條件顯然，因此“純粹性”的討論不是很棘手，直接由原已知橢圓的幾何性質(zhì) “范圍”可以得出，如已自身滿足，因此可以不標明。這正是：條件顯，看方程。 例2、ABC 一邊的兩個端點是B（0，6）和C（0，一6），另兩邊斜率的積是，求頂點A的軌跡。解：設動點A，由兩邊斜率之積為。 列方程，整理為。點評：這道題的約束條件是顯性的，頂點A必須滿足與B，C構成ABC。即剔除A，B，C三點共線的情況（），反映到方程中也可以表示成，正確解答如前，只需在所求方程后附加條件：（y 6或y 0，即且。 即M點必須在大圓內(nèi)、小圓外，如果去解不等式得出范圍太繁雜了，顯然當M（8，0）時，要舍去。綜合各方面因素，最終仍是結論：條件隱，畫圖形。 總體看來，“純粹”軌跡方程既可以從方程的等價性入手，也可以從結論本身入手，畫出軌跡圖形再剔除不滿足題意的點。至于條件的隱顯只是相對而言，關鍵還是看學生有沒有軌跡方程的“純粹”意識。在此基