點(diǎn)集拓?fù)鋵W(xué)期末考試練習(xí)題(含答案)

.點(diǎn)集拓?fù)鋵W(xué)期末考試一、單項(xiàng)選擇題（每題1分）1、已知,下列集族中，（ ）是上的拓?fù)? 答案：2、設(shè)，下列集族中,（ ）是上的拓?fù)? 答案：3、已知,下列集族中，（ ）是上的拓?fù)? 答案：4、設(shè)，下列集族中,（ ）是上的拓?fù)? 答案：5、已知,下列集族中，（ ）是上的拓?fù)? 答案：6、設(shè)，下列集族中,（ ）是上的拓?fù)? 答案：7、已知，拓?fù)?則=（ ） 答案：8、 已知，拓?fù)?則=（ ） 答案：9、 已知，拓?fù)?則=（ ） 答案：10、已知，拓?fù)?則=（ ） 答案：11、已知，拓?fù)?則=（ ） 答案：12、已知，拓?fù)?則=（ ） 答案：13、設(shè)，拓?fù)?則的既開(kāi)又閉的非空真子集個(gè)數(shù)（ ） 1 2 3 4 答案：14、設(shè)，拓?fù)?則的既開(kāi)又閉的非空真子集的個(gè)數(shù)為（ ） 1 2 3 4 答案：15、設(shè)，拓?fù)?則的既開(kāi)又閉的非空真子集的個(gè)數(shù)為（ ） 0 1 2 3 答案：16、設(shè)，拓?fù)?則的既開(kāi)又閉的子集的個(gè)數(shù)為（ ） 0 1 2 3 答案：17、設(shè)，拓?fù)?則的既開(kāi)又閉的子集的個(gè)數(shù)為（ ） 1 2 3 4 答案：18、設(shè)，拓?fù)?的既開(kāi)又閉的非空真子集個(gè)數(shù)（ ） 1 2 3 4 答案：19、在實(shí)數(shù)空間中，有理數(shù)集的內(nèi)部是（ ） Q R -Q R 答案：20、在實(shí)數(shù)空間中，有理數(shù)集的邊界是（ ） Q R -Q R 答案：21、在實(shí)數(shù)空間中，整數(shù)集的內(nèi)部是（ ） R-Z R 答案：22、在實(shí)數(shù)空間中，整數(shù)集的邊界是（ ） R-Z R 答案：23、在實(shí)數(shù)空間中，區(qū)間的邊界是（ ） 答案：24、在實(shí)數(shù)空間中，區(qū)間的邊界是（ ） 答案：25、在實(shí)數(shù)空間中，區(qū)間的內(nèi)部是（ ） 答案：26、設(shè)是一個(gè)拓?fù)淇臻g，A,B 是的子集,則下列關(guān)系中錯(cuò)誤的是（ ） 答案: 27、設(shè)是一個(gè)拓?fù)淇臻g，A,B 是的子集,則下列關(guān)系中正確的是（ ） 答案: 28、設(shè)是一個(gè)拓?fù)淇臻g，A,B 是的子集,則下列關(guān)系中正確的是（ ） 答案: 29、已知是一個(gè)離散拓?fù)淇臻g，A是的子集,則下列結(jié)論中正確的是（ ） 答案：30、已知是一個(gè)平庸拓?fù)淇臻g，A是的子集,則下列結(jié)論中不正確的是（ ） 若,則 若,則 若A=,則 若, 則 答案：31、已知是一個(gè)平庸拓?fù)淇臻g，A是的子集,則下列結(jié)論中正確的是（ ） 若,則 若,則 若A=,則 若,則 答案：32、設(shè)，令,則由產(chǎn)生的上的拓?fù)涫牵?） ,c,d,c,d,a,b,c ,c,d,c,d ,c,a,b,c ,d,b,c,b,d,b,c,d 答案：33、設(shè)是至少含有兩個(gè)元素的集合，, 是的拓?fù)洌瑒t（ ）是的基. 答案：34、 設(shè),則下列的拓?fù)渲校?）以為子基. , ,a,a,c , ,a , ,a,b,a,b , 答案：35、離散空間的任一子集為( ) 開(kāi)集 閉集 即開(kāi)又閉 非開(kāi)非閉 答案：36、平庸空間的任一非空真子集為( ) 開(kāi)集 閉集 即開(kāi)又閉 非開(kāi)非閉 答案：37、實(shí)數(shù)空間中的任一單點(diǎn)集是 ( ) 開(kāi)集 閉集 既開(kāi)又閉 非開(kāi)非閉 答案：38、實(shí)數(shù)空間R的子集A =1, ,則（ ） R A0 A 答案：39、在實(shí)數(shù)空間R中，下列集合是閉集的是（ ） 整數(shù)集 有理數(shù)集 無(wú)理數(shù)集 答案：40、在實(shí)數(shù)空間R中，下列集合是開(kāi)集的是（ ） 整數(shù)集Z 有理數(shù)集 無(wú)理數(shù)集 整數(shù)集Z的補(bǔ)集答案：41、已知上的拓?fù)?則點(diǎn)1的鄰域個(gè)數(shù)是（） 1 2 3 4 答案：42、已知,則上的所有可能的拓?fù)溆校ǎ?1個(gè) 2個(gè) 3個(gè) 4個(gè) 答案： 43、已知=a,b,c,則上的含有個(gè)元素的拓?fù)溆校ǎ﹤€(gè) 3 5 7 9 答案：44、設(shè)為拓?fù)淇臻g,則下列敘述正確的為 ( ) 當(dāng)時(shí), 當(dāng)時(shí), 答案：45、在實(shí)數(shù)下限拓?fù)淇臻g中，區(qū)間是（ ） 開(kāi)集 閉集 既是開(kāi)集又是閉集 非開(kāi)非閉 答案：46、設(shè)是一個(gè)拓?fù)淇臻g，,且滿足,則是（ ） 開(kāi)集 閉集 既是開(kāi)集又是閉集 非開(kāi)非閉 答案：47、設(shè),是的拓?fù)洌?則的子空間的拓?fù)錇? ) 答案：48、設(shè),是的拓?fù)洌?則的子空間的拓?fù)錇? ) 答案：49、設(shè),是的拓?fù)洌?則的子空間的拓?fù)錇? ) 答案：50、設(shè),是的拓?fù)洌?則的子空間的拓?fù)錇? ) 答案：51、設(shè),是的拓?fù)洌?則的子空間的拓?fù)錇? ) 答案：52、設(shè),是的拓?fù)洌?則的子空間的拓?fù)錇? ) 答案：53、設(shè)是實(shí)數(shù)空間，是整數(shù)集，則的子空間的拓?fù)錇椋?） 答案： 54、設(shè)是拓?fù)淇臻g的積空間.是到的投射，則是（ ） 單射 連續(xù)的單射 滿的連續(xù)閉映射 滿的連續(xù)開(kāi)映射 答案：55、設(shè)是拓?fù)淇臻g的積空間.是到的投射，則是（ ） 單射 連續(xù)的單射 滿的連續(xù)閉映射 滿的連續(xù)開(kāi)映射 答案：56、設(shè)是拓?fù)淇臻g的積空間.是到的投射，則是（ ） 單射 連續(xù)的單射 滿的連續(xù)閉映射 滿的連續(xù)開(kāi)映射 答案：57、設(shè)是拓?fù)淇臻g的積空間.是到的投射，則是（ ） 單射 連續(xù)的單射 滿的連續(xù)閉映射 滿的連續(xù)開(kāi)映射 答案：58、設(shè)是拓?fù)淇臻g的積空間.是到的投射，則是（ ） 單射 連續(xù)的單射 滿的連續(xù)閉映射 滿的連續(xù)開(kāi)映射 答案：59、設(shè)是拓?fù)淇臻g的積空間.是到的投射，則是（ ） 單射 連續(xù)的單射 滿的連續(xù)閉映射 滿的連續(xù)開(kāi)映射 答案：60、設(shè)和是兩個(gè)拓?fù)淇臻g，是它們的積空間,，則有（ ） 答案：61、有理數(shù)集是實(shí)數(shù)空間的一個(gè)（ ） 不連通子集 連通子集 開(kāi)集 以上都不對(duì) 答案：62、整數(shù)集是實(shí)數(shù)空間的一個(gè)（ ） 不連通子集 連通子集 開(kāi)集 以上都不對(duì) 答案：63、無(wú)理數(shù)集是實(shí)數(shù)空間的一個(gè)（ ） 不連通子集 連通子集 開(kāi)集 以上都不對(duì) 答案：64、設(shè)Y為拓?fù)淇臻gX的連通子集,Z為X的子集,若, 則Z為( )不連通子集 連通子集 閉集 開(kāi)集答案：65、設(shè)是平庸空間，則積空間是（） 離散空間 不一定是平庸空間 平庸空間 不連通空間答案：66、設(shè)是離散空間，則積空間是（） 離散空間 不一定是離散空間 平庸空間 連通空間答案：67、設(shè)是連通空間，則積空間是（） 離散空間 不一定是連通空間 平庸空間 連通空間答案：68、實(shí)數(shù)空間R中的連通子集E為( ) 開(kāi)區(qū)間 閉區(qū)間 區(qū)間 以上都不對(duì)答案：69、實(shí)數(shù)空間R中的不少于兩點(diǎn)的連通子集E為( ) 開(kāi)區(qū)間 閉區(qū)間 區(qū)間 以上都不對(duì) 答案：70、實(shí)數(shù)空間R中的連通子集E為( ) 開(kāi)區(qū)間 閉區(qū)間 區(qū)間 區(qū)間或一點(diǎn) 答案：71、下列敘述中正確的個(gè)數(shù)為（ ） （）單位圓周是連通的； （）是連通的 （）是連通的 （）和同胚 1 2 3 4答案：二、填空題（每題1分）1、設(shè),則的平庸拓?fù)錇?;答案：2、設(shè),則的離散拓?fù)錇?;答案：、同胚的拓?fù)淇臻g所共有的性質(zhì)叫 ; 答案：拓?fù)洳蛔冃再|(zhì)4、在實(shí)數(shù)空間R中，有理數(shù)集Q的導(dǎo)集是_. 答案： R5、當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)于的每一鄰域有 答案： 6、設(shè)是有限補(bǔ)空間中的一個(gè)無(wú)限子集，則= ;答案：7、設(shè)是有限補(bǔ)空間中的一個(gè)無(wú)限子集，則= ;答案：8、設(shè)是可數(shù)補(bǔ)空間中的一個(gè)不可數(shù)子集，則= ;答案：9、設(shè)是可數(shù)補(bǔ)空間中的一個(gè)不可數(shù)子集，則= ;答案：10、設(shè),的拓?fù)?則的子集 的內(nèi)部為 ;答案：211、設(shè),的拓?fù)?則的子集 的內(nèi)部為 ;答案：112、設(shè),的拓?fù)?則的子集 的內(nèi)部為 答案：113、設(shè),的拓?fù)?則的子集 的內(nèi)部為 ;答案：14、設(shè),則的平庸拓?fù)錇?;答案：15、設(shè),則的離散拓?fù)錇?答案：16、設(shè),的拓?fù)?則的子集 的內(nèi)部為 ;答案：3 17、設(shè),的拓?fù)?則的子集 的內(nèi)部為 ;答案：1 18、是拓?fù)淇臻g到的一個(gè)映射，若它是一個(gè)單射，并且是從到它的象集的一個(gè)同胚，則稱(chēng)映射是一個(gè) .答案：嵌入19、是拓?fù)淇臻g到的一個(gè)映射，如果它是一個(gè)滿射，并且的拓?fù)涫菍?duì)于映射而言的商拓?fù)洌瑒t稱(chēng)是一個(gè) ;答案：商映射20、設(shè)是兩個(gè)拓?fù)淇臻g，是一個(gè)映射，若中任何一個(gè)開(kāi)集的象集是中的一個(gè)開(kāi)集，則稱(chēng)映射是一個(gè)答案：開(kāi)映射21、設(shè)是兩個(gè)拓?fù)淇臻g，是一個(gè)映射，若中任何一個(gè)閉集的象集是中的一個(gè)閉集，則稱(chēng)映射是一個(gè)答案：閉映射22、若拓?fù)淇臻g存在兩個(gè)非空的閉子集,使得,則是一個(gè) ；答案：不連通空間23、若拓?fù)淇臻g存在兩個(gè)非空的開(kāi)子集,使得,則是一個(gè) ；答案：不連通空間24、若拓?fù)淇臻g存在著一個(gè)既開(kāi)又閉的非空真子集，則是一個(gè) 答案：不連通空間25、設(shè)是拓?fù)淇臻g的一個(gè)連通子集，滿足，則也是的一個(gè) ; 答案：連通子集26、拓?fù)淇臻g的某種性質(zhì)，如果為一個(gè)拓?fù)淇臻g所具有也必然為它在任何一個(gè)連續(xù)映射下的象所具有，則稱(chēng)這個(gè)性質(zhì)是一個(gè) ；答案：在連續(xù)映射下保持不變的性質(zhì)27、拓?fù)淇臻g的某種性質(zhì)，如果為一個(gè)拓?fù)淇臻g所具有也必然為它的任何一個(gè)商空間所具有，則稱(chēng)這個(gè)性質(zhì)是一個(gè) ；答案：可商性質(zhì)28、若任意個(gè)拓?fù)淇臻g,都具有性質(zhì),則積空間也具有性質(zhì)，則性質(zhì)稱(chēng)為 ;答案：有限可積性質(zhì)29、設(shè)是一個(gè)拓?fù)淇臻g，如果中有兩個(gè)非空的隔離子集,使得,則稱(chēng)是一個(gè) ；答案：不連通空間.三判斷（每題4分，判斷1分，理由3分）1、從離散空間到拓?fù)淇臻g的任何映射都是連續(xù)映射( ) 答案: 理由：設(shè)是離散空間，是拓?fù)淇臻g，是連續(xù)映射，因?yàn)閷?duì)任意，都有,由于中的任何一個(gè)子集都是開(kāi)集，從而是中的開(kāi)集，所以是連續(xù)的. 2、設(shè)是集合的兩個(gè)拓?fù)?，則不一定是集合的拓?fù)? )答案:理由：因?yàn)椋?）是的拓?fù)?，故T1，T，從而；（）對(duì)任意的T1T，則有T1且T，由于T1, T2是的拓?fù)?，故T1且T2，從而 T1T；（）對(duì)任意的，則，由于T1, T2是的拓?fù)?，從而UTUT1, UTUT2,故UTU T1T；綜上有T1T也是的拓?fù)?、從拓?fù)淇臻g到平庸空間的任何映射都是連續(xù)映射（ ）答案:理由：設(shè)是任一滿足條件的映射，由于是平庸空間，它中的開(kāi)集只有,易知它們?cè)谙碌脑蠓謩e是,均為中的開(kāi)集，從而連續(xù).4、設(shè)為離散拓?fù)淇臻g的任意子集，則 （ ）答案:理由：設(shè)為中的任何一點(diǎn)，因?yàn)殡x散空間中每個(gè)子集都是開(kāi)集，所以是的開(kāi)子集，且有，即,從而 .5、設(shè)為平庸空間（多于一點(diǎn)）的一個(gè)單點(diǎn)集，則 （ ）答案：理由：設(shè),則對(duì)于任意,有唯一的一個(gè)鄰域，且有,從而，因此是的一個(gè)凝聚點(diǎn)，但對(duì)于的唯一的鄰域，有,所以有.6、設(shè)為平庸空間的任何一個(gè)多于兩點(diǎn)的子集，則 （ ）答案：理由：對(duì)于任意因?yàn)榘嘤谝稽c(diǎn)，從而對(duì)于的唯一的鄰域，且有，因此是的一個(gè)凝聚點(diǎn)，即，所以有.7、設(shè)是一個(gè)不連通空間，則中存在兩個(gè)非空的閉子集,使得（ ）答案：理由：設(shè)是一個(gè)不連通空間，設(shè)是的兩個(gè)非空的隔離子集使得,顯然，并且這時(shí)有:從而是的一個(gè)閉子集，同理可證是的一個(gè)閉子集，這就證明了滿足.8、若拓?fù)淇臻g中存在一個(gè)既開(kāi)又閉的非空真子集，則是一個(gè)不連通空間( )理由：這是因?yàn)槿粼O(shè)是中的一個(gè)既開(kāi)又閉的非空真子集，令，則都是中的非空閉子集，它們滿足，易見(jiàn)是隔離子集，所以拓?fù)淇臻g是一個(gè)不連通空.五簡(jiǎn)答題（每題4分）1、設(shè)是一個(gè)拓?fù)淇臻g，是的子集，且.試說(shuō)明.答案：對(duì)于任意,設(shè)是的任何一個(gè)鄰域，則有,由于，從而，因此，故.2、設(shè)都是拓?fù)淇臻g., 都是連續(xù)映射，試說(shuō)明也是連續(xù)映射.答案：設(shè)是的任意一個(gè)開(kāi)集，由于是一個(gè)連續(xù)映射，從而是的一個(gè)開(kāi)集，由是連續(xù)映射，故是的一開(kāi)集，因此 是的開(kāi)集，所以是連續(xù)映射.3、設(shè)是一個(gè)拓?fù)淇臻g，.試說(shuō)明：若是一個(gè)閉集，則的補(bǔ)集是一個(gè)開(kāi)集.答案：對(duì)于,則，由于是一個(gè)閉集，從而有一個(gè)鄰域使得,因此，即,所以對(duì)任何,是的一個(gè)鄰域，這說(shuō)明是一個(gè)開(kāi)集.4、設(shè)是一個(gè)拓?fù)淇臻g，.試說(shuō)明：若的補(bǔ)集是一個(gè)開(kāi)集，則是一個(gè)閉集.答案：設(shè),則,由于是一個(gè)開(kāi)集，所以是的一個(gè)鄰域，且滿足,因此,從而,即有，這說(shuō)明是一個(gè)閉集.5、在實(shí)數(shù)空間R中給定如下等價(jià)關(guān)系：或者或者設(shè)在這個(gè)等價(jià)關(guān)系下得到的商集,試寫(xiě)出的商拓?fù)銽.答案：6、在實(shí)數(shù)空間R中給定如下等價(jià)關(guān)系:或者或者設(shè)在這個(gè)等價(jià)關(guān)系下得到的商集,試寫(xiě)出的商拓?fù)銽 .答案：7、在實(shí)數(shù)空間R中給定如下等價(jià)關(guān)系：或者或者設(shè)在這個(gè)等價(jià)關(guān)系下得到的商集,試寫(xiě)出的商拓?fù)銽.答案：8、在實(shí)數(shù)空間R中給定如下等價(jià)關(guān)系：或者或者設(shè)在這個(gè)等價(jià)關(guān)系下得到的商集,試寫(xiě)出的商拓?fù)銽.答案：9、在實(shí)數(shù)空間R中給定如下等價(jià)關(guān)系:或者或者設(shè)在這個(gè)等價(jià)關(guān)系下得到的商集,試寫(xiě)出的商拓?fù)銽 .答案：10、在實(shí)數(shù)空間R中給定如下等價(jià)關(guān)系:或者或者設(shè)在這個(gè)等價(jià)關(guān)系下得到的商集,試寫(xiě)出的商拓?fù)銽 .答案：11、在實(shí)數(shù)空間R中給定如下等價(jià)關(guān)系:或者或者設(shè)在這個(gè)等價(jià)關(guān)系下得到的商集,試寫(xiě)出的商拓?fù)銽 .答案：六、證明題（每題8分）1、設(shè)是從連通空間到拓?fù)淇臻g的一個(gè)連續(xù)映射.則是的一個(gè)連通子集.證明：如果是的一個(gè)不連通子集，則存在的非空隔離子集使得 3分于是是的非空子集，并且：所以是的非空隔離子集 此外，這說(shuō)明不連通，矛盾.從而是的一個(gè)連通子集. 8分2、設(shè)是拓?fù)淇臻g的一個(gè)連通子集, 證明: 如果和是的兩個(gè)無(wú)交的開(kāi)集使得,則或者,或者. 證明：因?yàn)槭堑拈_(kāi)集，從而是子空間的開(kāi)集.又因中，故 4分由于是的連通子集,則中必有一個(gè)是空集. 若,則;若,則 8分3、設(shè)是拓?fù)淇臻g的一個(gè)連通子集, 證明: 如果和是的兩個(gè)無(wú)交的閉集使得,則或者,或者. 證明：因?yàn)槭堑拈]集，從而是子空間的閉集.又因中，故 4分由于是的連通子集,則中必有一個(gè)是空集. 若,則;若,則 8分4、設(shè)是拓?fù)淇臻g的一個(gè)連通子集，滿足，則也是的一個(gè)連通子集.證明：若是的一個(gè)不連通子集，則在中有非空的隔離子集 使得.因此 3分由于是連通的，所以或者,如果，由于，所以，因此 ,同理可證如果，則,均與假設(shè)矛盾.故也 是的一個(gè)連通子集. 8分5、