第03講-等腰三角形和等邊三角形

讓我們?yōu)槿Υ蛟旄拭C名校甘肅省華亭縣皇甫學(xué)校而共同努力吧！第3講 等腰三角形和等邊三角形幾何學(xué)是在不準(zhǔn)確的圖形上進(jìn)行正確推理的藝術(shù)。 波利亞知識(shí)方法掃描有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形，等腰三角形是一種軸對(duì)稱(chēng)圖形，它的底角相等，它的底邊上的高和中線，頂角的平分線重合。三邊相等的三角形叫等邊三角形，等邊三角形三個(gè)內(nèi)角都是60。在出現(xiàn)等腰三角形的題目中，常用的輔助線作出等腰三角形底邊上的高（對(duì)稱(chēng)軸）。這樣可以得到一對(duì)全等的直角三角形。根據(jù)題目的條件與結(jié)論，選取合適的對(duì)稱(chēng)軸往往是解題的突破口。此外，在有一個(gè)角是60的情況下，構(gòu)造等邊三角形也是常用的方法。經(jīng)典例題解析例1（2003年重慶市初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽決賽試題）在等邊三角形ABC所在平面內(nèi)確定一點(diǎn)P,使、都是等腰三角形。則滿足條件的點(diǎn)P共有（）（A）1個(gè) （B）4個(gè) （C）7個(gè) （D）10個(gè)解 除了等邊三角形ABC的中心外，我們考察BC垂直平分線上的點(diǎn)：P1是A點(diǎn)上方的點(diǎn)，A P1等于等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)；P1是BC下方的點(diǎn)，A P2等于等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)；P3也是BC下方的點(diǎn)，三角形P3BC是等邊三角形。在AB，AC的垂直平分線上也各有3個(gè)點(diǎn)，一共是3+3+3+1=10個(gè)點(diǎn)。選D。例2（2003年全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）如圖，AA，BB分別是EAB，DBC的平分線，若AABBAB，則BAC的度數(shù)為_(kāi)。解 設(shè)BAC的度數(shù)為x。因ABBB，所以BBD2x，CBD4x。又ABAA，故AABABACBD4x。因AAB（180x），所以（180x）4x4x180。解之得 x12。評(píng)注 本題的結(jié)果告訴我們：兩條外角平分線相等的三角形不一定是等腰三角形。例3（2002年河南省初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題）如圖，D為等邊三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)，BF=AB，DBF=DBC，求BFD的度數(shù)。解 因ABC是等邊三角形，故AC=BC=AB，ACB=60。連結(jié)CD。在ACD和BCD中，AC=BC，DA=DB，CD=CD，于是ACDBCD，ACD=BCD=ACB=30，BF=BC。所以BF=BC。 在BFD和BCD中，BF=BC，DBF=DBC，BD=BD，于是BFDBCD，故BFD=BCD=30。例4（1999年重慶市初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題）如圖，等腰直角ABC中，BAC=90, AD=AE，AFBE交BC于F，過(guò)F作FGCD交BE延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，求證：BG=AF+FG證明 過(guò)C作AB的平行線交AF的延長(zhǎng)線于P.在ABE和APC中，因AFBE，故ABE=CAP。又因CPAC,AB=AC，故ABEAPC. 則有BE=AP. 在ABE和ACD中，因AB=AC，AE=AD，BAC=CAB，所以，ABEACD，有ABE =ACD因AEB和CMF分別是ABE和ACD的余角，所以AEB=CMF，則CMF=P。因ACB=45，故FCP=90-45=45，有MCF=FCP。又FC=FC，所以MCFPCF，則MF=PF。 又因AEB=CMF，知MGE為等腰三角形，所以EG=MG。 由知 BE+EG=AP+MG=AF+FP+MG=AF+FM+MG即 BG=AF+FG。例5（1997年荊州市初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題）如圖所示，ABC是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，BDC為等腰三角形，頂角BDC=120，M,N分別是線段AB,AC上的點(diǎn)，且MDN=60，延長(zhǎng)AC到T，使CT=BM. （1）求證：CTD=BMD;（2）求AMN的周長(zhǎng)。解 (1)BDC是頂角BDC=120的等腰三角形。DBC=DCB=30.又ABC是等邊三角形，ABC=ACB=60.MBD=NCD=TCD=90.又DB=DC,MB=TC,MBDTCD.故CTD=BMD.(2) 由上 MBDTCD得 CDT=BDM,且DT=DM.而 BDC=BDM+MDN+NDC=120,MDN=60,BDM+NDC=60,NDT=CDT+NDC=60=NDM.NDTNDM. MN=NT=NC+CT=NC+MB.故 AMN的周長(zhǎng)=AM+MN+AN =AM+NC+MB+AN =AB+AC=1+1=2.例6（第5屆希望杯數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽試題）如圖，五邊形ABCDE中，AB=AE，BC+DE=CD，BAE=BCD=120，ABC+AED=180，連接AD求證：AD平分CDE證明 延長(zhǎng)DE到F， 使得EF=BC，連結(jié)AF，AC。因ABC+AED=180，而AEF+AED=180，所以ABC=AEF。在ABC與AEF中，AB=AE，ABC=AEF， BC = EF，所以ABCAEF，于是AC=AF。又CD=BC+DE=EF+DE=DF。在ACD與AFD中，AC=AF，CD= DF，AD=AD，所以ACDAFD，于是ADC=ADF，即AD平分CDE評(píng)注 由上面的證法可以看出：題目中的條件BAE=BCD=120是多余的。 例7（第6屆“祖沖之杯”初中數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽試題）在等腰ABC中，AB=AC，A20，頂角在AB上取一點(diǎn)D，使AD=BC，求BDC的度數(shù)解 因AD=BC，A20，故ABC=ACB=80。如圖作EADABC，連結(jié)EC。則EAD=EDA=80，AED20 AE=DE=AB=AC。因EAC=EAD-CAB=60， 故AEC是等邊三角形。AECACE60。DEC=CEA-AED=40，而ED=EA=EC，故EDC=ECD=70。 于是BDC=180 -EDC-ADE=180 -70-80=30。評(píng)注 構(gòu)造等邊三角形來(lái)解題，是一種重要的解題方法。例8等腰三角形ABC中，AB= AC,A=100，BE是ABC的平分線，求證：AE+ BE=BC證法1 由已知條件不難算出：1=2=20，5=60，7=40 延長(zhǎng)BE到G，使BG=BC，連結(jié)CG，不難得到G=80，8=40,6=60。 在BC上截取BF=BA，連結(jié)EF，易證ABEFBE,從而3=5=60，EF=AE在EFC與EGC中，4=180-（5+3）=60=6，CE=CE，7=8，故EFCEGC，EF=EG，從而EG=AEAE+BE=EG+BE=BG=BC. AE+BE=EG+BE=BG=BC.證法2 由已知條件可以算出：1=2=20，5=60,C=40，在BC上截取BG=BE，連結(jié)EG，計(jì)算后可知7 =BEG=80，4=7-C=40，于是4=C，EG=GC 又在BC上截取BF=BA，連結(jié)EF.顯然ABEFBE，從而5=3，于是3=60，又AE=EF. 因6=3+1=60 +20= 80 =7，故EF=EG，從而AE= GC AE+BE=GC+BG=BC.證法3 在BC上截取BG=BE，連結(jié)EG易求得4=40，7=80，從而5=100=A 過(guò)E作EFBC交AB干F，顯然AEF也是等腰三角形，從而AF=AE，于是有FB=EC.又3=1=2，故有 EF=FB.又6=ABC= 40=4，所以AEFGEC，故有AE=GC AE+BE=GC+BG= BC.證法4 延長(zhǎng)BE到G，使EG=EA.不難算出1=2=20，4=60。，從而G=5=300， 再過(guò)A作AMBC，M為垂足，由等腰三角形性質(zhì)知M是BC的中點(diǎn) 連結(jié)GA，過(guò)B作BNGA，垂足為N，GBN=90-G=60，3= GBN-2=60-20=40 =ABC.又AB是公共邊，故有RtABNRtABM，從而B(niǎo)N=BM.但BN=BG, BM=BC，BG=BC,即BE+EG=BC，也就是BE+AE=BC.同步訓(xùn)練一 選擇題1（2002年河南省初二數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題）如圖，在RtABC中，ACB=900，D、E點(diǎn)在AB上，AC=AD，BE=BC，則DCE的大小是 ( )(A) 600 (B)450 (C) 300 (D) 隨A的大小而變化2（1997年安徽省初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題）如圖，在ABC中，ABC= 60，ACB= 45，AD， CF都是高，相交于P，角平分線BE分別交AD，CF于Q，S，則圖中的等腰三角形的個(gè)數(shù)是（ ）(A)2 (B) 3 (C)4 (D)53（2000年北京市初二數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題）已知是等邊三角形的一個(gè)底角，是頂角為30的等腰三角形的一個(gè)底角，是等腰直角三角形的一個(gè)底角，則（A）（B）（C）（D） CDAD，O為AB中點(diǎn)，AOD=COB=60求證：CD+ADBC. 12（1992年“漢江杯”初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題）如圖，ABD=ACD=60 ADB=90-BDC，求證：AB=AC.13(1986年武漢市初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題)P是等邊三角形ABC的BC邊上任一點(diǎn)，連AP，以P為頂點(diǎn)作APQ=60 ，PQ交C的外角平分線于Q，那么APQ是什么三角形？證明你的結(jié)論。14如圖，ABC中，C=90，CAB=