心理統(tǒng)計概率基礎、正態(tài)分布

2010-10-11,心理統(tǒng)計第6章概率分布,1,第六章概率分布,概率的基本概念正態(tài)分布二項分布樣本分布,熟悉常用概率分布的基本特征，掌握正態(tài)分布、二項分布的的應用，熟練使用各類統(tǒng)計用表。,2010-10-11,心理統(tǒng)計第6章概率分布,2,第一節(jié)概率的基本概念,概率概率的基本性質概率的分布類型,2010-10-11,心理統(tǒng)計第6章概率分布,3,概率,后驗概率,先驗概率,2010-10-11,心理統(tǒng)計第6章概率分布,4,一、幾個基本概念1.試驗、事件：在相同條件下，對某事物或現(xiàn)象所進行的觀察或實驗叫試驗，觀察或實驗的結果叫做事件。2、隨機事件（Randomevent）在相同條件下，每一次試驗可能出現(xiàn)也可能不出現(xiàn)的事件，也叫偶然事件。如擲硬幣正、反面都可能出現(xiàn)也可能不出現(xiàn)。用英文大寫字母表示，如A，B，C等。概率論主要研究對象為隨機事件，簡稱“事件”。,2010-10-11,心理統(tǒng)計第6章概率分布,5,3、必然事件（Certainevent）在相同條件下，每次實驗一定出現(xiàn)的事件。如：事件（點數(shù)小于7）在擲骰子中每次必然出現(xiàn)4、不可能事件（Impossibleevent）在相同條件下，每次試驗一定不出現(xiàn)的事件。如：事件（點數(shù)大于7）在擲骰子試驗中為不可能事件。,2010-10-11,心理統(tǒng)計第6章概率分布,6,5、基本事件（Elementaryevent）也稱簡單事件，在一次試驗中只能觀察到一個且僅有一個結果。如擲硬幣時，只能觀察到一個簡單事件“正面”或“反面”。,2010-10-11,心理統(tǒng)計第6章概率分布,7,后驗概率（posteriorprobability）,對隨機事件進行n次觀測，其中某一事件A出現(xiàn)的次數(shù)m與觀測次數(shù)n的比值，當n時，m/n將穩(wěn)定在一個常數(shù)P上，這一常數(shù)稱為概率，記為：,這種概率是由事件A出現(xiàn)的次數(shù)決定，因此稱為后驗概率或統(tǒng)計概率。,2010-10-11,心理統(tǒng)計第6章概率分布,8,例3：投擲硬幣反正面試驗,實驗者投擲次數(shù)出現(xiàn)“正面”次數(shù)頻率Song111.0000Song200.0000Song320.6667Song430.7500Song530.6000Song620.4000Song740.5714Buffon404020480.5069K.Pearson1200060190.5016K.Pearson24000120120.5005,觀測次數(shù)n不固定事件發(fā)生次數(shù)m不固定，發(fā)生后才能計算概率,2010-10-11,心理統(tǒng)計第6章概率分布,9,先驗概率,對某些隨機事件，滿足以下情況：每次觀測的每一種可能結果（也稱為基本事件）是有限的；每一個基本事件出現(xiàn)的可能性相等。如果基本事件的總數(shù)為n,事件A包括m個基本事件，則事件A的概率為：,事件總數(shù)n固定，事先能計算基本事件的概率,2010-10-11,心理統(tǒng)計第6章概率分布,10,舉例：一副撲克牌張數(shù)n=54，花色：4，每張牌被抽到的概率1/54,那么抽到紅桃這一事件A的概率如何計算？我們班同學，隨機抽取到男生、女生的概率各是多少？,2010-10-11,心理統(tǒng)計第6章概率分布,11,二、概率的基本性質,1.概率的公理系統(tǒng)任何隨機事件的概率：0p1；p=1為必然發(fā)生的事件，稱必然事件；p=0為必然不發(fā)生的事件，稱不可能事件。,2010-10-11,心理統(tǒng)計第6章概率分布,12,二、概率的基本性質,2.概率的加法定理:互不相容事件A或B其中之一發(fā)生的概率等于兩個事件的概率之和。各互不相容事件總和的概率1。,“你死我活”的性質,2010-10-11,心理統(tǒng)計第6章概率分布,13,二、概率的基本性質,3.概率的乘法定理：各獨立事件同時出現(xiàn)的概率等于各事件概率之積。,例：3只白鼠接受毒物試驗，已知用藥后其死亡概率為，生存概率為1-，,3只白鼠的結局如何？,2010-10-11,心理統(tǒng)計第6章概率分布,14,0死3生1死2生2死1生3死0生,結局,互不相容事件？,獨立事件事件？,2010-10-11,心理統(tǒng)計第6章概率分布,15,2010-10-11,心理統(tǒng)計第6章概率分布,16,舉例：p159一枚硬幣投擲3次，或3枚硬幣各投一次，或同時擲下3枚硬幣。出現(xiàn)2次正面的概率？出現(xiàn)2次以上正面的概率？,2010-10-11,心理統(tǒng)計第6章概率分布,17,三、概率的分布類型,概率分布：是指對隨機變量取值的概率分布情況用數(shù)學函數(shù)進行描述。,離散分布,連續(xù)分布,按變量類型分：,按函數(shù)的來源分,經(jīng)驗分布：樣本數(shù)據(jù),理論分布：數(shù)學模型,2010-10-11,心理統(tǒng)計第6章概率分布,18,按分布描述的數(shù)據(jù)特征分：,基本隨機變量分布,抽樣分布：樣本統(tǒng)計量的理論分布,2010-10-11,心理統(tǒng)計第6章概率分布,19,第二節(jié)正態(tài)分布,一、正態(tài)分布的特征,2010-10-11,心理統(tǒng)計第6章概率分布,20,某市110名7歲男孩身高,2010-10-11,心理統(tǒng)計第6章概率分布,21,對數(shù)據(jù)作頻率密度圖（直方圖）,2010-10-11,心理統(tǒng)計第6章概率分布,22,2010-10-11,心理統(tǒng)計第6章概率分布,23,1、若連續(xù)型定量變量的頻數(shù)分布在靠近均數(shù)處頻數(shù)多，兩邊頻數(shù)少，且左右對稱，反映在頻數(shù)曲線（頻率直方圖）上呈鐘型，兩頭低中間高，左右對稱，對應于數(shù)學上的正態(tài)分布曲線，則稱該變量服從正態(tài)分布。,（一）正態(tài)分布的概念（normaldistribution）,2010-10-11,心理統(tǒng)計第6章概率分布,24,或：如果變量x的概率密度曲線呈鐘型，兩頭低中間高，左右對稱，近似于數(shù)學上的正態(tài)曲線。則稱該指標x近似服從正態(tài)分布。,2010-10-11,心理統(tǒng)計第6章概率分布,25,（二）正態(tài)分布密度函數(shù)：正態(tài)曲線（normalcurve）是一條高峰位于中央，兩端逐漸下降并完全對稱，曲線兩端永遠不與橫軸相交的鐘型曲線。其密度函數(shù)為：,2010-10-11,心理統(tǒng)計第6章概率分布,26,函數(shù)式中涉及到四個常數(shù)：和e分別為圓周率和自然對數(shù)的底，是確定常數(shù)；和分別是正態(tài)總體的均數(shù)和標準差，是不確定常數(shù)。反映正態(tài)分布的集中趨勢位置，反映正態(tài)總體的離散程度，數(shù)據(jù)越集中，曲線形狀“瘦高”，數(shù)據(jù)分布越離散，曲線越“矮胖”。,2010-10-11,心理統(tǒng)計第6章概率分布,27,（三）正態(tài)分布的特征：（1）關于x=對稱。正態(tài)分布=Md=Mo（2）在x=處取得該概率密度函數(shù)的最大值，y=0.3989，在x=處有拐點，表現(xiàn)為鐘型曲線。（3）曲線下面積=1。正態(tài)曲線下每一橫坐標所對應的面積與總面積（總面積=1）之比，其值等于該部分的面積值。因此，正態(tài)曲線下的面積可視為概率，概率值為每一橫坐標值的隨機變量出現(xiàn)的概率。,2010-10-11,心理統(tǒng)計第6章概率分布,28,（5）決定曲線的形狀，當恒定時，數(shù)據(jù)越集中，曲線形狀“瘦高”，數(shù)據(jù)分布越離散，曲線越“矮胖”。習慣上用N(，2)表示均數(shù)為、標準差為的正態(tài)分布。,（4）決定曲線在橫軸上的位置，曲線沿橫軸右移；曲線沿橫軸向左移。,2010-10-11,心理統(tǒng)計第6章概率分布,29,正態(tài)曲線位置變換,2010-10-11,心理統(tǒng)計第6章概率分布,30,正態(tài)曲線形態(tài)變換,2010-10-11,心理統(tǒng)計第6章概率分布,31,（6）正態(tài)曲線下面積的分布規(guī)律正態(tài)曲線下面積的分布規(guī)律由及所決定。一般正態(tài)分布曲線下面積分布狀況：范圍內曲線下面積等于0.6827，1.64=0.90901.96=0.95002.58=0.9900,2010-10-11,心理統(tǒng)計第6章概率分布,32,正態(tài)曲線下的面積分布示意圖,2010-10-11,心理統(tǒng)計第6章概率分布,33,正態(tài)曲線下面積分布規(guī)律,2010-10-11,心理統(tǒng)計第6章概率分布,34,（7）標準正態(tài)分布對任意一個服從正態(tài)分布N(，2)的隨機變量，可做如下的標準化變換，也稱Z變換，經(jīng)標準化變換后，原正態(tài)分布密度函數(shù)變?yōu)椋?2010-10-11,心理統(tǒng)計第6章概率分布,35,2010-10-11,心理統(tǒng)計第6章概率分布,36,經(jīng)標準化變換后，原變量xz，z服從總體均數(shù)為0，總體標準差為1的正態(tài)分布，即標準正態(tài)分布（standardnormaldistribution）,用N（0，1）表示。,2010-10-11,心理統(tǒng)計第6章概率分布,37,標準正態(tài)分布的作用：標準正態(tài)分布曲線下面積分布有一定的規(guī)律，統(tǒng)計學家編制了標準正態(tài)分布曲線下面積分布表，所有的正態(tài)分布均可經(jīng)標準化變換計算z值查曲線下面積分布表求一定區(qū)間(X1,X2)內的概率（所包含的頻數(shù)）。,2010-10-11,心理統(tǒng)計第6章概率分布,38,二、正態(tài)分布表的編制與使用,正態(tài)分布表的編制與結構正態(tài)分布表的使用次數(shù)分布是否為正態(tài)分布的檢驗方法正態(tài)分布理論在測驗中的應用,2010-10-11,心理統(tǒng)計第6章概率分布,39,（一）正態(tài)分布表的編制與結構,根據(jù)標準正態(tài)分布密度函數(shù)積分，當Z=數(shù)軸上任意值，可計算出曲線下的面積（概率）及密度函數(shù)值（y值）；正態(tài)分布表的2種形式：Z值自-0，表中列出不同Z值下的累計概率；Z值自0（3.99），表中列出Z=0至某一定值之間的累計概率；,2010-10-11,心理統(tǒng)計第6章概率分布,40,（二）正態(tài)分布表的使用,根據(jù)Z值求概率（p），即已知標準分數(shù)求面積：求某Z值Z=0之間的概率；求Z值或Z值的概率求兩個Z值之間的概率,如何查表？,2010-10-11,心理統(tǒng)計第6章概率分布,41,（二）正態(tài)分布表的使用,根據(jù)概率（p）求Z值：自Z=0開始的概率求Z值；已知位于正態(tài)分布兩端的概率（尾部）求概率值分界點的Z值；已知曲線下中央部分的概率（面積），求Z值,直接查表,0.5-p,再查表,p/2，再查表,2010-10-11,心理統(tǒng)計第6章概率分布,42,（三）次數(shù)分布是否為正態(tài)的檢驗方法,Pearson偏態(tài)量數(shù)法峰度、偏度檢驗法累加次數(shù)曲線法,2010-10-11,心理統(tǒng)計第6章概率分布,43,四、正態(tài)分布理論在測驗中的應用,將等級評定數(shù)據(jù)確定測驗題目的難易度能力分組或等級評定時確定人數(shù)測驗分數(shù)正態(tài)化,轉化,2010-10-11,心理統(tǒng)計第6章概率分布,44,例6-2,2010-10-11,心理統(tǒng)計第6章概率分布,45,（一）將等級評定轉化為數(shù)據(jù),將各等級人數(shù)求比率（頻率）；求各等級比率的中間值作為各等級的組中值；求各等級組中值以上（以下）的累計頻率；求Z值，以累計頻率查正態(tài)分布表即得；計算被評者的Z值的算術均數(shù)。,2010-10-11,心理統(tǒng)計第6章概率分布,46,例6-2,2010-10-11,心理統(tǒng)計第6章概率分布,47,2010-10-11,心理統(tǒng)計第6章概率分布,48,具體轉化步驟,將教師甲、乙、丙對100名學生的評定結果轉化為比率p（頻率）列表：p累計各等級比率12以下的頻率Z值計算1、2、3號同學的Z值的算術均數(shù)。,2010-10-11,心理統(tǒng)計第6章概率分布,49,（二）確定測驗題目的難易度,具體步驟：計算各題的通過率；通過率轉化為P值，P=0.5-通過率；根據(jù)P值絕對值查表得Z值，并以P值的正、負確定Z值的正、負；假設X5s包括了全部個體，各題目的難度值：Z+5,2010-10-11,心理統(tǒng)計第6章概率分布,50,例