專接本數(shù)學(xué)常用公式及考點(diǎn)

第一部分 初等數(shù)學(xué)預(yù)備知識一、初等代數(shù)1. 一元二次方程（）， 根的判別式當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)相異實(shí)根；當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)相等實(shí)根；當(dāng)時(shí)，方程有共軛復(fù)根。 求根公式為 . 韋達(dá)定理 ；.2. 對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)（，） 若，則； ，； ； ； ； ， .3. 指數(shù)運(yùn)算性質(zhì)， ； ； ； ； .4.常用不等式及其運(yùn)算性質(zhì)若，則， ；（）， （）；（）， （）；（，），（，）；（為正整數(shù)，）.絕對值不等式 設(shè)，為任意實(shí)數(shù)，則；（）等價(jià)于，特別；（）等價(jià)于或；某些重要不等式設(shè)，為任意實(shí)數(shù)，則；設(shè)，均為正數(shù)，為正整數(shù)，則.5.常用二項(xiàng)式展開及因式分解公式 ； ； ； ； ； ； ； ；5. 牛頓二項(xiàng)式展開公式（為正整數(shù)）.其中組合系數(shù)，.6. 常用數(shù)列公式等差數(shù)列：，.首項(xiàng)為，第項(xiàng)為，公差為，前項(xiàng)的和為 .等比數(shù)列：，.首項(xiàng)為，公比為，前項(xiàng)的和為.7. 一些常見數(shù)列的前項(xiàng)和；.8. 階乘.2、 平面三角1.基本關(guān)系 ； ； ； ； ； ；.2.倍角公式 ；.3.半角公式；.4.和角公式；.5.和差化積公式；.6.積化和差公式；.7.特殊三角函數(shù)值 角函數(shù)0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 三、初等幾何下面初等幾何公式中，字母表示圓半徑，表示高，表示斜高，表示角度。1.三角形面積（為底邊長） 2.梯形面積（，為梯形兩底邊長）3.圓周長；圓面積4.圓扇形周長；圓扇形面積5.正圓柱體體積；正圓柱體側(cè)面積6.正圓錐體體積；正圓錐體側(cè)面積7.球體體積；球體表面積四、平面解析幾何1.基本公式給定點(diǎn)，則與間的距離設(shè)有兩直線，其斜率分別為，則兩直線平行的充要條件為兩直線垂直的充要條件為12.平面直線的各種方程點(diǎn)斜式：直線過點(diǎn)，其斜率為，則直線方程為 斜截式：直線斜率為，在軸上截距為，則直線方程為 兩點(diǎn)式：直線過點(diǎn)與，則直線方程為 截距式：設(shè)直線在軸與軸上的截距分別為，則直線方程為 3.曲線方程圓周方程：圓心在點(diǎn)，半徑為的圓周方程為 拋物線方程：頂點(diǎn)在圓點(diǎn)，焦點(diǎn)在的方程為 頂點(diǎn)在圓點(diǎn)，焦點(diǎn)在的方程為 頂點(diǎn)在，對稱軸為的方程為 頂點(diǎn)在，對稱軸為的方程為 橢圓方程：中心在原點(diǎn)，為長半軸，為短半軸，焦點(diǎn)在軸上的橢圓方程為 雙曲線方程：中心在原點(diǎn)，為實(shí)半軸，為虛半軸，焦點(diǎn)在軸上的雙曲線方程為 等邊雙曲線方程：中心在原點(diǎn)，以坐標(biāo)軸為漸近線的雙曲線方程為 （為常數(shù)）第二部分 專接本數(shù)學(xué)知識考點(diǎn)大全一、基本初等函數(shù)1、常函數(shù) ，其定義域（）2、冪函數(shù) （為常數(shù)），性質(zhì)隨改變，在總 有定義且時(shí)，函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)增加；當(dāng)時(shí)， 在單調(diào)減少。圖像必過點(diǎn)（1,1）， 舉例如圖13、 指數(shù)函數(shù) ，定義域，值域 。當(dāng)時(shí)，單調(diào)增加，當(dāng)時(shí)，單調(diào)減少， 常用函數(shù)4、 對數(shù)函數(shù) ，是指數(shù)函數(shù)的反函數(shù)， 定義域，值域，當(dāng)時(shí)，單調(diào)增加， 當(dāng)時(shí)，單調(diào)減少5、 三角函數(shù)有六個(gè)：6、 反三角函數(shù) 有四個(gè)：二、函數(shù)極限1、 極限收斂及其性質(zhì)：或 性質(zhì)有：唯一性、有界性、奇偶子列均收斂、保序性2、 數(shù)列四則運(yùn)算法則：，則（1） （2）當(dāng)及時(shí)，數(shù)列的極限也存在， 且有3、函數(shù)極限兩邊夾定理：如果函數(shù)滿足： （在的某空心鄰域內(nèi)成立即可）； （2），則4、 重要極限 （1） （2） 5、無窮大（?。┝?當(dāng)。 則：（1）時(shí)，稱 或是的低階無窮小。記（） （2）時(shí)，稱， 當(dāng)時(shí)，稱兩者為等價(jià)無窮小。 記： （）6、連續(xù)：，連續(xù)必須左右極限均存在, 為一個(gè)間斷點(diǎn)間斷點(diǎn)的分類： 第一類：左右極限均存在，又分為：（1） 可去間斷點(diǎn)：，即存在，但或沒意義；（2） 跳躍間斷點(diǎn)第二類間斷點(diǎn)：不屬于第一類間斷點(diǎn)的都是第二類。 或 稱為無窮型間斷點(diǎn)。7、 零點(diǎn)定理：若函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，且與 異號，則至少存在一點(diǎn)，使得 三、導(dǎo)數(shù)1、定義; 存在都存在且相等 幾個(gè)求導(dǎo)公式： ， ， ， 2、中值定理 、羅爾定理：若函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，在開區(qū)間可導(dǎo)，且在區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值相等，即，則至少存在一點(diǎn)，使、拉格朗日中值定理：若函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)， 在開區(qū)間可導(dǎo)，則至少存在一點(diǎn)， 使（該式又稱拉格朗日中值公式）3、 洛必達(dá)法則對于未定型函數(shù)極值， 4、函數(shù)極值問題 、費(fèi)馬定理：設(shè)函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)，且在處取得極值則，導(dǎo)數(shù)值為0點(diǎn)即駐點(diǎn)。（注可導(dǎo)函數(shù)極值點(diǎn)必是駐點(diǎn)，反之不一定成立） 、兩個(gè)充分條件; 第一條件：兩端導(dǎo)數(shù)異號，左增右減為 極大值點(diǎn)，反之，極小值點(diǎn)； 第二條件：函數(shù)在處二階可導(dǎo)，且，則當(dāng)時(shí)，在處取得極小值；當(dāng)時(shí)，在處取得極大值。（時(shí)條件失效）（3） 應(yīng)用題中極值題解題步驟： 設(shè)變量函數(shù)表達(dá)式化簡值域開區(qū)間 求導(dǎo)找駐點(diǎn)求最值 5、函數(shù)凹凸性及拐點(diǎn) （1）、凹凸性判定：內(nèi)0，函數(shù)圖形凹； 反之0為凸函數(shù)。 （2）、拐點(diǎn)判定： 求 ； ，求根即 不存在的點(diǎn)； 同號時(shí)不是。 （3）、漸近線 若，則直線 是曲線的水平漸近線； ，則直線是的一條垂直漸近線 。 數(shù)掌握（4）應(yīng)用公式：總成本：； 邊際成本； 總收益：； 邊際收益:； 總利潤：； 邊際利潤 四、積分 1、不定積分 一、常用公式 ； ； ； ； ；（9） ；（10） ；（11） ；（12） (12)（13） （13）；（14） ；（15） ；（16） ；（17）（18）（19）（20）（21） (22)； ；(24)； (25)二、換元方法 （1）湊微分 換元法：I上連續(xù)，在I對應(yīng)的內(nèi)有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且，則有換元公式，其中是的反函數(shù)。 三、分部積分法：或2、 定積分 注意：僅與被積函數(shù)法則和積分區(qū)間有關(guān)； ； 定積分中值定理： 一、性質(zhì)：線性、可加性、保號性、保序性、 ， 中值定理： 二、原函數(shù)存在定理： 注意：（1）換元與分部積分同定積分；（2） 為偶函數(shù)則； 為奇函數(shù)則）3、廣義積分 討論廣義積分的斂散性（） （分2種情況討論P(yáng)=1和， 結(jié)論：時(shí)積分發(fā)散； 時(shí)收斂）4、旋轉(zhuǎn)體積： （數(shù)一）四、向量（既有大小又有方向）1、 線性運(yùn)算 1.1 加法： 交換律、結(jié)合律； 乘法： 結(jié)合律、分配律 數(shù)乘 ，則單位向量 1.2空間向量 兩點(diǎn)間距離公式1.3 向量積 內(nèi)積 滿足交換律 、結(jié)合律、分配律內(nèi)極坐標(biāo)式 ，則矢量積（外積）：令，則； c與a，b都垂直；a，b，c符合右手定則5、 平面方程 （1）法向量是垂直于平面的非零向量 點(diǎn)法式方程 截距式方程 （2） 平面關(guān)系：相交、平行、重合 平面 ； 平面 ， 點(diǎn)到平面距離 6、空間直線方程 （點(diǎn)，方向向量） 直線標(biāo)準(zhǔn)式 （對稱式、點(diǎn)向式） （則直線垂直于x軸） 參數(shù)方程 令， 則 直線一般（交面式）方程 右手定則應(yīng)用 ，則 線面夾角 L與它在平面上投影直線間的夾角， 為L與法向量間夾角， ，7、曲面方程 橢球面 ： （a=b時(shí)旋轉(zhuǎn)橢球面）拋物面 ，用截得截痕為雙曲拋物面或馬鞍面 錐面方程：5、 多元微分1、偏導(dǎo)：在某一點(diǎn)處極限值 即為在該點(diǎn)處對x的偏導(dǎo)數(shù)。 混合偏導(dǎo)定理：連續(xù)函數(shù) 2、 全微分 （即線性主部） 可微充分條件： 在點(diǎn)處可微； 必要條件：可微在該點(diǎn)偏導(dǎo)存在，且，從而在該點(diǎn)全微分； 充要：的偏導(dǎo)在在該點(diǎn)連續(xù)。 3、 復(fù)合求導(dǎo)：鏈?zhǔn)椒▌t：復(fù)合函數(shù) ，u,v偏導(dǎo)存在,f在點(diǎn) (u,v)可微，則在該店偏導(dǎo)數(shù)存在，且4、 隱函數(shù)求導(dǎo)： （條件F(x,y,z)具有連續(xù)偏導(dǎo)，）5、 多元極值：1、 存在的必要條件：偏導(dǎo)存在，且在處有極值， 則該點(diǎn)偏導(dǎo)必為零即極值存在充分條件：二階偏導(dǎo)連續(xù)，一階導(dǎo)為零，令，（1），是極值點(diǎn)，是極大值點(diǎn)，是極小值點(diǎn)；（2），不是極值點(diǎn)；（3）時(shí)不能判斷。 2、條件極值 ：拉格朗日乘數(shù)法（自變量間存在約束關(guān)系時(shí)） 求在條件下極值步驟： 構(gòu)造L函數(shù)：（為參數(shù)，稱拉格朗日常數(shù)）寫方程組：解得駐點(diǎn)6、 二重積分（體積）1、 性質(zhì)：線性、積分區(qū)域可加性、保號性、保序性、 2、 x型區(qū)域上二重積分“先y后x”的二次積分 Y型“先x后y” 3、 極坐標(biāo)計(jì)算 先r后 :先后：4曲線積分計(jì)算公式： 5、 格林公式：閉區(qū)域由光滑或分段光滑的簡單閉曲線L（正向）圍成，在D上一階偏導(dǎo)則： 6、積分曲線與路徑無關(guān)：等價(jià)命題：二元函數(shù)在G一階連續(xù)偏導(dǎo)： 光滑閉曲線L， 曲線積分與路徑無關(guān)7、 級數(shù)1、 通項(xiàng)：（）的部分和數(shù)列，S有限，若， 則稱式收斂，S為的和，若極限不存在則發(fā)散2、 等比級數(shù)： 3、 性質(zhì)： 線性、級數(shù)加減有限項(xiàng)不改變斂散性、收斂級數(shù)加括號仍收斂 收斂必要條件：通向極限為零即 （注：但該級數(shù)發(fā)散）4、 正項(xiàng)級數(shù)收斂的充要條件是部分和數(shù)列有界5、 判定方法：（1）比值審斂法： 兩正項(xiàng)級數(shù)，且， 則當(dāng)級數(shù)收斂時(shí)，級數(shù)也收斂； 發(fā)散時(shí)，也發(fā)散。 極限形式：若 內(nèi)則兩級數(shù)同時(shí)收斂或發(fā)散（2） 比值審斂法（達(dá)朗貝爾） 正項(xiàng)級數(shù)且， 則當(dāng)時(shí)收斂；時(shí)發(fā)散5、交錯(cuò)級數(shù)：， 萊布尼茨定理：交錯(cuò)級數(shù)滿足 （1）； （2），則級數(shù)收斂，且其和， 余項(xiàng)絕對值 絕對收斂： 若級數(shù)的絕對值級數(shù)收斂， 則絕對收斂， 若發(fā)散，而收斂，則是條件收斂。6、 冪級數(shù)：，取，則得x的冪級數(shù) （）（1）阿貝爾定理：對于式（1）當(dāng)它在點(diǎn)（）處，則它在滿足的任何點(diǎn)x處都絕對收斂；（2）當(dāng)它在點(diǎn)處發(fā)散則對的任何點(diǎn)x處也發(fā)散。（2）收斂半徑判定：設(shè)，則當(dāng)時(shí)， ； 當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，R=0（3）計(jì)算 ：和函數(shù)逐項(xiàng)求導(dǎo)s(x)=； 逐項(xiàng)求積分：（4） 泰勒展開： ； 8、 微分方程1、 通 解：若為某個(gè)n階常微分方程的解，且含有n個(gè)相互獨(dú)立的任意常數(shù)則稱這個(gè)解為方程的通解。（注：同解未必是全部解） 特 解：確定了解中任意常數(shù)，或滿足一定的條件。 隱式解： 定解問題：微分方程連同初始條件或邊界問題共同構(gòu)成確定微分方程解的問題2、 一階微分方程（1） 變量可分離方程： （連續(xù)函數(shù)） 分離變量 （2） 一階線性微分方程 (奇次形式 )齊次通解 *（C為任意常數(shù)）非齊次通解 （3） 二階線性微分方程 （齊次） 齊次兩線性無關(guān)解的組合是齊次的通解； 非齊次的特解與齊次的通解的非齊次的通解： 二階常系數(shù)齊次線性微分方程 對應(yīng)的特征方程 特征根 方程的解為相異實(shí)根 二重實(shí)根 二階常系數(shù)非齊次線性微分方程 求解方法：已知齊次相應(yīng)解，再求一個(gè)特解，利用待定系數(shù)法，求特解過程如下： 方程 ， 其中， 方程，其中九、行列式 （數(shù)表，正負(fù)各半）1、 概念： 1.1主對角線 ：左上角到右下角的連線；次對角線：右上角到左下角的連線 1.2余子式：行列式中劃去元素所在的那一行和列所稱的子式，記為，而稱為的代數(shù)余子式2、 性質(zhì)： 行列式與其轉(zhuǎn)置相等； 互換行列式兩行（列），行列式變號 行列式兩行（列）相的值為0； 用一個(gè)數(shù)乘以行列式每一行（列）=用該數(shù)乘以行列式每一行（列）中所有元素； 行列式兩行（列）對應(yīng)成比例，行列式值為0； 行列式某一行（列）中各元素乘以同一數(shù)，然后加到令一行（列）對應(yīng)元素上去，行列式值不變。3、 克萊姆法則：為系數(shù)行列式 若非其次線性方程的系數(shù)行列式D，則方程有唯一解：。 其中是把系數(shù)行列式D中第j列元素依次用方程右邊常數(shù)代替后得到的階行列式。 即法則含義：，非齊次方程有唯一解；齊次只有零解；逆否命題：非齊次有非零解則D=0十、矩陣1、 單位陣： 對角矩陣： 反對稱矩陣：主對角線元素兩側(cè)對稱位置上元素絕對值相等， 正負(fù)號相反2、 運(yùn)算：加法：兩矩陣均為階，對應(yīng)位置相加減； 數(shù)與矩陣相乘： ， 且滿足 兩矩陣相乘：是陣，是陣，則乘積是矩陣，其中， 可交換矩陣：滿足；注意:不能推出： 方陣的冪：， 矩陣轉(zhuǎn)置： 方陣行列式：由方陣中元素按原來的位置所構(gòu)成的行列式， 記為 性質(zhì)：（大題）3、逆矩陣：稱矩陣A可逆，B為A的逆矩陣伴隨矩陣： ； 方陣A可逆充要條件： A的行列式，若A可逆則性質(zhì)：（）， ，3、 矩陣初等行變換：三種形式： 、對換變換：互換兩行 、倍數(shù)變換：用非零數(shù)乘以某一行； 、倍加變換：數(shù)K乘以某行元素后加到另一行對應(yīng)元素上去 等價(jià)矩陣：A經(jīng)初等變換成B，則稱等價(jià)； 具有反身性、對稱性、傳遞性 行最簡形：非零行的首非零元素是1； 首非零元素所在列其余元素都為零 標(biāo)準(zhǔn)形：主對角元素1，1的個(gè)數(shù)小于等于列數(shù)其余0 兩矩陣等價(jià)充要條件：具有相同標(biāo)準(zhǔn)形4、 求逆矩陣:(單位陣經(jīng)一次初等變換得到的矩陣）坐乘行變換，右成 列變換 5、 矩陣秩：矩陣A中存在一個(gè) r階子式不為零，而高于 r的子式全為零則稱 r為矩陣A的秩，記做R(A)=r，當(dāng)A=0時(shí)，R(A)=0. 若r=n，則稱A為滿秩矩陣，否則稱為降秩；滿秩充要條件；A可逆充分條件A秩； 初等行變換不改變矩陣秩十一、向量組1、n維向量； 標(biāo)準(zhǔn)向量 ； 負(fù)向量 向量空間：V為n維向量的非空集合，V對線性運(yùn)算封閉， 封閉指對 2、 線性相關(guān)： 若線性組合為m+1個(gè)向量，存在一組數(shù)，使，則稱是的線性組合 2.1、定義：設(shè)是向量空間V的一向量組，不全為零，使，則稱線性相關(guān)（或相關(guān)集組）；否則為線性無關(guān) 2.2、判別：向量組相關(guān)充要條件是其中至少一個(gè)向量是其余的線性組合；線性無關(guān)，而線性無關(guān)，則可由表示且表示唯一；和均為V的向量組，B可由A線性表示，則；相關(guān)向量組加上有限個(gè)同維向量，新組合仍相關(guān)；線性無關(guān)的組合加分量后仍無關(guān)3、 向量極大無關(guān)組和秩： 若存在同維向量的一個(gè)子集滿足：線性無關(guān)；均可由線性表示，則為的最大（或極大）無關(guān)組，而r為的秩。注：只含0向量的的向量組秩為0；一般情況極大組不唯一性質(zhì):無關(guān)充要條件：向量個(gè)數(shù)等于秩； 向量組和它的最大無關(guān)組等價(jià)； 等價(jià)的向量組有相同的秩； 矩陣行秩=矩陣列秩=矩陣的秩十二、方程組，則齊次方程組可表示為（*）或向量