數(shù)學(xué)建模32種常規(guī)方法25 存貯論

-317- 第二十五章第二十五章 存貯論存貯論 存貯論（或稱為庫存論）是定量方法和技術(shù)最早的領(lǐng)域之一，是研究存貯系統(tǒng)的 性質(zhì)、運(yùn)行規(guī)律以及如何尋找最優(yōu)存貯策略的一門學(xué)科，是運(yùn)籌學(xué)的重要分支。存貯論 的數(shù)學(xué)模型一般分成兩類：一類是確定性模型，它不包含任何隨機(jī)因素，另一類是帶有 隨機(jī)因素的隨機(jī)存貯模型。 1 存貯模型中的基本概念 所謂存貯實(shí)質(zhì)上是將供應(yīng)與需求兩個環(huán)節(jié)以存貯中心聯(lián)結(jié)起來，起到協(xié)調(diào)與緩和 供需之間矛盾的作用。存貯模型的基本形式如圖 1 所示。 圖 1 存貯問題基本模型 1存貯問題的基本要素 （1）需求率：單位時(shí)間內(nèi)對某種物品的需求量，用D表示。 （2）訂貨批量：一次訂貨中，包含某種貨物的數(shù)量，用Q表示。 （3）訂貨間隔期：兩次訂貨之間的時(shí)間間隔，用T表示。 2存貯模型的基本費(fèi)用 （1）訂貨費(fèi)：每組織一次生產(chǎn)、訂貨或采購的費(fèi)用，通常認(rèn)為與定購數(shù)量無關(guān)， 記為 D C。 （2） 存貯費(fèi)： 所有用于存貯的全部費(fèi)用， 通常與存貯物品的多少和時(shí)間長短有關(guān)。 單位存貯費(fèi)記為 P C。 （3）短缺損失費(fèi)：由于物品短缺所產(chǎn)生的一切損失費(fèi)用，通常與損失物品的多少 和短缺時(shí)間的長短有關(guān)，記為 S C。 3存貯策略 所謂一個存貯策略， 是指決定什么情況下對存貯進(jìn)行補(bǔ)充， 以及補(bǔ)充數(shù)量的多少。 下面是一些比較常見的存貯策略。 （1）t循環(huán)策略：不論實(shí)際的存貯狀態(tài)如何，總是每隔一個固定的時(shí)間t，補(bǔ)充 一個固定的存貯量Q。 （2）),( St策略：每隔一個固定的時(shí)間t補(bǔ)充一次，補(bǔ)充數(shù)量以補(bǔ)足一個固定的 最大存貯量S為準(zhǔn)。因此，每次補(bǔ)充的數(shù)量是不固定的，要視實(shí)際存貯量而定。當(dāng)存 -318- 貯（余額）為I時(shí)，補(bǔ)充數(shù)量為ISQ=。 （3）),(Ss策略： 當(dāng)存貯 （余額） 為I， 若sI ， 則不對存貯進(jìn)行補(bǔ)充； 若sI ， 則對存貯進(jìn)行補(bǔ)充， 補(bǔ)充數(shù)量ISQ=。 補(bǔ)充后達(dá)到最大存貯量S。s稱為訂貨點(diǎn) （或 保險(xiǎn)存貯量、安全存貯量、警戒點(diǎn)等） 。在很多情況下，實(shí)際存貯量需要通過盤點(diǎn)才能 得知。若每隔一個固定的時(shí)間t盤點(diǎn)一次，得知當(dāng)時(shí)存貯I，然后根據(jù)I是否超過訂貨 點(diǎn)s，決定是否訂貨、訂貨多少，這樣的策略稱為),(Sst策略。 2 無約束的確定型存貯模型 我們首先考察經(jīng)濟(jì)訂購批量存貯模型。 所謂經(jīng)濟(jì)訂購批量存貯模型（economic ordering quantity, EOQ）是指不允許缺貨、 貨物生產(chǎn)（或補(bǔ)充）的時(shí)間很短（通常近似為 0）的模型。 2.1 模型一：不允許缺貨，補(bǔ)充時(shí)間極短基本的經(jīng)濟(jì)訂購批量存貯模型 基本的經(jīng)濟(jì)訂購批量存貯模型有以下假設(shè)： （1）短缺費(fèi)為無窮，即= S C； （2）當(dāng)存貯降到零后，可以立即得到補(bǔ)充； （3）需求是連續(xù)的、均勻的，即需求速度（單位時(shí)間的需求量）D為常數(shù)； （4）每次的訂貨量不變，訂購費(fèi)不變； （5）單位存貯費(fèi)為 p C。 由上述假設(shè)，存貯量的變化情況如圖 2 所示。 圖 2 EOQ 模型的存貯量曲線 在每一個周期（T）內(nèi)，最大的存貯量為Q，最小的存貯量為 0，且需求是連續(xù)均 勻的，因此在一個周期內(nèi)，其平均存貯量為Q 2 1 ，存貯費(fèi)用為QCP 2 1 。 -319- 一次訂貨費(fèi)為 D C，那么在一個周期（T）內(nèi)的平均訂貨非為TCD/。由于在最初 時(shí)刻，訂貨量為Q，在T時(shí)刻，存貯量為 0，而且單位時(shí)間的需求量為D且連續(xù)均勻 變化，因此，得到訂貨量Q、需求量D和訂貨周期T之間的關(guān)系 D Q T=。 由此計(jì)算出一個單位時(shí)間內(nèi)的平均總費(fèi)用 Q DC QCC D P += 2 1 （1） 對式（1）求導(dǎo)數(shù)，并令其為 0，即 0 2 1 2 = Q DC C dQ dC D P （2） 得到費(fèi)用最小的訂貨量 P D C DC Q 2 * = （3） 最佳訂貨周期 DC C D Q T P D 2 * * = （4） 最小費(fèi)用 DCC Q DC QCC PD D P 2 2 1 * =+= （5） 公式（3）稱為經(jīng)濟(jì)訂購批量（economic ordering quantity，簡寫 EOQ）公式，也稱 為經(jīng)濟(jì)批量（economic lot size）公式。 例 1 某商品單位成本為 5 元，每天保管費(fèi)為成本的 0.1%，每次定購費(fèi)為 10 元。 已知對該商品的需求是 100 件/天，不允許缺貨。假設(shè)該商品的進(jìn)貨可以隨時(shí)實(shí)現(xiàn)。問 應(yīng)怎樣組織進(jìn)貨，才能最經(jīng)濟(jì)。 解 根據(jù)題意，005. 0%1 . 05= p C（元/件天） ，10= D C元，100=D件/ 天。 由式（3）（5） ，有 632 005. 0 1001022 * = = P D C DC Q（件） -320- 32. 6 100 632 * * = D Q T（天） 16. 32 * =DCCC PD （元/天） 所以，應(yīng)該每隔 6.32 天進(jìn)貨一次，每次進(jìn)貨該商品 632 件，能使總費(fèi)用（存貯費(fèi) 和定購費(fèi)之和）為最少，平均約 3.16 元/天。 進(jìn)一步研究，全年的訂貨次數(shù)為 75.57 32. 6 365 =n（天） 但n必須為正整數(shù)，故還需要比較57=n與58=n時(shí)全年的費(fèi)用。 編寫如下LINGO程序： model: sets: times/1 2/:n,Q,C; endsets data: n=57 58; enddata C_D=10; D=100*365; C_P=0.005*365; for(times:n=D/Q;C=0.5*C_P*Q+C_D*D/Q); end 求得全年組織 58 次訂貨費(fèi)用少一點(diǎn)。 利用 LINGO 軟件，我們可以直接求出問題的整數(shù)解。 LINGO 程序如下： model: sets: times/1.100/:C,Q; !100不是必須的，通常取一個適當(dāng)大的數(shù)就可以了; endsets C_D=10; D=100*365; C_P=0.005*365; for(times(i):Q(i)=D/i;C(i)=0.5*C_P*Q+C_D*D/Q); C_min=min(times:C); Q_best=sum(times(i):Q(i)*(C(i) #eq# C_min); N_best=D/Q_best; end -321- 求得一年組織 58 次訂貨，每次的訂貨量為 629.3 件，最優(yōu)費(fèi)用為 1154.25 元。 2.2 模型二：允許缺貨，補(bǔ)充時(shí)間較長經(jīng)濟(jì)生產(chǎn)批量存貯模型 模型假設(shè)條件： （1）需求是連續(xù)的，即需求速度D為常數(shù)； （2）補(bǔ)充需要一定時(shí)間。即一旦需要，生產(chǎn)可立刻開始，但生產(chǎn)需要一定周期。 設(shè)生產(chǎn)是連續(xù)均勻的，即生產(chǎn)速度P為常數(shù)。同時(shí)，設(shè)DP； （3）單位存貯費(fèi)為 P C，單位缺貨費(fèi)為 S C，訂購費(fèi)為 D C。不考慮貨物價(jià)值。 存貯狀態(tài)圖見圖 3。 圖 3 允許缺貨且補(bǔ)充時(shí)間較長的存貯模型 , 0 T為一個存貯周期， 1 t時(shí)刻開始生產(chǎn)， 3 t時(shí)刻結(jié)束生產(chǎn)。 , 0 2 t時(shí)間內(nèi)存貯為 0， 1 t時(shí)達(dá)到最大缺貨量B，, 21 tt時(shí)間內(nèi)產(chǎn)量一方面以速度 D滿足需求，另一方面以速度DP補(bǔ)充, 0 1 t時(shí)間內(nèi)的缺貨，至 2 t時(shí)刻缺貨補(bǔ)足。 , 32 tt時(shí)間內(nèi)產(chǎn)量一方面以速度D滿足需求，另一方面以速度DP增加存貯。 至 3 t時(shí)刻達(dá)到最大存貯量A，并停止生產(chǎn)。 , 3 Tt時(shí)間內(nèi)以存貯滿足需求，存貯以速度D減少。至T時(shí)刻存貯降為零，進(jìn)入 下一個存貯周期。 下面，根據(jù)模型假設(shè)條件和存貯狀態(tài)圖，首先導(dǎo)出, 0 T時(shí)間內(nèi)的平均總費(fèi)用（即 費(fèi)用函數(shù)） ，然后確定最優(yōu)存貯策略。 從, 0 1 t看，最大缺貨量 1 DtB=；從, 21 tt看，最大缺貨量)( 12 ttDPB=。 -322- 故有)( 121 ttDPDt=，從中解出： 21 t P DP t = （6） 從, 32 tt看，最大存貯量)( 23 ttDPA=；從, 3 Tt看，最大存貯 量 )( 3 tTDA=。故有)()( 323 tTRttDP=，從中解得 )( 223 tT P D tt= （7） 易知，在, 0 T時(shí)間內(nèi)： 存貯費(fèi)為)()( 2 1 223 tTttDPCP； 缺貨費(fèi)為 21 2 1 tDtCS； 定購費(fèi)為 D C。 故, 0 T時(shí)間內(nèi)平均總費(fèi)用為 += DsP CtDtCtTttDPC T tTC 212232 2 1 )()( 2 11 ),( 故將（6）和（7）代入，整理后得 T C T t CCtCTC P DDP tTC D SPPp + + = 2 2 22 )(2 2 )( ),( （8） 解方程組 = = 0 ),( 0 ),( 2 2 2 t tTC T tTC 可得 )1 ( )(2 * P D CDC CCC T SP SPD + = -323- * 2 T CC C t SP P + = 容易證明，此時(shí)的費(fèi)用),( * 2 * tTC是費(fèi)用函數(shù)),( 2 tTC的最小值。 因此，模型的最優(yōu)存貯策略各參數(shù)值為： 最優(yōu)存貯周期 )1 ( )(2 * P D CDC CCC TT SP SPD + = （9） 經(jīng)濟(jì)生產(chǎn)批量 )1 ( )(2 * P D CC CCDC DTQ SP SPD + = （10） 缺貨補(bǔ)足時(shí)間 )1)( 2 * 2 P D CCC DCC T CC C t SPS PD SP P + = + = （11） 開始生產(chǎn)時(shí)間 )( )1 (2 * 2 * 1 SPS PD CCC P D DCC t P DP t + = = （12） 結(jié)束生產(chǎn)時(shí)間 * 2 * 3 )1 (t P D T P D t+= （13） 最大存貯量)( * 3 * tTDA= （14） 最大缺貨量 * 1 * DtB = （15） 平均總費(fèi)用 * * 2 T C C D = （16） 例 2 有一個生產(chǎn)和銷售圖書設(shè)備的公司，經(jīng)營一種圖書專用設(shè)備，基于以往的銷 售記錄和今后市場預(yù)測。估計(jì)今后一年的需求量為 4900 個，由于占用資金的利息以及 存貯庫房和其它人力物力的費(fèi)用，存貯一個書架一年要花費(fèi) 1000 元。這種書架是該公 司自己生產(chǎn)的，每年的生產(chǎn)量 9800 個，而組織一次生產(chǎn)要花費(fèi)設(shè)備調(diào)試等生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi) 500 元。如果允許缺貨，缺貨費(fèi)為每年每件 2000 元。該公司為了把成本降到最低，應(yīng) 如何組織生產(chǎn)？要求出其生產(chǎn)、存貯周期，每個周期的最優(yōu)生產(chǎn)量，以及最少的年總費(fèi) 用。 解 根據(jù)題意知，4900=D，1000= P C，9800=P，500= D C，2000= S C， -324- 利用式（9）（13） ， （16）求相關(guān)的指標(biāo)。 編寫的 LINGO 程序如下： model: D=4900; C_P=1000; P=9800; C_D=500; C_S=2000; T1=(2*C_D*(C_P+C_S)/(D*C_P*C_S*(1-D/P)0.5; !單位為年; T=T1*365; !單位為天; Q=D*T1; T_S=C_P*T/(C_P+C_S); !求缺貨時(shí)間; T_P=D*T/P; ! 求生產(chǎn)周期; C=2*C_D/T1; ! 求年總費(fèi)用; end 求得每個周期為 9 天，其中 9 天中有 4.5 天在生產(chǎn)，每次的生產(chǎn)量為 121 件，而且 缺貨的時(shí)間有 3 天。總的費(fèi)用（包括存貯費(fèi)、訂貨費(fèi)和缺貨費(fèi)）為 4044.52 元。 可以把模型一看作模型二的特殊情況。 在模型二中， 取消允許缺貨和補(bǔ)充需要一定 時(shí)間的條件，即 S C，P，則模型二就是模型一。事實(shí)上，如將 S C和 P代入模型二的最優(yōu)存貯策略各參數(shù)公式，就可得到模型一的最優(yōu)存貯策略。只 是必須注意，按照模型一的假設(shè)條件，應(yīng)有 0 * 3 * 2 * 1 =ttt， * QA =，0 * =B 2.3 模型三：不允許缺貨，補(bǔ)充時(shí)間較長基本的經(jīng)濟(jì)生產(chǎn)批量存貯模型 在模型二的假設(shè)條件中，取消允許缺貨條件（即設(shè) s C，0 2 =t） ，就成為模 型三。因此，模型三的存貯狀態(tài)圖和最優(yōu)存貯策略可以從模型二直接導(dǎo)出。 模型三的存貯狀態(tài)見圖 4。下面我們用另外的方法導(dǎo)出模型三的最優(yōu)存貯策略。 圖 4 經(jīng)濟(jì)生產(chǎn)批量模型存貯量的變化情況 經(jīng)濟(jì)生產(chǎn)批量存貯模型除滿足基本假設(shè)外，其最主要的假設(shè)是：當(dāng)存貯降到零后， -325- 開始進(jìn)行生產(chǎn)，生產(chǎn)率為P，且DP，即生產(chǎn)的產(chǎn)品一部分滿足需求，剩余部分才 作為存貯。 設(shè)生產(chǎn)批量為Q，生產(chǎn)時(shí)間為t，則生產(chǎn)時(shí)間與生產(chǎn)率之間的關(guān)系為 P Q t = 對于經(jīng)濟(jì)生產(chǎn)批量模型，有 最高存貯量Q P D P Q DPtDP)1 ()()(= （17） 而平均存貯量是最高存貯量的一半， 關(guān)于平均固定生產(chǎn)費(fèi)與經(jīng)濟(jì)定購模型中的平均訂貨 費(fèi)相同，同樣是 Q DCD 。這樣，平均總費(fèi)用為 Q DC QC P D C D P +=)1 ( 2 1 （18） 類似于前面的推導(dǎo)，得到最優(yōu)生產(chǎn)量、最優(yōu)存貯周期、最大存貯量和最優(yōu)存貯費(fèi)用 )1 ( 2 * P D C DC Q P D = （19） )( 2 * * DPDC PC D Q T P D = （20） P D C DC P D Q P D A )1 (2 )1 ( * = （21） DCC P D T C C DP D )1 (2 2 * * = （22） 例 3 商店經(jīng)銷某商品，月需求量為 30 件，需求速度為常數(shù)。該商品每件進(jìn)價(jià) 300 元，月存貯費(fèi)為進(jìn)價(jià)的 2。向工廠訂購該商品時(shí)訂購費(fèi)每次 20 元，定購后需 5 天才 開始到貨，到貨速度為常數(shù)，即 2 件/天。求最優(yōu)存貯策略。 解 本例特點(diǎn)是補(bǔ)充除需要入庫時(shí)間（相當(dāng)于生產(chǎn)時(shí)間）外，還需要考慮拖后時(shí) 間。因此，訂購時(shí)間應(yīng)在存貯降為零之前的第 5 天。除此之外，本例和模型三的假設(shè)條 件完全一致。本例的存貯狀態(tài)見圖 5。 -326- 圖 5 拖后時(shí)間的存貯模型 從圖 5 可見， 拖后時(shí)間為, 0 0 t， 存貯量L應(yīng)恰好滿足這段時(shí)間的需求， 故 0 DtL =。 根據(jù)題意，有2=P件/天，1=D件/天，2 . 0 30 1 %2300= P C元/天件， 20= D C元/次，5 0 =t天，551=L件。代入（19）（22） ，求得 20 * =Q件，20 * =T天，10 * =A件，2 * =C元 在本例中，L稱為訂貨點(diǎn)，其意義是每當(dāng)發(fā)現(xiàn)存貯量降到L或更低時(shí)就定購。在 存貯管理中，稱這樣的存貯策略為“定點(diǎn)訂貨” 。類似地，稱每隔一個固定時(shí)間就訂貨 的存貯策略為“定時(shí)訂貨” ，稱每次訂購量不變的存貯策略為“定量訂貨” 。 2.4 模型四：允許缺貨，補(bǔ)充時(shí)間極短的經(jīng)濟(jì)訂購批量存貯模型 在模型二的假設(shè)條件中，取消補(bǔ)充需要一定時(shí)間的條件（即設(shè)P） ，就成為 模型四。因此，和模型三一樣，模型四的存貯狀態(tài)圖和最優(yōu)存貯策略也可以從模型二直 接導(dǎo)出。 模型四的存貯狀態(tài)圖見圖 6。下面我們用另外的方法導(dǎo)出模型四的最優(yōu)存貯策略。 設(shè)T仍為時(shí)間周期，其中 1 T表示T中不缺貨時(shí)間， 2 T表示T中缺貨時(shí)間，即 TTT=+ 21 。S為最大缺貨量, s C為缺貨損失的單價(jià)，Q仍為每次的最高訂貨量，則 SQ為最高存貯量，因?yàn)槊看蔚玫接嗀浟縌后，立即支付給顧客最大缺貨S。 -327- 圖 6 允許缺貨的經(jīng)濟(jì)訂購批量存貯模型的存貯情況 以一個周期為例，計(jì)算出平均存貯量、平均缺貨量和平均總費(fèi)用。 平均存貯量 T TSQ T TTSQ 2 )( 0)( 2 1 1 21 = + = （23） 其中 D SQ T = 1 ， D S T= 2 ， D Q T= （24） 由此計(jì)算出 平均存貯量 Q SQ T TSQ 2 )( 2 )( 2 1 = =， （25） 平均缺貨量 Q S T ST 22 2 2 = （26） 因此，允許缺貨的經(jīng)濟(jì)訂購批量存貯模型的平均總費(fèi)用 Q SC Q DC Q SQC C SDP 22 )( 22 + = （27） 求式（10）關(guān)于Q和S的偏導(dǎo)數(shù)，并求出其極小點(diǎn) sP sPD CC CCDC Q )(2 * + = （28） * Q CC C S sP P + = （29） 最佳訂貨周期 DCC CCC D Q T sP sPD )(2 * * + = （30） -328- 最大存貯量 )( 2 * sPP SD CCC DCC SQA + = （31） 最小費(fèi)用 * 2* * 2* * * 2 )( 2 )(2 Q SC Q DC Q SQC T C C SDPD + = （32） 例 4 某電器公司的生產(chǎn)流水線需要某種零件，該零件需要靠訂貨得到。已知批量 訂貨的訂貨費(fèi) 12000 元/次，每個零件的存貯機(jī)費(fèi)用為 0.3 元/（件月） ，每個零件的缺 貨損失為 1.1 元/（件月） ，設(shè)該零件的每月需求量為 8000 件。求全年的訂貨次數(shù)、訂 貨量以及最優(yōu)存貯費(fèi)用。 解 根據(jù)題意，取一年為單位時(shí)間，由已知條件，訂貨費(fèi)12000= D C元/次，存貯 費(fèi)6 . 3= P C元/（件年） ，缺貨損失費(fèi)2 .13= S C元/（件年） ，需求率96000=D件 /年。該存貯問題可由一個整數(shù)規(guī)劃來表示 Q SC Q DC Q SQC SDP 22 )( min 22 + s.t. Q D n=， 0,SQ，0n且取整數(shù) 編寫 LINGO 程序如下： model: min=0.5*C_P*(Q-S)2/Q+C_D*D/Q+0.5*C_S*S2/Q; n=D/Q;gin(n); data: C_D=12000; D=96000; C_P=3.6; C_S=13.2; enddata end 求得全年組織 3 次訂貨，每次的訂貨量為 32000 件，最大缺貨量為 6857.141 件， 最優(yōu)費(fèi)用為 81257.14 元。 對于確定型存貯問題，上述四個模型是最基本的模型。其中，模型一、三、四又 -329- 可看作模型二的特殊情況。 在每個模型的最優(yōu)存貯策略的各個參數(shù)中， 最優(yōu)存貯周期T 是最基本的參數(shù)， 其它各個參數(shù)和它的關(guān)系在各個模型中都是相同的。 根據(jù)模型假設(shè)條 件的不同，各個模型的最優(yōu)存貯周期 * T之間也有明顯的規(guī)律性。因子 S SP C CC+ 對應(yīng)了 是否允許缺貨的假設(shè)條件，因子 DP P 對應(yīng)了補(bǔ)充是否需要時(shí)間的假設(shè)條件。 一個存貯問題是否允許缺貨或補(bǔ)充是否需要時(shí)間，完全取決于對實(shí)際問題的處理 角度， 不存在絕對意義上的不允許缺貨或絕對意義上的補(bǔ)充不需要時(shí)間。 如果缺貨引起 的后果或損失十分嚴(yán)重，則從管理的角度應(yīng)當(dāng)提出不允許缺貨的建模要求；否則，可視 為允許缺貨的情況。至于缺貨損失的估計(jì)，應(yīng)當(dāng)力求全面和精確。如果補(bǔ)充需要的時(shí)間 相對于存貯周期是微不足道的，則可考慮補(bǔ)充不需要時(shí)間的假設(shè)條件；否則，需要考慮 補(bǔ)充時(shí)間。 在考慮補(bǔ)充時(shí)間時(shí)， 必須分清拖后時(shí)間和生產(chǎn)時(shí)間， 兩者在概念上是不同的。 2.5 模型五：經(jīng)濟(jì)定購批量折扣模型 所謂經(jīng)濟(jì)訂購批量折扣模型是經(jīng)濟(jì)訂購批量存貯模型的一種發(fā)展，即商品的價(jià)格 是不固定的，是隨著訂貨量的多少而改變的。就一半情況而論，物品訂購的越多，物品 的單價(jià)也就越低，因此折扣模型就是討論這種情況下物品的訂購數(shù)量。 一年花費(fèi)的總費(fèi)用由三個方面組成：年平均存貯費(fèi)、年平均訂貨費(fèi)和商品的購買 費(fèi)用，即 )()( 2 1 QDK Q DC QQCC D P += （33） 在式（33）中，)(QK是物品的價(jià)格，它與物品的訂購數(shù)量有關(guān)，一般是一個分段表示 的函數(shù)，即 = mmm QQQK QQQK QQK QK 1 212 11 , , 0, )( M 其中 mii Q 1 是單調(diào)遞增的，而 mii C 1 是單調(diào)遞減的。 物品的存貯費(fèi))(QCP與物品的價(jià)格有關(guān)，通常是價(jià)格)(QK的r（10 r）倍， 即 )()(QrKQCP= （34） -330- 在經(jīng)濟(jì)訂購批量存貯模型中，也應(yīng)包含時(shí)（33）中的第三項(xiàng)，但當(dāng)時(shí)cQK=)(是 常數(shù)，因此，第三項(xiàng)也為常數(shù)，與目標(biāo)函數(shù)求極值無關(guān)，因此，在分析時(shí)，沒有討論此 項(xiàng)。 對于折扣模型，經(jīng)濟(jì)訂購批量折扣存貯模型中求最優(yōu)訂購量的公式（3）仍然成立， 只不過此時(shí)的 P C不是常數(shù)罷了。假設(shè) P C是由式（29）和式（30）確定的，則最優(yōu)訂 購量為 j D j rK DC Q 2 * =，mj, 2 , 1L=， （35） DK Q DC QrKC j j D jjj += * * 2 1 ，mj, 2 , 1L= （36） 然后再根據(jù) * j Q所在的區(qū)間和 * j C的值，選擇合適的 * j Q。實(shí)際上，若存在某個 , 2 , 1miL，使得, 1 * iii QQQ ，則該 * i Q就為最優(yōu)訂貨量。 例 5 某公司計(jì)劃訂購一種商品用于銷售。該商品的年銷售量為 40000 件，每次訂 貨費(fèi)為 9000 元，商品的價(jià)格與訂貨量的大小有關(guān)，為 = Q Q Q Q QK 30000,825.33 3000020000,175.34 2000010000,525.34 100000,225.35 )( 存貯費(fèi)是商品價(jià)格的 20。問如何安排訂購量與訂貨時(shí)間。 解 按上述方法，編寫如下的 LINGO 程序： model: sets: range/1.4/:B,K,C_P,Q,EOQ,C; !B是訂貨量的分界點(diǎn)，Q表示由式（35）計(jì)算出 的訂貨量，EOQ是調(diào)整后的訂貨量; endsets data: D=40000; C_D=9000; R=0.2; B=10000,20000,30000,40000; K=35.225,34.525,34.175,33.825; Enddata for(range:C_P=R*K;Q=(2*C_D*D/C_P)0.5); EOQ(1)=Q(1)-(Q(1)-B(1)*(Q(1)#gt# B(1); -331- for(range(i)|i #gt# 1:EOQ(i)=Q(i)+(B(i-1)-Q(i)+1)*(Q(i) #lt# B(i-1)-(Q(i)-B(i)*(Q(i) #gt# B(i); for(range:C=0.5*C_P*EOQ+C_D*D/EOQ+K*D); C_min=min(range:C); Q_best=sum(range:EOQ*(C #eq# C_min); T_best=Q_best/D; end 求得最優(yōu)訂貨量為 10211 件， 最優(yōu)存貯費(fèi)用為 145151510 元， 最優(yōu)訂貨周期是平均 0.255 年一次。 比較計(jì)算結(jié)果中的 Q 值與 EOQ 值，會對程序的理解有很大的幫助。 我們也可以使用如下的LINGO程序求得最優(yōu)訂貨量和最優(yōu)訂貨周期。 model: sets: range/1.4/:B,K,C_P,Q; !B是訂貨量的分界點(diǎn)，Q表示由式（35）計(jì)算出的訂貨量， EOQ是調(diào)整后的訂貨量; endsets data: D=40000; C_D=9000; R=0.2; B=10000,20000,30000,40000; K=35.225,34.525,34.175,33.825; Enddata n=size(range); for(range:C_P=R*K;Q=(2*C_D*D/C_P)0.5); Q_best=Q(1)*(Q(1) #le# B(1)+sum(range(i)| i #ne# 1 :Q(i)*(Q(i) #gt# B(i-1) #and# Q(i) #le# B(i); T_best=Q_best/D; end 3 有約束的確定型存貯模型 3.1 帶有約束的經(jīng)濟(jì)訂購批量存貯模型 現(xiàn)在考慮多物品、帶有約束的情況。設(shè)有m種物品，采用下列記號： （1） iii KQD,（mi, 2 , 1L=）分別表示第i種物品的單位需求量、每次訂貨的 批量和物品的單價(jià)； （2） D C表示實(shí)施一次訂貨的訂貨費(fèi)，即無論物品是否相同，訂貨費(fèi)總是相同的； （3） i P C（mi, 2 , 1L=）表示第i種產(chǎn)品的單位存貯費(fèi)； -332- （4） T WJ,分別表示每次訂貨可占用資金和庫存總?cè)萘浚?（5） i w（mi, 2 , 1L=）表示單位第i種物品占用的庫容量。 類似于前面的推導(dǎo)，可以得到帶有約束的多物品的 EOQ 模型。 3.1.1 具有資金約束的 EOQ 模型 類似前面的分析，對于第i（mi, 2 , 1L=）種物品，當(dāng)每次訂貨的訂貨量為 i Q時(shí)， 單位時(shí)間總平均費(fèi)用為 i iD iPi Q DC QCC i += 2 1 每種物品的單價(jià)為 i K，每次的訂貨量為 i Q，則 iiQ K是該種物品占用的資金。因此， 資金約束為 JQK m i ii =1 綜上所述，得到具有資金約束的 EOQ 模型 = + m i i iD iP Q DC QC i 1 2 1 min （37） s.t. JQK m i ii =1 （38） 0 i Q，mi, 2 , 1L= （39） 3.1.2 具有庫容約束的 EOQ 模型 單位第i種物品占用的庫容量是 i w，因此， iiQ w是該種物品占用的總的庫容量， 結(jié)合上面的分析，具有庫容約束的 EOQ 模型是 = + m i i iD iP Q DC QC i 1 2 1 min （40） s.t. T m i ii WQw =1 （41） 0 i Q，mi, 2 , 1L= （42） -333- 3.1.3 兼有資金與庫容約束的最佳批量模型 結(jié)合上述兩種模型，得到兼有資金與庫容約束的最佳批量模型 = + m i i iD iP Q DC QC i 1 2 1 min （43） s.t. JQK m i ii =1 （44） T m i ii WQw =1 （45） 0 i Q，mi, 2 , 1L= （46） 對于這三種模型，可以容易地用 LINGO 軟件進(jìn)行求解。 例 6 某公司需要 5 種物資，其供應(yīng)與存貯模式為確定性、周期補(bǔ)充、均勻消耗和 不允許缺貨模型。 設(shè)該公司的最大庫容量)( T W為 1500m3， 一次訂貨占用流動資金的上 限（J）為 40 萬元，訂貨費(fèi)（ D C）為 1000 元。5 種物資的年需求量 i D，物資單價(jià) i K， 物資的存貯費(fèi) i P C，單位占用庫 i w如表 1 所示。試求各種物品的訂貨次數(shù)、訂貨量和 總的存貯費(fèi)用。 表 1 物資需求、單價(jià)、存貯費(fèi)和單位占用庫容情況表 物資i 年需求量 i D 單價(jià) i K(元/件) 存貯費(fèi) i P C (元/(件年) 單位占用庫容 i w（m3/ 件） 1 600 300 60 1.0 2 900 1000 200 1.5 3 2400 500 100 0.5 4 12000 500 100 2.0 5 18000 100 20 1.0 解 設(shè) i n是第i（5 , 4 , 3 , 2 , 1=i）中物資的年訂貨次數(shù)，按照帶有資金與庫容約束 的最佳批量模型（43）（46） ，寫出相應(yīng)的整數(shù)規(guī)劃模型 = + 5 1 2 1 min i i iD iP Q DC QC i -334- s.t. JQK i ii = 5 1 T i ii WQw = 5 1 0 i Q，5 , 2 , 1L=i i i i Q D n=，且 i n為整數(shù)，5 , 2 , 1L=i 編寫 LINGO 程序如下： model: sets: kinds/1.5/:C_P,D,K,W,Q,N; endsets min=sum(kinds:0.5*C_P*Q+C_D*D/Q); sum(kinds:K*Q)J; sum(kinds:W*Q)W_T; for(kinds:N=D/Q;gin(n); data: C_D=1000; D=600 900 2400 12000 18000; K=300 1000 500 500 100; C_P=60 200 100 100 20; W=1.0 1.5 0.5 2.0 1.0; J=400000; W_T=1500; enddata end 求得總費(fèi)用為 142272.8 元，訂貨資金還余 7271.694 元，庫存余 4.035621 m3，其余 計(jì)算結(jié)果整理在表 2 中。 表 2 物資的訂貨次數(shù)與訂貨量 物資i 訂貨次數(shù) 訂貨量 * i Q（件） 1 7 85.71429 2 13 69.23077 3 14 171.4286 4 40 300.0000 -335- 5 29 620.6897 上述計(jì)算采用整數(shù)規(guī)劃，如果不計(jì)算年訂貨次數(shù)，而只有年訂貨周期，則不需要 整數(shù)約束。由于整數(shù)規(guī)劃的計(jì)算較慢，因此，在有可能的情況下，應(yīng)盡量避免求解整數(shù) 規(guī)劃問題。 3.2 帶有約束允許缺貨模型 類似于不允許缺貨情況的討論，對于允許缺貨模型，也可以考慮多種類、帶有資 金和庫容約束的數(shù)學(xué)模型。設(shè) i Si CS ,分別為第i種物品的最大缺貨量、缺貨損失單價(jià)， 其它符號的意義不變。由于 i Q是第i種物品的最大訂貨量，則 iiQ K是第i種物品占用 資金數(shù)， ii SQ是第i種物品的最大存貯量（占用庫存數(shù)） ，因?yàn)?i S部分償還缺貨，已 不用存貯了。因此，帶有資金和庫容約束允許缺貨的數(shù)學(xué)模型如下： = + n i i iS i iD i iiP Q SC Q DC Q SQC ii 1 22 22 )( min （47） s.t. JQK n i ii =1 （48） T n i iii WSQw =1 )( （49） 0 i Q，ni, 2 , 1L= （50） 例 7（續(xù)例 6） 假設(shè)缺貨損失費(fèi)（ i S C）是物品的存貯費(fèi)（ i P C）的 2 倍，其它參 數(shù)不變，試求出各種物品的訂貨次數(shù)、訂貨量和總的存貯費(fèi)用。 解 設(shè) i n是第i種物品的年訂貨次數(shù)，按照模型（47）（50） ，寫出相應(yīng)的整數(shù) 規(guī)劃模型 = + 5 1 22 22 )( min i i iS i iD i iiP Q SC Q DC Q SQC ii s.t. JQK i ii = 5 1 -336- T i iii WSQw = 5 1 )( i i i Q D n =，且 i n為整數(shù)，5 , 2 , 1L=i 0 i Q，5 , 2 , 1L=i 編寫 LINGO 程序如下： model: sets: kinds/1.5/:C_P,D,K,W,C_S,Q,S,N; endsets min=sum(kinds:0.5*C_P*(Q-S)2/Q+C_D*D/Q+0.5*C_S*S2/Q); sum(kinds:K*Q)J; sum(kinds:W*(Q-S) + = QxKQUQ QxKQxQVUx QG , ,)( )( （52） 這樣一個周期的總利潤應(yīng)該是)(QG的期望值，即 dxxfKQUQdxxfKQxQVUxQGE Q Q )()()()()( 0 += -339- = Q dxxfxQVUQKU 0 )()()()( （53） 注意，在上式推導(dǎo)中用到概率密度的性質(zhì)1)( 0 = + dxxf。 為求極大值，對式（53）兩端關(guān)于Q求導(dǎo)數(shù)，得到 = Q dxxfVUKU dQ QGdE 0 )()()( )( （54） 0)()( )( 2 2 。令KUg=是 物品出售后的利潤，同時(shí)表示物品不足時(shí)，由于缺貨造成的損失。令VKh=是物品 折扣出售的損失，因此方程（56）也可寫成 hg g VU KU dxxf Q + = = 0 )( （57） 為進(jìn)一步理解公式（53）的含義，將公式（53）改寫為 + = Q dxxfxQVUQVUQKUQGE)()()()()()( dxxfQxVUQVKQU Q +=)()()()( （58） 其中dxxxf + = 0 )(為需求量D的數(shù)學(xué)期望?；蛘邔懗?dxxfQxhgQhgQGE Q )()()()()( + += （59） 在式（58）中，積分dxxfQx Q + )()(相當(dāng)于當(dāng)Qx時(shí)的損失函數(shù)，即式（58）可 以理解為 期望值 缺貨收入 期望值 折扣收入 成本 期望值 總收入 期望值 總利潤 -340- 4.3 模型的求解 例 9（報(bào)童問題） 在街中有一報(bào)亭， 平均每天出售報(bào)紙 500 份， 出售報(bào)紙的數(shù)量， 與來往的人流有關(guān)，假設(shè)服從 Poisson 分布，每賣出一份報(bào)紙能盈利 0.15 元。如果賣不 出去，只能作為廢紙?zhí)幚?，每份?bào)紙?zhí)潛p 0.40 元，問：報(bào)亭應(yīng)如何安排報(bào)紙的訂購量， 使得報(bào)亭的利潤最大？ 解 由題意知，均值500=；每份報(bào)紙的利潤15. 0=g元；作為廢紙?zhí)幚頃r(shí)， 每份報(bào)紙?zhí)潛p4 . 0=h元。利用式（57）計(jì)算出Q來，再利用式（59）計(jì)算出期望總利 潤。 對于 Poisson 分布， 式 （57） 中的積分 Q dxxf 0 )(可由 LINGO 中的函數(shù)pps 計(jì)算， pps(Q,)是均值為的 Poisson 分布函數(shù)，即 pps(Q,) = = Q x x e x 0 ! 若Q不是整數(shù)，該函數(shù)采用線性插值計(jì)算。 式 （59） 中的積分 + Q dxxfQx)()(可由函數(shù)ppl 計(jì)算， ppl(Q,)表示 Poisson 分布的線性損失函數(shù)，即 ppl(Q,) + += = 1 ! )( Qx x e x Qx 編寫 LINGO 程序如下： model: data: mu=500;g=0.15;h=0.40; enddata pps(mu,Q)=g/(g+h); E_G=g*mu-h*(Q-mu)-(g+h)*ppl(mu,Q); end 求得報(bào)亭每天訂購報(bào)紙 486 份，每天盈利 70.93 元。 下面我們使用 MATLAB 求例 9 的解。 實(shí)際上式 （57） 中的Q是 Poisson 分布的 hg g + 分位點(diǎn)。對于式（59）中的積分計(jì)算，首先定義被積函數(shù)，然后使用 MATLAB 中的積 分命令 QUADL 進(jìn)行積分，注意在積分時(shí)必須把積分區(qū)間化成有限區(qū)間。MATLAB 中 -341- 被積函數(shù)定義如下（其中文件名為 fun1.m） function f=fun1(x); global Q mu f=(x-Q).*poisspdf(mu,x); 最后編寫調(diào)用的程序如下： global mu Q mu=500;g