高考理數(shù)　函數(shù)模型及綜合應(yīng)用

2.7函數(shù)模型及綜合應(yīng)用,高考理數(shù)(課標(biāo)專(zhuān)用),自主命題省(區(qū)、市)卷題組,五年高考,考點(diǎn)一函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用1.(2014湖南,8,5分)某市生產(chǎn)總值連續(xù)兩年持續(xù)增加,第一年的增長(zhǎng)率為p,第二年的增長(zhǎng)率為q,則該市這兩年生產(chǎn)總值的年平均增長(zhǎng)率為()A.B.C.D.-1,答案D設(shè)兩年前的年底該市的生產(chǎn)總值為a,則第二年年底的生產(chǎn)總值為a(1+p)(1+q).設(shè)這兩年生產(chǎn)總值的年平均增長(zhǎng)率為x,則a(1+x)2=a(1+p)(1+q),由于連續(xù)兩年持續(xù)增加,所以x0,因此x=-1,故選D.,2.(2018浙江,11,6分)我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作張邱建算經(jīng)中記載百雞問(wèn)題:“今有雞翁一,值錢(qián)五;雞母一,值錢(qián)三;雞雛三,值錢(qián)一.凡百錢(qián),買(mǎi)雞百只,問(wèn)雞翁、母、雛各幾何?”設(shè)雞翁,雞母,雞雛個(gè)數(shù)分別為x,y,z,則當(dāng)z=81時(shí),x=,y=.,答案8;11,解析本小題考查二元一次方程組的實(shí)際應(yīng)用.把z=81代入方程組,化簡(jiǎn)得解得x=8,y=11.,3.(2015四川,13,5分)某食品的保鮮時(shí)間y(單位:小時(shí))與儲(chǔ)藏溫度x(單位:)滿(mǎn)足函數(shù)關(guān)系y=ekx+b(e=2.718為自然對(duì)數(shù)的底數(shù),k,b為常數(shù)).若該食品在0的保鮮時(shí)間是192小時(shí),在22的保鮮時(shí)間是48小時(shí),則該食品在33的保鮮時(shí)間是小時(shí).,答案24,解析依題意有192=eb,48=e22k+b=e22keb,所以e22k=,所以e11k=或-(舍去),于是該食品在33的保鮮時(shí)間是e33k+b=(e11k)3eb=192=24(小時(shí)).,考點(diǎn)二函數(shù)的綜合應(yīng)用1.(2014湖南,10,5分)已知函數(shù)f(x)=x2+ex-(x0)與g(x)=x2+ln(x+a)的圖象上存在關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn),則a的取值范圍是()A.B.(-,)C.D.,答案B設(shè)函數(shù)f(x)圖象上一點(diǎn)A(x0,y0)(x00,故(x)在(-,0)上為增函數(shù),則(x)0,對(duì)任意a0,b0,若經(jīng)過(guò)點(diǎn)(a,f(a),(b,-f(b)的直線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)為(c,0),則稱(chēng)c為a,b關(guān)于函數(shù)f(x)的平均數(shù),記為Mf(a,b).例如,當(dāng)f(x)=1(x0)時(shí),可得Mf(a,b)=c=,即Mf(a,b)為a,b的算術(shù)平均數(shù).(1)當(dāng)f(x)=(x0)時(shí),Mf(a,b)為a,b的幾何平均數(shù);(2)當(dāng)f(x)=(x0)時(shí),Mf(a,b)為a,b的調(diào)和平均數(shù).(以上兩空各只需寫(xiě)出一個(gè)符合要求的函數(shù)即可),答案(1)(2)x,解析答案不唯一.(1)若Mf(a,b)是a,b的幾何平均數(shù),則c=.由題意知,(a,f(a),(,0),(b,-f(b)共線(xiàn),=,=,可取f(x)=.(2)若Mf(a,b)是a,b的調(diào)和平均數(shù),則c=,由題意知,(a,f(a),(b,-f(b)共線(xiàn),=,化簡(jiǎn)得=,可取f(x)=x.,6.(2014四川,15,5分)以A表示值域?yàn)镽的函數(shù)組成的集合,B表示具有如下性質(zhì)的函數(shù)(x)組成的集合:對(duì)于函數(shù)(x),存在一個(gè)正數(shù)M,使得函數(shù)(x)的值域包含于區(qū)間-M,M.例如,當(dāng)1(x)=x3,2(x)=sinx時(shí),1(x)A,2(x)B.現(xiàn)有如下命題:設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈,則“f(x)A”的充要條件是“bR,aD,f(a)=b”;函數(shù)f(x)B的充要條件是f(x)有最大值和最小值;若函數(shù)f(x),g(x)的定義域相同,且f(x)A,g(x)B,則f(x)+g(x)B;若函數(shù)f(x)=aln(x+2)+(x-2,aR)有最大值,則f(x)B.其中的真命題有.(寫(xiě)出所有真命題的序號(hào)),答案,解析依題意可直接判定正確;令f(x)=2x(x(-,1),顯然存在正數(shù)2,使得f(x)的值域(0,2-2,2,但f(x)無(wú)最小值,錯(cuò)誤;對(duì)于,假設(shè)f(x)+g(x)B,則存在正數(shù)M,使得當(dāng)x在其公共定義域內(nèi)取值時(shí),有f(x)+g(x)M,則f(x)M-g(x),又g(x)B,則存在正數(shù)M1,使g(x)-M1,M1,-g(x)M1,即M-g(x)M+M1,f(x)M+M1,與f(x)A矛盾,正確;對(duì)于,當(dāng)a=0時(shí),f(x)=,即f(x)B,當(dāng)a0時(shí),y=aln(x+2)的值域?yàn)?-,+),而,此時(shí)f(x)無(wú)最大值,故a=0,正確.,7.(2016浙江,18,15分)已知a3,函數(shù)F(x)=min2|x-1|,x2-2ax+4a-2,其中minp,q=(1)求使得等式F(x)=x2-2ax+4a-2成立的x的取值范圍;(2)(i)求F(x)的最小值m(a);(ii)求F(x)在區(qū)間0,6上的最大值M(a).,解析(1)由于a3,故當(dāng)x1時(shí),(x2-2ax+4a-2)-2|x-1|=x2+2(a-1)(2-x)0,當(dāng)x1時(shí),(x2-2ax+4a-2)-2|x-1|=(x-2)(x-2a).所以,使得等式F(x)=x2-2ax+4a-2成立的x的取值范圍為2,2a.(2)(i)設(shè)函數(shù)f(x)=2|x-1|,g(x)=x2-2ax+4a-2,則f(x)min=f(1)=0,g(x)min=g(a)=-a2+4a-2,所以,由F(x)的定義知m(a)=minf(1),g(a),即m(a)=(ii)當(dāng)0x2時(shí),F(x)f(x)maxf(0),f(2)=2=F(2),當(dāng)2x6時(shí),F(x)g(x)maxg(2),g(6)=max2,34-8a=maxF(2),F(6).所以,M(a)=,8.(2016江蘇,19,16分)已知函數(shù)f(x)=ax+bx(a0,b0,a1,b1).(1)設(shè)a=2,b=.求方程f(x)=2的根;若對(duì)于任意xR,不等式f(2x)mf(x)-6恒成立,求實(shí)數(shù)m的最大值;(2)若01,函數(shù)g(x)=f(x)-2有且只有1個(gè)零點(diǎn),求ab的值.,解析(1)因?yàn)閍=2,b=,所以f(x)=2x+2-x.方程f(x)=2,即2x+2-x=2,亦即(2x)2-22x+1=0,所以(2x-1)2=0,于是2x=1,解得x=0.由條件知f(2x)=22x+2-2x=(2x+2-x)2-2=(f(x)2-2.因?yàn)閒(2x)mf(x)-6對(duì)于xR恒成立,且f(x)0,所以m對(duì)于xR恒成立.而=f(x)+2=4,且=4,所以m4,故實(shí)數(shù)m的最大值為4.(2)因?yàn)楹瘮?shù)g(x)=f(x)-2只有1個(gè)零點(diǎn),而g(0)=f(0)-2=a0+b0-2=0,所以0是函數(shù)g(x)的唯一零點(diǎn).因?yàn)間(x)=axlna+bxlnb,又由01知lna0,所以g(x)=0有唯一解x0=lo.令h(x)=g(x),則h(x)=(axlna+bxlnb)=ax(lna)2+bx(lnb)2,從而對(duì)任意xR,h(x)0,所以g(x)=h(x)是(-,+)上的單調(diào)增函數(shù).,于是當(dāng)x(-,x0)時(shí),g(x)g(x0)=0.因而函數(shù)g(x)在(-,x0)上是單調(diào)減函數(shù),在(x0,+)上是單調(diào)增函數(shù).下證x0=0.若x0-2=0,且函數(shù)g(x)在以和loga2為端點(diǎn)的閉區(qū)間上的圖象不間斷,所以在和loga2之間存在g(x)的零點(diǎn),記為x1.因?yàn)?0,同理可得,在和logb2之間存在g(x)的非0的零點(diǎn),矛盾.因此,x0=0.于是-=1,故lna+lnb=0,所以ab=1.,教師專(zhuān)用題組,答案D對(duì)于A選項(xiàng):由題圖可知,當(dāng)乙車(chē)速度大于40km/h時(shí),乙車(chē)每消耗1升汽油,行駛里程都超過(guò)5km,則A錯(cuò);對(duì)于B選項(xiàng):由題意可知,以相同速度行駛相同路程,燃油效率越高,耗油越少,故三輛車(chē)中甲車(chē)耗油最少,則B錯(cuò);對(duì)于C選項(xiàng):甲車(chē)以80千米/小時(shí)的速度行駛時(shí),燃油效率為10km/L,則行駛1小時(shí),消耗了汽油80110=8(升),則C錯(cuò);對(duì)于D選項(xiàng):當(dāng)行駛速度小于80km/h時(shí),在相同條件下,丙車(chē)的燃油效率高于乙車(chē),則在該市用丙車(chē)比用乙車(chē)更省油,則D對(duì).綜上,選D.,2.(2014浙江,17,4分)如圖,某人在垂直于水平地面ABC的墻面前的點(diǎn)A處進(jìn)行射擊訓(xùn)練.已知點(diǎn)A到墻面的距離為AB,某目標(biāo)點(diǎn)P沿墻面上的射線(xiàn)CM移動(dòng),此人為了準(zhǔn)確瞄準(zhǔn)目標(biāo)點(diǎn)P,需計(jì)算由點(diǎn)A觀察點(diǎn)P的仰角的大小.若AB=15m,AC=25m,BCM=30,則tan的最大值是.(仰角為直線(xiàn)AP與平面ABC所成角),答案,3.(2015江蘇,17,14分)某山區(qū)外圍有兩條相互垂直的直線(xiàn)型公路,為進(jìn)一步改善山區(qū)的交通現(xiàn)狀,計(jì)劃修建一條連接兩條公路和山區(qū)邊界的直線(xiàn)型公路,記兩條相互垂直的公路為l1,l2,山區(qū)邊界曲線(xiàn)為C,計(jì)劃修建的公路為l,如圖所示,M,N為C的兩個(gè)端點(diǎn),測(cè)得點(diǎn)M到l1,l2的距離分別為5千米和40千米,點(diǎn)N到l1,l2的距離分別為20千米和2.5千米,以l2,l1所在的直線(xiàn)分別為x,y軸,建立平面直角坐標(biāo)系xOy,假設(shè)曲線(xiàn)C符合函數(shù)y=(其中a,b為常數(shù))模型.(1)求a,b的值;(2)設(shè)公路l與曲線(xiàn)C相切于P點(diǎn),P的橫坐標(biāo)為t.請(qǐng)寫(xiě)出公路l長(zhǎng)度的函數(shù)解析式f(t),并寫(xiě)出其定義域;當(dāng)t為何值時(shí),公路l的長(zhǎng)度最短?求出最短長(zhǎng)度.,解析(1)由題意知,點(diǎn)M,N的坐標(biāo)分別為(5,40),(20,2.5).將其分別代入y=,得解得(2)由(1)知,y=(5x20),則點(diǎn)P的坐標(biāo)為,設(shè)在點(diǎn)P處的切線(xiàn)l交x軸,y軸分別于A,B點(diǎn),易知y=-,則l的方程為y-=-(x-t),由此得A,B.故f(t)=,t5,20.,設(shè)g(t)=t2+,則g(t)=2t-.令g(t)=0,解得t=10.當(dāng)t(5,10)時(shí),g(t)0,g(t)是增函數(shù);從而,當(dāng)t=10時(shí),函數(shù)g(t)有極小值,也是最小值,所以g(t)min=300,則f(t)min=15.答:當(dāng)t=10時(shí),公路l的長(zhǎng)度最短,最短長(zhǎng)度為15千米.,考點(diǎn)二函數(shù)的綜合應(yīng)用1.(2014遼寧,12,5分)已知定義在0,1上的函數(shù)f(x)滿(mǎn)足:f(0)=f(1)=0;對(duì)所有x,y0,1,且xy,有|f(x)-f(y)|x-y|.若對(duì)所有x,y0,1,|f(x)-f(y)|k恒成立,則k的最小值為()A.B.C.D.,答案B當(dāng)x=y時(shí),|f(x)-f(y)|=0.當(dāng)xy時(shí),若|x-y|,依題意有|f(x)-f(y)|,不妨設(shè)x,|f(x)-f(y)|-=.綜上所述,對(duì)所有x,y0,1,都有|f(x)-f(y)|0時(shí),f(x)=x(1+a|x|)0,于是f(0+a)0=f(0),而由已知A可得0A,即f(0+a)0也不滿(mǎn)足條件,故aa0,cb0.(1)記集合M=(a,b,c)|a,b,c不能構(gòu)成一個(gè)三角形的三條邊長(zhǎng),且a=b,則(a,b,c)M所對(duì)應(yīng)的f(x)的零點(diǎn)的取值集合為;(2)若a,b,c是ABC的三條邊長(zhǎng),則下列結(jié)論正確的是.(寫(xiě)出所有正確結(jié)論的序號(hào))x(-,1),f(x)0;xR,使ax,bx,cx不能構(gòu)成一個(gè)三角形的三條邊長(zhǎng);若ABC為鈍角三角形,則x(1,2),使f(x)=0.,答案(1)x|00,cb0,01,01.,考點(diǎn)一函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用1.(2018江西4月模擬,10)如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,點(diǎn)P是B1C的中點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)M在其表面上運(yùn)動(dòng),且與平面A1DC1的距離保持不變,運(yùn)行軌跡為S,M從P點(diǎn)出發(fā),繞其軌跡運(yùn)行一周的過(guò)程中,運(yùn)動(dòng)的路程x與l=MA1+MC1+MD之間滿(mǎn)足函數(shù)關(guān)系l=f(x),則此函數(shù)圖象大致是(),三年模擬,A組20162018年高考模擬基礎(chǔ)題組,答案D連接AB1,AC.由題意可知點(diǎn)M的運(yùn)行軌跡是B1AC,不妨設(shè)M從P點(diǎn)出發(fā),沿PCAB1P運(yùn)行,設(shè)AC的中點(diǎn)為Q,AB1的中點(diǎn)為R.可知M從P運(yùn)行到C的過(guò)程中,MA1+MD從小變大,且MC1從小變大,即l從小變大,同理可知M從C到Q,l從大變小;M從Q到A,l從小變大;M從A到R,l從大變小;M從R到B1,l從小變大;M從B1到P,l從大變小.故選D.,2.(2017福建質(zhì)檢,5)當(dāng)生物死亡后,其體內(nèi)原有的碳14的含量大約每經(jīng)過(guò)5730年衰減為原來(lái)的一半,這個(gè)時(shí)間稱(chēng)為“半衰期”.當(dāng)死亡生物體內(nèi)的碳14含量不足死亡前的千分之一時(shí),用一般的放射性探測(cè)器就測(cè)不到了.若某死亡生物體內(nèi)的碳14用一般的放射性探測(cè)器探測(cè)不到,則它經(jīng)過(guò)的“半衰期”個(gè)數(shù)至少是()A.8B.9C.10D.11,答案C設(shè)死亡生物體內(nèi)原有的碳14含量為1,則經(jīng)過(guò)n(nN*)個(gè)“半衰期”后的含量為,由2,t(x)在0,2上遞增,在(2,+)上遞減,又t(0)=0,t(2)=,t+時(shí),t(x)0,t(x)min=t(0)=0;t(x)max=t(2)=.(2)令t=,則由x0,24,得t,令g(t)=f(x)=t|t-a|+,t,則g(t)=g(t)在和上遞增,在上遞減,且g=+,g=1-,g-g=+-,令+-0,得-1a;令+-0),y=|log3x|的圖象,如圖,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4),由|log3x|=m,得x1=3-m,x2=3m,由|log3x|=,得x3=,x4=.依照題意得=,又m0,m+=(2m+1)+-,當(dāng)且僅當(dāng)(2m+1)=,即m=時(shí)取“=”.的最小值為27,故選B.,B組20162018年高考模擬綜合題組(時(shí)間:20分鐘分值:30分),選擇題(每題5分,共30分)1.(2018安徽淮北一模,10)函數(shù)f(x)在定義域R內(nèi)可導(dǎo),若f(1+x)=f(3-x),且當(dāng)x(-,2)時(shí),(x-2)f(x)bcB.cabC.cbaD.bca,答案Cf(1+x)=f(3-x),函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線(xiàn)x=2對(duì)稱(chēng),f(3)=f(1).當(dāng)x(-,2)時(shí),(x-2)f(x)0,即此時(shí)f(x)單調(diào)遞增,01,f(0)ff(1)=f(3),即abc,故選C.,方法指導(dǎo)利用導(dǎo)數(shù)的符號(hào)確定函數(shù)的單調(diào)性,結(jié)合函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)性判斷大小.,解題關(guān)鍵當(dāng)x0,f(x)在(-,2)上單調(diào)遞減.借助單調(diào)性比較大小是解題關(guān)鍵.,2.(2018安徽淮南一模,10)已知函數(shù)f(x)=-|log3(x-1)|有兩個(gè)零點(diǎn)x1,x2,則()A.x1x2x1+x2,答案A作出y=與y=|log3(x-1)|的圖象,可知函數(shù)f(x)的零點(diǎn)是兩圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo),不妨設(shè)x1x2,由圖可以得到1x12x2,則由f(x1)=-|log3(x1-1)|=0,f(x2)=-|log3(x2-1)|=0,得-log3(x1-1)=,log3(x2-1)=,兩式相減得log3(x2-1)+log3(x1-1)=-0,即log3(x2-1)+log3(x1-1)0,故(x2-1)(x1-1)1,得x1x2x1+x2.故選A.,思路分析作兩相應(yīng)函數(shù)圖象,由交點(diǎn)位置得原函數(shù)兩個(gè)零點(diǎn)所在的區(qū)間,將兩零點(diǎn)代入函數(shù)的解析式,得到兩個(gè)等式,兩式相減,根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性得到不等式,化簡(jiǎn)即得結(jié)論.,解題關(guān)鍵得出兩零點(diǎn)范圍,并能正確運(yùn)算是解題的關(guān)鍵.,3.(2018河南鄭州二模,11)已知M=|f()=0,N=|g()=0,若存在M,N,使得|-|n,則稱(chēng)函數(shù)f(x)與g(x)互為“n度零點(diǎn)函數(shù)”,若f(x)=32-x-1與g(x)=x2-aex互為“1度零點(diǎn)函數(shù)”,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為()A.B.C.D.,答案B由f(x)=32-x-1=0,解得x=2,由g(x)=x2-aex=0,得x2=aex,設(shè)其解為x0,f(x)=32-x-1與g(x)=x2-aex互為“1度零點(diǎn)函數(shù)“,|x0-2|0,h(x)是增函數(shù),當(dāng)2x3時(shí),h(x)0,h(x)是減函數(shù),h(x)max=h(2)=,又h(1)=,h(3)=,實(shí)數(shù)a的取值范圍為.故選B.,思路分析f(x)的零點(diǎn)易得,而g(x)由于存在參數(shù)a,故其零點(diǎn)與參數(shù)a有關(guān),故可分離參數(shù),將a表示成關(guān)于該零點(diǎn)的函數(shù)(其中零點(diǎn)的范圍可由新定義得出),從而問(wèn)題轉(zhuǎn)化函數(shù)最值問(wèn)題.,4.(2018廣東廣州一模,12)設(shè)函數(shù)f(x)在R上存在導(dǎo)函數(shù)f(x),對(duì)于任意的實(shí)數(shù)x,都有f(x)+f(-x)=2x2,當(dāng)x0時(shí),f(x)+12x,若f(a+1)f(-a)+2a+1,則實(shí)數(shù)a的最小值為()A.-B.-1C.-D.-2,答案A設(shè)g(x)=f(x)-x2(xR),則g(x)+g(-x)=f(x)+f(-x)-2x2=0,g(x)是奇函數(shù).當(dāng)x0時(shí),g(x)=f(x)-2x-1,g(x)在(-,0)上是減函數(shù),g(x)在R上是減函數(shù).f(a+1)f(-a)+2a+1,f(a+1)-a2-2a-1f(-a)-(-a)2,即f(a+1)-(a+1)2f(-a)-(-a)2,即g(a+1)g(-a),a+1-a,即a-.故選A.,思路分析設(shè)g(x)=f(x)-x2,判斷g(x)的奇偶性和單調(diào)性,將原不等式轉(zhuǎn)化為有關(guān)g(x)的不等式,得出a的范圍.,知識(shí)拓展常見(jiàn)構(gòu)造函數(shù):已知為f