清華大學(xué)計算固體力學(xué)第六次課件_求解方法和穩(wěn)定性.ppt

非線性有限元第6章求解方法和穩(wěn)定性,計算固體力學(xué),第6章求解方法和穩(wěn)定性,引言顯式方法平衡解答和隱式時間積分線性化穩(wěn)定性和連續(xù)方法數(shù)值穩(wěn)定性材料穩(wěn)定性,1引言,描述非線性有限元的求解過程，瞬態(tài)問題的顯式和隱式求解方法，以及平衡問題的解決方法，并且檢驗(yàn)它們的編程和性質(zhì)。展示了計算結(jié)果的穩(wěn)定性、數(shù)值過程的穩(wěn)定性和材料的穩(wěn)定性。顯式時間積分的中心差分方法，編程方法，相關(guān)技術(shù)如質(zhì)量縮放、子循環(huán)和動態(tài)松弛。,以Newmark-方法為模型描述了隱式方法，靜態(tài)問題的平衡求解。應(yīng)用Newton方法求解離散方程，包括收斂性檢驗(yàn)和線性搜索技術(shù)。在隱式系統(tǒng)解答中的臨界步長和平衡問題是控制方程的線性化。作為平衡方程的特殊情況，描述了運(yùn)動方程的線性化過程。比較了顯式和隱式方法以及評價了它們的相對優(yōu)越性。描述了平衡方法的特殊技術(shù)，如連續(xù)性方法(參數(shù)法和弧長法)。,雙曲線型偏微分方程，典型問題是波的傳播,在雙曲線型系統(tǒng)中，信息以有限的速度傳播，波速為cx/t的直線斜率。一個力在t0時刻施加在桿的左端，在右側(cè)x處的觀察者直到波傳播到該點(diǎn)時才有感覺。,2顯式方法,應(yīng)力波傳播的描述,2顯式方法,應(yīng)力波傳播的描述從概念上理解應(yīng)用顯式動力學(xué)算法時應(yīng)力是如何在模型中傳播的。在這個例子中，考慮應(yīng)力波沿著一個由三個單元構(gòu)成的桿件模型傳播的過程，隨著時間增量的變化，將研究桿件的各個狀態(tài)。,自由端作用有集中力P的桿件的初始狀態(tài),自由端作用有集中力的桿件在第一時間增量段結(jié)束時的狀態(tài),2顯式方法,應(yīng)力波傳播的描述,桿件在第二個時間增量段開始時的狀態(tài),桿件在第三個時間增量段開始時的狀態(tài),高速動力學(xué)（high-speeddynamic）事件最初發(fā)展顯式動力學(xué)方法是為了分析那些用隱式方法分析起來可能極端費(fèi)時的高速動力學(xué)事件。例如，分析一塊鋼板在瞬時爆炸載荷下的響應(yīng)。在迅速施加的巨大載荷作用下，結(jié)構(gòu)的響應(yīng)變化得非?？?。對于捕獲動力響應(yīng)，精確地跟蹤板內(nèi)的應(yīng)力波是非常重要的，由于應(yīng)力波與系統(tǒng)的最高階頻率相關(guān)聯(lián)，因此為了得到精確的解答需要許多小的時間增量。復(fù)雜的接觸（contact）問題應(yīng)用顯式方法建立接觸條件的公式要比應(yīng)用隱式方法容易得多，因此能夠比較容易地分析包括許多獨(dú)立物體相互作用的復(fù)雜接觸問題，特別適合于分析受沖擊載荷并隨后在結(jié)構(gòu)內(nèi)部發(fā)生復(fù)雜相互接觸作用的結(jié)構(gòu)的瞬間動態(tài)響應(yīng)問題。,2顯式方法,適用求解的問題,復(fù)雜的后屈曲（postbuckling）問題不穩(wěn)定的后屈曲問題。隨著載荷的施加，結(jié)構(gòu)的剛度會發(fā)生劇烈的變化。在后屈曲響應(yīng)中常常包括接觸相互作用的影響。高度非線性的準(zhǔn)靜態(tài)（quasi-static）問題能夠有效地解決某些在本質(zhì)上是靜態(tài)的問題。準(zhǔn)靜態(tài)過程模擬包括復(fù)雜接觸的問題；如鍛造、滾壓和薄板成型等過程一般都屬于這類問題。材料退化（degradation）和失效（failure）在隱式程序中，材料的退化和失效常常導(dǎo)致嚴(yán)重的收斂困難，但是顯式方法能夠很好地模擬這類材料?；炷灵_裂的模型是一個材料退化的例子，其拉伸裂縫導(dǎo)致了材料的剛度成為負(fù)值。金屬的延性失效模型是一個材料失效的例子，其材料剛度能夠退化并且一直降低到零，在這段時間中，單元從模型中被完全除掉。這些類型分析的問題都有可能包含溫度和熱傳導(dǎo)的影響。,適用求解的問題,2顯式方法,中心差分方法,定義時間增量,關(guān)于速度的中心差分公式為,第n時間步的時間和位移,和,差分公式轉(zhuǎn)化為數(shù)值積分公式,采用變化時間步的算法。在大多數(shù)實(shí)際計算中是必要的，當(dāng)網(wǎng)格變形和由于應(yīng)力而波速變化時，穩(wěn)定時間步隨之而改變。,2顯式方法,中心差分方法,時間顯式算法的圖譜,2顯式方法,中心差分方法,在時間間隔的中點(diǎn)定義速度，稱之為半步長或中點(diǎn)步長，,在等時間步長的情況下，上述公式簡化為,是已知的關(guān)于函數(shù)二階導(dǎo)數(shù)的中心差分公式。,考慮半離散運(yùn)動方程的時間積分，在第n時間步給出為,位移邊界條件和在模型中的其它約束,I=1到nC,內(nèi)部和外部節(jié)點(diǎn)力是節(jié)點(diǎn)位移和時間的函數(shù)。外部載荷通常描述成為時間的函數(shù)，也可能取決于結(jié)構(gòu)的構(gòu)形，是節(jié)點(diǎn)位移的函數(shù)，比如當(dāng)壓力施加在大變形的表面上。內(nèi)部節(jié)點(diǎn)力對位移的依賴性是顯而易見的：內(nèi)部節(jié)點(diǎn)力取決于應(yīng)力，而應(yīng)力通過本構(gòu)方程依賴于應(yīng)變和應(yīng)變率，而它們依次取決于位移和它們的導(dǎo)數(shù)。內(nèi)部節(jié)點(diǎn)力也可以直接取決于時間，例如：當(dāng)溫度設(shè)定為時間的函數(shù)時，則應(yīng)力和相應(yīng)的節(jié)點(diǎn)力也直接是時間的函數(shù)。,2顯式方法,中心差分方法,當(dāng)質(zhì)量矩陣M為對角陣時，實(shí)現(xiàn)節(jié)點(diǎn)速度和位移的更新不用求解任何方程。這是顯式方法的一個突出特征：對離散動量方程的時間積分不需要求解任何方程，關(guān)鍵在于應(yīng)用了對角質(zhì)量矩陣。,2顯式方法,編程,在這個流程中的主要相關(guān)變量是速度和Cauchy應(yīng)力。對于速度、Cauchy應(yīng)力和所有材料狀態(tài)參數(shù)，必須給出初始條件。一般假設(shè)初始位移為零（除了應(yīng)力取決于變形歷史的超彈性材料外，初始位移對于非線性分析是沒有意義的，如果初始條件為位移，編程非常復(fù)雜，需要罰函數(shù)或Lagrange乘子法）。,1.初始條件和初始化設(shè)定v0，0和其它材料狀態(tài)參數(shù)的初始值；d0=0，n=0，t=0；計算質(zhì)量M，2.給出作用力,3.計算加速度(阻尼不同時發(fā)生),2顯式方法,編程,4.時間更新,5.第一次部分更新節(jié)點(diǎn)速度,6.強(qiáng)迫速度邊界條件，在邊界上節(jié)點(diǎn)I處,7.更新節(jié)點(diǎn)位移,8給出作用力,9.再次計算加速度,2顯式方法,編程,10.第二次部分更新節(jié)點(diǎn)速度,11.在第n+1時間步檢查能量平衡,12.更新增量步驟數(shù)目：,13.輸出；如果模擬沒有完成，返回4,更新時間。,與5.第一次部分更新節(jié)點(diǎn)速度時的能量比較，檢查能量平衡,2顯式方法,編程,子程序給出作用力,集合單元節(jié)點(diǎn)位移和速度,ii.當(dāng)前步的內(nèi)力初始值,iii.對高斯積分點(diǎn)Q循環(huán)計算,1.如果n=0，轉(zhuǎn)到4,2.計算變形的度量：,3.通過本構(gòu)方程計算應(yīng)力,4.在節(jié)點(diǎn)處集合內(nèi)力,結(jié)束積分點(diǎn)循環(huán),iv計算單元外部節(jié)點(diǎn)力,v合成單元節(jié)點(diǎn)力,vi計算,如果,則,vii離散,到整體,結(jié)束單元循環(huán),計算總體外部節(jié)點(diǎn)力,2顯式方法,編程,流程的主要部分是計算節(jié)點(diǎn)力，子程序中的主要步驟；通過集合過程，從整體數(shù)組中提取單元的節(jié)點(diǎn)位移和速度。在單元的每個積分點(diǎn)上計算應(yīng)變度量，通過本構(gòu)方程計算應(yīng)力。在整個單元域上，對B矩陣和Cauchy應(yīng)力的乘積進(jìn)行積分，計算內(nèi)部節(jié)點(diǎn)力，向節(jié)點(diǎn)匯集節(jié)點(diǎn)內(nèi)力。離散單元的節(jié)點(diǎn)力進(jìn)入整體數(shù)組。在第一時間步中，沒有計算應(yīng)變度量和應(yīng)力，直接從初始應(yīng)力計算內(nèi)部節(jié)點(diǎn)力。,2顯式方法,編程,顯式方法的優(yōu)點(diǎn)：方法的簡單性和避免了方程的求解。容易編程，因此，顯式時間積分是非常強(qiáng)健的，很少因?yàn)閿?shù)值運(yùn)算的失敗而終止。顯式積分的缺點(diǎn)：條件穩(wěn)定性，如果時間步長超過了一個臨界值,計算結(jié)果將會發(fā)散,線性系統(tǒng)的最大頻率,單元e的特征長度,當(dāng)前波速,非線性不穩(wěn)定影響的折減系數(shù),這種簡單的穩(wěn)定極限定義提供了某些直覺上的理解。穩(wěn)定極限是當(dāng)膨脹波通過由單元特征長度定義的距離時所需要的時間。如果已知單元最小尺寸和材料波速，就能夠估算穩(wěn)定極限。例如，最小單元尺寸是5mm，膨脹波速是5000m/s，穩(wěn)定的時間增量就在110-6s的量級上。,2顯式方法,材料模型通過對膨脹波波速的限制作用來影響穩(wěn)定極限。在線性材料中，波速是常數(shù)；所以，在分析過程中穩(wěn)定極限的唯一變化來自于最小單元尺寸的變化。在非線性材料中，例如產(chǎn)生塑性的金屬材料，當(dāng)材料屈服和材料的剛度變化時波速發(fā)生變化。在整個分析過程中，應(yīng)用在每個單元中的當(dāng)前材料狀態(tài)估算穩(wěn)定性。在屈服之后剛度下降，減小了波速并因而相應(yīng)地增加了穩(wěn)定極限。,網(wǎng)格和材料對穩(wěn)定時間增量的影響,下圖給出了具有不同應(yīng)力-應(yīng)變曲線的平行聯(lián)結(jié)的兩根桿件，加載時保持相同的應(yīng)變。當(dāng)應(yīng)變達(dá)到桿B的屈服點(diǎn)時（應(yīng)變軸上的a點(diǎn)），桿件A已經(jīng)經(jīng)歷了一定量的塑性應(yīng)變。,若移去外載荷F，桿B的應(yīng)變將按照原加載線下降；但是桿A則循著一條平行于初始彈性線的軌跡下降。當(dāng)A的應(yīng)力下降到零時（b點(diǎn)），B仍然受到拉伸（c點(diǎn)）。為使二桿內(nèi)力自相平衡，A和B二桿必須分別承受壓應(yīng)力和拉應(yīng)力（兩桿截面積相同），如e點(diǎn)和d點(diǎn)所示。,殘余應(yīng)力已留在桿件中，由于二桿并聯(lián)為整體結(jié)構(gòu)，故具有相同的拉應(yīng)變。本例由于考慮了塑性變形，才使得兩平行組合桿件，盡管應(yīng)變相同，卻具有大小相等方向相反的應(yīng)力。,2顯式方法,臨界時間步長隨著網(wǎng)格的細(xì)劃和材料剛度的增加而減小。顯式模擬的計算成本是獨(dú)立于頻域的，它僅取決于模型的尺寸和時間步的數(shù)目。對于彈塑性材料，在塑性響應(yīng)中減慢波速是否能夠增加時間步長?；诮?jīng)驗(yàn)，答案是否定的。彈塑性材料可以在任何時刻卸載，由于數(shù)值的干擾在計算中常常發(fā)生卸載。在彈性卸載的過程中，臨界時間步長取決于彈性波速，一個超過臨界時間步長的時間步將導(dǎo)致不穩(wěn)定。從單元時間步長得到網(wǎng)格時間步長。對于每一個單元，計算單元時間步長，并選擇最小的步長作為網(wǎng)格時間步長。,網(wǎng)格和材料對穩(wěn)定時間增量的影響,材料對穩(wěn)定時間增量的影響,同樣的波擴(kuò)展分析在不同的材料中進(jìn)行將需要不同的CPU時間，這取決于材料的波速。例如將材料從鋼改為鋁，波速將從5.15103m/s變成,2顯式方法,由于剛度和密度幾乎改變了相同的量級，所以從鋁到鋼對穩(wěn)定時間增量只有微小的影響。在鉛的情況下，差別則變得非常大，其波速減小為,這個值大約是鋼中波速的五分之一。鉛棒的穩(wěn)定時間增量是鋼棒的5倍。,2顯式方法,能量平衡,從對線性運(yùn)動方程積分的穩(wěn)定性分析中，得到了上述穩(wěn)定性條件?，F(xiàn)在，還沒有穩(wěn)定性原理可以涵蓋在工程問題中遇到的全部非線性現(xiàn)象，例如接觸沖擊，撕裂等等。即使?jié)M足臨界時間步長，不穩(wěn)定也可能進(jìn)一步發(fā)展。對比線性問題，這里的不穩(wěn)定將導(dǎo)致結(jié)果的指數(shù)性增長，因此不可輕視，非線性問題的不穩(wěn)定解答有時不容易被識別。例如，Belytschko(1983)描述了一個數(shù)值現(xiàn)象，稱為抑制失穩(wěn)：由非線性誘發(fā)了不穩(wěn)定，例如幾何硬化，而材料是彈性的。這種不穩(wěn)定引起了結(jié)果的局部指數(shù)增長，從而依次導(dǎo)致了塑性行為。而塑性反應(yīng)軟化了結(jié)構(gòu)，并降低了波速，從而使積分又得到穩(wěn)定。,2顯式方法,能量平衡,在低階方法中，如中心差分方法，一般是通過類似的階數(shù)對時間積分得到能量，如梯形法則。內(nèi)能和外能積分如下：,通過檢驗(yàn)?zāi)芰科胶饪梢圆煊X它們。在偽能量生成中，任何不穩(wěn)定的結(jié)果將導(dǎo)致能量守恒的破壞。因此，在非線性計算中，通過檢驗(yàn)?zāi)芰科胶饪梢灾朗欠癖３种€(wěn)定性。,動能給出為,2顯式方法,能量平衡,能量守恒要求,在單元或積分點(diǎn)水平，也可以計算內(nèi)能,這里是一個很小的容許極限，一般階數(shù)為10-2,如果系統(tǒng)是非常龐大，在105節(jié)點(diǎn)量級或者更多，能量平衡必須在模型的子區(qū)域中進(jìn)行，相鄰子區(qū)域的內(nèi)力可以視為每一個子區(qū)域的外力。,精確性,中心差分方法在時間上是2階的，即在位移上的截斷誤差具有階。,在L2范數(shù)的位移上，其空間誤差具有h2階，這里h是單元尺寸。盡管在誤差的兩種度量之間存在一定的技術(shù)差別，其結(jié)果是相似的。由于時間步長和單元尺寸必須是相同階數(shù)才能滿足穩(wěn)定條件，對于中心差分時間積分，時間積分誤差和空間誤差具有相同的階數(shù)。然而，對于迅速改變硬度的材料，如粘塑性材料，中心差分方法的精確性有時是不夠的。在這種情況下，建議采用Runge-Kutta法(4階精度)。不需要所有的方程都應(yīng)用Runge-Kutta法：它可以應(yīng)用于本構(gòu)方程，而通過中心差分方法對運(yùn)動方程進(jìn)行積分。,2顯式方法,2顯式方法,質(zhì)量縮放、子循環(huán)和動態(tài)松弛,當(dāng)模型中包含幾個非常小或者比較硬的單元時，顯式積分的效率受到嚴(yán)重?fù)p害，因?yàn)檎麄€網(wǎng)格的時間步長是根據(jù)這些小或硬的單元決定的。有幾種技術(shù)可以避開這一困難：質(zhì)量縮放：增加較硬單元的質(zhì)量，使得時間步長不會因?yàn)檫@些單元而減小。質(zhì)量縮放必須應(yīng)用于高頻效果不重要的問題。例如在金屬薄板成型中，是一個靜態(tài)過程，不會發(fā)生困難。子循環(huán)：對于較硬的單元采用較小的時間步長。,在顯式程序中，經(jīng)常采用動態(tài)松弛以獲得靜態(tài)的解答?；舅悸肥牵悍浅＞徛厥┘油饬?，并應(yīng)用足夠的阻尼求解動態(tài)方程，從而使振蕩最小。,質(zhì)量縮放、子循環(huán)和動態(tài)松弛,由于質(zhì)量密度影響穩(wěn)定極限，在某些情況下，縮放質(zhì)量密度能夠潛在地提高分析的效率。例如，許多模型需要復(fù)雜的離散，因此有些區(qū)域包含著控制穩(wěn)定極限的非常小或者形狀極差的單元。這些控制單元常常數(shù)量很少并且可能只存在于局部區(qū)域。通過僅增加這些控制單元的質(zhì)量，就可以顯著地增加穩(wěn)定極限，而對模型的整體動力學(xué)行為的影響是可以忽略的。程序中的自動質(zhì)量縮放功能，可以阻止這些有缺陷的單元對穩(wěn)定極限的影響。質(zhì)量縮放可以采用兩種基本方法：直接定義一個縮放因子或者給那些質(zhì)量需要縮放的單元逐個定義所需要的穩(wěn)定時間增量。然而要非常小心，因?yàn)槟Ｐ唾|(zhì)量的顯著變化可能會改變問題的物理模型。,2顯式方法,小結(jié)應(yīng)用中心差分方法對時間進(jìn)行動力學(xué)顯式積分，需要許多小的時間增量。因?yàn)椴槐赝瑫r求解聯(lián)立方程，每個增量計算成本很低。隨著模型尺寸的增加，顯式方法比隱式方法能夠節(jié)省大量的計算成本。穩(wěn)定極限是能夠用來前推動力學(xué)狀態(tài)并仍保持精度的最大時間增量。隨著材料剛度增加，穩(wěn)定極限降低；隨著材料密度的增加，穩(wěn)定極限提高。對于單一材料的網(wǎng)格，穩(wěn)定極限大致與最小單元的尺寸成比例。,2顯式方法,3平衡解答和隱式時間積分,桁架問題的離散化模型,每個節(jié)點(diǎn)的分離圖,對于隱式方法，這些平衡方程需要同時進(jìn)行求解以獲取每個節(jié)點(diǎn)的位移，最好采用矩陣算法求解。,顯式與隱式相反，并不需要同時求解一套方程組或整體剛度陣。求解是通過動態(tài)方法從一個增量步前推到下一個增量步得到的。,3平衡解答和隱式時間積分,離散動量方程,開關(guān)設(shè)置為,殘數(shù),對于運(yùn)動方程的隱式更新和平衡方程，該離散方程是節(jié)點(diǎn)位移,的非線性代數(shù)方程。,在平衡問題中，殘數(shù)對應(yīng)于非平衡力；加速度可以忽略的問題為靜態(tài)問題。上述的結(jié)果稱為平衡點(diǎn)，并且結(jié)果的連續(xù)軌跡稱為平衡分支或者平衡路徑。,3平衡解答和隱式時間積分,Newmark-方程,一個普遍應(yīng)用的時間積分器Newmark-方法，更新的位移和速度為,應(yīng)用參數(shù)控制人為的粘性，即由于數(shù)值方法引進(jìn)的阻尼，抑制結(jié)果的振蕩,積分器無附加阻尼,積分器附加了,的人工阻尼比例,無條件穩(wěn)定,離散動量方程,條件穩(wěn)定,臨界阻尼的分?jǐn)?shù),3平衡解答和隱式時間積分,時間隱式算法的圖譜,時間顯式算法的圖譜,3平衡解答和隱式時間積分,Newton-Raphson方法,公式的求解是一個迭代過程。迭代的次數(shù)由希臘字母的下角標(biāo)表示,在時間步n+1上迭代次的位移,開始迭代過程，必須選擇未知量的初始值；通常選擇上一步的結(jié)果,在動態(tài)解答中應(yīng)用Newmark-方法，一個較好的初始值是,關(guān)于節(jié)點(diǎn)位移當(dāng)前值的殘數(shù)的Taylor展開，并設(shè)定計算的殘數(shù)等于零，給出,略去比線性高階的項(xiàng)，則公式給出一個關(guān)于,的線性方程,稱為非線性方程的線性模型或線性化模型,3平衡解答和隱式時間積分,Newton-Raphson方法,線性模型是非線性殘差函數(shù)的正切；獲得模型的過程稱為線性化。,對于位移增量，求解這個線性模型給出,在Newton過程中，通過迭代求解一系列線性模型，獲得非線性方程的解答。在迭代的每一步中，重寫公式為,獲得未知數(shù)的更新值，如圖持續(xù)這一過程直到達(dá)到理想的精確度水平為止。,Jacobian矩陣,考慮平衡方程,定義殘差,通過Newton迭代求解和線性化,內(nèi)力Jacobian切線剛度,外力Jacobian載荷剛度,整體Jacobian為二者之差,ABAQUS的UMAT就是求內(nèi)力的Jacobian矩陣切線剛度,3平衡解答和隱式時間積分,3平衡解答和隱式時間積分,Newton-Raphson方法,在計算力學(xué)中，稱Jacobian矩陣為等效切線剛度矩陣，慣性力、內(nèi)部和外部節(jié)點(diǎn)力的貢獻(xiàn)被線性地分開。Newmark積分器的Jacobian矩陣為,內(nèi)部節(jié)點(diǎn)力的Jacobian矩陣稱為切線剛度矩陣Kint,外部節(jié)點(diǎn)力的Jacobian矩陣稱為載荷剛度矩陣，給出為,載荷剛度的名稱相當(dāng)奇怪，因?yàn)檩d荷不可能有剛度，名稱是沿襲下來的,Jacobian矩陣記為,應(yīng)用于將節(jié)點(diǎn)力的微分與節(jié)點(diǎn)位移的微分,3平衡解答和隱式時間積分,切線剛度矩陣,內(nèi)部節(jié)點(diǎn)力的Jacobian矩陣稱為切線剛度矩陣Kint，分解為材料剛度和幾何剛度。,不能應(yīng)用于本構(gòu)方程，因?yàn)樗痪哂锌陀^性。,回顧,，因此有,則,材料,幾何,3平衡解答和隱式時間積分,材料剛度,幾何剛度,切線剛度矩陣,材料,幾何,TL格式的切線剛度矩陣組成為(證明見6.4.2和6.4.3節(jié))：,對于UL格式的切線剛度矩陣，注意代換:,小結(jié)：三種切線剛度矩陣，材料剛度，幾何剛度，載荷剛度,3平衡解答和隱式時間積分,Newton方法的編程,完全Newton算法，在每一次迭代過程中，Jacobian矩陣被賦值并求逆。修正Newton算法，Jacobian矩陣被組合和三角化，只在每一步的開始或者在中間賦值。例如，僅當(dāng)?shù)^程似乎不能很好地收斂時，或者在一個時間步開始迭代時，Jacobian矩陣可能被三角化。這些修正的算法更快捷，但是缺乏強(qiáng)健性。,隱式方法從施加初始條件開始，初始條件可以按照顯式方法同樣處理。通過迭代過程得到位移dn+1。開始迭代過程，需要d的初始值；通常應(yīng)用前一時間步的結(jié)果。為了這個初始值則計算殘數(shù)。在平衡解答中，殘數(shù)僅依賴于內(nèi)部和外部的節(jié)點(diǎn)力。在瞬態(tài)隱式解答中，殘數(shù)也依賴于加速度。,隱式程序框圖,1.初始條件和初始化設(shè)定v0，0和其它材料狀態(tài)參數(shù)的初始值；d0=0，n=0，t=0；計算質(zhì)量M，2.得到,3.計算初始加速度,3平衡解答和隱式時間積分,4.估計下一步解答：,或,5.第n+1步的Newton迭代：,6.更新位移，計數(shù)器和時間：,7.檢驗(yàn)?zāi)芰科胶?8.輸出；如果模擬沒有完成，返回到第4步。,a.給出作用力計算,3平衡解答和隱式時間積分,5.第n+1步的Newton迭代：,隱式程序框圖,見框6.1,b.更新速度和加速度,c.計算殘值,d.計算JacobianA(d),e.對于基本邊界條件，修正A(d),f.解線性方程,g.,h.檢驗(yàn)收斂準(zhǔn)則；如果沒有滿足，返回到第a步。,a.給出作用力單元循環(huán)此部分與顯式計算相同,集合單元節(jié)點(diǎn)位移和速度,ii.當(dāng)前步的內(nèi)力初始值,iii.對高斯積分點(diǎn)Q循環(huán)計算,1.如果n=0，轉(zhuǎn)到4,2.計算變形的度量：,3.通過本構(gòu)方程計算應(yīng)力,4.在節(jié)點(diǎn)處集合內(nèi)力,結(jié)束積分點(diǎn)循環(huán),iv計算單元外部節(jié)點(diǎn)力,v合成單元節(jié)點(diǎn)力,vi計算,如果,則,vii離散,到整體,結(jié)束單元循環(huán),隱式程序框圖,3平衡解答和隱式時間積分,保守問題,通過設(shè)勢能的導(dǎo)數(shù)等于零，得到平衡解答,當(dāng)勢能為局部最小值時，一個平衡點(diǎn)是穩(wěn)定的。因此，通過勢能W最小化，可以找到穩(wěn)定平衡解答。通過數(shù)學(xué)程序和優(yōu)化技術(shù)，以這種形式得到平衡解答，如最速下降法。,如果希望得到穩(wěn)定和非穩(wěn)定解答，必須找到W(d)的駐值點(diǎn)，則離散問題成為,找到d,根據(jù),3平衡解答和隱式時間積分,約束,罰函數(shù)法Lagrange乘子法Lagrangian增廣法Lagrangian攝動法,位移邊界條件和其它約束是節(jié)點(diǎn)位移的線性或非線性代數(shù)方程：,將約束附加到采用Lagrange乘子的目標(biāo)函數(shù)上。保守問題中的目標(biāo)函數(shù)是勢能，即勢能函數(shù)最小化。根據(jù)約束對一個函數(shù)最小化，可以形成一個Lagrange乘子問題：函數(shù)的最小化對應(yīng)于函數(shù)的駐值點(diǎn)和由Lagrange乘子權(quán)重的約束，解答是與尋找駐值點(diǎn)等價的,Lagrange乘子,Lagrange乘子法,3平衡解答和隱式時間積分,Lagrange乘子法,WL表示Lagrange乘子修正的勢能，在平衡點(diǎn)上有,注意到穩(wěn)定平衡點(diǎn)對應(yīng)于d(W)的最小值和對應(yīng)于的最大值，即鞍點(diǎn)。對應(yīng)于d(W)和，在駐值點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)為零，因此：,I=1tonc,上面共有,個代數(shù)方程組成的系統(tǒng)；方程重寫為,約束引入了附加力是Lagrange乘子的線性組合。如果約束是線性的，附加力將獨(dú)立于節(jié)點(diǎn)位移。,3平衡解答和隱式時間積分,Lagrange乘子法,為了得到的線性模型，取其Taylor展開，并將結(jié)果設(shè)置為零給出,注意到對重復(fù)指標(biāo)求和。為了將此寫成矩陣標(biāo)記，定義,線性模型成為,可以看到，由于約束，線性模型具有nc個附加方程。即使當(dāng)矩陣A是正定時，方程的擴(kuò)展系統(tǒng)將可能是非正定的，因?yàn)樵诰仃囉蚁陆堑膶蔷€上有零元素。,3平衡解答和隱式時間積分,例6.1,考慮一段長為,并鉸接在原點(diǎn)O上的非線性彈性桿OA。應(yīng)用超彈性，Kirchhoff材料模型。該桿受常數(shù)外力fext（保守荷載）作用，并從A點(diǎn)拉伸到A點(diǎn)。桿的右端被限定擱置在圓形槽中。,(a)單軸向應(yīng)變狀態(tài)寫成為,并計算E11,(b)建立非約束問題的勢能及它的一階導(dǎo)數(shù)(殘數(shù))和二階導(dǎo)數(shù)(剛度)。(c)建立Lagrange乘子法公式。,(a)Green應(yīng)變,(b)總勢能給出為,W對應(yīng)于ux1和uy1的偏微分給出殘數(shù)r,3平衡解答和隱式時間積分,例6.1,對于保守荷載,(c)借助于Lagrange乘子施加約束。給出修正勢能為,g=0是約束，要求節(jié)點(diǎn)1保持在圓心(2a,0)處，以節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)的形式，約束為,3平衡解答和隱式時間積分,例6.1,殘數(shù)對應(yīng)于ux1和uy1的偏微分給出切線剛度,由于初始條件Y1=0和X1=a，所以，約束的梯度是,由公式(6.3.40)給出線性化方程，其中矩陣A和G的定義同上，而H給出為,Lagrange乘子對應(yīng)于約束g=0。,3平衡解答和隱式時間積分,例6.1,3平衡解答和隱式時間積分,收斂準(zhǔn)則,對于隱式求解，在Newton算法中終止迭代是由收斂準(zhǔn)則決定的。這些準(zhǔn)則適用于迭代求解,應(yīng)用三種l2范數(shù)收斂準(zhǔn)則終止迭代：1根據(jù)殘數(shù)r的量級的準(zhǔn)則。,3能量誤差準(zhǔn)則(殘數(shù)r是力)。,2根據(jù)位移增量d的量級的準(zhǔn)則。,4線性化,傳統(tǒng)Newton方法應(yīng)用于固體力學(xué)問題的困難：,1對于彈塑性材料，節(jié)點(diǎn)力不是節(jié)點(diǎn)位移的連續(xù)可微函數(shù)。,2對于路徑相關(guān)材料，迭代過程的中間結(jié)果不是真實(shí)加載路徑。,3對于大變形和轉(zhuǎn)動，線性化增量引入誤差。,4導(dǎo)數(shù)和積分需要離散，離散形式的切線取決于增量步長。,對Newton方法做出修正：,1應(yīng)用方向?qū)?shù)建立切線剛度。,2應(yīng)用正割方法，取代切線剛度，用最后收斂解答作為迭代點(diǎn)。,3采用依賴于增量大小的公式，聯(lián)系力與位移的增量。,目的是尋求本構(gòu)積分中增量的線性剛度。,承受載荷的二桿桁架，應(yīng)力均為相等壓力，達(dá)到屈服，考慮材料非線性。當(dāng)施加載荷增量，切線剛度矩陣取決于增量位移，內(nèi)部節(jié)點(diǎn)力的改變依賴于位移增量，其殘數(shù)不是增量節(jié)點(diǎn)位移的連續(xù)可微函數(shù)。在Jacobian中有4條不連續(xù)的線段。,原因是如果位移增量導(dǎo)致了拉伸應(yīng)變增量，則壓桿將彈性卸載，切線模量從塑性模量Hp(連續(xù)加載)變化到彈性模量E(卸載)。,4線性化,切線剛度矩陣,當(dāng)解答不平滑時，必須應(yīng)用算法模量，稱為算法的一致切線剛度，適用于在本構(gòu)方程中缺少平順性和分區(qū)線性。,象限1,象限2,象限3,象限4,位移增量的切線剛度：圖中代表了不同節(jié)點(diǎn)力行為的區(qū)域，顯然，用一個標(biāo)準(zhǔn)的導(dǎo)數(shù)(切線剛度)無法計算，四個象限中關(guān)于位移增量的切線剛度分別為：,4線性化,隱式方法的精度和穩(wěn)定性隱式優(yōu)于顯式是對于線性瞬態(tài)問題，隱式積分器是無條件穩(wěn)定的。盡管對于特殊情況的理論結(jié)果表明，至少對于一些非線性系統(tǒng)，無條件穩(wěn)定是適用的，經(jīng)驗(yàn)表明隱式積分器的時間步長遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于顯式積分器的時間步長，并沒有導(dǎo)致失穩(wěn)。在隱式方法中，對于時間步長的主要限制來自于對精度的要求，以及當(dāng)時間步長增加時降低了Newton過程的強(qiáng)健性。Newmark方法是二階精確的，與中心差分方法是同階的。較大的時間步長也削弱了Newton方法的收斂性，特別是在一些有非常粗糙響應(yīng)的問題中，如接觸沖擊。應(yīng)用較大的時間步長，初始迭代可能遠(yuǎn)遠(yuǎn)偏離解答，因此，增加了Newton方法收斂失敗的可能性。較小步長則改善了Newton算法的強(qiáng)健性。作為增強(qiáng)穩(wěn)定性的報答，隱式計算付出高昂的代價：需要在每一個時間步求解非線性代數(shù)方程，存儲這些方程需要大量的內(nèi)存。,隱式小結(jié),5穩(wěn)定性和連續(xù)方法,在非線性問題中，需要考慮解答的穩(wěn)定性。穩(wěn)定性是一個概念，取決于觀察者和他的目的，如數(shù)值穩(wěn)定性問題：,首先給出穩(wěn)定性定義并探索它的內(nèi)涵?？紤]一個由演化方程控制的過程，諸如運(yùn)動方程或熱傳導(dǎo)。對于初始條件,設(shè)結(jié)果用,表示?，F(xiàn)在考慮對于初始條件,的結(jié)果,在某些范數(shù)下,如果對于所有初始條件滿足公式，解答是穩(wěn)定的，則結(jié)果滿足,初始條件位于圍繞,的球上，如結(jié)果位于包圍結(jié)果,的球上，則結(jié)果是穩(wěn)定的，否則是不穩(wěn)定的。,穩(wěn)定性,5穩(wěn)定性和連續(xù)方法,收斂性是用范數(shù)度量的。L2范數(shù)：度量位移的精度,范數(shù),能量誤差：度量應(yīng)變和應(yīng)力的精度,能量的誤差一般低于L2范數(shù)的誤差一個數(shù)量級。,5穩(wěn)定性和連續(xù)方法,穩(wěn)定性,在下面的例子中將解釋這一定義與穩(wěn)定性直觀概念的關(guān)系?？紤]一根梁軸向加載的過程，如圖所示。通過一個或者2的距離，攝動加載位置，則平衡路徑如圖(c)所示?？梢钥吹疆?dāng)荷載低于屈曲荷載時，對于不同初始條件的路徑保持著與AC接近。然而，當(dāng)荷載超過屈曲荷載時，結(jié)果將分岔開，任何過程都是不穩(wěn)定的。盡管沒有在圖中顯示，不穩(wěn)定分支的方向依賴于初始缺陷的跡象；圖中只顯示了一個方向。,5穩(wěn)定性和連續(xù)方法,穩(wěn)定性,當(dāng)梁十分筆直的時候，數(shù)值計算結(jié)果一般保持在路徑AC上，如圖(b)所示。即使當(dāng)荷載超出屈曲荷載時橫向位移仍然是零。在有限元模擬中，在增量靜態(tài)求解或者動態(tài)求解中，無論應(yīng)用顯式還是隱式算法，一根筆直的梁一般將不發(fā)生屈曲。僅當(dāng)舍入誤差引起的數(shù)值缺陷或者當(dāng)數(shù)據(jù)中引入缺陷，將導(dǎo)致筆直梁在模擬中屈曲，即需要有缺陷以破壞對稱性，否則“壓不垮”。,5穩(wěn)定性和連續(xù)方法,穩(wěn)定性,一個系統(tǒng)的狀態(tài)穩(wěn)定與過程穩(wěn)定多少有所不同。通過檢驗(yàn)應(yīng)用于平衡狀態(tài)的攝動增長，確定一個平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。其結(jié)果不如過程穩(wěn)定的概念直觀，例如圖中的梁，平衡狀態(tài)的任何擾動在分支AB和BD上不增長，即這些分支上的任意平衡狀態(tài)是穩(wěn)定的(在例6.4中說明)。另一方面，在分支BC上平衡結(jié)果的任何擾動可以看到增長，即它是不穩(wěn)定的。在B點(diǎn)上，分支AC從穩(wěn)定變?yōu)椴环€(wěn)定，稱為臨界點(diǎn)，或者是屈曲點(diǎn)。對應(yīng)于Euler梁的屈曲荷載音叉。,5穩(wěn)定性和連續(xù)方法,穩(wěn)定性,這種方法也應(yīng)用于研究在管中液體流動的穩(wěn)定性。當(dāng)流速低于臨界Reynolds數(shù)時，流動是穩(wěn)定的，流動的擾動導(dǎo)致小的變化。當(dāng)流速超過臨界Reynolds數(shù)時，由于流動從層流變?yōu)橥牧?，小的擾動將導(dǎo)致大的改變。因此，高于臨界雷諾數(shù)的流動是不穩(wěn)定的。在動力學(xué)中，經(jīng)常給出穩(wěn)定和不穩(wěn)定的例子，如圖所示。狀態(tài)A是穩(wěn)定的，因?yàn)榍虻奈恢玫男_動將不能顯著地改變系統(tǒng)的狀態(tài)。狀態(tài)B是不穩(wěn)定的，因?yàn)槿魏我粋€小擾動將導(dǎo)致很大的變化：球可能向左或右滾動。在教材中，狀態(tài)C通常稱為中性穩(wěn)定。由范數(shù)定義，狀態(tài)C是不穩(wěn)定的，因?yàn)樗俣鹊男∽兓瘜?dǎo)致位置在長時間內(nèi)的大變化，盡管不像狀態(tài)B那樣大。,5穩(wěn)定性和連續(xù)方法,平衡解答的分支,為了更好地理解一個系統(tǒng)，必須確定它的平衡路徑或者分支，以及它們的穩(wěn)定性。在結(jié)構(gòu)力學(xué)中，通過直接獲得動態(tài)解答可以回避與不穩(wěn)定行為相關(guān)的困難，如關(guān)于位移攝動的系數(shù)行列式為零的非平凡解答。當(dāng)結(jié)構(gòu)加載超過它的臨界點(diǎn)或在動態(tài)模擬中的分支點(diǎn)時，結(jié)構(gòu)動態(tài)地通過了最接近的穩(wěn)定分支。然而，不穩(wěn)定是不容易出現(xiàn)的，并且缺陷敏感性的可能性也是不清晰的。因此，為了理解結(jié)構(gòu)的行為或者整個過程，必須小心地檢查它的平衡行為。,5穩(wěn)定性和連續(xù)方法,平衡解答的分支,一個具有反對稱分支的系統(tǒng)對于缺陷是非常敏感的，在圖(e)中，最大荷載隨著缺陷變化。在實(shí)際結(jié)構(gòu)中缺陷是不可避免的，一個完好結(jié)構(gòu)的理論分岔點(diǎn)不是強(qiáng)度的真正度量；實(shí)際結(jié)構(gòu)可以在一個遠(yuǎn)遠(yuǎn)低于理論值的荷載下屈曲。,許多結(jié)構(gòu)行為的奇怪表現(xiàn)可能被動態(tài)模擬掩蓋了。例如在承受軸向荷載的圓柱殼中，交叉分支是反對稱的，如圖(e)所示。,5穩(wěn)定性和連續(xù)方法,平衡解答的分支,為了達(dá)到確定非線性系統(tǒng)性質(zhì)的目的，通常將平衡解答分成若干分支，當(dāng)一個參數(shù)變化時，它是連續(xù)地線性描述系統(tǒng)的響應(yīng)。稱這些分支為平衡分支。追蹤模型的平衡分支作為參數(shù)的函數(shù)。,尋找,使得殘數(shù)為零（即系統(tǒng)是處于平衡的）,非線性系統(tǒng)顯示了三種分岔行為：1轉(zhuǎn)折點(diǎn)：結(jié)構(gòu)分析中的臨界點(diǎn)，在該點(diǎn)上分支斜率改變符號。2靜止分岔：簡單分岔，在這些點(diǎn)上兩個平衡分支交叉。3Hopf分岔：在這些點(diǎn)上平衡分支與一個周期運(yùn)動的分支交叉。,5穩(wěn)定性和連續(xù)方法,平衡解答的分支,圖示淺桁架行為展示了一個轉(zhuǎn)折點(diǎn)（或者臨界點(diǎn)）；A和B是轉(zhuǎn)折點(diǎn)。在轉(zhuǎn)折點(diǎn)之后，一個分支可以是穩(wěn)定或者是不穩(wěn)定的。在這種情況下，在例6.4會看到，第一個轉(zhuǎn)折點(diǎn)A后面的分支是不穩(wěn)定的，而第二個轉(zhuǎn)折點(diǎn)B后面的分支是穩(wěn)定的。(例6.4中字母有區(qū)別),5穩(wěn)定性和連續(xù)方法,平衡解答的分支,在圖a中顯示的梁是分岔的典型例題。兩個分支的交叉點(diǎn)B是分岔點(diǎn)。在分岔點(diǎn)后，基本分支的繼續(xù)部分BC成為不穩(wěn)定的。分岔點(diǎn)B對應(yīng)于Euler梁的屈曲荷載。這種類型的分支通常稱為音叉。Hopf分岔在率無關(guān)結(jié)構(gòu)中不常見，發(fā)生在率相關(guān)材料或者主動控制的問題。在Hopf分岔中，在一個分支的終點(diǎn)不可能得到穩(wěn)定平衡的結(jié)果。代之是這個平衡分支分成為兩個分支，其結(jié)果對時間是周期性變化的。,5穩(wěn)定性和連續(xù)方法,連續(xù)方法和弧長法,跟蹤平衡分支的方法稱為連續(xù)方法。平衡分支的跟蹤是相當(dāng)困難的；對于連續(xù)性，仍然沒有實(shí)現(xiàn)強(qiáng)健和自動化的過程。下面描述基于參數(shù)化的連續(xù)方法-弧長法。,如果采用載荷增量求解，希望在A附近收斂，有可能跳到另一個替代平衡點(diǎn)A；同樣情況也適用于位移增量求解，有可能從B跳到B。如何跟蹤真正的平衡軌跡，采用弧長法。,5穩(wěn)定性和連續(xù)方法,連續(xù)方法和弧長法,在跟蹤分支時，荷載參數(shù)通常從零開始并逐漸增加。對于參數(shù)的每一個增量，計算平衡方程解答，即找到關(guān)于方程的解。,或者,在弧長法中，除了逐漸增加荷載參數(shù)之外，在位移荷載參數(shù)空間中的弧長度量也需要逐漸增加，這是通過在平衡方程中增加參數(shù)化方程實(shí)現(xiàn)的。,弧長增量,載荷增量,首先討論如何應(yīng)用荷載參數(shù)跟蹤分支。,位置變化,5穩(wěn)定性和連續(xù)方法,連續(xù)方法和弧長法,在步驟中弧長被橫切的近似值,載荷增量比例因數(shù),一個可能的比例因數(shù)與材料剛度矩陣的對角線單元有關(guān)，即,產(chǎn)生許多其它類型的參數(shù)化方程。方程的整個系統(tǒng)包括平衡方程和,弧長方程,參數(shù)化方程,(1),(2),5穩(wěn)定性和連續(xù)方法,連續(xù)方法和弧長法,這樣，有了一個附加的方程和一個附加的未知數(shù),使得弧長s(圓的半徑)是逐漸增加的?；￠L法既不是力加載，也不是位移加載，而是載荷位移混合加載。,假設(shè)節(jié)點(diǎn)外部荷載的分布不隨模型的變形而改變；當(dāng)荷載因子是從屬荷載的系數(shù)時，如壓力，根據(jù)荷載幾何的影響，必須修改方法以考慮到荷載分布的變化。上述不包括慣性項(xiàng)，因?yàn)檫B續(xù)方法僅適用于平衡問題。在結(jié)構(gòu)力學(xué)中，弧長法經(jīng)常稱為Riks方法（Riks,1972）,對于一個自由度的問題，這一過程是最容易解釋的。圖示淺桁架，假設(shè)在點(diǎn)n得到平衡解答。在荷載位移平面中，弧長方程(1)是一個圍繞點(diǎn)n的圓。參數(shù)方程(2)的解答是與該圓交叉的平衡分支。在點(diǎn)n增量荷載參數(shù)是無效的，因?yàn)樗謳Щ氐椒种?。在弧長法中，以沿分支的弧長形式重新表示問題，因此一個分支可能跟隨一個下降的荷載。在步驟中不需要增加荷載，而僅需要增加弧長參數(shù)，這是跟蹤分支的完美的自然方式。在兩個自由度的問題中，弧長方程可以圍繞平衡點(diǎn)定義一個球面或球，以及分支與球交叉的一個解答。,5穩(wěn)定性和連續(xù)方法,連續(xù)方法和弧長法,5穩(wěn)定性和連續(xù)方法,連續(xù)方法和弧長法,關(guān)于對稱桁架的參數(shù)方程可以設(shè)置如下：找到如下方程一個解答,根據(jù),在上面方程中，d是豎向位移，r是對應(yīng)殘數(shù)；假設(shè)水平位移為零。另外，可以將上述方程以位移和荷載參數(shù)增量的形式寫出：找到一個解答根據(jù)r=0得到,因此，對于含一個未知數(shù)的一組原始離散方程可以通過一個方程擴(kuò)展，并增加一個未知數(shù)。方程的解答可以通過標(biāo)準(zhǔn)Newton方法得到，設(shè),正確的結(jié)果通常是,的一個最大值，即相同方向上前一步的解答,5穩(wěn)定性和連續(xù)方法,例6.4,具有穩(wěn)定和不穩(wěn)定路徑問題的一個簡單例子是鉸接淺桁架，如圖所示。單元的初始橫截面面積為A0，兩個單元的初始長度為l0，,豎向荷載p施加在節(jié)點(diǎn)1上。由于這是唯一荷載，設(shè)p為荷載參數(shù)。材料服從Kirchhoff法則，,因?yàn)橄到y(tǒng)是保守的，通過尋找勢能的駐值點(diǎn)，將確定平衡路徑。通過線性穩(wěn)定性分析，檢驗(yàn)分支的穩(wěn)定性。,5穩(wěn)定性和連續(xù)方法,例6.4,通過中心節(jié)點(diǎn)的當(dāng)前豎向坐標(biāo)y1，描述桁架的變形。與以位移形式的方程相比，它導(dǎo)致了簡單的方程。勢能成為,兩個單元的Green應(yīng)變給出,兩個單元的內(nèi)能給出為,式中,組合上式和外力勢能得到整體勢能為,5穩(wěn)定性和連續(xù)方法,例6.4,應(yīng)用勢能駐值原理得到平衡方程。令上式的導(dǎo)數(shù)為零得到,節(jié)點(diǎn)力是中心點(diǎn)豎向位置的三次函數(shù)。平衡分支有兩個轉(zhuǎn)折點(diǎn)B和C，三個分支分別由AB、BC和CD表示。通過求解關(guān)于狀態(tài)y1的攝動和線性化的運(yùn)動方程，檢查分支的穩(wěn)定性。通常應(yīng)用切線剛度矩陣獲得線性化方程，在本例中，只是簡單地對節(jié)點(diǎn)力求導(dǎo)數(shù)。令節(jié)點(diǎn)1的位置為y1；按照公式以y1的形式，給出荷載,5穩(wěn)定性和連續(xù)方法,例6.4,攝動解答為,式中是一個小參數(shù)。運(yùn)動方程給出為,替換了,展開上述方程，并舍棄在,中高于線性的項(xiàng)，得到攝動的運(yùn)動方程,由于y1是平衡狀態(tài)，荷載p抵消了上式括號中的第一項(xiàng)，運(yùn)動方程成為,5穩(wěn)定性和連續(xù)方法,例6.4,將公式代入上式，服從,對于,在式中的一個參數(shù)是實(shí)數(shù)且為正，于是攝動解答將增長。因此由,所定義的分支BC是不穩(wěn)定的,對于,的任何其它值，系數(shù)是虛數(shù)，因此，攝動解答是具有常數(shù)幅值的調(diào)和函數(shù)，并且平衡點(diǎn)是線性穩(wěn)定的。,5穩(wěn)定性和連續(xù)方法,例6.4,上述穩(wěn)定性分析的結(jié)果可以直接由勢能函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)得到，從公式給出,檢驗(yàn)上述Jacobian是否為正定,當(dāng),其它情況,因此，對于其它通過攝動分析得到的結(jié)果，穩(wěn)定條件是一致的?？傊?，平衡分支AB和CD是穩(wěn)定的，而分支BC是不穩(wěn)定的。,RIKS算法對于塑性屈曲和后屈曲問題，需要通過跟蹤加載過程，由荷載-變形曲線識別其屈曲荷載.對這類問題采用有限元進(jìn)行分析時，常用的荷載增量法不適用，如前所述ABC段，增量可以不斷增加，而沒有側(cè)向變形跡象。采用在有限元軟件中應(yīng)用的RIKS法。在采用RIKS法進(jìn)行屈曲或后屈曲分析時，需給結(jié)構(gòu)引入適當(dāng)?shù)某跏紨_動，如結(jié)構(gòu)的幾何或材料的初始缺陷，可以采用實(shí)際結(jié)構(gòu)的缺陷，如制造、安裝誤差等。在結(jié)構(gòu)設(shè)計階段，這難以做到，常用的方法是采用彈性屈曲模態(tài)的線性組合，作為假想的初始缺陷，見歐洲鋼殼結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性設(shè)計標(biāo)準(zhǔn)。,5穩(wěn)定性和連續(xù)方法,應(yīng)用實(shí)例,對于內(nèi)壓作用下的壓力容器，由彈性屈曲分析的結(jié)果顯示在內(nèi)壓作用下結(jié)構(gòu)不失穩(wěn)，故不能引入彈性屈曲模態(tài)的線性組合作為假想的初始缺陷。這里采用過渡段周向受壓區(qū)局部引入與靜力位移相關(guān)量作為初始幾何缺陷，分析荷載變形歷程，識別屈曲荷載及后屈曲。,5穩(wěn)定性和連續(xù)方法,應(yīng)用實(shí)例,如圖所示蝶形封頭壓力容器，由球殼(R1=402),柱殼(R2=201),過渡環(huán)殼(母線半徑R3=30),厚度(t=0.8),內(nèi)壓2.0MPa。彈性和彈塑性分析結(jié)果表明，在內(nèi)壓作用下，在過渡區(qū)局部向內(nèi)癟進(jìn)，證明該區(qū)域有局部壓應(yīng)力，其余大部分區(qū)域向外鼓脹。因此，不會因?yàn)閮?nèi)壓引起大部分區(qū)域失穩(wěn)，只有外壓作用才會失穩(wěn)。,5穩(wěn)定性和連續(xù)方法,應(yīng)用實(shí)例,在局部區(qū)域周向受壓，出現(xiàn)周向穩(wěn)定性問題，在內(nèi)壓達(dá)到一定值后過渡區(qū)可能形成周向皺褶。引入與靜力位移相關(guān)的幾何初始缺陷,預(yù)制局部突起，根據(jù)彈性靜力計算所得到變形量確定徑向突起量,5穩(wěn)定性和連續(xù)方法,應(yīng)用實(shí)例,網(wǎng)格如圖，8000個單元，為了考察初始缺陷對初始屈曲載荷的影響，將分別取0.11.0。屈曲發(fā)生位置典型節(jié)點(diǎn)的載荷位移曲線，載荷因子為,5穩(wěn)定性和連續(xù)方法,應(yīng)用實(shí)例,p為實(shí)際內(nèi)壓值，p0為常數(shù)內(nèi)壓值?？梢钥闯觯瑧?yīng)用Riks，可以捕捉到屈曲點(diǎn)，不同缺陷屈曲點(diǎn)有差別，初始屈曲載荷隨著初始缺陷值的增加而下降。,0.10.5，誤差為15，初始缺陷敏感。,5穩(wěn)定性和連續(xù)方法,應(yīng)用實(shí)例,在初始屈曲發(fā)生后繼續(xù)加載，并跟蹤結(jié)構(gòu)的變化狀態(tài)，發(fā)現(xiàn)隨著加載過程的進(jìn)行，在過渡區(qū)逐漸出現(xiàn)多處皺褶，與實(shí)驗(yàn)結(jié)果吻合。,5穩(wěn)定性和連續(xù)方法,應(yīng)用實(shí)例,在初始屈曲發(fā)生后繼續(xù)加載，并跟蹤結(jié)構(gòu)的變化狀態(tài)，發(fā)現(xiàn)隨著加載的過程，在過渡區(qū)逐漸出現(xiàn)多處皺褶，在荷載位移曲線上產(chǎn)生多個極值點(diǎn)，這是屈曲部位逐漸增加的反映。,5穩(wěn)定性和連續(xù)方法,應(yīng)用實(shí)例,在本例中，對于不同初始幾何缺陷，后屈曲載荷相差較小，后繼屈曲載荷因子，最大與最小誤差小于2，表明后屈曲載荷對初始缺陷值不敏感。,5穩(wěn)定性和連續(xù)方法,方法評述,在結(jié)構(gòu)非線性分析中的平衡方程是一個非線性代數(shù)方程組，數(shù)學(xué)上對其求解有多種方法，常用的有增量法、迭代法和混合法。在結(jié)構(gòu)非線性全過程跟蹤分析中，當(dāng)載荷達(dá)到極值點(diǎn)附件時，結(jié)構(gòu)的切線剛度矩陣變?yōu)槠娈?。此時，一般的平衡迭代法，會使收斂變得很慢或根本無法收斂。通常