計(jì)數(shù)原理與排列組合經(jīng)典題型

計(jì)數(shù)原理與排列組合題型解題方法總結(jié)計(jì)數(shù)原理一、知識(shí)精講 1、分類(lèi)計(jì)數(shù)原理： 2、分步計(jì)數(shù)原理： 特別注意:兩個(gè)原理的共同點(diǎn)：把一個(gè)原始事件分解成若干個(gè)分事件來(lái)完成。 不同點(diǎn)：如果完成一件事情共有n類(lèi)辦法，這n類(lèi)辦法彼此之間相互獨(dú)立的，無(wú)論哪一類(lèi)辦法中的哪一種方法都能單獨(dú)完成這件事情，求完成這件事情的方法種數(shù)，就用分類(lèi)計(jì)數(shù)原理。分類(lèi)時(shí)應(yīng)不重不漏（即任一種方法必須屬于某一類(lèi)且只屬于這一類(lèi)）如果完成一件事情需要分成n個(gè)步驟，各個(gè)步驟都是不可缺少的，需要依次完成所有的步驟，才能完成這件事，而完成 每一個(gè)步驟各有若干種不同的方法，求完成這件事情的方法種數(shù)就用分步計(jì)數(shù)原理。各步驟有先后，相互依存，缺一不可。 3、排列 (1)排列定義,排列數(shù) (2)排列數(shù)公式: (3)全排列列: 4. 組合 (1)組合的定義,排列與組合的區(qū)別; (2)組合數(shù)公式: (3) 組合數(shù)的性質(zhì)二、.典例解析 題型1:計(jì)數(shù)原理例1.完成下列選擇題與填空題 (1)有三個(gè)不同的信箱,今有四封不同的信欲投其中,則不同的投法有 種。 A.81 B.64 C.24 D.4 (2)四名學(xué)生爭(zhēng)奪三項(xiàng)冠軍,獲得冠軍的可能的種數(shù)是( ) A.81 B.64 C.24 D.4 (3)有四位學(xué)生參加三項(xiàng)不同的競(jìng)賽, 每位學(xué)生必須參加一項(xiàng)競(jìng)賽,則有不同的參賽方法有 ; 每項(xiàng)競(jìng)賽只許有一位學(xué)生參加,則有不同的參賽方法有 ; 每位學(xué)生最多參加一項(xiàng)競(jìng)賽,每項(xiàng)競(jìng)賽只許有一位學(xué)生參加,則不同的參賽方法有 。例2（1）如圖為一電路圖，從A到B共有 條不同的線路可通電。 A B 例3: 把一個(gè)圓分成3塊扇形，現(xiàn)在用5種不同的顏色給3塊扇形涂色，要求相鄰扇形的顏色互不相同，問(wèn)有多少鐘不同的涂法？若分割成4塊扇形呢？ 例4、某城在中心廣場(chǎng)造一個(gè)花圃，花圃分為6個(gè)部分(如圖).現(xiàn)要栽種4種不同顏色的花，每部分栽種一種且相鄰部分不能栽種同樣顏色的花，不同的栽種方法有 _ 種.(以數(shù)字作答) 例5、 四面體的頂點(diǎn)和各棱的中點(diǎn)共10個(gè)，在其中取4個(gè)不共面的點(diǎn)，問(wèn)共有多少種不同的取法？ 例6、（1）電視臺(tái)在”歡樂(lè)今宵”節(jié)目中拿出兩個(gè)信箱,其中存放著先后兩次競(jìng)猜中成績(jī)優(yōu)秀的觀眾來(lái)信,甲信箱中有30封,乙信箱中有20封.現(xiàn)有主持人抽獎(jiǎng)確定幸運(yùn)觀眾,若先確定一名幸運(yùn)之星,再?gòu)膬尚畔渲懈鞔_定一名幸運(yùn)伙伴,有多少種不同的結(jié)果?（2） 三邊均為整數(shù)，且最大邊長(zhǎng)為11的三角形的個(gè)數(shù)是 題型2:排列、組合問(wèn)題處理策略一.元素個(gè)數(shù)較少的排列組合問(wèn)題枚舉法:1、設(shè)有編號(hào)為1，2，3，4，5的五個(gè)球和編號(hào)為1，2，3，4，5的盒子現(xiàn)將這5個(gè)球投入5個(gè)盒子要求每個(gè)盒子放一個(gè)球，并且恰好有兩個(gè)球的號(hào)碼與盒子號(hào)碼相同，問(wèn)有多少種不同的方法？2、學(xué)號(hào)為1、2、3、4的學(xué)生坐到編號(hào)為1、2、3、4的四張凳子上，要求學(xué)生的學(xué)號(hào)與其所坐的凳子編號(hào)不同，問(wèn)有多少種不同的坐法？二、特殊元素和特殊位置優(yōu)先策略3、.由0,1,2,3,4,5可以組成多少個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字五位奇數(shù).4、 五個(gè)人排成一排，其中甲不在排頭，乙不在排尾，不同的排法有 ( ）A120種 B96種 C78種 D72種 三、相鄰捆綁、不相鄰插空5、（1）7人站成一排照相， 若要求甲、乙、丙不相鄰，則有多少種不同的排法？ （2）7人站成一排照相，甲、乙、丙三人相鄰，有多少種不同排法？6、馬路上有8只路燈，為節(jié)約用電又不影響正常的照明，可把其中的三只燈關(guān)掉，但不能同時(shí)關(guān)掉相鄰的兩只或三只，也不能關(guān)掉兩端的燈，那么滿(mǎn)足條件的關(guān)燈方法共有多少種？7、某人射擊8槍?zhuān)?槍?zhuān)?槍命中恰好有3槍連在一起的情形的不同種數(shù)為8、一個(gè)晚會(huì)的節(jié)目有4個(gè)舞蹈,2個(gè)相聲,3個(gè)獨(dú)唱,舞蹈節(jié)目不能連續(xù)出場(chǎng),則節(jié)目的出場(chǎng)順序有多少種？4、 不盡相異元素、定序問(wèn)題倍縮法9、（1）7人排隊(duì),其中甲乙丙3人順序一定共有多少不同的排法 （2）10人身高各不相等,排成前后排，每排5人,要求從左至右身高逐漸增加，共有多少排法？ （3）由4個(gè)A和3個(gè)B可以組成多少個(gè)7位字符信息？5、 分排問(wèn)題“直排法”10、7個(gè)人坐兩排座位，第一排3個(gè)人，第二排坐4個(gè)人，則不同的坐法有多少種？11、8人排成前后兩排,每排4人,其中甲乙在前排,丁在后排,共有多少排法六、重排問(wèn)題方冪策略（住店、投郵、影射）12、把6名實(shí)習(xí)生分配到7個(gè)車(chē)間實(shí)習(xí),共有多少種不同的分法13、某8層大樓從一樓電梯上來(lái)8名乘客人,他們 到各自的一層下電梯,則他們下電梯的方法有多少種？七.構(gòu)造模型的策略14、10個(gè)相同的球裝5個(gè)盒中,每盒至少一個(gè)有多少裝法？15、 方程a+b+c+d=12有多少組正整數(shù)解？八、排列組合混合問(wèn)題先選后排策略16、有5個(gè)不同的小球,裝入4個(gè)不同的盒內(nèi),每盒至少裝一個(gè)球,共有多少不同的裝法.17、一個(gè)班有6名戰(zhàn)士,其中正副班長(zhǎng)各1人，現(xiàn)從中選4人完成四種不同的任務(wù),每人完成一種任務(wù),且正副班長(zhǎng)有且只有1人參加,則不同的選法有_ 種九、.正難則反總體淘汰策略18、我們班里有43位同學(xué),從中任抽5人,正、副班長(zhǎng)、團(tuán)支部書(shū)記至少有一人在內(nèi)的抽法有多少種?十、無(wú)編號(hào)平均分組問(wèn)題除法策略19、6本不同的書(shū)平均分成3堆,每堆2本共有多少分法？20、10名學(xué)生分成3組,其中一組4人, 另兩組3人但正副班長(zhǎng)不能分在同一組,有多少種不同的分組方法 21、某校高二年級(jí)共有六個(gè)班級(jí)，現(xiàn)從外地轉(zhuǎn) 入4名學(xué)生，要安排到該年級(jí)的兩個(gè)班級(jí)且每班安排2名，則不同的安排方案種數(shù)為 十一 化歸策略 22、 25人排成55方隊(duì),現(xiàn)從中選3人,要求3人不在同一行也不在同一列,不同的選法有多少種？23、某城市的街區(qū)由45條街道組成，從西南A走到東北B的最短路徑有多少種？三、練習(xí)題組：1、7種不同的花種在排成一列的花盆里,若兩種葵花不種在中間，也不種在兩端的花盆里，問(wèn)有多少不同的種法？2、把6名實(shí)習(xí)生分配到7個(gè)車(chē)間實(shí)習(xí),共有多少種不同的分法3.(1)在 這五個(gè)數(shù)字組成的沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)中,各位數(shù)字之和為奇數(shù)的共有( ） (A)36個(gè) (B)24個(gè) (C)18個(gè) (D)6個(gè)(2)從4名男生和3名女生中選出3人,分別從事三項(xiàng)不同的工作,若這3人中至少有1名女生,則選派方案共有( ) (A)108種 (B)186種 (C)216種 (D)270種 (3)在數(shù)字1,2,3與符號(hào)+,-五個(gè)元素的所有全排列中,任意兩個(gè)數(shù)字都不相鄰的全排列個(gè)數(shù)是( ) A.6 B. 12 C. 18 D. 24 (4)高三(一)班學(xué)要安排畢業(yè)晚會(huì)的4各音樂(lè)節(jié)目,2個(gè)舞蹈節(jié)目和1個(gè)曲藝節(jié)目的演出順序,要求兩個(gè)舞蹈節(jié)目不連排,則不同排法的種數(shù)是( ) (A)1800 (B)3600 (C)4320 (D)50404.(1)用數(shù)字0,1,2,3,4組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù),則其中數(shù)字1,2相鄰的偶數(shù)有 個(gè)(用數(shù)字作答); (2)電視臺(tái)連續(xù)播放6個(gè)廣告,其中含4個(gè)不同的商業(yè)廣告和2個(gè)不同的公益廣告,要求首尾必須播放公益廣告,則共有 種不同的播放方式(結(jié)果用數(shù)值表示). 5.(1)將5名實(shí)習(xí)教師分配到高一年級(jí)的3個(gè)班實(shí)習(xí),每班至少1名,最多2名,則不同的分配方案有( ) (A)30種 (B)90種 (C)180種 (D)270種 (2)將4個(gè)顏色互不相同的球全部放入編號(hào)為1和2的兩個(gè)盒子里,使得放入每個(gè)盒子里的球的個(gè)數(shù)不小于該盒子的編號(hào),則不同的放球方法有( ) A.10種 B.20種 C.36種 D.52種 6.(1)某校從8名教師中選派4名教師同時(shí)去4個(gè)邊遠(yuǎn)地區(qū)支教(每地1人),其中甲和乙不同去,則不同的選派方案共有 種; (2)5名志愿者分到3所學(xué)校支教,每個(gè)學(xué)校至少去一名志愿者,則不同的分派方法共有 (A)150種 (B)180種 (C)200種 (D)280種 7、.已知直線ax+by+c=0中的a,b,c是取自集合-3,-2,-1,0,1,2,3中的3個(gè)不同的元素,并且該直線的傾斜角為銳角,求符合這些條件的直線的條數(shù)8、甲、乙、丙、丁四個(gè)公司承包8項(xiàng)工程，甲公司承包3項(xiàng)工程，乙公司承包1項(xiàng)，丙、丁各承包2項(xiàng)，問(wèn)共有 種承包方式？ 9、 停車(chē)場(chǎng)劃出一排12個(gè)停車(chē)位置，今有8輛車(chē)需要停放，要求空位置連在一起，不同的停車(chē)方法有多少種？10、x+y+z+w=100求這個(gè)方程組的正整數(shù)解的組數(shù)11、.設(shè)有編號(hào)1,2,3,4,5的五個(gè)球和編號(hào)1,2，3,4,5的五個(gè)盒子,現(xiàn)將5個(gè)球投入這五個(gè)盒子內(nèi),要求每個(gè)盒子放一個(gè)球，并且恰好有兩個(gè)球的編號(hào)與盒子的編號(hào)相同,.有多少投法12、.正方體的8個(gè)頂點(diǎn)可連成多少對(duì)異面直線13、3個(gè)人坐在一排8個(gè)椅子上，若每個(gè)人左右兩邊都有空位，則坐法的種類(lèi)有多少種？14（2008陜西，16）某地奧運(yùn)火炬接力傳遞路線共分6段，傳遞活動(dòng)分別由6名火炬手完成。如果第一棒火炬手只能從甲、乙、丙三人中產(chǎn)生，最后一棒火炬手只能從甲、乙兩人中產(chǎn)生，則不同的傳遞方案