旋轉(zhuǎn)圖案設(shè)計教學知識

教學知識要點1旋轉(zhuǎn)的概念在平面內(nèi)，將一個平面圖形F上的每一個點，繞這個平面內(nèi)一定點旋轉(zhuǎn)同一個角，得到圖形F，圖形的這種變換就叫做旋轉(zhuǎn)，這個定點叫做旋轉(zhuǎn)中心，角叫做旋轉(zhuǎn)角。2旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)（1）對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等。（2）對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心的連線所成的角彼此相等，且等于旋轉(zhuǎn)角。（3）旋轉(zhuǎn)變化前后，對應(yīng)線段、對應(yīng)角分別相等，圖形的大小、形狀都不改變。3設(shè)計圖案所能應(yīng)用的變換類型（1）平移變換；（2）旋轉(zhuǎn)變換；（3）軸反射變換；（4）旋轉(zhuǎn)變換與平移變換的組合；（5）旋轉(zhuǎn)變換與軸對稱變換的組合；（6）軸對稱變換與平移變換的組合?！镜湫屠}】基礎(chǔ)知識題例1如圖1所示，點C在線段BE上，ABC與DCE均為等邊三角形，觀察圖形，指出BCD是由哪個三角形旋轉(zhuǎn)而成的，并指出旋轉(zhuǎn)中心及旋轉(zhuǎn)的角度。分析（1）先根據(jù)已知及圖形，探尋符合旋轉(zhuǎn)的兩個三角形（其中BCD是已知的），然后根據(jù)定義及旋轉(zhuǎn)的特征加以判斷。（2）旋轉(zhuǎn)過程中保持不動的點為旋轉(zhuǎn)中心，故C點為旋轉(zhuǎn)中心。（3）旋轉(zhuǎn)的角度應(yīng)是一對對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心連線所夾的角。此題中點D與點E是對應(yīng)點，故DCE的度數(shù)是旋轉(zhuǎn)的角度60，而不是BCD120，這一點請同學們一定要注意。解由已知ABC與DCE是等邊三角形，得ACB60，DCE60BCD120，ACE120又ACBC，CDCE可判斷BCD是由ACE旋轉(zhuǎn)而成的。BCD是由ACE繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)而成的，旋轉(zhuǎn)中心是點C，旋轉(zhuǎn)的角度是60。例2如圖2所示，四邊形AOBC繞O點旋轉(zhuǎn)得到四邊形DOEF，說出這個旋轉(zhuǎn)過程中（1）旋轉(zhuǎn)中心是什么旋轉(zhuǎn)角是什么（2）經(jīng)過旋轉(zhuǎn)，點A、B、C分別移動到什么位置（3）相等的線段有哪些（4）相等的角有哪些解（1）四邊形AOBC繞O點旋轉(zhuǎn)得到四邊形DOEF，所以很顯然旋轉(zhuǎn)中心是O點。又因為B和E點是對應(yīng)點，所以BOE是旋轉(zhuǎn)角。（2）觀察圖形可知，點A、點B、點C分別移動到D點、E點、F點。（3）相等的線段有AODO，BOEOACDF，BCEF（4）相等的角有AOBDOE，CFBE，AD能力提高題例3如圖3所示，AB是長為8CM的線段，且CDAB于O，你能借助旋轉(zhuǎn)的方法求出圖形中陰影部分的面積嗎說說你的做法。解（1）我們可以把最里邊的圓按順時針方向旋轉(zhuǎn)90，把最外邊大圓環(huán)按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90，而中間圓環(huán)保持不動，這樣陰影部分便拼成了一個半徑為4CM的扇形。（2）所以陰影部分的面積為SABCM414222強調(diào)此題借助了旋轉(zhuǎn)和拼接的方法。例4如圖4是由三個正三角形拼成的，它可以看作是由其中一個三角形經(jīng)過怎樣的變化而得到的解有三種方式（1）可看作是由ABC繞點B順時針旋轉(zhuǎn)60，120得到的。（2）還可看作是由EDB繞B點逆時針旋轉(zhuǎn)60，120得到的。（3）還可看作是由CBD沿CB所在直線作軸對稱和沿DB所在直線作軸對稱得到的。創(chuàng)新應(yīng)用題例5如圖5所示，正方形ABCD中，E為BC邊上一點，將ABE旋轉(zhuǎn)后得到CBF。（1）指出旋轉(zhuǎn)中心及旋轉(zhuǎn)的角度。（2）判斷AE與CF的位置關(guān)系。（3）如果正方形的面積是18CM2，BCF的面積是5CM2，問四邊形AECD的面積是多少分析本題要充分運用旋轉(zhuǎn)的特征，即幾何圖形的旋轉(zhuǎn)不變性來解決上述問題。解（1）由于ABE旋轉(zhuǎn)到CBF的位置時，點B保持不動，故B點是旋轉(zhuǎn)中心。又由ABC90，旋轉(zhuǎn)角度為90。（2）由于AEBBAE90FAEBBAEF90AECF（3）由旋轉(zhuǎn)的特征，ABE和CBF的形狀和大小相同，故ABE與CBF的面積相等所以SCMABECF52四邊形正方形SDABDABE1832C四邊形SAEC2例6在四邊形ABCD中，ADCABC90，ADCD，DPAB于點P，若四邊形ABCD的面積是36，求DP的長。分析通過觀察題目的已知條件，將RTADP繞D點逆時針旋轉(zhuǎn)90，使DA與DC重合。P點落在P點的位置，這樣將求不規(guī)則的四邊形ABCD的面積轉(zhuǎn)化為求規(guī)則圖形DPBP的面積。解將RTADP繞D點逆時針旋轉(zhuǎn)90，使DA與DC重合，ADP落在DCP的位置。DPBBP90四邊形DPBP是正方形四邊形正方形SPACDB236P36中考熱點題例7試用兩個圓、兩個三角形、兩條平行線段設(shè)計一些具有平移、旋轉(zhuǎn)和軸對稱關(guān)系的圖案來，并說明你的設(shè)計意圖。分析由于圓、線段既是軸對稱圖形，又是能繞圓心或中心旋轉(zhuǎn)180重合的圖形，只要所選用三角形為等邊三角形或等腰三角形，便不難將三者有機結(jié)合，設(shè)計出一些合理的圖案來。生活中具有平移、旋轉(zhuǎn)、軸對稱關(guān)系的圖案有很多，應(yīng)善于捕捉生活中這些美麗的圖案，積累素材，才能為自己的圖案設(shè)計提供很好的生活素材，打下基礎(chǔ)。設(shè)計的圖案要有豐富的現(xiàn)實意義，并能夠用簡潔的語言表述自己設(shè)計圖案的意圖。下面僅舉幾例，以供同學們參考。解（1）平移關(guān)系（2）旋轉(zhuǎn)關(guān)系（3）軸對稱關(guān)系【模擬試題】（答題時間30分鐘）1判斷題（1）一個圖形只有繞旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)360才有可能與它自己重合。（）（2）圓不管旋轉(zhuǎn)多少度總是得到圓。（）（3）繞某點順時針旋轉(zhuǎn)N與繞同一點逆時針旋轉(zhuǎn)360N實際得到的圖形一致。（）（4）圓不管旋轉(zhuǎn)多少度總是得到與它自己重合的圓。（）2填空題（1）正方形ABCD對角線AC與BD相交于O，正方形ABCD繞點O順時針旋轉(zhuǎn)180得到的像與原像的關(guān)系是_。（2）在下列數(shù)字與字母中，旋轉(zhuǎn)90可與自身開頭一樣的有_，旋轉(zhuǎn)180可與自己開頭一樣的有_。ABHIOM38XS（3）以等腰直角三角形ABC的直角邊AB、AC向外作等邊三角形ABM和等邊三角形CAN，連結(jié)BN、CM，則下圖甲中三角形ABN與三角形CAM可以通過以點A為旋轉(zhuǎn)中心，旋轉(zhuǎn)角為_度的旋轉(zhuǎn)變換而互相得到。圖甲（4）如下圖乙可看作是一個_，繞_點，_時針，旋轉(zhuǎn)_次，每次旋轉(zhuǎn)_度而得到的。圖乙3用一個圓，一個正三角形，利用平移、旋轉(zhuǎn)和軸對稱設(shè)計一個圖案，并說明你所表達的含義（三種方法必須都采用）。4如圖四邊形ABCD中有P點，（1）作四邊形繞P順時針旋轉(zhuǎn)90，所得四邊形ABCD。（2）作BC繞P逆時針旋轉(zhuǎn)45，所得BC。（3）作B繞D點逆時針旋轉(zhuǎn)145。5請你用圓規(guī)三角板設(shè)計一個你喜歡的圖案。【試題答案】1（1）（2）（3）（4）2（1）完全重合（2）O、X；H、I、O、X、S、8（3）60（4）正方形；O；順；3；90、180、27034略5略【典型例題】例1觀察下列圖形，有什么感受，每個圖形有什么特點1234分析先觀察，每個圖形沿著一條直線折疊，左右兩部分或上下兩部分是否重合，若重合，則為軸對稱圖形，這樣的直線是它的對稱軸。解通過觀察，這些圖形都給人一種對稱美感受，圖（1）是左右對稱的圖形，圖（4）是左右對稱的圖形，它們都只有一條對稱軸。圖（2）有4條對稱軸，可以上下對稱，也可左右對稱。圖（3）有2條對稱軸，可上下對稱，也可左右對稱。例2觀察下列圖形，哪一個圖形不是軸對稱圖形1234解根據(jù)軸對稱圖形的特點可判定圖（1）、（2）、（3）為軸對稱圖形。圖（4）不是軸對稱圖形。例3如圖所示左右對稱的是（）ABDC分析要使左右對稱，必須找到一條直線，沿這條直線對折，左右兩邊圖形重合。解顯然左右對稱的是（B）。例4利用直尺、圓規(guī)和三角尺，怎樣畫出下面圖案OA1BC2A分析圖（1）是6個花瓣的花，圖（2）是3個花瓣的花，仔細觀察它們花瓣的尖到花心的距離相等，每兩個相鄰的花瓣尖之間的距離相等，每個花瓣的尖都可想到在以花心為圓心，花尖與花心的距離為半徑的圓上。圖（1）的6個花尖分布在這樣的圓的6個6等分點上，圖（2）的3個花尖分布在這樣的圓的3個3等分點上，仔細看圖（1），由2條藍線圓弧，2條紅線圓弧，2條鉛筆線圓弧構(gòu)成。2條藍線圓弧是以B、B1為圓心，花尖到花心的距離為半徑畫的弧，2條紅線圓弧以A、A1為圓心，2條鉛筆線圓弧是以C、C1為圓心，半徑一樣長畫的弧，關(guān)鍵要確定6個花尖的位置，要畫一個以圖（1）中花尖到花心的距離為半徑的圓，把圓6等分，圖（2）的畫法與圖（1）的畫法類似。解（1）圖（1）的作圖步驟為A以一點O為圓心，以圖（1）中OA長為半徑畫圓。B過O作一直線A1B1，以A1為圓心，OA長為半徑畫弧交圓O于C、B，再以B1為圓心，OA長為半徑畫弧交O于A、C1，這時，A1、B、C1、B1、A、C為圓O六等分點。C以這6個等分點為圓心，OA長為半徑畫弧。6條弧構(gòu)成圖（1）的圖案，如下圖（要擦去輔助線）AB1CO（2）圖（2）的作圖步驟為A以O(shè)“為圓心，OA長為半徑畫圓。B以O(shè)“為圓心，作圓O“的直徑，以與圖（1）的第二步的方法一樣作出圓O“的6個等分點，A1、B1、C1、D1、E1、F1，擦去B1、D1、F1。C以A1、C1、E1為圓心，OA長為半徑畫三條弧構(gòu)成圖（2）的圖案，如下圖（擦去輔助線）1O“ABC例5如圖是一張88的棋盤紙，你能否只剪一刀就將棋盤剪成許多22的小紙塊分析只剪一刀將棋盤剪成許多22的小紙塊，如果不對折再剪根本不可能剪一刀達到目的，對折一次84，再對折一次44，再對折一次42，再對折一次22，要折四次再剪，若四次全為對折，剪下來的可出現(xiàn)三角形，因此第一次可以將四個角折起。解按下圖所示過程剪將四角拼起沿虛線折再沿虛線對折再折再折剪開【模擬試題】（答題時間20分鐘）1請舉出你所見到的對稱形式的實例兩個，并畫出來。2中央電視臺開心辭典欄目有下列的問題，請從（1）（4）中選擇適當?shù)膱D形填入“”處12343你能畫出如下圖案嗎4給下列圖案取一個新穎的命名吧12【試題答案】1可以畫樹葉、花、建筑物、日用品、畫圖略。2（4）3略4（1）“笑口常開”等（答案不唯一）（2）“面面相覷”（答案不唯一）四教學知識要點1常見的平面圖形有三角形、四邊形、五邊形、六邊形、八邊形這些平面圖形稱為多邊形、正三角形、正四邊形、正五邊形，它們都是各條邊相等的多邊形，統(tǒng)稱為正多邊形，常見的平面圖形還有圓、扇形等。多邊形是由線段圍成的封閉圖形，圓是由曲線圍成的封閉圖形，扇形是由曲線和線段圍成的圖形，每一個多邊形都可以分割成若干個三角形。2空間圖形有由平面圖形圍成的，常見的有六面體（長方體、正方體都是六面體，它們由六個平面圖形長方形或正方形所圍成）、正四面體、正八面體、正十二面體、正二十面體，這些空間圖形稱為多面體，常見的空間圖形還有球、圓柱、圓錐、圓臺等對于多面體有VFE2。3觀察同一個物體，觀察者距離物體的遠近不同，觀察到物體的形狀是不同的。4觀察同一個物體，觀察物體的視線角度不同，觀察到物體的形狀也會有所不同。5光源發(fā)出的光照到不透明的物體上，在物體的背后形成一個光線照不到的或部分光線照不到的黑暗區(qū)域，成為物體的投影。【典型例題】例1指出下列圖形的名稱，它們是平面圖形還是空間圖形123456分析這些圖形都是由線段或曲線在同一平面內(nèi)圍成的封閉圖形，屬于平面圖形。解它們都是平面圖形）為扇形圖（）為圓圖（）為正六邊形圖（）為梯形圖（）為長方形圖（）為三角形圖（654321例2指出下列圖形的名稱，它們是平面圖形還是空間圖形124536分析這些圖形由一些平面圖形和曲面圍成，屬于空間圖形。解圖（1）為正四面體，圖（2）為圓柱，圖（3）為正方體，圖（4）為圓錐，圖（5）為三棱柱，圖（6）為圓臺。它們都是空間圖形。例3如圖所示是某些多面體的平面展開圖，說出這些多面體的名稱。12分析圖（1）可以把四周的四個三角形折合封閉圍成一個四棱錐或者說一個五面體，圖（2）中可把有陰影的正方形不動，其余正方形折合封閉圍成六面體或者說一個正方體。解圖（1）是一個五面體的展開圖。圖（2）是一個正方體的展開圖。例4填空（1）正四面體的頂點數(shù)V4，面數(shù)F4，棱數(shù)E6。（2）正六面體的頂點數(shù)V8，面數(shù)F6，棱數(shù)E12。（3）正八面體的頂點數(shù)V6，面數(shù)F8，棱數(shù)E12。多面體的頂點數(shù)用V表示，面數(shù)F表示，棱數(shù)E表示。則有一規(guī)律可用一個公式來表示（歐拉公式）即VFE2。分析把正四面體、正六面體、正八面體的圖作出，再數(shù)頂點個數(shù)V，面數(shù)F，棱數(shù)E，再填空。正四面體CB正六面體CBADA正八面體AHDEFAG例5一個多面體的棱數(shù)E為30，頂點數(shù)V為20，它有多少個面解設(shè)面數(shù)為F，則2V即031答案它有12個面例6確定圖中路燈的位置，畫出第三根旗桿的影子。AO燈C第三根CB分析在圖中相應(yīng)的點上標上A，A，B，B，C，連AA，BB兩線延長交于O，O點處為燈的位置，連OC，并延長交路上一點為C。圖中C點到第三根旗桿腳的那條線段則為第三根旗桿的影子。例7觀察一幢高層樓房，如果在你站的位置正好能看到樓房的一至三層，若想看到更高的幾層樓你是應(yīng)該由你站的位置向前走還是往后退分析如圖所示不管你在哪個位置，你的視角不變的，若向前走，看的樓層少了，如（1）的位置，若往后退，退到（2）的位置，則看的樓層高些，多些。三層（1）（2）解若想看到更高的樓層，要往后退?！灸M試題】（答題時間25分鐘）一填空題1正十二面體的頂點數(shù)V_，面數(shù)F_，棱數(shù)E_。2一個多面體的頂點數(shù)V，面數(shù)F，棱數(shù)E三者之間的關(guān)系式為_。3在同一平面內(nèi)，由一些_圍成的封閉圖形稱為平面圖形。4圓柱是_圖形，它的兩個底是_，側(cè)面為_。5把一個三棱錐切去一個角，看到的平面圖形為_。二解答題1有一個正多面體，它的頂點數(shù)、面數(shù)、棱數(shù)的比為223，它是一個正幾面體并畫出它的圖形。2一個正方體木塊，六個面上分別寫著1、2、3、4、5、6，從三個不同的角度觀察的結(jié)果如圖所示，這個正方體每兩個相對的面上的數(shù)各是幾345133有一個正方形花壇，現(xiàn)要把它分成面積相同的八塊，分別種上不同顏色的花。（1）如果要求這樣分成的八塊形狀相同，請設(shè)計幾種方案來（2）如果要求八塊中的每四塊形狀相同，應(yīng)如何設(shè)計【試題答案】一填空題120，12，3022EFV3線段或曲線4空間，圓，曲面5三角形二解答題1解設(shè)XEFXV32，則3264V，所以它為正四面體，圖形如下2解由圖可知與“4”相對的面的數(shù)字不可能為3、5、1、6，所以與“4”相對的為“2”，同理可推與“3”相對的面的數(shù)字為“6”，與“5”相對的面的數(shù)字為“1”。3答案略。（答案不唯一）四教學知識要點1全等三角形能夠完全重合的兩個三角形叫做全等三角形。2全等三角形的有關(guān)概念兩個全等三角形重合時，互相重合的頂點叫做對應(yīng)頂點，互相重合的邊叫做對應(yīng)邊，互相重合的角叫做對應(yīng)角。3全等三角形的性質(zhì)全等三角形的對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等。4三角形全等的判定定理（1）三邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等，簡寫成“邊邊邊”或“SSS”；（2）兩邊和它們的夾角對應(yīng)相等的兩個三角形全等，簡寫成“邊角邊”或“SAS”；（3）兩角和它們的夾邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等，簡寫成“角邊角”或“ASA”；（4）兩個角和其中一個角的對邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等，簡寫成“角角邊”或“AAS”。5三角形的穩(wěn)定性三角形的大小和形狀是固定不變的，三角形的這個性質(zhì)叫做三角形的穩(wěn)定性。6判定三角形全等的方法有SAS、ASA、AAS、SSS，全等三角形的定義五種方法。7利用全等三角形證明線段相等或角相等的思路（1）觀察線段或角在哪兩個可能全等的三角形中；（2）分析要證全等的兩個三角形，已知什么條件，還缺什么條件；（3）設(shè)法得證所缺條件；（4）當待證線段和角不分布在兩個三角形中，可考慮添加輔助線?！镜湫屠}】基礎(chǔ)知識題例1如圖所示，ABCDEF，且B與E，C與F是對應(yīng)頂點，問怎樣“平移”和“翻轉(zhuǎn)”可以使它們重合ABCEFD分析兩個全等三角形是一定可以重合的，使兩個圖形完全重合的方法有三種一是平移，二是翻轉(zhuǎn)，三是旋轉(zhuǎn)，它們是圖形變換中的常見形式。解本題只需把DEF沿EF翻轉(zhuǎn)180成虛線組成的三角形，再往左平移|BE|個單位就能重合于ABC。能力提高題例2如圖所示，在ABC中，AD是BC邊上的中線，求證ABAC2AD。分析證明三邊之間的關(guān)系，我們常常把三邊集中到一個三角形中，利用三角形的任意兩邊之和大于第三邊或任意兩邊之差小于第三邊。而本題中要證明的ABAC2AD這個不等關(guān)系中的三邊AB、AC、AD不在同一個三角形中，所以解題的關(guān)鍵就是想辦法把它們通過等量變換，使它們集中到一個三角形中，為了達到這個目的，我們把中線AD延長一倍至E，構(gòu)造出ECDABD，從而出現(xiàn)一些對應(yīng)相等的線段和角，我們把這種添加輔助線的方法叫“倍長中線法”。證明延長AD到E，使DEADAD是BC邊上的中線BDCD在ABD與ECD中ADEBCSAABEC（全等三角形對應(yīng)邊相等）又ECACAE（三角形兩邊之和大于第三邊）ABAC2AD例3如圖所示，已知AP/BC，PAB的平分線與CBA的平分線相交于E，CE的連線交AP于D，求證ADBCAB。PPQD2EC3DECAF1BAB甲乙45分析要證明兩線段之和等于第三條線段，我們常常需要通過等長線段轉(zhuǎn)移，使三條線段集中到一條直線上，要達到這個目的，我們常采用“截長補短法”。如圖甲所示，在AB上先截取AFAD，只要證FBBC即可，這種方法就是“截長法”。如圖乙所示，在AP上截取AQAB，只要證DQBC即可，這種方法就是“補短”法。證明方法1如圖甲所示，在AB上截取AFAD，連結(jié)EFAE平分PAB，AEAEDAEFAE（SAS）ADEF，12又，PBC/1又平分，EBEFASBCAD即證明方法2如圖乙所示，在AP上截取AQAB，連結(jié)QE。AE平分PAB，AE公共AEQBS，34又平分C453APBD/，EQCASQB即ADB例4如圖所示，ABCD，ADBC，求證AB/DC。DC21AB分析此題要證明兩條直線平行，通常要證明角相等或互補，我們可以通過添加輔助線連結(jié)AC，構(gòu)造出一對全等三角形，從而得到相等的線段或角，這是幾何證題的一種重要思路。證明連結(jié)AC，在ABC與CDA中ABCD（已知）（已知）（公共邊）S12（全等三角形對應(yīng)角相等）ABDC/（內(nèi)錯角相等兩直線平行）創(chuàng)新拓展題例5已知如圖所示，過線段AB的兩個端點作射線AM，BN，使AM/BN，請按下列步驟畫圖并回答（1）畫MAB、NBA的平分線交于點E，AEB是什么角為什么（2）過點E任作一線段交AM于D，交BN于C，觀察線段DE、CE，有何發(fā)現(xiàn)證明其猜想。（3）試證明無論DC的兩個端點在AM、BN上如何移動，只要DC經(jīng)過E，ADBC的值都不變。AMADDMADM4464333EEE111BNBCCFNBCFN甲乙丙22257分析這是一道作圖（正確畫圖）后通過獨立思考與探索（測量）作出合理猜想，然后證明的“開放型題”，此題型著眼于培養(yǎng)學生的數(shù)學發(fā)現(xiàn)能力和創(chuàng)造力。（1）題是兩條平行線的“三線八角”的基本圖形，問題即可證如果兩條平行線被第三條直線AB所截，那么一組同旁內(nèi)角的平分線互相垂直。因此可以利用平行線性質(zhì)和角平分線定義來證明。（2）題可利用特殊化的方法進行可靠的猜想，將點D移動到點A重合，易證ABECBE，所以DE（AE）CE。如圖乙所示，同樣方法，將點C移動到點B重合時，可得CE（BE）DE，因此可作猜想DECE。（3）題由（2）題中特殊化的方法可推出ADBCAB。解答（1）AEB90（如圖甲所示）證明AM/BNMABABN180又AE、BE分別平分MAB、ABN12312ABNMAB，1809E801（2）DECE（如圖乙所示）證明當D與A或C與B不重合時，延長AE交BN于F，由（1）知AEB90FB9在ABE和FBE中E12ABEFSAAEFE（全等三角形對應(yīng)邊相等）又AM/BN4567，在AEB和FEC中AFEDCASDECE（全等三角形對應(yīng)邊相等）當D與A重合或C與B重合時，只需證一次全等即可，方法同上，這里不再證明，請同學們自己完成。（3）ADBCAB證明由（2）知AEDFECADFC（全等三角形對應(yīng)邊相等）又由（2）知，AEBFEBABFB（全等三角形對應(yīng)邊相等）ADBCFB即AB是已知線段，所以長度是確定的命題得證?！灸M試題】（答題時間40分鐘）1填空題（1）若，且，則MQ_。MNPQNCMPC87，（2）如圖所示，四邊形ABCD繞A點旋轉(zhuǎn)45后與四邊形ABCD重合，則ABC與ABC的關(guān)系是_。CBCADD（3）如圖所示，A、B、C、D在同一直線上，且ACBD，12，要使AECDFB，則還需補充一個條件是_。ABCD12EF（4）已知如圖所示，把一張矩形紙片ABCD沿BD對折，使C點落在E處，BE與AD相交于點O，寫出一組相等的線段_（不包括ABCD和ADBC）。EAODBC（5）已知，的周長為10CM，AB3CM，BC4CM，則ACA_CM，_CM，_CM。BA2選擇題（1）如圖所示，等形圖ABCD是ABC經(jīng)過一次軸反射得到ABD，下列結(jié)論不一定成立的是（）ABABCDACDCDB/CABD（2）下列關(guān)于兩個全等三角形說法中，正確的是（）A面積相等B周長相等C對應(yīng)邊上的中線相等D以上都正確（3）下列各組條件下不能判定的是（）ABCEFAACDFBE，BD，CACDFBEAD，DCF，（4）下列說法正確的是（）A全等三角形是指形狀相同的兩個三角形B全等三角形是指面積相等的兩個三角形C全等三角形的周長和面積分別相等D所有的等邊三角形都全等3如圖所示，D是ABC的邊上BC的點，且CDAB，ADBBAD，AE是ABD的中線，求證AC2AE。ABEDC4如圖所示，D是ABC的邊BC的中點，DMDN，交AB于M，交AC于N，求證BMCNMN。ANMBDC5已知，AC平分DAB，若，求的CEA于AEBD12B度數(shù)。DCAEB【試題答案】1（1）7CM；（2）全等；（3）CEBF（4）OAOE或OBOD或ABED或CDED或BCBE或ADBE（5）3，4，32（1）D（2）D（3）B（4）C3證明延長AE到點F，使EFAE，連結(jié)DF，在ABE與FDE中AEBFDABC1又，DFAB在ADF與ADC中，有ADFCADFCE又2ABE1DCF4證明延長MD到E，使DEMD，連結(jié)NE、CE，在BDM和CDE中BDCMCDESAENNDNDS，在和中，90ME而在中，CEBNAMNBDCE5證明如圖所示，延長EB到F，使EFAEAFAE2BD在ACE和FCE中ECAFSABCEDCSF90，ABCBFD180180即DCAEBF【知識要點】1圖形的分割與拼接，得到各式各樣的幾何圖形，生產(chǎn)和生活中常用圖形分割與拼接組成各種各樣的器械和用具，數(shù)學中也常常用圖形割補來方便于圖形的計算。2平面圖形可以圍成空間圖形，空間圖形也可以展開成平面圖形。3觀察物體，從正面、上面、側(cè)面（左側(cè)面或右側(cè)面）三個不同方向看一個物體，描繪出三個方向看到的形狀，得出三個圖。我們把這三個圖分別叫正視圖、俯視圖、側(cè)視圖（左視圖或右視圖），這三個圖合在一起稱物體的三視圖。4三視圖不是物體的真實形狀，但由物體的三視圖可以想像出物體的真實形狀?！镜湫屠}】例1自制七巧板，將七巧板拼成一條金魚，再拼成一只帆船或一個矩形。解自制七巧板，如下圖（1）那樣，把正方形厚紙板分成七部分，再割開。1234567圖將七巧板拼成一條金魚如圖（2）。圖2將七巧板拼成一只帆船如圖（3）。圖3將七巧板拼成一個矩形如圖（4）?；驁D4注意用七巧板拼擺實物圖形，關(guān)鍵要熟悉七巧板的各部分組成及關(guān)系和有豐富的想像力。例2如圖所示正方形邊長為1分別計算陰影部分的面積。想一想，可得到怎樣的結(jié)論。2342134分析計算如圖陰影部分的面積可用“三角形面積底高”這個公式計12算，也可以用割補法，如第一個（左起）圖可把三角形（2）補到三角形（1）上，三角形（）補到三角形（）上，得到一個小正方形面積為。34124左起第二個圖三角形（2）補到三角形（1）上。左起第三個圖三角形（1）補到三角形（2）上，三角形（2）與（3）補到三角形（）上，都得一小正方形面積為。414仔細觀察，三個圖中三個三角形陰影都可以大正方形邊的為底，以大正12方形的一邊長為三角形的高。等底等高的三角形面積相等。解三個圖中的陰影部分面積（）124等底等高的三角形面積相等。例3設(shè)計一種用不同的正多邊形地面磚平鋪地面的圖案。分析用不同的正多邊形地面磚平鋪地面必須使整數(shù)個（正整數(shù)）不同的正多邊形的內(nèi)角和為360，即這些正多邊形的一個頂點發(fā)出的若干個內(nèi)角和為360，這樣平鋪才不留縫隙，設(shè)計的方案有多種答案，如正方形與正三角形，正方形與正六邊形、正三角形，正六邊形與正三角形，正八邊形與正方形等。解如圖一種方案，用正方形與正三角形拼鋪地面如下注意不同的多邊形的邊長相等。例4觀察圖（A）中的幾何體，指出圖中的（1）、（2）、（3）分別是從哪個方向看幾何體所得到的視圖。觀察圖（B）中的三視圖，說出該物體的名稱。正面左面上面（3）（2）（1）圖（A）圖（B）俯視圖左視圖正視圖分析此例中（1）問涉及由幾何體得三視圖的知識。（2）問涉及由三視圖得幾何體知識點。解圖（A）中（1）為從上往下看得到俯視圖。（2）為從正面看得到的正視圖。（3）為從左往右看得到的左視圖。由（B）圖可看出這三個視圖為圓柱體的視圖，這個物體為圓柱體。例5一個物體的三視圖如圖所示，請描述該物體的形狀。從前面看從上面看從左面看分析由三個視圖的主要輪廓，可以推測這個物體是以長方體為基礎(chǔ)進行分割得到的，由主視圖看出從長方體底部向上的處，從左邊向右邊的處將長方體分成二1223部分，由俯視圖可推測在長方體的左上部截去了一個正方體的四個角，留下的是一個四棱柱，再結(jié)合左視圖，這個四棱柱的三條棱分別經(jīng)過原來長方體三條棱的中點。解物體的形狀如下圖所示例6如下圖一個幾何體（由五個小正方體搭成的），畫出它的三視圖。分析這個圖形由五個正方體構(gòu)成，正方體的三視圖都是正方形，所以三視圖是由一些正方形構(gòu)成。解物體的三視圖如下所示從上面看從左面看從前面看【模擬試題】（答題時間30分鐘）一填空題。1觀察物體，從正面、上面、側(cè)面（左側(cè)面或右側(cè)面）三個不同方向看一個物體描繪出三個方向看到的形狀，得到三個圖，我們把這三個圖分別叫做_、_、_，它們合起來稱為_。2用不同的多邊形平鋪地面，不留空隙，要求從一個頂點發(fā)出的多邊形的內(nèi)角和為_，且這些多邊形的邊長要_。3在長方體、圓柱、棱錐、圓錐這些幾何體的三視圖中，絕對不可能有長方形的是_。4圓臺的三視圖是一個_和兩個_。二解答題。1用七巧板中的任四個部件拼出一個大直角三角形來。2用正六邊形和正方形、正三角形平鋪地面，設(shè)計一種圖案。3畫出下列物體的三視圖。123【試題答案】一填空題。1正視圖俯視圖側(cè)視圖三視圖2360相等3圓錐4有兩個圓的同心圓梯形二解答題。1如三種情況都可（答案多樣）23解（1）的三視圖為從上面看從左面看從正面看（2）的三視圖為從上面看從左面看從正面看（3）的三視圖為從上面看從左面看從正面看【教學知識要點】1直角三角形的性質(zhì)（1）在直角三角形中，有一個角為90。（2）在直角三角形中，兩銳角互余。（3）在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半。（4）在直角三角形中，如果一個銳角等于30，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半。（5）在直角三角形中，如果一條直角邊等于斜邊的一半，那么這條直角邊所對的角等于30。2直角三角形的判定（1）有一個角為90的三角形是直角三角形。（2）有兩個角互余的三角形是直角三角形。3直角三角形全等的判定方法（1）SAS定理（2）ASA定理（3）AAS定理（4）SSS定理（5）HL定理（或簡寫成“斜邊直角邊”）有斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等。4定理到一個角的兩邊距離相等的點在這個角的平分線上。5勾股定理直角三角形兩直角邊A，B的平方和，等于斜邊C的平方，即A2B2C2。6勾股定理的逆定理如果三角形的三邊長A，B，C有下面關(guān)系A(chǔ)2B2C2，那么這個三角形是直角三角形?！镜湫屠}】基礎(chǔ)知識題例1如圖甲，在ABC中，P、Q分別是BC、AC上的點，作PRAB，PSAC，垂足分別為R、S，若AQPQ，PRPS，則這三個結(jié)論中正確的是（）（1）ASAR（2）QPAR（3）BRPCSPA（1）和（2）B（2）和（3）C（1）和（3）D（1）（2）和（3）BRPAQSC甲RPAS乙12PAQ丙23BRPSC丁分析幾何中添加輔助線的實質(zhì)是把不完整的基本圖形補充完整，即構(gòu)造基本圖形，此題的切入點是從圖中識別如圖乙、丙、丁基本圖形，并且聯(lián)想有關(guān)定理，通過分解圖，然后重組，問題便得到解決。由乙圖中角平分線性質(zhì)定理的逆定理有12，且由HL知RTPARRTPAS，有ARAS，故（1）成立。由丙圖中，等腰三角形性質(zhì)23，又由乙中知12，13，推出QPAR，故（2）成立。由丁圖中，尋找判定直角三角形的條件有PRPS，雖然P在BAC的角平分線上，但PB不一定等于PC，即PBR不一定全等于PCS，所以（3）不成立。解由上述分析可得，此題應(yīng)選A。說明觀察、分解、重組、構(gòu)造是研究幾何的基本方法，此題還體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、化歸思想。例2如圖甲，已知BC90，M是BC的中點，DM平分ADC，試說明AM平分DAB。DC1AB甲234ME分析要說明AM平分DAB，即說明34，借助于三角形全等的性質(zhì)，需構(gòu)造全等三角形，考慮到B90，需構(gòu)造一個直角三角形，因此，過點M作MEAD于E，也可延長DM交AB的延長線于N。解法1如甲圖，過點M作MEAD于EDEMAEM90在MCD和MED中（已知）（公共邊）290DECOMCDMED（AAS）MEMC（全等三角形的對應(yīng)邊相等）M是BC的中點CMBMMEBM在RTMEA和RTMBA中EBA（已證）（公共邊）RTMEARTMBA（HL）34（全等三角形的對應(yīng)角相等）AM平分DAB解法2如乙圖，延長DM交AB的延長線于點NDC1ABN乙234M56在RTDMC與RTNMB中（已知）（對頂角相等）（中點的定義）CBMO9056RTDMCRTNMB（ASA）DMNM1N（全等三角形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊相等）又DM平分ADC122NADN是等腰三角形又DMNMAM是DAN的角平分線例3已知如圖，ABC中，ABAC，BDAC于D，D在AC上，若CD1，CD2BD2AC，求AB的長。ADBC分析欲求的長，由，不難想到勾股定理，ADACABD22但要想求出AB，必須先設(shè)法求出AD、BD或找到AD、BD與AB的關(guān)系，注意到ACAB，則ADACCDAB1，只需再找出BD與AB的關(guān)系，這就必須從條件CD2BD2AC得來。解ABAC，CD1ADCB2B1BDACABAB222141502或又ABCD52說明（1）利用勾股定理計算線段的長，是勾股定理的重要作用，在有垂直條件時，經(jīng)?？紤]到利用勾股定理去解。（2）勾股定理反映的是三個量之間的關(guān)系，如果已知一個量，要設(shè)法求出另外一個量，或求出另外兩個量之間的關(guān)系，才能求出第三個量，實質(zhì)就是方程思想。（3）在已知中沒有垂直，或有垂直但與問題相距“較遠時”，常需適當作輔助線，構(gòu)造直角三角形，創(chuàng)造條件來利用勾股定理。能力提高題例4如圖，ABC中，ACB90，ACBC，直線MN過C點，ANMN于N，BMMN于N，那么MN與ANBM有什么關(guān)系為什么請說明理由。AB12MCN3分析利用度量的方法可以猜出結(jié)論MNANBM，如何說明呢可將MN拆成MC和CN，分別說明MCAN，CNBM即可，即要說明BMCCNA，已知MN90，ACBC，兩個條件只要再找出一個即可。解結(jié)論MNANBM理由（平角的定義）12809OO（直角三角形兩銳角互余）239O13（同角的余角相等）ANNM，BMMNMN90在BMC和CNA中13ACBBMCCNA（AAS）BMCN，MCAN（全等三角形對應(yīng)邊相等）MNMCCNMNANBM說明（1）當題目中的直角條件較多時，常用“同角或等角的余角相等”來說明角相等。（2）在說明兩條線段之和等于第三條線段時，常將較長的線段拆成兩條線段的和，再分別說明拆成的兩條線段與要說明的兩條線段對應(yīng)相等。例5已知A、B、C為ABC的三邊長，且A2B22C250710A24B52C，試判定ABC的形狀。分析由條件A2B22C250710A24B52C聯(lián)想到配方，運用非負數(shù)性質(zhì)，求得A、B、C的值。解CABC5071452AB22210407ABC222105416190C302，A2，BC51A2223C90故ABC是直角三角形說明本題將代數(shù)與幾何融為一體，不妨細細體味其中的技巧。創(chuàng)新應(yīng)用題例6如圖，在一張長48DM，寬10DM的長方形紙片長邊豎直放一平面鏡，一束光線從紙片頂點A處射入，恰好由O點反射后經(jīng)過B點，求光線在紙片上通過的距離。CAD分析在物理中的光學知識中，平面鏡成像，凸透鏡成像中的線路圖不僅包含對稱，而且有時也包含直角三角形，對有些題目也能用勾股定理解答。解作點A關(guān)于CD的對稱點A，連接AB，交CD于O點，則O點就是光的反射點。，DCBDM10又，OADBCO9AODBOC（AAS）CD12482在中，RTBCO224105760OB26DMAA兩點關(guān)于直線CD對稱OABDM265說明本題是以光的反射為背景的一道綜合題，涉及豐富的幾何知識，由此可見，數(shù)學是物理的基礎(chǔ)?！灸M試題】（答題時間50分鐘）一填空題。1在ABC中，若A35，B55，則此三角形為_三角形。2在ABC中，ABC123，若AB10CM，BC的長是_。3如圖，在ABC中，A30，ACB90，CDAB于D，若BC3，則AB_，BD_。CADB4在RTABC中，C90，若AB34，C10，則A_，B_。5在ABC中，三邊長分別為，則_。123，SAB6在ABC中，則ABC是_ABC6080三角形。7在一個三角形中，若一邊上的中點到另兩邊距離相等，則該三角形是_三角形。8如圖，在ABC中，AB2AC，BAC2B，AE平分BAC，則C的度數(shù)是_。CABE二選擇題。1在判定三角形全等的三個條件中，至少要有（）A一個角對應(yīng)相等B兩個角對應(yīng)相等C一條邊對應(yīng)相等D兩條邊對應(yīng)相等2下列命題中，真命題的個數(shù)是（）（1）有一個角為45的兩個直角三角形全等（2）斜邊對應(yīng)相等的兩個等腰直角三角形全等（3）有一條直角邊對應(yīng)相等的兩個等腰直角三角形全等（4）有一條直角邊和斜邊上的中線對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等A1個B2個C3個D4個3等邊三角形一邊上的高與邊長的比為（）ABCD123114下列數(shù)組中，不是勾股數(shù)組的是（）ANN221，B3450K，CMMN220，DNN11，5如圖，將兩個全等的有一個角等于30的直角三角形拼在一起，其中兩條長直角邊在同一直線上，則圖中有（）個等腰三角形。A4個B3個C2個D5個三有一次，小明坐著輪船由A點出發(fā)沿正東方向AN航行，在A點望湖中小島M，測得MAN30，當他到B點時，測得MBN45，AB100米，你能算出AM的長嗎MABN四已知如圖，PA、PC分別為ABC外角MAC與NCA的平分線，它們交于P，PDBM于D，PFBN于F。求證BP為MBN的平分線。MDAPBCFN五如圖，在RTABC中，ABAC，BAC90，O為BC的中點。（1）請你寫出O到ABC三頂點A、B、C的距離關(guān)系并證明。（2）如果點M、N分別在線段AB、AC上移動，在移動中保持ANBM，請判斷OMN的形狀，并證明。CONAMB【試題答案】一1直角25CM36，1546，856直角27等腰890二1C2C3A4D5B三解過M作MCAN于CMABCN設(shè)MCX，則AM2X，BCX根據(jù)勾股定理得2102X解得503（米）AMX四證明過P作PEAC于EMDAPBCFNEPA、PC分別是MAC與NCA的平分線，且PDBM，PFBNPDPE，PFPEPDPF又PDBM，PFBN點P在MBN的平分線上BP為MBN的平分線五連結(jié)OACONAMB（1）OAOBOCO是RTABC斜邊上的中點OAOBOC（2）OMN是等腰直角三角形ABAC，BAC90OANB45又ANBM，OAOBOANOBMNOABOM，ONOM同理AOMCONNOAMO12809OMN為等腰直角三角形三教學知識要點1尺規(guī)作圖的定義及步驟（1）只用直尺和圓規(guī)作圖的方法叫尺規(guī)作圖。說明最基本的尺規(guī)作圖，通常稱基本作圖。一些復(fù)雜的尺規(guī)作圖，都是由基本作圖組成的。（2）一般步驟有已知將條件明晰、具體化求作具體敘述作圖應(yīng)滿足的條件分析尋找作圖的途徑作法根據(jù)分析所得的作圖方法，并依次畫圖，敘述作圖過程證明驗證所作圖形的正確性討論說明通常情況下，省略，只在草稿紙上進行，因此實際作圖步驟為已知求作作法。2五個基本作圖（1）作一條線段等于已知線段（2）作一角等于已知角（3）平分已知角（4）經(jīng)過一點作已知直線的垂線（5）作線段的垂直平分線3常用的作圖語言（1）連結(jié)（2）在上截?。?）延長到，使（4）以點為圓心，為半徑作圖（或?。?）以點為圓心，為半徑作弧，交于點（6）作平分（7）過點作，垂足為點（8）作線段的垂直平分線4運用基本作圖作三角形（1）已知三邊作三角形（2）已知兩邊及其夾角作三角形（3）已知兩角及其夾邊作三角形【典型例題】例1如圖，已知、，線段A。求作ABC，使A，B，BCA分析此類作圖題常用奠基法，即不妨先畫個假設(shè)圖，對“已知作成”的草圖進行分析，以確定作圖的思路與順序。本題關(guān)鍵是確定三角形的三個頂點，容易先確定A點，其次確定C點，A點確定時難以下手，因為AB的長度不知道，可利用三角形的內(nèi)角和是180的已知知識，設(shè)法求出C，將所給的“角角邊”條件，轉(zhuǎn)化為“角邊角”作圖。作法（）作180O（2）作線段BCA（3）分別以B、C為頂點，以BC為一邊作CBM，BCN，射線BM、CN交于點A，則ABC就是所求作的三角形。BMN說明一般作圖題常用“奠基法”，希望同學們認真體會。例2已知斜邊和一直角邊，求作直角三角形。已知線段C和B（CB）求作RTABC，使它的斜邊ABC，一條直角邊ACB。分析求作三角形時要給定三個條件，但求作特殊的三角形，等腰或直角三角形時，常常只需給出兩個條件，此時應(yīng)挖掘隱含條件“等腰或直角”。作法（1）在L上任取一點C，過點C作CDL（2）在L上截取CAB（3）以點A為圓心，C為半徑作弧，交CD于點B（4）連結(jié)ABABC為所求的直角三角形ACDCBL例3如圖，在一條河流的北側(cè)，有A、B兩處牧場，每天清晨，羊群從A出發(fā)，到河邊飲水后，折到B處放牧吃草，請問，飲水處應(yīng)設(shè)在河流的什么位置，從A到B羊群行走的路線最短河流ACL分析將河流看作直線L，設(shè)羊群在河邊的飲水點為C，則羊群的行走路程為ACCB，設(shè)A關(guān)于直線L的對稱點A，由對稱性知CACA，因此，羊群行走的路程為ACCB，線段AC與CB是連接點A與點B之間的折線，由線段基本性質(zhì)知，連接點A與B之間的線中，線段AB最短，設(shè)線段AB與直線L交于C，那么C點就是所選的最好的飲水地點。解作A關(guān)于直線L的對稱點A，連結(jié)BA，并設(shè)線段BA與L交于C，設(shè)C是L上不同于C的任一點，只要說明ACCBACCB即可。利用線段基本性質(zhì)及點關(guān)于直線的對稱性知及所以BCACA而與是連接、的折線CAB而AB則是連接這兩點之間的線段所以ACB從而成立即選擇C點作為羊群的飲水點，羊群行走路線最短。說明此例題主要考查了點關(guān)于直線的對稱性和三角形兩邊之和大于第三邊等基礎(chǔ)知識。例4已知線段A、S，S2A。求作等腰三角形，使它的底邊等于A，周長等于S。分析本題是已知周長和底邊，求作等腰三角形的問題?？紤]到周長這一線段上也包括底邊長，所以先畫線段BMS，在S上截取BCA，剩下的一部分線段CM就是“兩腰和”，而因兩腰相等，可作CM的垂直平分線找到中點N，此時問題就轉(zhuǎn)化為“分別以BC、CN、NM為三邊作三角形”這一簡單問題。ABCMNA作法（1）作線段BMS，在BM上截取BCA；（2）作線段CM的中點N；（3）分