[其它考試]自考線性代數(shù)經(jīng)管類041842008——2012歷年真題及答案

全國(guó)2008年1月高等教育自學(xué)考試線性代數(shù)（經(jīng)管類）試題答案一、單項(xiàng)選擇題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）1設(shè)A為三階方陣且則（D）2|3|ATA108B12C12D1081087|3|22T2如果方程組有非零解，則K（B）4321KXA2B1C1D2，014013KKK3設(shè)A、B為同階方陣，下列等式中恒正確的是（D）AB11BACD|TT4設(shè)A為四階矩陣，且，則（C）2|A|A2B4C8D12|31N5設(shè)可由向量，線性表示，則下列向量中只能是（B）0,1,2ABCD1,2,30,10,1,212KK6向量組的秩不為（）的充分必要條件是（C）S,1SA全是非零向量B全是零向量,2S,21C中至少有一個(gè)向量可由其它向量線性表出S,1D中至少有一個(gè)零向量,2的秩不為線性相關(guān)S,1S,217設(shè)A為M矩陣，方程AX0僅有零解的充分必要條件是（C）NAA的行向量組線性無(wú)關(guān)BA的行向量組線性相關(guān)CA的列向量組線性無(wú)關(guān)DA的列向量組線性相關(guān)AX0僅有零解A的列向量組線性無(wú)關(guān)R8設(shè)A與B是兩個(gè)相似N階矩陣，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（D）AB秩A秩BC存在可逆陣P，使D|B1BEA9與矩陣A相似的是（A）201ABCD1201201102有相同特征值的同階對(duì)稱矩陣一定（正交）相似10設(shè)有二次型，則（C）2321321,XXF,321XFA正定B負(fù)定C不定D半正定當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)總之，有正有負(fù)0,321XF0,0321FF二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）11若，則KK1，021K212設(shè)A，B，則AB4301241063AB102246313設(shè)A，則201A/10/1020112022/10/114設(shè)A為3矩陣，且方程組AX0的基礎(chǔ)解系含有兩個(gè)解向量，則秩A_1_秩ARN15已知A有一個(gè)特征值，則必有一個(gè)特征值_6_2EAB2是A的特征值，則是的特征值26EAB216方程組的通解是0321XTTKK1,0,12，通解是3321X102117向量組，的秩是_2_,1,20,53，秩是2002518矩陣A的全部特征向量是TTTKKK1,0,10,132不全為零）（32,K，基礎(chǔ)解系為，3210AE3321X0119設(shè)三階方陣A的特征值分別為，且B與A相似，則_16_,12|B|2B6810320矩陣A所對(duì)應(yīng)的二次型是30123123213214,XXXF三、計(jì)算題（本大題共6小題，每小題9分，共54分）21計(jì)算四階行列式的值102解15021802140212022設(shè)A，求31A解012012303012120112，2/11A2/0/23設(shè)A，B，且A，B，X滿足，求，2030EXBAET11X解由，得，即，EXBAET1T1，BT1102102T102/24求向量組，4,212,130214,7036,5120,21的一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組解，02165473140213440043是一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組421,25求非齊次方程組的通解12345623754125431XX解A12345620723681070601700271，00123701236700123615，通解為5544352416XXXX10652031K26設(shè)A，求P使為對(duì)角矩陣201A1解421201|AE86323438，1452特征值，123對(duì)于，解齊次線性方程組0XAE20120312034AE021，基礎(chǔ)解系為；0120101/3231X12/對(duì)于，解齊次線性方程組2XAE12012010AE012012，基礎(chǔ)解系為；02/1333X1/2對(duì)于，解齊次線性方程組430AE，0214201420AE021021，基礎(chǔ)解系為321X123令，則P是可逆矩陣，使12/PAP14012四、證明題（本大題6分）27設(shè)是齊次方程組AX0的基礎(chǔ)解系，證明,也是AX0的基礎(chǔ)解321,12321系證（1）AX0的基礎(chǔ)解系由3個(gè)線性無(wú)關(guān)的解向量組成（2）是AX0的解向量，則,也是AX0的解向量32,12321（3）設(shè)，則033211KK，32K由線性無(wú)關(guān)，得，系數(shù)行列式，只有零解321,0321K010，所以,線性無(wú)關(guān)0K12321由（1）（2）（3）可知，,也是AX0的基礎(chǔ)解系全國(guó)2008年4月高等教育自學(xué)考試線性代數(shù)（經(jīng)管類）試題答案一、單項(xiàng)選擇題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）1設(shè)行列式D3，D1，則D1的值為（C）32311A323115AAA15B6C6D15D102533113122DAA2設(shè)矩陣，則（C）DB04CBAB3,1,3A3,1,DCBACD3,01,3DCBA3,0,1DCBA4230,DCBA3設(shè)3階方陣A的秩為2，則與A等價(jià)的矩陣為（B）ABCD001023214設(shè)A為N階方陣，則（A）2|5|ABCD|5|5|5AN5設(shè)A，則（B）431|A4B2C2D42431|21N6向量組（）線性無(wú)關(guān)的充分必要條件是（D）S,21A均不為零向量B中任意兩個(gè)向量不成比例S,21C中任意個(gè)向量線性無(wú)關(guān)1D中任意一個(gè)向量均不能由其余個(gè)向量線性表示S,211S7設(shè)3元線性方程組，A的秩為2，,為方程組的解，BX3T4,021，則對(duì)任意常數(shù)K，方程組的通解為（D）T,1BAXABK12,0TTK,21CDTT,4230取的特解；BXT2,01221的基礎(chǔ)解系含一個(gè)解向量0AT3,21312138設(shè)3階方陣A的特征值為，則下列矩陣中為可逆矩陣的是（D）2,1ABCDEAEAE2AE2不是A的特征值，所以，可逆20|9設(shè)2是可逆矩陣A的一個(gè)特征值，則矩陣必有一個(gè)特征值等于（A）12ABC2D44121是A的特征值，則是的特征值24112A10二次型的秩為（C）434321321,XXXFA1B2C3D4，秩為30110二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）11行列式_0_323121BABA行成比例值為零12設(shè)矩陣A，P，則410TAP4723TAP32172313設(shè)矩陣A，則101A01010010114設(shè)矩陣A，若齊次線性方程組AX0有非零解，則數(shù)T_2_54321T，0214120|TTTTA2T15已知向量組，的秩為2，則數(shù)T_2_1213T，秩為2，則12T1230TT0TTT16已知向量，與的內(nèi)積為2，則數(shù)KT,TK,3，即，2,230K3/17設(shè)向量為單位向量，則數(shù)B_0_TB1,，2|0B18已知0為矩陣A的2重特征值，則A的另一特征值為_(kāi)4_0，所以02103214319二次型的矩陣為321232132145,XXXXF510220已知二次型正定，則數(shù)K的取值范圍為1KK2K，021K1K2三、計(jì)算題（本大題共6小題，每小題9分，共54分）21計(jì)算行列式D的值4013解2012013102413222已知矩陣A，B，24（1）求A的逆矩陣；（2）解矩陣方程1BAX解（1）10101020100，；2101A2（2）BAX114332523設(shè)向量，求（1）矩陣；（2）,TA2A解（1）；TA,111（2）A1114424設(shè)向量組，求向量組的T4,2T2,302T,703T0,21秩和一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組，并將其余向量用該極大線性無(wú)關(guān)組線性表示解01427,432142012103，201103013向量組的秩為3，是一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組，41,342125已知線性方程組，（1）求當(dāng)為何值時(shí)，方程組無(wú)解、有解；AXX3215A（2）當(dāng)方程組有解時(shí)，求出其全部解（要求用其一個(gè)特解和導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系表示）解,BAA5120210A30121A（1）時(shí)，方程組無(wú)解，時(shí)，方程組有解；3A3（2）時(shí)，全部解為3A,BA0123321X120K26設(shè)矩陣A，（1）求矩陣A的特征值與對(duì)應(yīng)的全部特征向量；278（2）判定A是否可以與對(duì)角陣相似，若可以，求可逆陣P和對(duì)角陣，使得AP1解，特征值，919102178|E192對(duì)于，解齊次線性方程組10XAE，基礎(chǔ)解系為，對(duì)應(yīng)的全部特征向量為017AE21（是任意非零常數(shù)）；1K對(duì)于，解齊次線性方程組920XAE，基礎(chǔ)解系為，對(duì)應(yīng)的全部特征向量為0717AE21172（是任意非零常數(shù)）2K令，則P是可逆矩陣，使得1P90AP1四、證明題（本題6分）27設(shè)N階矩陣A滿足，證明可逆，且2E2E21證由，得，所以可逆，且2A442A2E1全國(guó)自考2008年7月線性代數(shù)（經(jīng)管類）試卷答案一、單項(xiàng)選擇題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）1設(shè)3階方陣A，其中（I1,2,3）為A的列向量，且|A|2，則|B|321,I321,|（C）A2B0C2D62若方程組有非零解，則K（A）A1B0C1D20XK213設(shè)A，B為同階可逆方陣，則下列等式中錯(cuò)誤的是（C）A|AB|A|B|BAB1B1A1CAB1A1B1DABTBTAT4設(shè)A為三階矩陣，且|A|2，則|（A）1|（D）AB1C2D4415已知向量組A中線性相關(guān)，那么（B）4321,32,A線性無(wú)關(guān)B線性相關(guān)4321,41,C可由線性表示D線性無(wú)關(guān),3,6向量組的秩為R，且RS，則（C）S21,A線性無(wú)關(guān)B中任意R個(gè)向量線性無(wú)關(guān),S21,C中任意R1個(gè)向量線性相關(guān)S21,D中任意R1個(gè)向量線性無(wú)關(guān),7若A與B相似，則（D）AA，B都和同一對(duì)角矩陣相似BA，B有相同的特征向量CAEBED|A|B|8設(shè)，是AXB的解，是對(duì)應(yīng)齊次方程AX0的解，則（B）12A是AX0的解B（）是AX0的解12C是AXB的解D是AXB的解129下列向量中與（1，1，1）正交的向量是（D）A（1，1，1）B（1，1，1）C（1，1，1）D（0，1，1）23410設(shè)A，則二次型FX1，X2XTAX是（B）A正定B負(fù)定C半正定D不定二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）11設(shè)A為三階方陣且|A|3，則|2A|_24_12已知（1，2，3），則|T|_0_13設(shè)A，則A206402314設(shè)A為45的矩陣，且秩（A）2，則齊次方程AX0的基礎(chǔ)解系所含向量的個(gè)數(shù)是_3_15設(shè)有向量（1，0，2），（3，0，7），（2，0，6）則的秩是_2_23321,16方程X1X2X31的通解是1,TTTKK17設(shè)A滿足3EAA20，則13AE18設(shè)三階方陣A的三個(gè)特征值為1，2，3則|AE|_24_19設(shè)與的內(nèi)積（，）2，2，則內(nèi)積（2，）_8_20矩陣A所對(duì)應(yīng)的二次型是2103213123234XXX三、計(jì)算題21計(jì)算6階行列知A，B，C，X滿足AXBC，求X315234252813X23求向量組（1，2，1，3），（4，1，5，6），（1，3，4，7）的秩和其一個(gè)極大線性無(wú)23關(guān)組秩為2，極大無(wú)關(guān)組為，095543671224當(dāng)A,B為何值時(shí)，方程組有無(wú)窮多解并求出其通解3BXA3X21時(shí)有無(wú)窮多解。通解是1,0A0,12,1TTK25已知A，求其特征值與特征向量73特征值，的特征向量,的特征向量4,1041TK01,7TK26設(shè)A，求AN232NNA四、證明題（本大題共1小題，6分）27設(shè)為AX0的非零解，為AXBB0的解，證明與線性無(wú)關(guān)證明12211100KAKK0B所以與線性無(wú)關(guān)。全國(guó)2009年1月高等教育自學(xué)考試線性代數(shù)試題及答案一、單項(xiàng)選擇題本大題共10小題，每小題2分，共20分1設(shè)A為N階方陣，若A3O，則必有（D）AAOBA2OCATOD|A|02設(shè)A，B都是N階方陣，且|A|3，|B|1,則|ATB1|（A）A3BCD3313設(shè)A為54矩陣，若秩A4，則秩5AT為（C）A2B3C4D54設(shè)向量（4,1,2,2），則下列向量中是單位向量的是（B）ABCD3191255二次型FX1,X25的規(guī)范形是（D）213XAYYBYYCYYDYY2112216設(shè)A為5階方陣，若秩A3，則齊次線性方程組AX0的基礎(chǔ)解系中包含的解向量的個(gè)數(shù)是（A）A2B3C4D57向量空間W0,X,Y,Z|XY0的維數(shù)是（B）A1B2C3D48設(shè)矩陣A，則矩陣A的伴隨矩陣A（B）3421ABCD11124312439設(shè)矩陣A，則A的線性無(wú)關(guān)的特征向量的個(gè)數(shù)是（D）3012A1B2C3D410設(shè)A，B分別為MN和MK矩陣，向量組（I）是由A的列向量構(gòu)成的向量組，向量組（II）是由（A，B）的列向量構(gòu)成的向量組，則必有（C）A若（I）線性無(wú)關(guān)，則（II）線性無(wú)關(guān)B若（I）線性無(wú)關(guān)，則（II）線性相關(guān)C若（II）線性無(wú)關(guān)，則（I）線性無(wú)關(guān)D若（II）線性無(wú)關(guān)，則（I）線性相關(guān)二、填空題本大題共10小題，每小題2分，共20分11設(shè)A（3，1，0），B，則AB_（2，3）_5304112已知向量（3，5，7，9），（1，5，2，0），如果，則_（4，0，5，9）_13設(shè)A，B為6階方陣，且秩（A）6，秩（B）4，則秩（AB）_4_14已知3階方陣A的特征值為1，3，9，則_1_A3115二次型FX1,X2,X3,X4的正慣性指數(shù)為_(kāi)3_2423XX16設(shè)A為3階方陣，若|AT|2，則|3A|_54_17已知向量（1，2，1）與向量（0，1，Y）正交，則Y_2_18設(shè)非齊次線性方程組AXB的增廣矩陣為，則該方程組的結(jié)構(gòu)式通解為_(kāi)64201,231為任意常數(shù)CX19設(shè)B為方陣，且|B|3，則|B4|_81_20設(shè)矩陣A，則A1_10731037三、計(jì)算題（本大題共6小題，每小題9分，共54分）21計(jì)算行列式D53解D1414112535314531203122求向量組1（1，4，3，2），2（2，5，4，1），3（3，9，7，3）的秩解（），故秩為2。TA321,37910123求齊次線性方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系053241XX解系數(shù)矩陣A得同解方程組再令5432003214321XX得基礎(chǔ)解系10,4343X1032,24設(shè)AB，又AXB，求矩陣X,2100解由于，故A可逆。，故，所以102E2011A20031BAX25用配方法化二次型FX1,X2,X3為標(biāo)準(zhǔn)形，并判別其正定性312321645XXX解F,故得標(biāo)準(zhǔn)型F23216XXX321YX令2321Y6對(duì)于二次型矩陣所以不是正定性的。A，由于0D0,30532126求方陣A的特征值和特征向量3021解令即AI0302321321，得特征值即代入將IX；0K10020311的特征向量為，故系解此方程組得其基礎(chǔ)解同理，為得相應(yīng)的特征向量分別代入將0AI32,X02K0K139四、證明題（本大題共1小題，6分）27設(shè)向量組1，2，3線性無(wú)關(guān)，證明向量組123，23，122線性相關(guān)證123，23，122設(shè)23，記A得，由于向量組321321則012012A1，2，3線性無(wú)關(guān)，故，線性相關(guān)，即123，23，122線性相關(guān)。全國(guó)2009年4月高等教育自學(xué)考試線性代數(shù)（經(jīng)管類）試題答案一、單項(xiàng)選擇題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）13階行列式中元素的代數(shù)余子式（C）01|IJA21A21AABC1D22012設(shè)矩陣，則必有（21A1212A01P102A）ABCDP21AP12BA21BPA12021210AAA1213設(shè)階可逆矩陣、滿足，則（D）NABCEBABCD1C1ACA由，得，EB14設(shè)3階矩陣，則的秩為（B）A0B1C2D302A，的秩為12A11025設(shè)是一個(gè)4維向量組，若已知可以表為的線性組合，且表示法惟一，則向321,4321,量組的秩為（C）4321,A1B2C3D4是的極大無(wú)關(guān)組，的秩為332,431,321,6設(shè)向量組線性相關(guān)，則向量組中（A）2A必有一個(gè)向量可以表為其余向量的線性組合B必有兩個(gè)向量可以表為其余向量的線性組合C必有三個(gè)向量可以表為其余向量的線性組合D每一個(gè)向量都可以表為其余向量的線性組合7設(shè)是齊次線性方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系，則下列解向量組中，可以作為該方程組基礎(chǔ)解321,0AX系的是（B）AB212,1321,CD只有線性無(wú)關(guān)，可以作為基礎(chǔ)解系1321,8若2階矩陣相似于矩陣，為2階單位矩陣，則與矩陣相似的矩陣是（CA20BEAE）ABCD4104142014201與相似，則與相似B20EAE9設(shè)實(shí)對(duì)稱矩陣，則3元二次型的規(guī)范形為（D）104AAXXFT,321ABCD2321Z232Z21Z21Z，規(guī)33144,XXXXXXXF范形為21Z10若3階實(shí)對(duì)稱矩陣是正定矩陣，則的正慣性指數(shù)為（D）IJAAAA0B1C2D3二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）11已知3階行列式，則_6964232311AA32311A，696342323113231321AA1323112設(shè)3階行列式的第2列元素分別為，對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式分別為，則D3,211,23_41232213AAAA13設(shè)，則_0E1212022AE14設(shè)為2階矩陣，將的第2列的（）倍加到第1列得到矩陣若，則B4321_A將的第2列的2倍加到第1列可得B415A15設(shè)3階矩陣，則_30A01230010231032,E，012/30012306012601A/316設(shè)向量組，線性相關(guān)，則數(shù)_1,A1,22,3A，06032112AAA217已知，是3元非齊次線性方程組的兩個(gè)解向量，則對(duì)應(yīng)齊次線性TX,0TX5,4BAX方程組有一個(gè)非零解向量_A（或它的非零倍數(shù)）TX6,421218設(shè)2階實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值為，它們對(duì)應(yīng)的特征向量分別為，則數(shù)2,1T1,TK,2_K設(shè)，由，即，可得，DBAA1A1DBADBABA；1由，即，可得2KB21K2119已知3階矩陣的特征值為，且矩陣與相似，則_A3,0BA|E的特征值為，EB4,4|EB20二次型的矩陣_2321321,XXXF，23212321,XXXXF0A三、計(jì)算題（本大題共6小題，每小題9分，共54分）21已知3階行列式中元素的代數(shù)余子式，求元素的代數(shù)余子式|IJA415023X12A812A21A的值21A解由，得，所以8450X25384122A22已知矩陣，矩陣滿足，求01A1BXXB解由，得，于是XAE1323求向量組，的一個(gè)極大T3,1T,52T4,T2,06無(wú)關(guān)組，并將向量組中的其余向量用該極大無(wú)關(guān)組線性表出解24130568541231070123007301430142，012012是一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組，321,4321024設(shè)3元齊次線性方程組，0321AX（1）確定當(dāng)為何值時(shí)，方程組有非零解；A（2）當(dāng)方程組有非零解時(shí)，求出它的基礎(chǔ)解系和全部解解（1）101212121|AAAAA，或時(shí)，方程組有非零解；2A（2）時(shí)，基礎(chǔ)解系為03A0120132X，全部解為，為任意實(shí)數(shù)；11K時(shí)，基礎(chǔ)解系為，全部解為A0A3321X01，為任意實(shí)數(shù)1021K2,K25設(shè)矩陣，5043B（1）判定是否可與對(duì)角矩陣相似，說(shuō)明理由；（2）若可與對(duì)角矩陣相似，求對(duì)角矩陣和可逆矩陣，使PB1解（1）675425043132|2BE，特征值，621263對(duì)于，解齊次線性方程組120XBE，基礎(chǔ)解系為，；014031BE332X01P12對(duì)于，解齊次線性方程組63XBE，基礎(chǔ)解系為04/310435BE3231XX14/3P3階矩陣有3個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，所以相似于對(duì)角陣；B（2）令，則是可逆矩陣，使得601104/3PPBP126設(shè)3元二次型，求正交變換，將二次型化為322321321,XXXFYX標(biāo)準(zhǔn)形解二次型的矩陣為10A11202021|E，31031013特征值，123對(duì)于，解齊次線性方程組0XAE，單位化為；01102AE32X13/1/P對(duì)于，解齊次線性方程組12XAE，單位化為；0101AE321X1022/10/2P對(duì)于，解齊次線性方程組3AE，單位化為021210AE321X126/12/3P令，則P是正交矩陣，使得，經(jīng)正交變換6/3/PAPT30后，原二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形YX23210YF四、證明題（本題6分）27已知是階矩陣，且滿足方程，證明的特征值只能是0或AN2A2證設(shè)是的特征值，則滿足方程，只能是或0全國(guó)2009年7月高等教育自學(xué)考試線性代數(shù)（經(jīng)管類）試題答案一、單項(xiàng)選擇題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）1設(shè)，為同階方陣，下面矩陣的運(yùn)算中不成立的是（C）ABCABTT|ACDAT，未必等于BCA2已知，那么（B）33211A3323121AAABCD124622233311AA1232311A3若矩陣可逆，則下列等式成立的是（C）AABCD|0|A212A13A，所以EA2121212A4若，則下列矩陣運(yùn)算的結(jié)果為矩陣的是531234B0C23（D）ABCDCTBAT與都是矩陣，由此可以將前三個(gè)選項(xiàng)排除325設(shè)有向量組，其中線性無(wú)關(guān)，則（A）4321,321,A線性無(wú)關(guān)B線性無(wú)關(guān)31,4,C線性相關(guān)D線性相關(guān)42,32整體無(wú)關(guān)部分無(wú)關(guān)6若四階方陣的秩為3，則（B）A為可逆陣B齊次方程組有非零解0AXC齊次方程組只有零解D非齊次方程組必有解0XB，有非零解0|7設(shè)為矩陣，則元齊次線性方程存在非零解的充要條件是（B）NM0XA的行向量組線性相關(guān)B的列向量組線性相關(guān)AC的行向量組線性無(wú)關(guān)D的列向量組線性無(wú)關(guān)存在非零解的充要條件是，即的列向量組線性相關(guān)0XNAR8下列矩陣是正交矩陣的是（A）AB10210CDCOSINI3/6/12/10T1010009二次型（為實(shí)對(duì)稱陣）正定的充要條件是（D）AXFTA可逆BC的特征值之和大于0D的特征值全部大于00|AA10設(shè)矩陣正定，則（C）ABCD420KK1K，1KD022K04203KKDK二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）11設(shè)，則_1,3A,BBAT236,BT12若，則_0132KK，011221KKK13設(shè)，則_310AA，1，63021A，13，63102，02A，123，0231A，23，4013A41206A14已知，則_OEA821A由，得，2E532EA53，所以531115向量組的秩為_(kāi)2,0,1,2031，秩為2012102016設(shè)齊次線性方程有解，而非齊次線性方程且有解，則是方程組AXBAX_的解由，可得，即是的解0AB0BAX17方程組的基礎(chǔ)解系為_(kāi)0321X，基礎(chǔ)解系為110A321X118向量正交，則_,23TTT由，即，0,015T5T19若矩陣與矩陣相似，則_4AXABB3相似矩陣有相同的跡，所以，2120二次型對(duì)應(yīng)的對(duì)稱矩陣是_3132321,XXXF0/3/A三、計(jì)算題（本大題共6小題，每小題9分，共54分）21求行列式的值267025341D解86302126953426095341267025341183122已知，矩陣滿足方程012A23B021C102DX，求CDX解由，得，于是XA251372031120311BA23設(shè)向量組為，求向量組3,021,29,563,4的秩，并給出一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組解5913346025914326462010531，4620002向量組的秩為2，是一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組21,24求取何值時(shí)，齊次方程組有非零解并在有非零解時(shí)求出方程組的通解054321XX解134501345043|A342，或時(shí)，方程組有非零解；33時(shí)，13504A012401231203，通解為，為任意實(shí)數(shù)；012/40124333124XX124K時(shí)，101414015415043A，通解為，為任意實(shí)04/10140143323XX14LL數(shù)25設(shè)矩陣，求矩陣的全部特征值和特征向量460351AA解2146351|E，特征值，212321對(duì)于，解齊次線性方程組20XAE，基礎(chǔ)解系為02/1036360AE3312X，對(duì)應(yīng)的全部特征向量為，是任意不全為零的常數(shù)；0112/221K1,對(duì)于，解齊次線性方程組30XAE，基礎(chǔ)解系為0103603AE32X，對(duì)應(yīng)的全部特征向量為，是任意非零常數(shù)133K26用配方法求二次型的標(biāo)準(zhǔn)形，并寫出相應(yīng)的線性變3231232132144,XXXF換解3231213214,XF2334XXX2321X作可逆線性變換，33221XY得標(biāo)準(zhǔn)形2321YF四、證明題（本大題共1小題，6分）27證明若向量組線性無(wú)關(guān)，而N,2，NN13232121,則向量組線性無(wú)關(guān)的充要條件是為奇數(shù)N,21證設(shè)，即，021NKK0123212NKKK由線性無(wú)關(guān)，可得齊次方程組，其系數(shù)行列式N,210132NK10010100101100|1NA，N當(dāng)且僅當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，齊次方程組只有零解，線性無(wú)關(guān)|AN,21全國(guó)2010年4月高等教育自學(xué)考試線性代數(shù)（經(jīng)管類）試題答案一、單項(xiàng)選擇題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）1已知2階行列式，則（B）MBA21NCB2121CABABCDNMNMNMNCBACAB2121212設(shè)A,B,C均為N階方陣，則（D）AABAACBBCABCCBADBCA3設(shè)A為3階方陣，B為4階方陣，且，則行列式之值為（A）1|2|ABC2D8828|2|3A4，則（B）32311A32311A103P10QAPABAPCQADAQ32311AP0BA323115已知A是一個(gè)矩陣，下列命題中正確的是（C）4A若矩陣A中所有3階子式都為0，則秩A2B若A中存在2階子式不為0，則秩A2C若秩A2，則A中所有3階子式都為0D若秩A2，則A中所有2階子式都不為06下列命題中錯(cuò)誤的是（C）A只含有1個(gè)零向量的向量組線性相關(guān)B由3個(gè)2維向量組成的向量組線性相關(guān)C由1個(gè)非零向量組成的向量組線性相關(guān)D2個(gè)成比例的向量組成的向量組線性相關(guān)7已知向量組線性無(wú)關(guān)，線性相關(guān)，則（D）321,31A必能由線性表出B必能由線性表出12,31C必能由線性表出D必能由線性表出3,212注是的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組21,38設(shè)A為矩陣，則方程組AX0只有零解的充分必要條件是A的秩（D）NMA小于MB等于MC小于ND等于N注方程組AX0有N個(gè)未知量9設(shè)A為可逆矩陣，則與A必有相同特征值的矩陣為（A）ABCDT21，所以A與有相同的特征值|EETT10二次型的正慣性指數(shù)為（C）21321321,XXXFA0B1C2D3，正慣性指數(shù)為2123321,YXF二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）11行列式的值為_(kāi)0987210987221012設(shè)矩陣，則_1023A102BBAT31BT613設(shè)，若向量滿足，則_T2,01T4,1332T8,3502914設(shè)A為N階可逆矩陣，且，則|_NA|1|1|15設(shè)A為N階矩陣，B為N階非零矩陣，若B的每一個(gè)列向量都是齊次線性方程組AX0的解，則_|個(gè)方程、個(gè)未知量的AX0有非零解，則0|A16齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系所含解向量的個(gè)數(shù)為_(kāi)321XX，基礎(chǔ)解系所含解向量的個(gè)數(shù)為0321A123RN17設(shè)N階可逆矩陣A的一個(gè)特征值是，則矩陣必有一個(gè)特征值為_(kāi)312AA有特征值，則有特征值，有特征值3211212318設(shè)矩陣的特征值為，則數(shù)_02X,4X由，得21401X19已知是正交矩陣，則_102/1/BAABA由第1、2列正交，即它們的內(nèi)積，得00220二次型的矩陣是_323132164,XXXF02三、計(jì)算題（本大題共6小題，每小題9分，共54分）21計(jì)算行列式的值3322CBAD解22332233221CBACACBA2222011CBCC1BAABABA22已知矩陣，求（1）；（2）3,12B,2CCBAT2A解（1）；9634,AT（2）注意到，所以12,TCB13132ACBCBATTT962423設(shè)向量組，求向量組的秩及一T4T3211,0,0,3個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組，并用該極大線性無(wú)關(guān)組表示向量組中的其余向量解103,4321A123010230，向量組的秩為3，是一個(gè)10200421,極大無(wú)關(guān)組，2324已知矩陣，（1）求；（2）解矩陣方程10A354B1ABAX解（1）023,E103，；10101A02（2）BAX231943525問(wèn)A為何值時(shí)，線性方程組有惟一解有無(wú)窮多解并在有解時(shí)求出其解（在有6231XXA無(wú)窮多解時(shí)，要求用一個(gè)特解和導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系表示全部解）解632041,ABA23041A030241A時(shí)，有惟一解，此時(shí)A,AR,BA10124，；01201213X時(shí)，有無(wú)窮多解，此時(shí)3ANARB2,BA02341，通解為，其中為任意常0231012/31332X12/30KK數(shù)26設(shè)矩陣的三個(gè)特征值分別為，求正的常數(shù)A的值及可逆矩陣P，使302AA5,21521P解由，得，52192303|AAA42AE320對(duì)于，解10XA，?。籄E2010132X1P0對(duì)于，解2XAE，??；AE12001321X2P0對(duì)于，解53X，取AE200132XP1令，則P是可逆矩陣，使1,321PP502AP四、證明題（本題6分）27設(shè)A，B，均為N階正交矩陣，證明11BA證A，B，均為N階正交陣，則，所以TT1AT11BA全國(guó)2010年7月高等教育自學(xué)考試線性代數(shù)（經(jīng)管類）試題答案一、單項(xiàng)選擇題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）1設(shè)3階方陣，其中（）為A的列向量，若,321I3,1|B，則（C）6|,2|3|A6|,|3211AABC6D122計(jì)算行列式（A）320053ABC120D18018118032102320513230513若A為3階方陣且，則（C）|1|AAB2C4D821，|18|3A4設(shè)都是3維向量，則必有（B）4321,A線性無(wú)關(guān)B線性相關(guān)4321,C可由線性表示D不可由線性表示1432,5若A為6階方陣，齊次方程組AX0基礎(chǔ)解系中解向量的個(gè)數(shù)為2，則（C）ARA2B3C4D5由，得4RR6設(shè)A、B為同階方陣，且，則（C）RAAA與B相似BCA與B等價(jià)DA與B合同|注A與B有相同的等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形7設(shè)A為3階方陣，其特征值分別為，則（D）0,12|2|EA0B2C3D24的特征值分別為，所以E2,344|A8若A、B相似，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（B）AA與B等價(jià)BA與B合同CDA與B有相同特征值|注只有正交相似才是合同的9若向量