【高三數(shù)學】有關圓錐曲線的經(jīng)典結論（共8頁）

有關解析幾何的經(jīng)典結論一、橢圓1點P處的切線PT平分PF1F2在點P處的外角2PT平分PF1F2在點P處的外角，則焦點在直線PT上的射影H點的軌跡是以長軸為直徑的圓，除去長軸的兩個端點3以焦點弦PQ為直徑的圓必與對應準線相離4以焦點半徑PF1為直徑的圓必與以長軸為直徑的圓內切5若在橢圓上，則過的橢圓的切線方程是0,PXY21XYAB0P021XYAB6若在橢圓外，則過PO作橢圓的兩條切線切點為P1、P2，則切,2點弦P1P2的直線方程是02XY7橢圓AB0的左右焦點分別為F1，F(xiàn)2，點P為橢圓上任意一點XYA，則橢圓的焦點角形的面積為12F12TANPSB8橢圓（AB0）的焦半徑公式XY,1|ME20|EX1FC2,00,MXY9設過橢圓焦點F作直線與橢圓相交P、Q兩點，A為橢圓長軸上一個頂點，連結AP和AQ分別交相應于焦點F的橢圓準線于M、N兩點，則MFNF10過橢圓一個焦點F的直線與橢圓交于兩點P、Q,A1、A2為橢圓長軸上的頂點，A1P和A2Q交于點M，A2P和A1Q交于點N，則MFNF11AB是橢圓的不平行于對稱軸的弦，M為AB的中點，則XYAB,0YX，2OMABK即。02YAXK12若在橢圓內，則被PO所平分的中點弦的方程是0,P21B022XXAB13若在橢圓內，則過PO的弦中點的軌跡方程是0,Y21YAB202XYAB二、雙曲線1點P處的切線PT平分PF1F2在點P處的內角2PT平分PF1F2在點P處的內角，則焦點在直線PT上的射影H點的軌跡是以長軸為直徑的圓，除去長軸的兩個端點3以焦點弦PQ為直徑的圓必與對應準線相交4以焦點半徑PF1為直徑的圓必與以實軸為直徑的圓相切（內切P在右支；外切P在左支）5若在雙曲線（A0,B0）上，則過的雙曲線的切線方0,XY21XYB0P程是021AB6若在雙曲線（A0,B0）外，則過PO作雙曲線的兩條0,PXY2XY切線切點為P1、P2，則切點弦P1P2的直線方程是021XYAB7雙曲線（A0,BO）的左右焦點分別為F1，F(xiàn)2，點P為雙曲線上任2B意一點，則雙曲線的焦點角形的面積為12F12TPSCO8雙曲線（A0,BO）的焦半徑公式,XY02,當在右支上時，,0,M10|MFEXA2|FEXA當在左支上時，,09設過雙曲線焦點F作直線與雙曲線相交P、Q兩點，A為雙曲線長軸上一個頂點，連結AP和AQ分別交相應于焦點F的雙曲線準線于M、N兩點，則MFNF10過雙曲線一個焦點F的直線與雙曲線交于兩點P、Q,A1、A2為雙曲線實軸上的頂點，A1P和A2Q交于點M，A2P和A1Q交于點N，則MFNF11AB是雙曲線（A0,B0）的不平行于對稱軸的弦，M為ABXYB,0YX的中點，則，即。02XKABOM02YAXBAB12若在雙曲線（A0,B0）內，則被PO所平分的中點弦的0,PXY1YB方程是2002XA13若在雙曲線（A0,B0）內，則過PO的弦中點的軌跡方0,PXY21XYB程是202AB橢圓與雙曲線的對偶性質（會推導的經(jīng)典結論）橢圓1橢圓（ABO）的兩個頂點為,，與Y軸平行的21XY10AA2直線交橢圓于P1、P2時A1P1與A2P2交點的軌跡方程是1XB2過橢圓A0,B0上任一點任意作兩條傾斜角互補的直2XYAB0,Y線交橢圓于B,C兩點，則直線BC有定向且（常數(shù)）20BCXKA3若P為橢圓（AB0）上異于長軸端點的任一點,F1,F2是焦點,21XY,，則12F21FTANT2CO4設橢圓（AB0）的兩個焦點為F1、F2,P（異于長軸端點）為橢圓2XY上任意一點，在PF1F2中，記,，則有12P1212FPSINCEA5若橢圓（AB0）的左、右焦點分別為F1、F2，左準線為L，則當21XY0E時，可在橢圓上求一點P，使得PF1是P到對應準線距離D與PF2的比例中項6P為橢圓（AB0）上任一點,F1,F2為二焦點，A為橢圓內一定點，21XY則,當且僅當三點共線時，等號成211|2|AAFPF2,P立7橢圓與直線有公共點的充要條件是2200XYAB0AXBYC22ABX8已知橢圓（AB0），O為坐標原點，P、Q為橢圓上兩動點，且21XY（1）（2）|OP|2|OQ|2的最大值為OPQ221|AB（3）的最小值是24ABOPS9過橢圓（AB0）的右焦點F作直線交該橢圓右支于M,N兩點，弦21XYMN的垂直平分線交X軸于P，則|2EMN10已知橢圓（AB0）,A、B、是橢圓上的兩點，線段AB的垂直平21Y分線與X軸相交于點,則X220BABX11設P點是橢圓（AB0）上異于長軸端點的任一點,F1、F2為其焦21YA點記，則1212F212|COSPF12TANPFSB12設A、B是橢圓（AB0）的長軸兩端點，P是橢圓上的一點，2XYAB,，C、E分別是橢圓的半焦距離心率，則有PAB1232|COS|2TN12COTPABABS13已知橢圓（AB0）的右準線與X軸相交于點，過橢圓右焦點21XYALE的直線與橢圓相交于A、B兩點,點在右準線上，且軸，則直線ACFCLCX經(jīng)過線段EF的中點14過橢圓焦半徑的端點作橢圓的切線，與以長軸為直徑的圓相交，則相應交點與相應焦點的連線必與切線垂直15過橢圓焦半徑的端點作橢圓的切線交相應準線于一點，則該點與焦點的連線必與焦半徑互相垂直16橢圓焦三角形中,內點到一焦點的距離與以該焦點為端點的焦半徑之比為常數(shù)E離心率（注在橢圓焦三角形中,非焦頂點的內、外角平分線與長軸交點分別稱為內、外點）17橢圓焦三角形中,內心將內點與非焦頂點連線段分成定比E18橢圓焦三角形中,半焦距必為內、外點到橢圓中心的比例中項雙曲線1雙曲線（A0,B0）的兩個頂點為,，與Y21XYB10AA2軸平行的直線交雙曲線于P1、P2時A1P1與A2P2交點的軌跡方程是21XB2過雙曲線（A0,BO）上任一點任意作兩條傾斜角互2XYB0,XY補的直線交雙曲線于B,C兩點，則直線BC有定向且（常數(shù)）20BCXKA3若P為雙曲線（A0,B0）右（或左）支上除頂點外的任一點,21XYBF1,F2是焦點,，則（或12F21PTANT2CCO）TANTCCO4設雙曲線（A0,B0）的兩個焦點為F1、F2,P（異于長軸端點）21XYB為雙曲線上任意一點，在PF1F2中，記,12P12P，則有12FPSINCEA5若雙曲線（A0,B0）的左、右焦點分別為F1、F2，左準線為21XYBL，則當1E時，可在雙曲線上求一點P，使得PF1是P到對應準線距離D與PF2的比例中項6P為雙曲線（A0,B0）上任一點,F1,F2為二焦點，A為雙曲線2XYB內一定點，則,當且僅當三點共線且和1|AFPF2,P在Y軸同側時，等號成立2,AF7雙曲線（A0,B0）與直線有公共點的充要21XB0AXBYC條件是2BC8已知雙曲線（BA0），O為坐標原點，P、Q為雙曲線上兩動2Y點，且OPQ（1）（2）|OP|2|OQ|2的最小值為（3）221|24AB的最小值是OPQSAB9過雙曲線（A0,B0）的右焦點F作直線交該雙曲線的右支于21XYM,N兩點，弦MN的垂直平分線交X軸于P，則|2EMN10已知雙曲線（A0,B0）,A、B是雙曲線上的兩點，線段AB的21XYB垂直平分線與X軸相交于點,則或X20AB20ABX11設P點是雙曲線（A0,B0）上異于實軸端點的任一點,F1、F221YB為其焦點記，則1212F212|COSBPF12COTPFS12設A、B是雙曲線（A0,B0）的長軸兩端點，P是雙曲線上的2XYB一點，,，C、E分別是雙曲線的半焦距BA離心率，則有12|COS|232TAN1E2COTPABABS13已知雙曲線（A0,B0）的右準線與X軸相交于點，過雙2XYBLE曲線右焦點的直線與雙曲線相交于A、B兩點,點在右準線上，且FCL軸，則直線AC經(jīng)過線段EF的中點BCX14過雙曲線焦半徑的端點作雙曲線的切線，與以長軸為直徑的圓相交，則相應交點與相應焦點的連線必與切線垂直15過雙曲線焦半徑的端點作雙曲線的切線交相應準線于一點，則該點與焦點的連線必與焦半徑互相垂直16雙曲線焦三角形中,外點到一焦點的距離與以該焦點為端點的焦半徑之比為常數(shù)E離心率注在雙曲線焦三角形中,非焦頂點的內、外角平分線與長軸交點分別稱為內、外點17雙曲線焦三角形中,其焦點所對的旁心將外點與非焦頂點連線段分成定比E18雙曲線焦三角形中,半焦距必為內、外點到雙曲線中心的比例中項其他常用公式1、連結圓錐曲線上兩個點的線段稱為圓錐曲線的弦，利用方程的根與系數(shù)關系來計算弦長，常用的弦長公式21122ABKXYK2、直線的一般式方程任何直線均可寫成A,B不同時為0的形式。3、知直線橫截距，常設其方程為它不適用于斜率為0的直線與直線垂直的直線可表示為。4、兩平行線間的距離為。5、若直線與直線平行則（斜率）且（在軸上截距）（充要條件）6、圓的一般方程，特別提醒只有當時，方程才表示圓心為，半徑為的圓。二元二次方程表示圓的充要條件是且且。7、圓的參數(shù)方程（為參數(shù)），其中圓心為，半徑為。圓的參數(shù)方程的主要應用是三角換元；8、為直徑端點的圓方程切線長過圓（）外一點所引圓的切線的長為（）9、弦長問題圓的弦長的計算常用弦心距，弦長一半及圓的半徑所構成的直角三角形來解；過兩圓、交點的圓公共弦系為，當時，方程為兩圓公共弦所在直線方程?；馉t子下面是解立體幾何一些簡單的公式定例公理1如果一條直線上的兩點在一個平面內，那么這條直線上的所有點都在這個平面內。（1）判定直線在平面內的依據(jù)（2）判定點在平面內的方法公理2如果兩個平面有一個公共點，那它還有其它公共點，這些公共點的集合是一條直線。（1）判定兩個平面相交的依據(jù)（2）判定若干個點在兩個相交平面的交線上公理3經(jīng)過不在一條直線上的三點，有且只有一個平面。（1）確定一個平面的依據(jù)（2）判定若干個點共面的依據(jù)推論1經(jīng)過一條直線和這條直線外一點，有且僅有一個平面。（1）判定若干條直線共面的依據(jù)（2）判斷若干個平面重合的依據(jù)（3）判斷幾何圖形是平面圖形的依據(jù)推論2經(jīng)過兩條相交直線，有且僅有一個平面。推論3經(jīng)過兩條平行線，有且僅有一個平面。立體幾何直線與平面空間二直線平行直線公理4平行于同一直線的兩條直線互相平行等角定理如果一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別平行，并且方向相同，那么這兩個角相等。異面直線空間直線和平面位置關系（1）直線在平面內有無數(shù)個公共點（2）直線和平面相交有且只有一個公共點（3）直線和平面平行沒有公共點立體幾何直線與平面直線與平面所成的角（1）平面的斜線和它在平面上的射影所成的銳角，叫做這條斜線與平面所成的角（2）一條直線垂直于平面，定義這直線與平面所成的角是直角（3）一條直線和平面平行，或在平面內，定義它和平面所成的角是0度的角三垂線定理在平面內的一條直線，如果和這個平面的一條斜線的射影垂直，那么它和這條斜線垂直三垂線逆定理在平面內的一條直線，如果和這個平面的一條斜線垂直，那么它和這條斜線的射影垂直空間兩個平面兩個平面平行判定性質（1）如果一個平面內有兩條相交直線平行于另一個平面，那么這兩個平面平行（2）垂直于同一直線的兩個平面平行（1）兩個平面平行，其中一個平面內的直線必平行于另一個平面（2）如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么它們的交線平行（3）一條直線垂直于兩個平行平面中的一個平面，它也垂直于另一個平面相交的兩平面二面角從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角，這條直線叫二面角的線，這兩個半平面叫二面角的面二面角的平面角以二面角的棱上任一點為端點，在兩個面內分另作垂直棱的兩條射線，這兩條射線所成的角叫二面角的平面角平面角是直角的二面角叫做直二面角兩平面垂直判定性質如果一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線，那么這兩個平面互相垂直（1）若二