線性常微分方程的若干初等解法探討 數(shù)學(xué)畢業(yè)論文

線性常微分方程的若干初等解法探討作者XX指導(dǎo)教師葛玉麗摘要介紹求解常微分方程的幾種初等解法，如常數(shù)變易法，積分因子法，拉普拉斯變換法等，在學(xué)習(xí)過(guò)程中，通過(guò)對(duì)不同類型的方程解法，揭示了常微分方程的求解規(guī)律，從而找到最優(yōu)解法關(guān)鍵詞常數(shù)變易法；積分因子；特征根法；拉普拉斯變換0引言常微分方程是數(shù)學(xué)分析或基礎(chǔ)數(shù)學(xué)的一個(gè)組成部分，在整個(gè)數(shù)學(xué)大廈中占據(jù)著重要位置，學(xué)好常微分方程基本理論與方法對(duì)進(jìn)一步學(xué)習(xí)研究數(shù)學(xué)理論和實(shí)際應(yīng)用均非常重要，對(duì)于常微分方程的初等解法，既是常微分方程理論中有自身特色的部分，也與實(shí)際問(wèn)題密切相關(guān)；恰當(dāng)對(duì)初等解法進(jìn)行歸類，能正確而又敏捷地判斷一個(gè)給定的方程屬于何種類型，從而能按照所介紹的方法進(jìn)行分解1一階常微分方程的求解方法11方程能解出Y111變量分離方程1形如的方程稱為變量分離方程分別是DYXF,FXY的連續(xù)函數(shù),X例103X2YED解將變量分離得DXEY32兩邊積分得CEXY61321因而通解為（為任意常數(shù)）這是一種相當(dāng)簡(jiǎn)潔的解法，是最基本的解法，對(duì)于比較復(fù)雜的方程，需經(jīng)過(guò)一系列變換，最后利用變量分離求解112常數(shù)變易法對(duì)于一階線性齊次方程它的通解為從0YXPDXPECY此出發(fā)，將通解中的任意常數(shù)換成待定函數(shù)，假設(shè)C）（XU（1）為一階線性非齊次方程DXPEUYXQYP（2）的解，為了確定，將（1）代入的左邊，得）（XUYXQP到DXPEYXP從而得到，即UQEDDXPEQU積分后得到，其中為任意常數(shù)CXDP）（把代入（1）中，得到方程（2）的通解為）（XUEYPDCDXEQP例2解方程XDY1Y2解方程變形為令，3DX2Z則Y2Z代入變形方程為XZ利用常數(shù)變易法，其中Q2,P）則它的通解為2ZXC代回原來(lái)的變量，得到Y(jié)221即原方程的通解為CXY24此外，方程還有解0常數(shù)變易法實(shí)際上也是一種變量替換法，雖然用其來(lái)解一階非齊次線性微分方程時(shí)和變量代換法并無(wú)原則區(qū)別，但將它推廣到解高階線性微分方程和線性微分方程組時(shí)就顯出了它的優(yōu)越性，變2易常數(shù)思想是解微分方程的重要數(shù)學(xué)思想，對(duì)非線性方程（如貝努利方程，黎卡提方程）也可使用常數(shù)變易法求解，并且常數(shù)變易3法在數(shù)學(xué)分析中有很多應(yīng)用，比如求解中值問(wèn)題及存在性問(wèn)題，祥見文獻(xiàn)4113積分因子法把一階線性微分方程1）改寫為如下的對(duì)稱DYXQPX形式（2），一般而言，（2）不是恰當(dāng)方程，QYDXP但以因子乘（2）兩側(cè)，得到方程DXPEM）（，即DXYYXPDXPDXPEDXQEYEXPDXP它是恰當(dāng)方程，由此可直接積分，得到CX這樣就求出了方程的通解（3）為任CDEQEPDXP意常數(shù)，其中為積分因子，一般情況下，積分因子是很難尋求）（XU的，只有在很特殊的情況下才很容易求得例3求解0SIN2COSX4232DYXYDXY（解因?yàn)镹MI1,IN133則方程不是全微分方程，若把原方程改寫為0SIN2COY22YDXYXYDXD（可以看出積分因子，因?yàn)樯鲜絻啥送艘?，?X1M2X10SINCOY22YDYYDXDX即2X從而得到方程的通積分，CYXXOS2Y或022COSX23CXY此解法，目的明確，方法自然，學(xué)生很容易接受，逐步改變了一上來(lái)就直接用任意常數(shù)變易法求解一階線性微分方程的方法，取而代之是按上述方法一步步求解，這一過(guò)程使我們順利掌握了一階線性微分方程的通解，同時(shí)更容易理解任意常數(shù)變易法，這樣從不同角度，用不同方法解決了同一問(wèn)題，更能深刻的體會(huì)到任意常數(shù)變易法的巧妙之處12方程不能解出Y這時(shí)把看作是的函數(shù)，再看是否能解出，成為方程XX可用以上方法求解；但對(duì)于不能顯性表示為或,XYF,YXF或的方程，可分為兩類0,DYXNYXM）（121方程能就（或）解出（或）,XF，YF這時(shí)令（或）把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求解關(guān)于與（或）PPXY之間的一階方程（或），DXPFPXF,DPFYFP,1再利用以上方法，求得通解為（或）則它0,）（C0,）（C與（或）一起構(gòu)成原方程的通解的參數(shù)形式,YPXF,PYF例4研究克萊洛（CLAIVAUT）方程（1）YX解令代入原方程假定兩次可微且P）（P0P）（兩端對(duì)求導(dǎo)，得X0DXP）（取則DC代入（1）得到通解YC取，則即（2）0XP0XP0XPY由于，則（2）中第一式存在隱函數(shù)，代入第二式）（X就得到一個(gè)解，則這個(gè)解也可以由聯(lián)立方程XPXY來(lái)表達(dá)0YCX故克萊洛方程除了通解之外，還有一個(gè)由YCX所決定的解0YCX例5求解1YYE）（解令，代入原方程PPE1兩邊同時(shí)對(duì)X求導(dǎo)，則,DXDXEYP則,則當(dāng)時(shí)，；0P1Y當(dāng)時(shí)，則，為任意常數(shù),DXPECEP則得到方程參數(shù)形式的通解，；PEYX10且當(dāng)時(shí)，也是方程的解0P1Y總結(jié)由于此方程的形式與前面所分析的類型不一致，可以先觀察所給的方程的形式，利用變量代換的思想，經(jīng)過(guò)一系列變換，化為我們最熟悉的形式122方程不能就，或解出YX對(duì)于形如或的方程，引入?yún)?shù)，將方程表0,XF0,YT示為參數(shù)形式，再注意到關(guān)系式，就將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求解關(guān)于DX（或）與的一階方程，且其導(dǎo)數(shù)（或）已表示為的已知YXTTTT函數(shù)，最后的工作就是求積分的問(wèn)題例6求解21XY解令，則原方程可化為，PTCOS1COS2TX則，；XINTCOS由于，DY則，T2CS兩邊同時(shí)積分，則；CTYIN41則原方程的通解為，TXST2SI例701Y3Y解令，代入原方程為；則；PTX0133XTT21TX由，則，；YDXP即,DTTDTTTTTD2212423兩邊同時(shí)積分；CTY5則原方程的通解為，21TXCTTY125以上總結(jié)了一階常微分方程的幾種解法，熟悉各種類型方程的解法，正確而又敏捷地判斷一個(gè)給定的方程屬于何種類型，從而按照所介紹的方法進(jìn)行求解，這是最基本的要求但是我們所遇到的方程未必都恰好是所介紹過(guò)的方程類型，因此要注意學(xué)習(xí)解題的技巧，善于根據(jù)方程的特點(diǎn)，引進(jìn)恰當(dāng)?shù)淖儞Q，將方程化為能求解的新類型，從而求解；一階微分方程的求解有眾多方法，技巧性很強(qiáng)，想進(jìn)一步詳細(xì)了解可參考常微分方程手冊(cè)2高階常微分方程的求解方法高階常系數(shù)線性微分方程的一般形式是（1）其中為11XGYAYANNNN1,2IAN常數(shù)，為連續(xù)函數(shù)；依據(jù)常系數(shù)線性微分方程的通解結(jié)構(gòu)理論，GX知方程（1）的通解可表示成該方程的一個(gè)特解與其對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解之和方程（1）對(duì)應(yīng)的齊次方程，由于它110NNNNYAAY具有線性結(jié)構(gòu)，一般采用EULER待定指數(shù)函數(shù)法可以得到通解，因而非齊次方程（1）的通解的計(jì)算只需尋到它的一個(gè)特解即可；有關(guān)特解的計(jì)算方法較多，如常數(shù)變易法，待定系數(shù)法，積分法等，567因此接下來(lái)介紹線性微分方程的求解方法的幾種歸類21常數(shù)變易法例8已知齊次線性微分方程的基本解組，求下列方程對(duì)應(yīng)12,X的非齊次線性微分方程的通解COSTTXE解應(yīng)用常數(shù)變易法，令,將它代入方程，則可TTE21得120,COSTTTTCE解得TTE2,S21由此；1122SINCO,4STTTCTER則原方程的通解為12COTTXRE總結(jié)利用一階常微分方程的常數(shù)變易法的思想，推廣到高階常微分方程，關(guān)鍵是找出決定的方程組，從而求出高階方,21TC程的通解由此可知，常數(shù)變易法一般用于給定非齊次線性微分方程特解的方程，這種方法簡(jiǎn)潔明了，但是比較局限，是最基本的解法22特征根法主要是利用把微分方程的求解問(wèn)題化為代數(shù)方程的求根問(wèn)題的思想我們知道簡(jiǎn)單的一階方程，其中為常數(shù)，它有特解0YAA，由于與都是常系數(shù)線AXYE11NNNNYA0Y性齊次方程，因而猜想方程也有形如1NNY的解，其中是待定常數(shù)，為了確定出使XYE為XYE110NNNNAYAY的解的，先將它代入方程中，實(shí)際上有，其中11NXXNAEP稱為特征多項(xiàng)式則為方程N(yùn)PAXYE的解的充要條件是，即應(yīng)是方110NNNYY0P程的根0下面分兩種情況討論特征根互異首先，假設(shè)有個(gè)互異的實(shí)根，010PN12,N這時(shí)，依上述討論，方程有個(gè)特解110NNNNYAAY，則函數(shù)為方程12,NXXXYEE2NXXXCECE的通解，其中為任意常數(shù)110NNNNAAY12,N例9求方程的通解4Y解特征方程為，32故特征根為，因而基本解組為,123,II,COS2,INXEX故所求通解為，其中為任意常數(shù)3COSN2XYEX123特征根有重根設(shè)是重特征根（），由上述討論知，021KK是的一個(gè)解，但這時(shí)由于互異的特征1XE10NNNNYAAY根的個(gè)數(shù)小于，故相應(yīng)地線性無(wú)關(guān)的解的個(gè)數(shù)也小于，要得到通N解，這些特解是不夠的，對(duì)應(yīng)于，除解外還應(yīng)補(bǔ)上哪些解呢11XE先來(lái)研究二階常系數(shù)方程并設(shè)，特征方0,YPQ824PQ程為，特征根為，即20PQ2124,；12易見，為二重特征根，因而，首先有特解；12P21PXYE現(xiàn)在求已知方程的和線性無(wú)關(guān)的另一個(gè)特解，由1Y知，21PXDCE取,則另一特解可取為，01C2221PPXXPXDEYDE即當(dāng)是二重特征根時(shí)，二階方程除了有解之外，12P21PXYE還有與它線性無(wú)關(guān)的另一個(gè)特解2PXYE根據(jù)以上討論，對(duì)于一般的情形，我們有如下的定理如果方程有兩兩互異的特征根，110NNNNYAAY12,P它們的重?cái)?shù)分別為，且，則與它12,PMI12PMN們對(duì)應(yīng)的方程的特解是112221,PPPXXXMXEEEE例10求方程的通解459720YY解特征方程是3310故特征根是,1234,1則它們對(duì)應(yīng)的解為，,XXEE故所求通解為，其中為任22134XXYCCE1234,C意常數(shù)總結(jié)歐拉待定指數(shù)函數(shù)法，即特征根法，在高階常微分方程中占據(jù)了十分重要的位置，要熟練掌握不同類型的解法，從而對(duì)于給定的方程能游刃有余23階常系數(shù)線性非齊次方程解法N對(duì)于形如的解法，它的通解等于11NNNNYAAYFX其對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解與它本身的一10AY個(gè)特解之和231比較系數(shù)法（待定系數(shù)法）下面分兩種類型討論設(shè)，其中及為實(shí)01101MTMFTBTBTE0,1IBM常數(shù)當(dāng)不是特征根時(shí)，有形如11NNNNYAAYFX的特解，其中1XMYXQE01MMQXQXQ當(dāng)是（）重特征根時(shí)，有K11NNNNYYAFX形如的特解，其中，XM1E）（101MMXXQ對(duì)于中的的系數(shù)，則可以由待定系數(shù)法求得）（XY）（Q例11求方程的通解21652XY解先求對(duì)應(yīng)齊次方程的通解，其特征方程是05Y2故特征根為從而，對(duì)應(yīng)齊次線性方程通解為32,1，XXECY321由于不是特征根，因而已知方程有形如的特解0CBXAY21為確定將它代入原方程中，由于,CBA,X,故2066X2522XCBAX）（比較上式等號(hào)兩端的同次冪系數(shù)，可得,01CBA，故已知方程特解為，則原方程的通解為21XYXXECY3212例12求方程XE24解由于則0221故齊次方程通解為，CEYX由于為二重特征根,2故有,XEA21故,Y，則原方程的通解為Y212XCEXX設(shè)，其中為常數(shù)，而2TTBTATFSINCOS，是帶實(shí)系數(shù)的多項(xiàng)式，其中一個(gè)的次數(shù)為，一個(gè)的次數(shù),TBA）（M不超過(guò)，則有形如的特解其中為特征MTKETQTPXSINCSK方程的根的重?cái)?shù)，而均為特定的帶實(shí)系數(shù)的次數(shù)不0）（P,高于的的多項(xiàng)式T根據(jù)歐拉公式，有IEXEXXIIXII2SN,2COS則XIXIXIXIXIXIETBTATBETAF2再利用迭加原理,于是有兩種形式（1）如果不是特征根，則特解具有形式I其中是系數(shù)待定的次多SNCOS2XQXEYMMX,21MXQM項(xiàng)式（2）如果是重特征根，則特解應(yīng)具有形狀I(lǐng)KSINCOS211XQXEXYMMAK例13求解方程TTCO解先求對(duì)應(yīng)的齊次方程，我們有,0X012故特征根為；由于迭加原理，則原方程可化為II21,TX2COSIN1對(duì)于，由于是特征根，故方程TXSII具有形如的特解，現(xiàn)將上式代入TXSINCS1TBA，則TXSIN0,21BA則的通解為TCTTXSINOCS212對(duì)于，由于不是特征根，故方程TOI具有形如的特解現(xiàn)將上式代入TX2COSSN2C1TBTAX，則,03，則的通解為TXCSTCTTXSIOCS21故原方程的通解為T3INO21總結(jié)比較系數(shù)法用于方程右端是某些基本函數(shù)的情況，TF常見的有多項(xiàng)式，指數(shù)函數(shù)，正弦（或余弦）函數(shù)以及它們的某種乘積組合，然后根據(jù)的前面所歸納的類型，從而求出方程的TF特解，進(jìn)而求出通解232拉普拉斯變換9它無(wú)需求出已知方程的通解，而是直接求出它的特解來(lái)，從而在運(yùn)算上得到很大簡(jiǎn)化，這一方法的基本思想是先通過(guò)拉普拉斯變換將已知方程化為代數(shù)方程，求出代數(shù)方程的解，再通過(guò)逆拉普拉斯變換，便可得到所求初值問(wèn)題的解由積分所定義的確定于復(fù)平面上的復(fù)變數(shù)的DTFESFST0S函數(shù)稱為的拉普拉斯變換，其中與有定義，且滿足TFTF0不等式，這里M,為某兩個(gè)正常數(shù)，這時(shí)為原函數(shù)，TMETFTF而稱為像函數(shù)SF例14求函數(shù)的拉普拉斯變換ATEF解ASESADTDTETSAASTAT,1|1000例15解方程210,SINXTX解由于，從而22SS則，12122SSSX故，2由于，21COST故所求初值解為TTX當(dāng)然，方法本身也有一定的局限性，它要求所考察的微分方程的右端函數(shù)必須是原函數(shù)，否則方法就不適用了，關(guān)于拉普拉斯變換的一般概念及基本性質(zhì)，請(qǐng)參閱有關(guān)書籍233冪級(jí)數(shù)解法冪級(jí)數(shù)解法待定的是級(jí)數(shù)的系數(shù)，因而通常計(jì)算較大，其實(shí)冪級(jí)數(shù)解法適用二階以上的高階齊次線性微分方程與非齊次線性微分方程，也能求其特解或通解二階線性方程在近代物理學(xué)以及工程0210YXPYXP技術(shù)中有著很廣泛的應(yīng)用，其中冪級(jí)數(shù)解法不但對(duì)于求解方程有意義，而且還由此引出了很多新的超越函數(shù)，在理論上是很重要的下來(lái)給出兩個(gè)定理，若要了解定理證明過(guò)程，可參考有關(guān)書籍10定理1如果在某點(diǎn)的鄰域內(nèi)解析，即它們可,210XPX0展成的冪級(jí)數(shù)，且，則的解0X0021YXPY在的鄰域內(nèi)也能展開成為的冪級(jí)數(shù)XNNA00定理2如果在的鄰域內(nèi)解析，而為的,210PX00XP重零點(diǎn)，是的不低于重的零點(diǎn)，（若），是的不低S1PS1S2于重的零點(diǎn)，（若），則方程至少有一個(gè)形如的廣0210YXPYXPNNRXAXY00義冪級(jí)數(shù)解，其中R為某一實(shí)數(shù)若要了解冪級(jí)數(shù)的詳細(xì)解法可以參考常微分方程，這里不做具體分析總之，不同的方法用于不同類型的方程，這是應(yīng)用之時(shí)必須特別注意之點(diǎn)參考文獻(xiàn)1朱思銘，王壽松等常微分方程M北京高等教育出版社2006（3）1261292湯光宋，余復(fù)民應(yīng)用交換變量位置法解兩類一階常微分方程J蘭州工業(yè)高等?？茖W(xué)校學(xué)報(bào)1996,120253焦洪田一階非線性微分方程的常數(shù)變易法J雁北師范學(xué)院學(xué)報(bào)1999（6）44454周斌常數(shù)變易法在數(shù)學(xué)分析中的應(yīng)用J內(nèi)江師范學(xué)院學(xué)報(bào)2003,18（4）56585曹玉平一階線性變系