概率論與數(shù)理統(tǒng)計第四版課后習題答案盛驟浙江大學

完全版概率論與數(shù)理統(tǒng)計習題答案第四版盛驟浙江大學浙大第四版（高等教育出版社）第一章概率論的基本概念1一寫出下列隨機試驗的樣本空間（1）記錄一個小班一次數(shù)學考試的平均分數(shù)（充以百分制記分）（一1），N表小班人數(shù)NOS10,（3）生產(chǎn)產(chǎn)品直到得到10件正品，記錄生產(chǎn)產(chǎn)品的總件數(shù)。（一2）S10，11，12，N，（4）對某工廠出廠的產(chǎn)品進行檢查，合格的蓋上“正品”，不合格的蓋上“次品”，如連續(xù)查出二個次品就停止檢查，或檢查4個產(chǎn)品就停止檢查，記錄檢查的結果。查出合格品記為“1”，查出次品記為“0”，連續(xù)出現(xiàn)兩個“0”就停止檢查，或查滿4次才停止檢查。（一3）S00，100，0100，0101，1010，0110，1100，0111，1011，1101，1110，1111，2二設A，B，C為三事件，用A，B，C的運算關系表示下列事件。（1）A發(fā)生，B與C不發(fā)生。表示為或AABAC或ABC（2）A，B都發(fā)生，而C不發(fā)生。表示為或ABABC或ABC（3）A，B，C中至少有一個發(fā)生表示為ABC（4）A，B，C都發(fā)生，表示為ABC（5）A，B，C都不發(fā)生，表示為或SABC或CBACBA（6）A，B，C中不多于一個發(fā)生，即A，B，C中至少有兩個同時不發(fā)生相當于中至少有一個發(fā)生。故表示為。A,（7）A，B，C中不多于二個發(fā)生。相當于中至少有一個發(fā)生。故表示為,ABC或（8）A，B，C中至少有二個發(fā)生。相當于AB，BC，AC中至少有一個發(fā)生。故表示為ABBCAC6三設A，B是兩事件且PA06，PB07問1在什么條件下PAB取到最大值，最大值是多少（2）在什么條件下PAB取到最小值，最小值是多少解由PA06，PB07即知AB，（否則AB依互斥事件加法定理，PABPAPB0607131與PAB1矛盾）從而由加法定理得PABPAPBPAB（1）從0PABPA知，當ABA，即AB時PAB取到最大值，最大值為PABPA06，（2）從式知，當ABS時，PAB取最小值，最小值為PAB0607103。7四設A，B，C是三事件，且，0,41BCPACPBA求A，B，C至少有一個發(fā)生的概率。81解PA，B，C至少有一個發(fā)生PABCPAPBPCPABPBCPACPABC8501438五在一標準英語字典中具有55個由二個不相同的字母新組成的單詞，若從26個英語字母中任取兩個字母予以排列，問能排成上述單詞的概率是多少記A表“能排成上述單詞”從26個任選兩個來排列，排法有種。每種排法等可能。26A字典中的二個不同字母組成的單詞55個130526AP9在電話號碼薄中任取一個電話號碼，求后面四個數(shù)全不相同的概率。（設后面4個數(shù)中的每一個數(shù)都是等可能性地取自0，1，29）記A表“后四個數(shù)全不同”后四個數(shù)的排法有104種，每種排法等可能。后四個數(shù)全不同的排法有10A544P10六在房間里有10人。分別佩代著從1號到10號的紀念章，任意選3人記錄其紀念章的號碼。（1）求最小的號碼為5的概率。記“三人紀念章的最小號碼為5”為事件A10人中任選3人為一組選法有種，且每種選法等可能。310又事件A相當于有一人號碼為5，其余2人號碼大于5。這種組合的種數(shù)有2511230P（2）求最大的號碼為5的概率。記“三人中最大的號碼為5”為事件B，同上10人中任選3人，選法有種，310且每種選法等可能，又事件B相當于有一人號碼為5，其余2人號碼小于5，選法有種24120134BP11七某油漆公司發(fā)出17桶油漆，其中白漆10桶、黑漆4桶，紅漆3桶。在搬運中所標箋脫落，交貨人隨意將這些標箋重新貼，問一個定貨4桶白漆，3桶黑漆和2桶紅漆顧客，按所定的顏色如數(shù)得到定貨的概率是多少記所求事件為A。在17桶中任取9桶的取法有種，且每種取法等可能。917C取得4白3黑2紅的取法有2340故1561734AP12八在1500個產(chǎn)品中有400個次品，1100個正品，任意取200個。（1）求恰有90個次品的概率。記“恰有90個次品”為事件A在1500個產(chǎn)品中任取200個，取法有種，每種取法等可能。2015200個產(chǎn)品恰有90個次品，取法有種94201594AP（2）至少有2個次品的概率。記A表“至少有2個次品”B0表“不含有次品”，B1表“只含有一個次品”，同上，200個產(chǎn)品不含次品，取法有種，200個產(chǎn)品含一個次品，取法有種211904且B0，B1互不相容。10A201594201510PP13九從5雙不同鞋子中任取4只，4只鞋子中至少有2只配成一雙的概率是多少記A表“4只全中至少有兩支配成一對”則表“4只人不配對”從10只中任取4只，取法有種，每種取法等可能。410要4只都不配對，可在5雙中任取4雙，再在4雙中的每一雙里任取一只。取法有25213812405APC15十一將三個球隨機地放入4個杯子中去，問杯子中球的最大個數(shù)分別是1，2，3，的概率各為多少記AI表“杯中球的最大個數(shù)為I個”I1,2,3,三只球放入四只杯中，放法有43種，每種放法等可能對A1必須三球放入三杯中，每杯只放一球。放法432種。選排列好比3個球在4個位置做排列1621P對A2必須三球放入兩杯，一杯裝一球，一杯裝兩球。放法有種。342C從3個球中選2個球，選法有，再將此兩個球放入一個杯中，選法有423C種，最后將剩余的1球放入其余的一個杯中，選法有3種。69432AP對A3必須三球都放入一杯中。放法有4種。只需從4個杯中選1個杯子，放入此3個球，選法有4種163P16十二50個鉚釘隨機地取來用在10個部件，其中有三個鉚釘強度太弱，每個部件用3只鉚釘，若將三只強度太弱的鉚釘都裝在一個部件上，則這個部件強度就太弱，問發(fā)生一個部件強度太弱的概率是多少記A表“10個部件中有一個部件強度太弱”。法一用古典概率作把隨機試驗E看作是用三個釘一組，三個釘一組去鉚完10個部件（在三個釘?shù)囊唤M中不分先后次序。但10組釘鉚完10個部件要分先后次序）對E鉚法有種，每種裝法等可能32347350CC對A三個次釘必須鉚在一個部件上。這種鉚法有10323473CC種051196032347503CP法二用古典概率作把試驗E看作是在50個釘中任選30個釘排成一列，順次釘下去，直到把部件鉚完。（鉚釘要計先后次序）對E鉚法有種，每種鉚法等可能350A對A三支次釘必須鉚在“1，2，3”位置上或“4，5，6”位置上，或“28，29，30”位置上。這種鉚法有種274327432743274310AAA59610357P17十三已知。|,0,40,BAPBAPA求解一ASP,61,701注意故有BAPABPAPA070502。再由加法定理，PAPAPPA07060508BB于是2508|25067051|72|750|5BAPBAPBAPABPAP定義故解二由已知18十四。,21|,31|,41BAPBAPBAP求解由613421|BPBPBAP有定義由已知條件由乘法公式，得|AA由加法公式，得312641ABPBAP19十五擲兩顆骰子，已知兩顆骰子點數(shù)之和為7，求其中有一顆為1點的概率（用兩種方法）。解（方法一）（在縮小的樣本空間SB中求PA|B，即將事件B作為樣本空間，求事件A發(fā)生的概率）。擲兩顆骰子的試驗結果為一有序數(shù)組（X,Y）（X,Y1,2,3,4,5,6）并且滿足X,Y7，則樣本空間為SX,Y|1,6,6,1,2,5,5,2,3,4,4,3每種結果（X,Y）等可能。A擲二骰子，點數(shù)和為7時，其中有一顆為1點。故3162AP方法二（用公式|BPASX,Y|X1,2,3,4,5,6Y1,2,3,4,5,6每種結果均可能A“擲兩顆骰子，X,Y中有一個為“1”點”，B“擲兩顆骰子，X,Y7”。則，22616ABPBP故316|220十六據(jù)以往資料表明，某一3口之家，患某種傳染病的概率有以下規(guī)律PAP孩子得病06，PB|AP母親得病|孩子得病05，PC|ABP父親得病|母親及孩子得病04。求母親及孩子得病但父親未得病的概率。解所求概率為PAB（注意由于“母病”，“孩病”，“父病”都是隨機事件，C這里不是求P|ABPABPAPB|A060503,P|AB1PC|AB10406從而PABPABP|AB030601821十七已知10只晶體管中有2只次品，在其中取二次，每次隨機地取一只，作不放回抽樣，求下列事件的概率。（1）二只都是正品（記為事件A）法一用組合做在10只中任取兩只來組合，每一個組合看作一個基本結果，每種取法等可能。620458210CAP法二用排列做在10只中任取兩個來排列，每一個排列看作一個基本結果，每個排列等可能。452810AP法三用事件的運算和概率計算法則來作。記A1，A2分別表第一、二次取得正品。45289710|221APAP（2）二只都是次品（記為事件B）法一45120CP法二210AB法三451902|12121APP（3）一只是正品，一只是次品（記為事件C）法一45162018CP法二45162108ACP法三互斥與且2121A456908|12121APAP（4）第二次取出的是次品（記為事件D）法一因為要注意第一、第二次的順序。不能用組合作，法二512019ADP法三互斥與且2121A519028|PP22十八某人忘記了電話號碼的最后一個數(shù)字，因而隨機的撥號，求他撥號不超過三次而接通所需的電話的概率是多少如果已知最后一個數(shù)字是奇數(shù)，那么此概率是多少記H表撥號不超過三次而能接通。AI表第I次撥號能接通。注意第一次撥號不通，第二撥號就不再撥這個號碼。1038910|213122321APAAPHP三種情況互斥如果已知最后一個數(shù)字是奇數(shù)（記為事件B）問題變?yōu)樵贐已發(fā)生的條件下，求H再發(fā)生的概率。|32121ABPAH|213121ABPABP531415424十九設有甲、乙二袋，甲袋中裝有N只白球M只紅球，乙袋中裝有N只白球M只紅球，今從甲袋中任取一球放入乙袋中，再從乙袋中任取一球，問取到（即從乙袋中取到）白球的概率是多少（此為第三版19題1）記A1，A2分別表“從甲袋中取得白球，紅球放入乙袋”再記B表“再從乙袋中取得白球”。BA1BA2B且A1，A2互斥PBPA1PB|A1PA2PB|A21MNMNMNMN十九2第一只盒子裝有5只紅球，4只白球；第二只盒子裝有4只紅球，5只白球。先從第一盒子中任取2只球放入第二盒中去，然后從第二盒子中任取一只球，求取到白球的概率。記C1為“從第一盒子中取得2只紅球”。C2為“從第一盒子中取得2只白球”。C3為“從第一盒子中取得1只紅球，1只白球”，D為“從第二盒子中取得白球”，顯然C1，C2，C3兩兩互斥，C1C2C3S，由全概率公式，有PDPC1PD|C1PC2PD|C2PC3PD|C395167529452942926二十一已知男人中有5是色盲患者，女人中有025是色盲患者。今從男女人數(shù)相等的人群中隨機地挑選一人，恰好是色盲患者，問此人是男性的概率是多少解A1男人，A2女人，B色盲，顯然A1A2S，A1A2由已知條件知50|,5|11BPP由貝葉斯公式，有2105102|211111ABPABPAPB二十二一學生接連參加同一課程的兩次考試。第一次及格的概率為P，若第一次及格則第二次及格的概率也為P；若第一次不及格則第二次及格的概率為（1）若2至少有一次及格則他能取得某種資格，求他取得該資格的概率。（2）若已知他第二次已經(jīng)及格，求他第一次及格的概率。解AI他第I次及格，I1,2已知PA1PA2|A1P，2|12P（1）B至少有一次及格所以21兩次均不及格|121APAPP|1223（2）（）2121AP定義由乘法公式，有PA1A2PA1PA2|A1P2由全概率公式，有|121A2P將以上兩個結果代入（）得12|21PA28二十五某人下午500下班，他所積累的資料表明到家時間535539540544545549550554遲于554乘地鐵到家的概率010025045015005乘汽車到家的概率030035020010005某日他拋一枚硬幣決定乘地鐵還是乘汽車，結果他是547到家的，試求他是乘地鐵回家的概率。解設A“乘地鐵”，B“乘汽車”，C“545549到家”，由題意,AB,ABS已知PA05,PC|A045,PC|B02,PB05由貝葉斯公式有692301542|1|450|BCPAC29二十四有兩箱同種類型的零件。第一箱裝5只，其中10只一等品；第二箱30只，其中18只一等品。今從兩箱中任挑出一箱，然后從該箱中取零件兩次，每次任取一只，作不放回抽樣。試求（1）第一次取到的零件是一等品的概率。（2）第一次取到的零件是一等品的條件下，第二次取到的也是一等品的概率。解設BI表示“第I次取到一等品”I1，2AJ表示“第J箱產(chǎn)品”J1,2，顯然A1A2SA1A2（1）（B1A1BA2B由全概率公式解）。405382501P（2）48570593|1212B（先用條件概率定義，再求PB1B2時，由全概率公式解）32二十六（2）如圖1，2，3，4，5表示繼電器接點，假設每一繼電器接點閉合的概率為P，且設各繼電器閉合與否相互獨立，求L和R是通路的概率。記AI表第I個接點接通記A表從L到R是構成通路的。AA1A2A1A3A5A4A5A4A3A2四種情況不互斥PAPA1A2PA1A3A5PA4A5PA4A3A2PA1A2A3A5PA1A2A4A5PA1A2A3A4PA1A3A4A5PA1A2A3A4A5PA2A3A4A5PA1A2A3A4A5PA1A2A3A4A5A1A2A3A4A5PA1A2A3A4A5PA1A2A3A4A5又由于A1，A2，A3，A4，A5互相獨立。故PAP2P3P2P3P4P4P4P4P5P4P5P5P5P5P52P23P35P42P5二十六（1）設有4個獨立工作的元件1，2，3，4。它們的可靠性分別為P1，P2，P3，P4，將它們按圖（1）的方式聯(lián)接，求系統(tǒng)的可靠性。記AI表示第I個元件正常工作，I1，2，3，4，A表示系統(tǒng)正常。AA1A2A3A1A4兩種情況不互斥PAPA1A2A3PA1A4PA1A2A3A4加法公式PA1PA2PA3PA1PA4PA1PA2PA3PA4P1P2P3P1P4P1P2P3P4A1,A2,A3,A4獨立342153421LR34三十一袋中裝有M只正品硬幣，N只次品硬幣，（次品硬幣的兩面均印有國徽）。在袋中任取一只，將它投擲R次，已知每次都得到國徽。問這只硬幣是正品的概率為多少解設“出現(xiàn)R次國徽面”BR“任取一只是正品”A由全概率公式，有RRRRRRRRRRNMNMBPAAPN221|1|（條件概率定義與乘法公式）35甲、乙、丙三人同時對飛機進行射擊，三人擊中的概率分別為04，05，07。飛機被一人擊中而被擊落的概率為02，被兩人擊中而被擊落的概率為06，若三人都擊中，飛機必定被擊落。求飛機被擊落的概率。解高HI表示飛機被I人擊中，I1，2，3。B1，B2，B2分別表示甲、乙、丙擊中飛機，三種情況互斥。321321321B三種情況互斥B323H又B1，B2，B2獨立。321321BPBPP607560543213212BPBPHP3054321BP040507060507041PH3PB1PB2PB3040507014又因AH1AH2AH3A三種情況互斥故由全概率公式，有PAPH1PA|H1PH2PA|H2PH3PAH303602041060141045836三十三設由以往記錄的數(shù)據(jù)分析。某船只運輸某種物品損壞2（這一事件記為A1），10（事件A2），90（事件A3）的概率分別為PA108,PA2015,PA2005，現(xiàn)從中隨機地獨立地取三件，發(fā)現(xiàn)這三件都是好的（這一事件記為B），試分別求PA1|BPA2|B,PA3|B（這里設物品件數(shù)很多，取出第一件以后不影響取第二件的概率，所以取第一、第二、第三件是互相獨立地）B表取得三件好物品。BA1BA2BA3B三種情況互斥由全概率公式，有PBPA1PB|A1PA2PB|A2PA3PB|A30809830150930050130862401862405|6891|731086240|333332222111BPAABPB37三十四將A，B，C三個字母之一輸入信道，輸出為原字母的概率為，而輸出為其它一字母的概率都是1/2。今將字母串AAAA，BBBB，CCCC之一輸入信道，輸入AAAA，BBBB，CCCC的概率分別為P1,P2,P3P1P2P31，已知輸出為ABCA，問輸入的是AAAA的概率是多少（設信道傳輸每個字母的工作是相互獨立的。）解設D表示輸出信號為ABCA，B1、B2、B3分別表示輸入信號為AAAA，BBBB，CCCC，則B1、B2、B3為一完備事件組，且PBIPI,I1,2,3。再設A發(fā)、A收分別表示發(fā)出、接收字母A，其余類推，依題意有PA收|A發(fā)PB收|B發(fā)PC收|C發(fā)，PA收|B發(fā)PA收|C發(fā)PB收|A發(fā)PB收|C發(fā)PC收|A發(fā)PC收|B發(fā)21又PABCA|AAAAPD|B1PA收|A發(fā)PB收|A發(fā)PC收|A發(fā)PA收|A發(fā)，22同樣可得PD|B2PD|B331于是由全概率公式，得3322131|PAPIII由BAYES公式，得PAAAA|ABCAPB1|D|11B23211P二十九設第一只盒子裝有3只藍球，2只綠球，2只白球；第二只盒子裝有2只藍球，3只綠球，4只白球。獨立地分別從兩只盒子各取一只球。（1）求至少有一只藍球的概率，（2）求有一只藍球一只白球的概率，（3）已知至少有一只藍球，求有一只藍球一只白球的概率。解記A1、A2、A3分別表示是從第一只盒子中取到一只藍球、綠球、白球，B1、B2、B3分別表示是從第二只盒子中取到一只藍球、綠球、白球。（1）記C至少有一只藍球CA1B1A1B2A1B3A2B1A3B1，5種情況互斥由概率有限可加性，得952794739273131231113232BPAPPPBA獨立性（2）記D有一只藍球，一只白球，而且知DA1B3A3B1兩種情況互斥63192743311PBAPBAPD（3）5|DCCDC注意到三十A，B，C三人在同一辦公室工作，房間有三部電話，據(jù)統(tǒng)計知，打給A，B，C的電話的概率分別為。他們三人常因工作外出，A，B，C三人外1,2出的概率分別為，設三人的行動相互獨立，求41,2（1）無人接電話的概率；（2）被呼叫人在辦公室的概率；若某一時間斷打進了3個電話，求（3）這3個電話打給同一人的概率；（4）這3個電話打給不同人的概率；（5）這3個電話都打給B，而B卻都不在的概率。解記C1、C2、C3分別表示打給A，B，C的電話D1、D2、D3分別表示A，B，C外出注意到C1、C2、C3獨立，且51,5231PP4,32DP（1）P（無人接電話）PD1D2D3PD1PD2PD34（2）記G“被呼叫人在辦公室”，三種情況互斥，由有321CG限可加性與乘法公式2013453215|3312CDPCDPCPDG|KKDP故否和來電話無關由于某人外出與（3）H為“這3個電話打給同一個人”12575525P（4）R為“這3個電話打給不同的人”R由六種互斥情況組成，每種情況為打給A，B，C的三個電話，每種情況的概率為125452于是6RP（5）由于是知道每次打電話都給B，其概率是1，所以每一次打給B電話而B不在的概率為，且各次情況相互獨立41于是P（3個電話都打給B，B都不在的概率）643第二章隨機變量及其分布1一一袋中有5只乒乓球，編號為1、2、3、4、5，在其中同時取三只，以X表示取出的三只球中的最大號碼，寫出隨機變量X的分布律解X可以取值3，4，5，分布律為1064,321,553,44102,1,333524352CPXC中任取兩球再在號一球為中任取兩球再在號一球為號兩球為號一球為也可列為下表X3，4，5P106,3三設在15只同類型零件中有2只是次品，在其中取三次，每次任取一只，作不放回抽樣，以X表示取出次品的只數(shù)，（1）求X的分布律，（2）畫出分布律的圖形。解任取三只，其中新含次品個數(shù)X可能為0，1，2個。35201CP3152X2315CP再列為下表X0，1，2P35,4四進行重復獨立實驗，設每次成功的概率為P，失敗的概率為Q1P0YPX1,Y0PX2,Y0PX2,Y1PX3PY0PX3PY1PX3PY2PX1PY0PX2,Y0PX2,Y1PX3PY0PX3PY1PX3PY2823213304600460CC1272372239十有甲、乙兩種味道和顏色極為相似的名酒各4杯。如果從中挑4杯，能將甲種酒全部挑出來，算是試驗成功一次。（1）某人隨機地去猜，問他試驗成功一次的概率是多少（2）某人聲稱他通過品嘗能區(qū)分兩種酒。他連續(xù)試驗10次，成功3次。試問他是猜對的，還是他確有區(qū)分的能力（設各次試驗是相互獨立的。）解（1）P一次成功70148C（2）P連續(xù)試驗10次，成功3次。此概率太小，按103769013實際推斷原理，就認為他確有區(qū)分能力。九有一大批產(chǎn)品，其驗收方案如下，先做第一次檢驗從中任取10件，經(jīng)驗收無次品接受這批產(chǎn)品，次品數(shù)大于2拒收；否則作第二次檢驗，其做法是從中再任取5件，僅當5件中無次品時接受這批產(chǎn)品，若產(chǎn)品的次品率為10，求（1）這批產(chǎn)品經(jīng)第一次檢驗就能接受的概率（2）需作第二次檢驗的概率（3）這批產(chǎn)品按第2次檢驗的標準被接受的概率（4）這批產(chǎn)品在第1次檢驗未能做決定且第二次檢驗時被通過的概率（5）這批產(chǎn)品被接受的概率解X表示10件中次品的個數(shù)，Y表示5件中次品的個數(shù)，由于產(chǎn)品總數(shù)很大，故XB（10，01），YB（5，01）（近似服從）（1）PX009100349（2）PX2PX2PX1581099011082C（3）PY00950590（4）P010PX110002840（查表計算）十二2每分鐘呼喚次數(shù)大于3的概率。56043十六以X表示某商店從早晨開始營業(yè)起直到第一顧客到達的等待時間（以分計），X的分布函數(shù)是00,14XEXFX求下述概率（1）P至多3分鐘；（2）P至少4分鐘；（3）P3分鐘至4分鐘之間；（4）P至多3分鐘或至少4分鐘；（5）P恰好25分鐘解（1）P至多3分鐘PX321EF（2）P至少4分鐘PX4641X（3）P3分鐘至4分鐘之間P32，PX3若XN（，2），則P21P|X|31PX311050523（2）決定C使得PXCPXCPXC1PXCPXC得PXC0521又PXCC3023,503查表可得26二十四某地區(qū)18歲的女青年的血壓（收縮區(qū)，以MMHG計）服從在該地區(qū)任選一18歲女青年，測量她的血壓X。求12,0N（1）PX105，P100X005解384061417041670105592283265560741297412910645120500XXXXXP故最小的查表得27二十五由某機器生產(chǎn)的螺栓長度（CM）服從參數(shù)為1005，006的正態(tài)分布。規(guī)定長度在范圍1005012內為合格品，求一螺栓為不合格的概率是多少設螺栓長度為XPX不屬于1005012,10050121P10050121時，YFYY212YXDE412YE（3）求Y|X|的概率密度。Y的分布函數(shù)為FYYPYYP|X|Y當Y0時YFYY221YYXEDE33三十（1）設隨機變量X的概率密度為FX，求YX3的概率密度。YGXX3是X單調增函數(shù)，又XHY，反函數(shù)存在，1且MING,GMIN0,MAXG,GMAX0,Y的分布密度為YFHH|HY|0,312YYF但0（2）設隨機變量X服從參數(shù)為1的指數(shù)分布，求YX2的概率密度。法一X的分布密度為0XEXFYX2是非單調函數(shù)當X0時，由和的概率公式知ZYZZXZEDEYFFF6300,63ZZF（2）設Z表示前兩周需要量，其概率密度為0,63ZEZFZ設表示第三周需要量，其概率密度為0,XEXFZ與相互獨立Z表示前三周需要量則0，當U0時UYUEDEYFFF120653所以的概率密度為05UEUF30設某種型號的電子管的壽命（以小時計）近似地服從N（160，20）分布。2隨機地選取4只求其中沒有一只壽命小于180小時的概率。解設X1，X2，X3，X4為4只電子管的壽命，它們相互獨立，同分布，其概率密度為20162TTETF841302061826018012182查表令DUEUTDTTFXFX設NMINX1，X2，X3，X4PN180PX1180,X2180,X3180,X4180PX18041PX11P11P0P1查二項分布表10736102639因此X表示一天調整設備的次數(shù)時XB4,02639PX0026390073614402936PX102639107361304210,PX20263920736120226444PX30263930736100541,PX40263907361000049從而44EXNP402639105563三有3只球，4只盒子，盒子的編號為1，2，3，4，將球逐個獨立地，隨機地放入4只盒子中去。設X為在其中至少有一只球的盒子的最小號碼（例如X3表示第1號，第2號盒子是空的，第3號盒子至少有一只球），求EX。事件X1一只球裝入一號盒，兩只球裝入非一號盒兩只球裝入一號盒，一只球裝入非一號盒三只球均裝入一號盒（右邊三個事件兩兩互斥）643714341322P事件“X2”“一只球裝入二號盒，兩只球裝入三號或四號盒”“兩只球裝二號盒，一只球裝入三或四號盒”“三只球裝入二號盒”64194213421323P同理7322X64143P故162547927XE5五設在某一規(guī)定的時間間段里，其電氣設備用于最大負荷的時間X（以分計）是一個連續(xù)型隨機變量。其概率密度為其他0150,3015,2XXXF求EX解DXF15015031501503322201502分XXDXD6六設隨機變量X的分布為X202PK040303求EX，E3X25解EX20400320302EX222040203220328E3X253EX2E58451347七設隨機變量X的概率密度為0,XEF求（1）Y2X（2）YE2X的數(shù)學期望。解（1）0DXEDFYE22XE（2）0EXDFYEX31XE8八設（X，Y）的分布律為1求EX，EY。2設ZY/X，求EZ。3設ZXY2，求EZ。解（1）由X，Y的分布律易得邊緣分布為XY1231010201010100100301EX1042023040404122EY1030041030（2）EZ10205011/300041/30105011011/41/301/201/1015/6011/601/15（3）EZ001102403904160021236510十一工廠生產(chǎn)的某種設備的壽命X（以年計）服從指數(shù)分布，概率密度為工廠規(guī)定出售的設備若在一年內損壞，可予以調換。若工廠出售0,41XEF一臺設備可贏利100元，調換一臺設備廠方需花費300元。試求廠方出售一臺設備凈贏利的數(shù)學期望。解一臺設備在一年內損壞的概率為41104104EDXEXPX故設Y表示出售一臺設備的凈贏利1141EXP則,0,23XFY故4141001120EPXE643341E11十一某車間生產(chǎn)的圓盤直徑在區(qū)間（A,B）服從均勻分布。試求圓盤面積的數(shù)學期望。解設X為圓盤的直徑，則其概率密度為XY12310201003001003041010101030402041ZY/X11/21/301/31/21PK0201004010101ZXY201121102或2124202或112或3129302或21216312PK010203040,0,1其它BAXBXF用Y表示圓盤的面積，則從而,42XY1234141222BAABDXABDXFE12十三設隨機變量X1，X2的概率密度分別為0,40,2XEXFXEXF求（1）EX1X2，E2X13；（2）又設X1，X2相互獨立，求EX1X2解（1）004DXEDXEE31241021XXXXEE（2）0421133DXEXEXE853182444XXXEE（3）121XEXE13十四將N只球（1N號）隨機地放進N只盒子（1N號）中去，一只盒子裝一只球。將一只球裝入與球同號的盒子中，稱為一個配對，記X為配對的個數(shù)，求EX解引進隨機變量號球號盒裝非第號球號盒裝第第IIXI01I1,2,N則球盒對號的總配對數(shù)為IIX1XI的分布列為I1,2NNXEI1111XENIIIII1,2N14十五共有N把看上去樣子相同的鑰匙，其中只有一把能打開門上的鎖，用它們去試開門上的鎖。設抽取鑰匙是相互獨立的，等可能性的。若每把鑰匙經(jīng)試開一次后除去，試用下面兩種方法求試開次數(shù)X的數(shù)學期望。（1）寫出X的分布律，（2）不寫出X的分布律。解（1）X123NPN1N21N12E（2）設一把一把鑰匙的試開，直到把鑰匙用完。設I1,2N次試開不能開門第次試開能開門第IXI0則試開到能開門所須試開次數(shù)為NIIX1EXIN1I1,2N1211NNIXENNII15（1）設隨機變量X的數(shù)學期望為EX，方差為DX0，引入新的隨機變量（X稱為標準化的隨機變量）驗證EX0，DX1XI10PNXII0PI（2）已知隨機變量X的概率密度。,02|1|其它XXF求X的概率密度。解（1）01XEDXEEDXEXEX2EX2211X（2）11|21020DXXDXDX671|212DXXXE6112XDEX161YXDXFYPYYPYF時即當時即當時即當YYDXYY6,121620|,601_60為其他值YYYGX0|61|16十六設X為隨機變量，C是常數(shù)，證明DX0是常0,1XEFX數(shù)，求EX，DX。解EDXEXEXDEXX00001又2020221DTETDXEXE令DXEX2E2X222221設X1,X2,XN是相互獨立的隨機變量且有,I1,2,N2,XDEII記，（1）驗證（2）驗證NII1IIS12,（3）驗證ES2NIIXS122證明（1）NINIINIIXE111利用數(shù)學期望的性質2，3NDNXNDNIIINII21211,相互獨立利用方差的性質2，3（2）首先證NIINIIX1212212112212NIINIINIIIIIIINIIXXX于是NIINIIS12122（3）21122XNENXNEIIII212II221XEDNXEDNIII2223二十五設隨機變量X和Y的聯(lián)合分布為XY101188001818驗證X和Y不相關，但X和Y不是相互獨立的。證PX1Y1PX1PY188383PX1Y1PX1PY1X，Y不是獨立的又EX101083283EY101083283COVX,YEXEXYEYEXYEXEY111111110118X，Y是不相關的27已知三個隨機變量X，Y，Z中，EXEY1,EZ1，DXDYDZ1,XY0XZ，YZ。設WXYZ求EW，DW。21解EWEXYZEXEYEZ1111DWDXYZEXYZEXYZ2EXEXYEYZEZ2EXEX2YEY2ZEZ22XEXYEY2YEYZEZ2ZEZXEXDXDYDZ2COVX,Y2COVY,Z2COVZ,XDXDYDZ2D1112X21013126二十八設隨機變量（X1，X2）具有概率密度。，0X2,0Y28,YXF求EX1，EX2，COV（X1，X2），2121XDX解6780DYXD22Y67211XEXCOV3618102DYXYXD722021211D36181220222DYXYDXEX136,21DXCOVXYDX1X2DX1DX22COVX1,X2953628二十九設XN（，2），YN（，2），且X，Y相互獨立。試求Z1XY和Z2XY的相關系數(shù)（其中是不為零的常數(shù)）,解由于X，Y相互獨立COVZ1,Z2EZ1,Z2EZ1EZ2EXYXYEXEYEXEY2EX2EY22EX2EY22DX2DY222DZ12DX2DY222,DZ22DX2DY222,利用數(shù)學期望的性質23故,2121DZCOVZ29二十三卡車裝運水泥，設每袋水泥重量（以公斤計）服從N（50,252）問最多裝多少袋水泥使總重量超過2000的概率不大于005解已知XN（50,252）不妨設最多可裝A袋水泥才使總重量超過2000的概率不大于005則由期望和方差的性質得YAXN（50A,252A）故由題意得PY2000005950YP即解得A39612950520A查表得30三十二已知正常男性成人血液中，每一毫升白細胞數(shù)平均是7300，均方差是700，利用契比雪夫不等式估計每毫升含白細胞數(shù)在52009400之間的概率P解由題意知7300,700，則由契比雪夫不等式890912071|730|94052XPXP31三十三對于兩個隨機變量V,W若EV2EW2存在,證明EVW2EV2EW2這一不等式稱為柯西施瓦茲（CAUCHYSCHWARZ）不等式證明由和關于矩的結論，知當EV2,EW2存在時EVW，21|2VEV,EW,DV,DW,都存在當EV2,EW2至少有一個為零時，不妨設EV20，由DVEV2EV2EV20知DV0，此時EV2EV20即EV0。再由方差的性質知PV01又故有PVW01于是EVW0W0，不等式成立當EV20，EW20時，對T有EWTV2EV2T22EVWTEW20式是T的二次三項式且恒非負，所以有2EVW24EV2EW20故CAUCHYSCHWARZ不等式成立。二十一（1）設隨機變量X1，X2，X3，X4相互獨立，且有EXII,DXI5I,I1,2,3,4。設Y2X1X23X3X4，求EY，DY。（2）設隨機變量X，Y相互獨立，且XN（720，302），YN（640，252），求Z12XY，Z2XY的分布，并求PXY,PXY1400解（1）利用數(shù)學期望的性質2，3有EY2EX1EX23EX3EX471利用數(shù)學方差的性質2，3有DY22DX112DX232DX32DX43725（2）根據(jù)有限個相互獨立的正態(tài)隨機變量的線性組合仍然服從正態(tài)分布，知Z1N（，），Z2N（，）而EZ12EXY2720640,DZ14DXDY4225EZ2EXEY72064080,DZ2DXDY1525即Z1N（2080，4225），Z2N（80，1525）PXYPXY0PZ201PZ2097815280PXY14001PXY1400同理XYN（1360，1525）則PXY14001PXY140015390152640二十二5家商店聯(lián)營，它們每周售出的某種農產(chǎn)品的數(shù)量（以KG計）分別為X1，X2，X3，X4，X5，已知X1N（200，225），X2N（240，240），X3N（180，225），X4N（260，265），X5N（320，270），X1，X2，X3，X4，X5相互獨立。（1）求5家商店兩周的總銷售量的均值和方差；（2）商店每隔兩周進貨一次，為了使新的供貨到達前商店不會脫銷的概率大于099，問商店的倉庫應至少儲存多少公斤該產(chǎn)品解（1）令為總銷售量。51IIXY已知EX1200，EX2240，EX3180，EX4260，EX5320，DX1225，DX2240，DX3225，DX4265，DX5270，利用數(shù)學期望的性質3有5120IIY利用方差的性質3有5125IIXD（2）設商店倉庫儲存A公斤該產(chǎn)品，使得PYA099由相互獨立的正態(tài)隨機變量的線性組合仍然服從正態(tài)分布，并注意到（1），得YN（1200，1225）903512A查標準正態(tài)分布表知512830AA至少取1282第五章大數(shù)定理和中心極限定理1一據(jù)以往經(jīng)驗某種電器元件的壽命服從均值為100小時的指數(shù)分布，現(xiàn)在隨機的抽取16只，設它們的壽命是相互獨立的，求這16只元件壽命總和大于1920小時的概率。解設第I只壽命為XI，（1I16），故EXI100，DXI1002L1,2,16依本章定理1知804161069210692001661IIIIIIPPP78從而21907819201920616IIIIXPXP3三計算機在進行加法時，對每個加數(shù)取整（取為最接近它的整數(shù)），設所有的取整誤差是相互獨立的，且它們都在（05，05）上服從均勻分布，（1）若將1500個數(shù)相加，問誤差總和的絕對值超過15的概率是多少（2）幾個數(shù)相加在一起使得誤差總和的絕對值小于10的概率不小于090解（1）設取整誤差為XI（，1500），它們都在（05,05）上服從均勻分,21布。于是05PEI120IXD182550,IIXNN1511501150IIIIIIXPP18180II1802901234128某藥廠斷言，該廠生產(chǎn)的某種藥品對于醫(yī)治一種疑難的血液病的治愈率為08，醫(yī)院檢驗員任意抽查100個服用此藥品的病人，如果其中多于75人治愈，就接受這一斷言，否則就拒絕這一斷言。（1）若實際上此藥品對這種疾病的治愈率是08，問接受這一斷言的概率是多少（2）若實際上此藥品對這種疾病的治愈率是07，問接受這一斷言的概率是多少解設X為100人中治愈的人數(shù)，則XBN,P其中N100（1）75175175175NPQNQPP89404（2）P07由中心極限定理知75175175175NPQNPQXPXP3908620927七一復雜的系統(tǒng)，由100個互相獨立起作用的部件所組成。在整個運行期間每個部件損壞的概率為010。為了整個系統(tǒng)起作用至少必需有85個部件工作。求整個系統(tǒng)工作的概率。（2）一個復雜的系統(tǒng)，由N個互相獨立起作用的部件所組成，每個部件的可靠性（即部件工作的概率）為090。且必須至少有80部件工作才能使整個系統(tǒng)工作，問N至少為多少才能使系統(tǒng)的可靠性不低于095。解（1）設每個部件為XII1,2,100部件損壞不工作部件工作01I設X是100個相互獨立，服從（01）分布的隨機變量XI之和XX1X2X100由題設知N100PXI1P09,PXI001EXIP09DXIP1P0901009NEXI1000990,NDXI1000099858510IIIINXEPP39090由中心極限定理知351XP352DTE查標準正態(tài)分布表116709525解（2）設每個部件為XII1,2,N部件損壞不工作部件工作01IPXI1P09,PXI01P01EXIP09,DXI0901009由問題知求N95018NII而NXPNII11081IINIIXNDPPNNXPNII3091830911由中心極限定理知NNXPNII30918309195301301NN查標準正態(tài)分布表得645解得N2435取N25，即N至少為25才能使系統(tǒng)可靠性為095八隨機地取兩組學生，每組80人，分別在兩個實驗室里測量某種化合物的PH值，各人測量的結果是隨機變量，它們相互獨立，且服從同一分布，其數(shù)學期望為5，方差為03，以分別表示第一組和