外文文獻(xiàn)數(shù)學(xué)問題解決第二版幾何P45-P54-代數(shù)P27-P28部分翻譯

1、 首都師范大學(xué)本科生外文文獻(xiàn)翻譯 文獻(xiàn)、資料名稱 Mathematics as Problem Solving 文獻(xiàn)、資料出處 圖書館資源Springer電子圖書庫 翻譯部分頁碼：幾何P45-P54,代數(shù)P27-P28目錄幾何14.1軌跡1問題34.2對稱性和其他變換3對稱性3位似5問題8代數(shù)93.1等式與不等式的證明9附錄：外文文獻(xiàn)原文10數(shù)學(xué)問題解決幾何在這一章中，我們將使用以下常見的符號：是指線段的長度；是指的角的度數(shù)；是指一個三角形的面積.4.1軌跡我們從平面上常見的四種軌跡開始.4.1.給定點(diǎn)和一個正實(shí)數(shù),則所有到點(diǎn)的距離為的點(diǎn)(記為)的軌跡是一個以為圓心、以為半徑的圓.（并證明之）

2、4.2.到兩個不同點(diǎn)、的距離相等的點(diǎn)的軌跡是線段的垂直平分線.（詳見問題1.16）4.3.到兩條給定的相交直線距離相等的點(diǎn)的軌跡是這兩條相交直線所成角的互相垂直的兩條角平分線.（證明之）設(shè)是一個幾何圖形，是一個點(diǎn).過點(diǎn)做的兩條切線在的夾角是，我們就說在點(diǎn)以角看幾何圖形4.4.給定線段和角，.所有以角看的點(diǎn)（即：）的軌跡是一種對稱于而不包括兩個端點(diǎn)、的雙圓弧.解：我們先只考慮線段以上的半個平面，我們可以畫一個等腰三角形，且該三角形滿足：、（圖4.1（a），和以點(diǎn)為圓心、以為半徑的圓.對于圓弧上任意一點(diǎn)，角.這是因?yàn)樗蓤A弧一半測量得到（請查閱并參考你的幾何教科書中的這個定理，并且不要著急把書合上

3、哦！)如果我們?nèi)A外任意一點(diǎn)（圖4.1（b），那么小于角，這是因?yàn)樗怯刹煌趫A弧和圓弧之間的測量的.（教科書！）如果我們?nèi)我馊A內(nèi)的一點(diǎn)（圖4.2（a），那么將會大于角，這是因?yàn)樗鼘?yīng)的是圓弧和圓弧總和的一半（現(xiàn)在你可以合上你的課本啦?。? (a) (b) 圖4.1最后，線段下方的半個平面的情況與線段上方的情況相同，于是我們就得到了兩個對稱的圓弧和圓弧，其中不包括兩個端點(diǎn)、（圖4.2（b）. (a) (b) 圖4.24.5.給定一個點(diǎn)和一條直線，找到點(diǎn)的軌跡，其中點(diǎn)是一個端點(diǎn)在直線上并以為中點(diǎn)的線段的另一個端點(diǎn).解：如果點(diǎn)在直線上，并且點(diǎn)是的線段中點(diǎn)，那么點(diǎn)是點(diǎn)以點(diǎn)為中心以角旋轉(zhuǎn)得到的像.因

4、此軌跡是直線以點(diǎn)為中心旋轉(zhuǎn)角度得到的結(jié)果.當(dāng)然，軌跡是到點(diǎn)的距離與直線到點(diǎn)的距離相等的直線的平行線.（圖4.3） 圖4.3問題4.6.找到所有到兩條給定平行線的距離相等的點(diǎn)的軌跡.4.7.找到所有的到給定直線的距離等于給定距離()的所有點(diǎn)形成的軌跡4.8.給定線段，圓，角和角.找出所有點(diǎn)形成的軌跡，其中從點(diǎn)以角看線段，以角看圓，集合有多少個元素？4.9.給定正方形和角度，找到所有以角度看正方形的點(diǎn)的軌跡，當(dāng)角的范圍是時解決相同問題.4.10.給出了線段和線段，其中、 ()，求出所有滿足的點(diǎn)所形成的軌跡.4.11.證明一個任意三角形的三條邊上的垂直平分線相交于一點(diǎn).4.2對稱性和其他變換對稱性4

5、.12.在社區(qū)居住并且在公司工作的人（見圖4.4（a），通常會選擇開車送孩子完孩子就去上班的方式.那么為了盡量減少駕駛我們應(yīng)該將學(xué)校修建在公路上何處？（一旦學(xué)校的地址選定，公路和也將被建成.）分析：設(shè)點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于直線對稱的圖像.所以有（見圖4.4（b）.所有破碎的線，線段是最短路線.解：畫出點(diǎn)關(guān)于直線對稱的圖像點(diǎn)和直線 ，直線和直線 的交點(diǎn)即為學(xué)校的最佳選址. (a) (b) 圖4.4 4.13.設(shè)一條河的兩邊是平行的兩條直線，城市A和B分別位于河的兩邊（見圖4.5（a）.為了減少城市A和B之間的行駛距離，我們應(yīng)該在河的什么地方建橋（當(dāng)然，所建的橋必須垂直于河流兩側(cè)）？ (a)地圖 (b) 圖4

6、.5分析：設(shè)點(diǎn)是點(diǎn)以河的寬度為平移距離，以向著河流并垂直于河流的方向平移所得到的結(jié)果.（參見圖4.5（b）.那么:.而在所有的折線之間，線段是最短的線段 解決方案:做點(diǎn)以河的寬度為平移距離，以向著河流并垂直于河流的方向平移所得到的結(jié)果點(diǎn)，并連接和.河的下游側(cè)與的交點(diǎn)就是建造這座橋的最好的地方. 4.14.兩個任意的圓有且僅有兩個共同的點(diǎn)和點(diǎn).找到過點(diǎn)且使得在兩圓中所形成的弦的長度相等的直線.這個問題能有多少中解決方案？ 分析：至少有一個解決方案：直線. 假設(shè)直線線不過點(diǎn)，并且（見圖4.6）. 圖4.6由于點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對稱點(diǎn)，所以，給定的過點(diǎn)圓的對稱圓必須過點(diǎn).解決方案：做給定的過點(diǎn)圓的對稱圓

7、，每一個圓的對稱圓與另一個給定圓的交點(diǎn)決定了所要找的直線.此證明過程顯然基本上是過程的重復(fù)。研究：由于點(diǎn)在圓上，圓上的點(diǎn)中必有點(diǎn)在圓內(nèi)（不要忘了，圓和圓有且僅有兩個不同的公共點(diǎn)?。?，圓必有有一點(diǎn)在圓外（也就是指點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對稱點(diǎn)）.因此，、必將有且僅有一個除點(diǎn)以外的交點(diǎn)，于是問題的解決方案總是能找到兩個（不要忘了這第一個解決方案就是）.我毫不懷疑我的讀者有一定的關(guān)于平移，旋轉(zhuǎn)，中心對稱，鏡面對稱等常用的轉(zhuǎn)換類型的良好知識基礎(chǔ).這里我想對另一個重要的轉(zhuǎn)化類型同位有一個更詳細(xì)的介紹.位似給定一個點(diǎn)和一個非零的數(shù)，位似變換或者說位似，是指以點(diǎn)為位似中心以為位似系數(shù)的的變換映射，這個映射將任意點(diǎn)映射成在

8、直線上滿足:的點(diǎn) ，記.請注意，不像僅僅代表線段的長度那樣，向量和是也包含著方向的.當(dāng)方向向量的方向與一個單位方向向量的方向相同時，對于該方向向量的的測量結(jié)果等于對應(yīng) 圖4.7 位似系數(shù)線段的長度，如果方向不同，那么測量結(jié)果為.若為一個負(fù)的位似系數(shù)，就將暗示著點(diǎn)和點(diǎn)將會位于位似中心的相反的兩端.圖4.8 位似系數(shù)位似變換所得的圖像是幾何圖形在位似變換下形成的.而這個位似變換是由構(gòu)成幾何圖形上的點(diǎn)到得到的幾何圖形上的點(diǎn)的位似變換組成的.請注意（并證明！）一下問題：（a） 線段的位似變換圖像是一段平行于線段的線段，且線段滿足，其中是位似變換的系數(shù).（b）兩個位似的多邊形和多邊形是相似的.（c）任意

9、兩個圓、都是位似的（即，一定存在一個位似變換滿足）.（d）相對于一個點(diǎn)對稱性是一種特殊的情況下的位似變換，其中位似變換的系數(shù).4.15.給定的銳角三角形內(nèi)的內(nèi)接正方形.分析：要使得正方形內(nèi)接于銳角三角形內(nèi)，正方形有兩個點(diǎn)如點(diǎn)和點(diǎn)必須在三角形的同一條邊上如，另外兩個點(diǎn)分別位于三角形的另外兩條邊上（見圖4.9）.圖4.9如果我們放棄關(guān)于頂點(diǎn)必須在三角形的邊上，那么我們就能得到很多（事實(shí)上，無限多的）滿足其他條件所有條件（即，邊在邊上，頂點(diǎn)在邊上）的正方形.讓我們?nèi)∑渲械囊粋€正方形，就會發(fā)現(xiàn)正方形和正方形是位似的！構(gòu)造：（1）構(gòu)造正方形：其中正方形的邊在三角形的邊上，頂點(diǎn)在邊上；取在邊上的點(diǎn)，過點(diǎn)作

10、，滿足的點(diǎn)記為點(diǎn)，過點(diǎn)向邊引垂線，然后過點(diǎn)做邊的垂線，所得兩條垂線的交點(diǎn)即為點(diǎn). （2）通過點(diǎn)和點(diǎn)畫直線，記線和線的交點(diǎn)為點(diǎn)（3） 以為位似系數(shù)，以點(diǎn)為位似變換中心的位似變換可以總結(jié)這一構(gòu)造:證明.:一個正方形的經(jīng)過位似變換后所得的結(jié)果還是一個正方形.選擇在邊上的點(diǎn)，在邊上的點(diǎn)，類似的，還有邊上的點(diǎn)以及點(diǎn).于是，由于且點(diǎn)是邊上的一點(diǎn)，點(diǎn)是邊上的一點(diǎn)，類似可以證得點(diǎn)和點(diǎn)是線段上的點(diǎn).研究.在假設(shè)正方形的兩個頂點(diǎn)在三角形的邊上的前提下，在我們的構(gòu)造中點(diǎn)的存在性和唯一性總能給我們一個確切的解決方案，如果假設(shè)條件改變，即正方形的兩個頂點(diǎn)在邊上，我們可以得到另一個解決方案，當(dāng)正方形的兩個頂點(diǎn)在邊上，我們又能得到一個方案.這樣，這個問題總是有三種解決方案的.問題4.16.果一條河的兩條分流隔斷了城市和城市（見圖4.10），這兩條分流是兩邊平行的直邊河，為了使從城市到城市的旅程最短,應(yīng)該在兩河的何處建橋？圖4.104.17.給定三條平行線，.請找到一個等邊三角形，其中三角形的三個頂點(diǎn)、分別位于，這三條平行線上.4.18.給定的三個同