常微分方程期末試題答案

1、一、填空題（每空2 分，共16分）。1、方程滿(mǎn)足解的存在唯一性定理?xiàng)l件的區(qū)域是xoy平面2. 方程組的任何一個(gè)解的圖象是 n+1 維空間中的一條積分曲線.3連續(xù)是保證方程初值唯一的 充分 條件4方程組的奇點(diǎn)的類(lèi)型是 中心 5方程的通解是6變量可分離方程的積分因子是7二階線性齊次微分方程的兩個(gè)解,成為其基本解組的充要條件是 線性無(wú)關(guān) 8方程的基本解組是 二、選擇題（每小題 3 分，共 15分）。9一階線性微分方程的積分因子是（ A ）（A） （B） （C） （D）10微分方程是（ B ）（A）可分離變量方程 （B）線性方程 （C）全微分方程 （D）貝努利方程11方程x(y21)dx+y(x21)

2、dy=0的所有常數(shù)解是（ C ）(A) (B) (C), (D), 12階線性非齊次微分方程的所有解（ D ） （A）構(gòu)成一個(gè)線性空間 （B）構(gòu)成一個(gè)維線性空間 （C）構(gòu)成一個(gè)維線性空間 （D）不能構(gòu)成一個(gè)線性空間13方程（ D ）奇解（A）有一個(gè) （B）有無(wú)數(shù)個(gè) （C）只有兩個(gè) （D）無(wú)三、計(jì)算題（每小題8分，共48分）。14求方程的通解解：令，則 ，于是， 所以原方程的通解為 15求方程的通解解：取則，于是原方程為全微分方程所以原方程的通解為 即 16求方程的通解解:令 ，得到 （*） ，兩端同時(shí)關(guān)于求導(dǎo)，整理得 ，則取 ,得 ,代入（*） 得解 取 ,得,代入（*）得原方程得通解為 17

3、求方程的通解解 對(duì)應(yīng)的齊次方程的特征方程為 ，特征根為 ， 故齊次方程的通解為 因?yàn)椴皇翘卣鞲?。所以，設(shè)非齊次方程的特解為 代入原方程，得 即 ， 故原方程的通解為 18求方程的通解解：先求解對(duì)應(yīng)的其次方程：，則有，因?yàn)閿?shù)不是特征根，故原方程具有形如 的特解。將上式代入原方程，由于 故 或 比較上述等式兩端的的系數(shù)，可得 因此，故所求通解為19求方程組的實(shí)基本解組解：方程組的特征多項(xiàng)式為 ，其特征根是，那么 屬于的特征向量， 屬于的特征向量。則方程的基本解組為，其實(shí)基本解組為。而因此所求實(shí)基本解組為四、應(yīng)用題（每小題 11 分，共11分）。20（1）求函數(shù)的拉普拉斯變換（2）求初值問(wèn)題的解解：（1）（2）設(shè)，是已知初值問(wèn)題的解。對(duì)已知方程兩端同時(shí)使用拉普拉斯變換，可分別得到 故有 使用部分分式法，可得 由（1）可知，故所求的初值解為 。五、證明題（每小題10分，共10分）。21 證明：對(duì)任意及滿(mǎn)足條件的，方程的滿(mǎn)足條件的解在上存在。證： 由于 在全平面上連續(xù)，所以原方程在全平面上滿(mǎn)足解的存在唯一性定理及解的延展定理?xiàng)l件又顯然是方程的兩個(gè)