“將軍飲馬”模型詳解與拓展

1、“將軍飲馬”模型詳解與拓展平面幾何中涉及最值問題的相關定理或公理有： 線段公理：兩點之間，線段最短. 并由此得到三角形三邊關系； 垂線段的性質：從直線外一點到這條直線上各點所連的線段中,垂線段最短. 在一些“線段和最值”的問題中，通過翻折運動，把一些線段進行轉化即可應用 、 的基本圖形，并求得最值，這類問題一般被稱之為“將軍飲馬”問題。問題提出：唐朝詩人李欣的詩古從軍行開頭兩句說：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”詩中隱含著一個有趣的數(shù)學問題如圖所示，詩中將軍在觀望烽火之后從山腳下的A點出發(fā)，走到河邊飲馬后再到B點宿營請問怎樣走才能使總的路程最短？模型提煉：模型【1】一定直線、異側兩定點直線l

2、和l的異側兩點A、B，在直線l上求作一點P，使PA+PB最小解答：根據(jù)“兩點之間，線段距離最短”，所以聯(lián)結AB交直線l于點P，點P即為所求點模型【2】一定直線、同側兩定點直線l和l的同側兩點A、B，在直線l上求作一點P，使PA+PB最小解答：第一步：畫點A關于直線l的對稱點A（根據(jù)“翻折運動”的相關性質，點A、A到對稱軸上任意點距離相等，如圖所示，AP=AP，即把一定直線同側兩定點問題轉化為一定直線異側兩定點問題）第二步：聯(lián)結AB交直線l于點Q，根據(jù)“兩點之間，線段距離最短”，此時“AQ+QB”最短即“AQ+QB”最短模型【3】一定直線、一定點一動點已知直線l和定點A，在直線k上找一點B（點A

3、、B在直線l同側），在直線l上找點P，使得AP+PB最小解答：第一步：畫點A關于直線l的對稱點A第二步：過點A做ABk于點B且交直線l于點P，根據(jù)“從直線外一點到這條直線上各點所連的線段中,垂線段最短”，可知AP+PB最小即AP+PB最小模型【4】一定點、兩定直線點P是MON內的一點，分別在OM，ON上作點A，B，使PAB的周長最小解答：策略：兩次翻折第一步：分別畫點P關于直線OM、ON的對稱點P1、P2第二步：聯(lián)結P1P2，交OM、ON于點A、點B（根據(jù)“翻折運動”的相關性質，AP=AP1，BP=BP2；根據(jù)“兩點之間，線段距離最短”可知此時AP1+BP2+AB最短即ABP周長最短）拓展如果

4、兩定點、兩定直線呢？“如圖，點P，Q為MON內的兩點，分別在OM，ON上作點A，B。使四邊形PAQB的周長最小”問題升級：問題：如圖，ABC中，點D、E、F分別在邊AB、AC、BC上，試求作DEF的最小值解答：將點D視為定點，先作出DEF的最小值對應的線段DD，而后研究DD隨著點D的位置變化過程中的最小值即可無論點D位置在何處，點C對線段DD的張角不變，即 DCD的大小不變，為2ACB. 因而，為使得DD最小，只需要CD = CD = CD最小即可，顯然當CDAB時，有垂線段最小，從而內接三角形DEF的周長最小現(xiàn)在已經(jīng)有CDAB，接下來說明點E、點F也正好是ABC的高線的垂足！如下圖：D、D、D三點在以C為圓心的圓上，弧DD所對圓心角為DCD，所對圓周角為DDD，故有：(1/2)DCD=DD”D.由翻折又有：(1/2)DCD=ECD，得DD”D=ECD，故C、E、D、D四點共圓；另一方面：CDB+CD”B=180，故C、D、B、D四點共圓，綜上有：C、E、D、B、D 五點共圓，