我對四色猜想命題的解讀及證明方法的比較

1、我對四色猜想命題的解讀及證明方法的比較摘要:本文透過事物現(xiàn)象,以獨有的視角,對四色猜想命題的實質(zhì)性問題,包括要解答的問題是什么、地圖不等于平面圖、“兩個數(shù)字密碼”、四色區(qū)分與分為四色的異同等問題進(jìn)行了解讀,同時,運(yùn)用實例將本人的“組合說”證明方法與其他證明方法作比較,讓人們在比較中作出鑒別。關(guān)鍵詞:四色猜想 解讀 地圖 證明方法 比較自2009年10月以來,我在科技資訊和科技創(chuàng)新導(dǎo)報先后發(fā)表了有關(guān)研究四色猜想命題(簡稱為“四色命題”)方面的文章。為使人們能真正讀懂和正確理解四色命題,認(rèn)可“張爾光的組合說”,本文想談?wù)勎覍λ纳}的解讀,并將本人的證明方法與其他證明方法作個比較。1 我對四色猜想

2、命題的解讀要破解一個數(shù)學(xué)命題,首先要讀懂命題,正確解讀命題,才能談得上正確破解命題。要破解四色命題,其道理亦然。解讀一:四色命題是一個“有設(shè)定條件、已知結(jié)果、但不知因由”的命題,它要人們作出解答的是“為什么能夠做到”的問題,并非是“能否做到”的問題。事實告訴我們,于1852年弗南西斯葛斯里提出的四色命題,來自于“無論多么復(fù)雜的地圖,只消用四種色調(diào)就足以將相鄰區(qū)域區(qū)分開”(引自古今數(shù)學(xué)趣話第9頁)現(xiàn)象。葛斯里對這個現(xiàn)象(即著色結(jié)果)感到不解,并認(rèn)為這是個數(shù)學(xué)問題,于是便寫信給他哥哥(數(shù)學(xué)家),以求得到數(shù)學(xué)解答。然而他哥哥也解答不了,他哥哥又寫信給自己的老師德摩根(大數(shù)學(xué)家),請作出解答。老師同樣

3、解答不了由此看出,葛斯里完全知道四色區(qū)分這一著色結(jié)果,他提出的命題包含著“相鄰區(qū)域不能同著一色”這個前提條件及“完全能夠做到”和“為什么能夠做到”兩層含義,要人們解答的不是“能否做到”的問題,而是“為什么能夠做到”的問題。解讀二:地圖是四色命題中的一個關(guān)鍵詞,地圖與平面圖是兩個截然不同的概念。要破解四色命題,必須讀懂“地圖”這個詞。這里說的“讀懂”,是指要弄清楚地圖的載體是什么、地圖的形成原理、地圖的結(jié)構(gòu)模式以及其區(qū)域與區(qū)域之間的關(guān)系是什么。我對“地圖”是這樣解讀的:所謂“地圖”,是展現(xiàn)在球體表面、由若干區(qū)域(國家)組合形成的整體。這個解讀表達(dá)了三個意思:(1)球體表面是地圖的載體,研究四色命

4、題時不應(yīng)漏缺“物體表面”這個要素;(2)地圖是組合的整體,并非是排列的整體;(3)如把“地圖”解讀為“平面圖”(或混為一談),那肯定是一種誤讀。這有事實為證。事實1,地圖原本是展現(xiàn)在球體表面的圖,平紙上的地圖,只不過是將球體表面的圖“移”到平體表面來展現(xiàn)而已。因此,地球儀上的地圖與平紙上的地圖是有區(qū)別的,前者的經(jīng)緯線是直線,后者的經(jīng)緯線是弧線。這個“弧線”,既是球體與平體的區(qū)別標(biāo)志,也是地圖與平面圖的區(qū)別標(biāo)志。事實2,同胚體不等于同一體。我們知道,圓形、方形、五角星形都是由一條AB線集合而成的區(qū)域,它們之間可拓?fù)渲脫Q,但不是同一體,當(dāng)它們以“面”出現(xiàn)時,圓形面不等于是方形面、五角星形面。同樣的

5、道理,平體、球體、鉆石體、方體、圓錐體等,其物體表面的全相鄰力均為“L=4”(即只能做到使“4個面”全相鄰),它們是同胚體,可拓?fù)渲脫Q。這僅是從拓?fù)鋵W(xué)角度來說的。但當(dāng)它們成為圖的載體時,就有了本質(zhì)的區(qū)別,比如球體與平體,地圖上的經(jīng)緯線的不同,就是最好的例證;又比如圓錐體與鉆石體,如要將鉆石體表面的圖“移”到圓錐體表面來展現(xiàn),同時又要將鉆石體12個“棱面”之間的區(qū)域與區(qū)域之間的關(guān)系表達(dá)清楚,恐怕不容易做到。可見,當(dāng)成為圖的載體時,此同胚體不等于彼同胚體,它們之間是有本質(zhì)區(qū)別的。解讀三:四色命題不是一個僅局限于對“平(球)體表面的圖(即地圖,下同)的僅需著色種數(shù)”研究的命題。由于球體表面的圖和平體

6、表面的圖均僅需4色區(qū)分,致使人們把球體與平體誤讀為同一體,把兩種物體表面的圖歸之為平面圖,其研究也僅局限于對“平面圖(即平、球體表面的圖)的僅需著色種數(shù)”的研究。其實,假如將球體與平體解讀為屬于同胚體的兩個物體,又將環(huán)體表面的圖僅需著色種數(shù)大于4這個事實聯(lián)系起來,那么,四色命題的研究應(yīng)當(dāng)包含“為什么同胚體表面的圖其僅需著色種數(shù)相同”、“為什么非同胚體表面的圖其僅需著色種數(shù)不相同”這兩個子命題的研究。因為,弄清楚了這兩個子命題的同異之“因”,也就找到了“為什么平、球體表面的圖同為僅需4色區(qū)分”之因。所以,四色命題不是一個僅局限于對“平(球)體表面的圖的僅需著色種數(shù)”研究的命題,其研究的外延應(yīng)擴(kuò)伸

7、到對“其它物體表面的圖的僅需著色種數(shù)”的研究(這就好比研究地球的生命起源要把研究的外延擴(kuò)伸到對其它星球的生命研究一樣)。解讀四:“地圖的區(qū)域與區(qū)域之間(即圖的面與面之間,下同)的關(guān)系是什么關(guān)系”,這是四色命題的一個重要“數(shù)字密碼”。地圖的區(qū)域與區(qū)域之間的關(guān)系是相鄰關(guān)系和非相鄰關(guān)系,這是常識問題。但當(dāng)將這種“相鄰關(guān)系和非相鄰關(guān)系”用數(shù)學(xué)數(shù)字表達(dá)出來時,它是一種什么關(guān)系呢。這乃是破解四色命題的一個重要“數(shù)字密碼”。因為,事實證明,圖的需用色數(shù)的決定因素不是面的數(shù)量,而是圖的面與面之間關(guān)系。因此,要破解四色命題,就得先將“地圖的區(qū)域與區(qū)域之間的關(guān)系”用數(shù)學(xué)數(shù)字表達(dá)出來,方可弄清楚這個數(shù)學(xué)數(shù)字與色數(shù)數(shù)

8、字之間的內(nèi)在聯(lián)系。這就是“數(shù)字密碼”的原因所在。解讀五:“四色區(qū)分”與“分為四色”,兩者“分的等式”相同,只是“分的條件”不同,“地圖為什么僅需四色區(qū)分”的依據(jù)是四色命題的另一個重要“數(shù)字密碼”。為說清楚這個問題,試舉“人”這個例子。我們把“人(N個人)”分為若干群,在沒設(shè)定條件下,隨意分為2群、3群、4群n群人,均為成立。那么,設(shè)定以“年齡段”為條件,把“人(N個人)”分為若干群,如設(shè)2個年齡段,則可分2群人;如設(shè)3個年齡段,則可分3群人;如設(shè)4個年齡段,則可分4群人如設(shè)n(nN)個年齡段,則可分n群人,均可成立。顯然,兩者“分的等式”相同,均可表示為“n群(人)=”,但兩者“分的條件”不同

9、,前者是隨意分的,后者是以“年齡段”段數(shù)為依據(jù)的。同樣的道理,在對“四色區(qū)分”的理解上,“四色區(qū)分”與“分為四色”,兩者“分的等式”相同(均為),所不同的是“分的條件”,“分為四色”是隨意分法,不受面與面之間關(guān)系的條件限制,而“四色區(qū)分”是在“相鄰區(qū)域不能同著一種顏色”的條件下進(jìn)行的,是有條件分法。在這里,要指出的,“相鄰區(qū)域不能同著一種顏色”是“地圖僅需四色區(qū)分”的條件,并不是依據(jù)。可知,不論地圖以多少種顏色區(qū)分和分為多少種顏色,其區(qū)分等式都是成立的,而“地圖僅需四色區(qū)分”的依據(jù)是一個什么數(shù)字,這才是四色命題中真正要破解的“密碼”。又事實告訴我們,2個面相鄰需2色區(qū)分,3個面全相鄰需3色區(qū)分

10、,4個面全相鄰需4色區(qū)分據(jù)此推斷,平、球體表面的全相鄰力能做到使“幾個面”全相鄰,便是“地圖僅需四色區(qū)分”的依據(jù),而“物體表面的全相鄰力”是“物體表面的圖僅需著色種數(shù)”的依據(jù)。本人的研究結(jié)果與此推斷完全吻合。2 本人的證明方法與其他證明方法的比較就四色命題來說,不同的解讀,其破解的思路和證明方法也不同。有比較才有鑒別。本人的證明方法與其他證明方法,究竟哪一種證明方法才是破解四色命題的正確方法呢？不妨通過比較來鑒別。2.1 本人的比較法與窮舉法的比較本人遵循“為什么能夠做到”的思路,應(yīng)用“同中求同,同中求異,異中異,異中求同”的證明方法求得:一字狀結(jié)構(gòu)的圖,不論其圖的面的數(shù)量是多少,僅需2色區(qū)分

11、,是在于其圖的相鄰面的組合力為C;梳子狀結(jié)構(gòu)的圖,不論其圖的面的數(shù)量是多少,僅需3色區(qū)分,是在于其圖的相鄰面的組合力為C;梯子狀結(jié)構(gòu)的圖,不論其圖的面的數(shù)量是多少,僅需4色區(qū)分,是在于其圖的相鄰面的組合力為C,并進(jìn)而求得“圖的相鄰面的組合力C的n”與“圖的著色種數(shù)S”具有等于關(guān)系。那么,依照“能否做到”論者的窮舉法求證,則是,一字狀結(jié)構(gòu)的圖,當(dāng)其圖的面的數(shù)量為3、4、5n個時,能否做到2色區(qū)分;梳子狀結(jié)構(gòu)的圖,當(dāng)其圖的面的數(shù)量為4、5、6n個時,能否做到3色區(qū)分;梯子狀結(jié)構(gòu)的圖,當(dāng)其圖的面的數(shù)量為5、6、7n個時,能否做到4色區(qū)分。無疑,其證明結(jié)果必定是“能否做到”四字,但對于“為什么能夠做到

12、”永遠(yuǎn)不會有正確答案,也不可能求得“C的n=S”這種關(guān)系。同樣,本人應(yīng)用比較法求得,平、球體表面的圖不論其圖的面的數(shù)量是多少,僅需4色區(qū)分,是在于其物體表面的全相鄰力L=4,其圖的相鄰面的組合力為C;環(huán)體表面的圖不論其圖的面的數(shù)量是多少,僅需5色區(qū)分,是在于其物體表面的全相鄰力L=5,其圖的相鄰面的組合力為C;丁環(huán)體表面的圖不論其圖的面的數(shù)量是多少,僅需6色區(qū)分,是在于其物體表面的全相鄰力L=6,其圖的相鄰面的組合力為C,并進(jìn)而求得“物體表面的全相鄰力”(L)、“物體表面的圖的最高相鄰面的組合力”(C)、“物體表面的圖僅需著色種數(shù)”(S)三者關(guān)系的定理為:L=C的n=S。那么,依照“能否做到”

13、論者的窮舉法求證,則是,平、球體表面的圖,當(dāng)其圖的面的數(shù)量為5、6、7n個,又圖的面與面之間關(guān)系發(fā)生變化時,能否做到4色區(qū)分;環(huán)體表面的圖,當(dāng)其圖的面的數(shù)量為6、7、8n個時,能否做到5色區(qū)分;丁環(huán)體表面的圖,當(dāng)其圖的面的數(shù)量為7、8、9n個,又圖的面與面之間關(guān)系發(fā)生變化時,能否做到6色區(qū)分。無疑,這得借用機(jī)器來證明,其證明結(jié)果必定是“能否做到”四字,但對于“為什么能夠做到”永遠(yuǎn)不會有正確答案,更不可能通過對各物體表面的圖僅需著色種數(shù)的同異原因而求得“L= C的n=S”的定理。2.2 本人“組合說”證明方法與“兩頂(即“兩點”)連線”的證明方法的比較本人以圖的形成原理為切入點,求證到圖的面與面

14、之間的相鄰關(guān)系和非相鄰關(guān)系均為C組合關(guān)系,圖的結(jié)構(gòu)模式是C組合模式?！皟身斶B線”的證明方法是數(shù)學(xué)界認(rèn)可的證明方法。那么,這兩種證明方法哪一種才是四色命題的可靠的證明方法呢？試舉例作證明比較。如圖1、圖2,是我國高等院?！眻D論”教材中有關(guān)“著色理論”的兩個例圖。圖1是圖2“加上新邊46,35,57得到的圖”,該書以此證明并得出結(jié)論:“添加上新邊只能色數(shù)不減,甚至變大。” 圖3是應(yīng)用“組合說”證明方法將圖1、圖2完整表達(dá)后的圖表。從圖1、圖2與圖3的比較中可知,“兩頂連線”的證明方法對“添加上新邊只能色數(shù)不減,甚至變大”的結(jié)果未能說出其“所以然”,而“組合說”證明方法對此結(jié)果能說出其“所以然”:圖

15、1“添加上新邊”后,雖是相鄰點(即邊)增加了,但其圖的相鄰面的組合力并沒有升降,仍為C,故色數(shù)仍為4。坦誠地說,這不能說“兩頂連線”的證明方法是錯誤的證明方法,而問題是在于應(yīng)用此證明方法時存在欠缺的地方:其一,圖中表達(dá)的內(nèi)容欠完整,即只表達(dá)“兩兩相鄰”關(guān)系,不表達(dá)“兩兩非相鄰”關(guān)系。這只能說是“半個圖”;其二,證明的程序欠完整,即是將面置換為頂(或點)、添加上連接線后,就直接進(jìn)入證明程序,漏缺了將“兩兩相鄰”關(guān)系和“兩兩非相鄰”關(guān)系以組合數(shù)字完整記錄下來,并循序?qū)μ柸胱浇M合模式中去這個程序。正因為如此,不可能證明到圖的結(jié)構(gòu)模式是C組合模式,更談不上從圖的C組合模式中發(fā)現(xiàn)更多的東西。誠然,在應(yīng)

16、用“兩頂連線”的證明方法時,假如表達(dá)的內(nèi)容和證明的程序都是完整的(見圖3),那么,其證明結(jié)果與本人證明方法的證明結(jié)果則必是殊途同歸。正因為表達(dá)內(nèi)容欠完整和漏缺了必要的程序,致使應(yīng)用“兩頂連線”的證明方法對地圖(即四色猜想)的證明,乃是應(yīng)用拓?fù)湓韯?chuàng)造出新的假象(即平面圖)來證明原來的假象(即地圖)的證明而已。2.3 本人的五點連接證明圖與K圖的比較圖4是K5圖,即是五色區(qū)分圖。無疑,如按圖4所表達(dá)的那樣,圖中的10條線均為連接線,表明5個點全連接,需5色區(qū)分。但如將它展現(xiàn)在平體表面,是不可能實現(xiàn)的圖(地圖)。因為,事實證明,平體表面不能做到五個點(面)全連接。 圖5是本人對平體表面不能做到五個

17、點全連接的證明圖。圖中的實線是表示連接線,虛線是表示非連接線。因與兩個點非連接線,故圖中五個點不能做到全連接,圖的相鄰面組合力為C,需4色區(qū)分。圖4、圖5兩個圖同為由5個點10條線組成,所不同的,圖4的10條線均為實線,圖5的10條線為9條實線、1條虛線。這“1條虛線”之差,就是本人的“組合說”證明方法與“兩頂連線”的證明方法的本質(zhì)區(qū)別。那么,這兩個圖誰的表達(dá)是正確的呢？筆者提供兩個實例作為檢驗的參考標(biāo)準(zhǔn)。實例1:有5個城市彼此交通直達(dá)?，F(xiàn)以5個點表示5個城市,以實線表示交通線(或公路),用圖表達(dá)出來?？梢钥隙?圖中10條線必有兩條線交叉通過,亦即必有1條交通線被另1條交通線隔斷。實例2:將K圖的5個點置換為5個面(即區(qū)域),可以肯定,不論如何變換此5個面的面與面之間的關(guān)系,必有兩個面非相鄰。筆者對“兩點(頂)連線”的證明方法確立了這個規(guī)則:兩條連接線不可交叉通過