中考專題之與三角形有關(guān)的輔助線

1、 第一節(jié) 等腰三角形常用的輔助線例1、文文和彬彬在證明“有兩個角相等的三角形是等腰三角形”這一命題時，畫出圖形，寫出“已知”“求證”（如圖），她們對各自所作的輔助線描述如下：文文：“過點A作BC的中垂線AD，垂足為D”；彬彬：“作ABC的角平分線AD”。數(shù)學(xué)老師看了兩位同學(xué)的輔助線作法后，說：“彬彬的做法是正確的，而文文的做法需要訂正?！保?）請你簡要說明文文的輔助線作法錯在哪里；（2）根據(jù)彬彬的輔助線作法，完成證明過程。例2、如圖，已知ADBC，AB=ADBC，E為DC的中點。求證：ABE=CBE。例3、已知：如圖，在正方形ABCD中，E為AB的中點，在CD延長線上取一點F，使FE=FC，E

2、F交AD于P。求證：AE=2DF。 連接CE，取CE中點HFHE全等于FHC，F(xiàn)H垂直于CE角BEC=角ECFCE/EB=CF/CH=根號5CF=根號5*CH=根號5*CE/2=根號5*根號5*BE/2=BE*5/2=AB*5/4DF=CF-CD=AB/4=AB/2*1/2=AE*1/2例4、已知：如圖，在ABC中，AB=AC，D點在AB上，E在AC延長線上，且BD=CE，連結(jié)DE交BC于點F。求證：DF=EF。DF=EF證明如下：過點D作平行于BC的直線交AC于點G因為AB=AC；DG/BC所以BD=CG又BD=CE，故CG=CE又因為CF/DG所以CF是三角形DEG的中位線所以F是DE的中

3、點所以DF=EF綜合演練：1、如圖，菱形ABCD的邊長為2，BD=2，E、F分別是邊AD、CD上的兩個動點，且滿足AECF=2。（1）求證：BDEBCF；（2）判斷BEF的形狀，并說明理由；（3）設(shè)BEF的面積為S，求S的取值范圍。（1）AE+CF=2=CD=DF+CFAE=DFAB=BDA=BDF=60BDE全等于BCF（2）由（1）得BE=BF且EBF=EBD+DBF=EBD+ABE=ABD=60BEF是等邊三角形（3）33/4=S=3 第二節(jié) 直角三角形常用的輔助線例1、如圖，在ABC中，ACB=90，AC=BC，AD是BAC的平分線，求證：ACCD=AB。例2、如圖，AC=BD，ADA

4、C，BDBC，求證：AD=BC。綜合演練：1、如圖，CD是斜邊AB上的高，將BCD沿CD折疊，B點恰好落在AB的中點E處。則A等于（ ） A、25 B、30 C、45 D、602、如圖（1），ABC的邊BC在直線上，ACBC，且AC=BC；EFP的邊FP也在直線上，邊EF與邊AC重合，且EF=FP。（1）在圖（1）中，請你通過觀察、測量，猜想并寫出AB與AP所滿足的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系；（2）將EFP沿直線向左平移到圖（2）所示的位置時，EP交AC于點Q，連結(jié)AP、BQ。猜想并寫出BQ與AP所滿足的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，請證明你的猜想。（3）將EFP沿直線向左平移到圖（3）所示的位置時，EP的延長

5、線交AC的延長線于點Q，連結(jié)AP、BQ。你認(rèn)為圖（2）中所猜想的BQ與AP的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系還成立嗎？若成立，給出證明；若不成立，請說明理由。3、如圖，在銳角ABC中，BE、CF是高，在BE、CF或其延長線上分別截取CP=AB，BQ=AC，分別過P、Q作PMBC、QNBC，M、N是垂足，求證：PMQN=BC。 第三節(jié) 全等三角形的輔助線例1、已知：如圖，在ABC中，AD為BC邊上的中線，E為AC邊上一點，BE與AD交于F，若AE=EF。求證：AC=BF。例2、（1）已知：如圖（1）在四邊形ABCD中，BCAB，AD=CD，BD平分ABC。求證：BADC=180。 （2）已知：如圖（2）在AB

6、C中，BE是ABC的平分線，ADBE，垂足為D。求證：BAD=DACC。例3、已知：如圖，在ABC中，AB=AC，BAC=80，P為ABC內(nèi)一點，若PBC=10，PCB=30，求PAB的度數(shù)。例4、已知：如圖，BD是四邊形ABCD的ABC的平分線，ABCD=180。求證：AD=DC。例5、已知：如圖，在ABC中，DEGFBC，且AD=GB。求證：AE=CF。例6、已知：如圖，P為AOB平分線OP上一點，PCOA于C，OAPOBP=180。求證：AOBO=2OC。例7、如圖，在ABC中，B=60，AD、CE是ABC的角平分線，且交于點O。求證：AC=AECD。綜合演練：1、操作：如圖，ABC是正

7、三角形，BDC是頂角BDC=120的等腰三角形，以D為頂點作一個60的角，角的兩邊分別交AB、AC邊于M、N兩點，連結(jié)MN。探究：線段BM、MN、NC之間的關(guān)系，并加以證明。說明：（1）如果你經(jīng)歷反復(fù)探究，沒有找到解決問題上的方法，請你把探究過程中的某種思路寫出來（要求至少寫3步）；（2）在你經(jīng)歷說明（1）的過程之后，可以從下列、中選取一個補(bǔ)充或更換已知條件，完成你的證明。AN=NC（如圖）；DMAC（如圖）。附加題：若點M、N分別是射線AB、AC上的點，其他條件不變，再探索線段BM、MN、NC之間的關(guān)系，在圖中畫出圖形，丙說明理由。 2、如圖，兩個全等的含30，60的三角形ADE和ABC，E

8、、A、C在一條直線上，連結(jié)BD，取BD的中點M，連結(jié)ME、MC，試判斷EMC的形狀，并說明理由。3、如圖，小明將一張矩形紙片沿對角線剪開，得到兩張三角形紙片（如圖），量得他們的斜邊長為10，較小銳角為30，再將這兩張三角形紙片擺成如圖所示的形狀，但點B、C、F、D在同一直線上，且點C與點F重合。（在圖至圖中統(tǒng)一用F表示）。小明在對這兩張三角形紙進(jìn)行如下操作時遇到了三個問題，請你幫助解決。（1）將圖中的ABF沿BD向右平移到圖的位置，使點B與點F重合，請你求出平移的距離。（2）將圖中的ABF繞點F順時針方向旋轉(zhuǎn)30到圖的位置，交DE于點G，請你求出線段FG的長度。（3）將圖中的ABF沿直線AF翻

9、折到圖的位置，AB交DE于點H，請證明：AH=DH。 4、已知：點O到ABC的兩邊AB、AC所在直線的距離相等，且OB=OC。（1）如圖（1），若點O在邊BC上，求證：AB=AC；（2）如圖（2），若點O在ABC的內(nèi)部，求證：AB=AC；（3）若點O在ABC的外部，AB=AC成立嗎？請畫圖表示。 （1） （2）5、請閱讀下列材料：問題：如圖（1），在菱形ABCD和菱形BEFG中，點A，B，E在同一條直線上，P是線段DF的中點，連結(jié)PG，PC。若ABC=BEF=60，探究PG與PC的位置關(guān)系及的值。小聰同學(xué)的思路是：延長GP交DC于點H，構(gòu)造全等三角形，經(jīng)過推理使問題得到解決。請你參考小聰同學(xué)的

10、思路，探究并解決下列問題：（1）寫出上面問題中線段PG與PC的位置關(guān)系及的值；（2）將圖（1）中的菱形BEFG繞點B順時針旋轉(zhuǎn)，使菱形BEFG的對角線BF恰好與菱形ABCD的邊AB在同一條直線上，原問題中的其他條件不變（如圖（2）。你在（1）中得到的兩個結(jié)論是否發(fā)生變化？寫出你的猜想并加以證明。（3）若圖（1）中ABC=BEF=，將菱形BEFG繞點B順時針旋轉(zhuǎn)任意角度，原問題的其他條件不變，請你直接寫出的值。（用含的式子表示） （1） （2） 第四節(jié) 相似三角形中常用的輔助線例1、如圖，ABC中，點D、E在BC上，且BD=DE=EC，又AB上的中線CF分別交AD、AE于G、H，求FG：GH：H

11、C。例2、如圖，ABCD中，點E在AB上，AE=2BE。點F是BC的中點，連結(jié)EF交對角線BD于點G。求：BG：BD的值。例3、已知：如圖，過ABC的頂點C任作一條直線，與邊AB及中線AD分別交于點F和E。求證：AE：ED=2AF：FB。例 4、如圖，ABC中，AB=8，AC=6，點D在AB上，且AD=2。試在邊AC上找一點E，使ADE與原三角形（ABC）相似，求AE的長。例5、如圖，ABC中，C=90，AB=5，AC=4，點D在AB的延長線上，且BD=AB，動點P在線段BC上移動，作直線DP交AC于點E。設(shè)BP=，AE=。（1）求關(guān)于的函數(shù)解析式及定義域；（2）當(dāng)PB為何值時，直線DP恰將A

12、BC的面積平分？例6、如圖，在ABC中，AB=AC=5，BC=6，矩形DEFG的頂點D在AB上，E、F在BC上，G在AC上。（1）設(shè)BE=，求與之間的函數(shù)關(guān)系式和自變量的取值范圍。（2）連結(jié)EG，當(dāng)取何值時，EGAB？求此時矩形DEFG的面積。例7、如圖，在直角梯形ABCD中，ADBC，A=90，BC=8，AB=12，AD=。試問：能否在邊AB上找到點P，使得ADP與BCP相似？并說明的取值對點P的個數(shù)是否有影響，請加以說明。例8、如圖，在ABC內(nèi)有一點O，連結(jié)AO、BO、CO并分別延長后與BC、CA、AB相交于點D、E、F。求證：。綜合演練：1、已知：如圖，在ABC中，D為AB邊上一點，A=

13、36，AC=BC，。（1）試說明：ADC和BDC都是等腰三角形；（2）若AB=1，求AC的值；（3）試構(gòu)造一個等腰梯形，該梯形連同它的兩條對角線，得到了8個三角形，要求構(gòu)造出的圖形中有盡可能多的等腰三角形。（標(biāo)明各角的度數(shù)）2、如圖所示，一段街道的兩邊緣所在的直線分別為AB、PQ，并且ABPQ。建筑物的一端DE所在的直線MNAB于點M，交PQ于點N。小亮從勝利街的A處，沿著AB方向前進(jìn)，小明一直站在點P的位置等候小亮。（1）請你在圖紙中畫出小亮恰好看見小明時的視線，以及此時小亮所在位置（用點C標(biāo)出）（2）已知MN=20，MD=8，PN=24，求（1）中的點C到勝利街口的距離CM。3、已知：如圖

14、（1），在中，C=90，AC=4，BC=3，點P由B出發(fā)沿BA向點A勻速運(yùn)動，速度為1；點Q由A出發(fā)沿CA方向向點C勻速運(yùn)動，速度為2；連結(jié)PQ。若設(shè)運(yùn)動的時間為，解答下列問題：（1）當(dāng)為何值時，PQBC？（2）設(shè)AQP的面積為，求與之間的函數(shù)關(guān)系式；（3）是否存在某一時刻，使線段PQ恰好把的周長和面積同時平分？若存在，求出此時的值；若不存在，說明理由；（4）如圖（2），連結(jié)PC，并把PQC沿QC翻折，得到四邊形，那么是否存在某一時刻，使四邊形為菱形？若存在，求出此時菱形的邊長；若不存在，說明理由。 （1） （2）4、如圖，四邊形ABCD為一梯形紙片，ABCD，AD=BC，翻折紙片ABCD，使點A與點C重合，折痕為EF，已知CEAB。（1）求證：EFBD