探究結(jié)論是什么意思【一道課本探究題結(jié)論的應(yīng)用】

1、探究結(jié)論是什么意思【一道課本探究題結(jié)論的應(yīng)用】 中考數(shù)學(xué)試題中經(jīng)常會出現(xiàn)求兩線段和的最小值問題，同學(xué)們常常找不到解題的突破口，其實這類問題可利用幾何對稱知識，通過作對稱點求最短距離來解決.引例 如圖1，要在燃氣管道l上修建一個泵站，分別向a，b兩鎮(zhèn)供氣.泵站修在管道的什么地方，可使所用的輸氣管道最短？（義務(wù)教育課程標準實驗教科書人教版八年級數(shù)學(xué)上冊第42頁探究）圖1圖2如圖2，取點b關(guān)于直線l的對稱點b，連接ab交l于點c，點c即為所求.事實上，若在l上另取一點c，根據(jù)軸對稱可知bcbc，所以ac+bcac+bcab，而ac+bcac+bcab，由此證明了作圖的正確性.這一問題內(nèi)涵豐富，解題過

2、程蘊含著化折為直的思想、對稱變換的思想.這里作對稱變換的目的是將幾條線段轉(zhuǎn)換到同一條直線上，再利用“兩點之間線段最短”這一公理使問題順利解決.這一幾何模型無論是在理論上還是在生產(chǎn)實踐中都有其應(yīng)用價值，現(xiàn)在就近幾年出現(xiàn)的中考試題加以分析說明.圖3例1 （x湖北鄂州）如圖3所示，四邊形oabc為正方形，邊長為6，點a、c分別在x軸、y軸的正半軸上， 點d在oa上，且d點的坐標為（2，0），p是ob上的一個動點，試求pd+pa的最小值是（ ）a 210b 10c 4d 6解析 pd+pa的和是ob同側(cè)的兩定點d、a到ob上一點p的距離之和，由引例中幾何模型可知，要求pd+pa的最小值，只須作d或a點

3、關(guān)于ob的對稱點，而由正方形的對稱性可知a、c關(guān)于ob對稱，這樣連接dc，則dc即是pd+pa的最小值.由d點的坐標為（2，0），可得od2.在rtodc中， cd=oc2+od2=210.選a.例2 （x江蘇淮安）（1） 觀察發(fā)現(xiàn)：如圖4（1），若點a、b在直線l同側(cè)，在直線l上找一點p，使ap+bp的值最小.作法如下：作點b關(guān)于直線l的對稱點b，連接a b，與直線l的交點就是所求的點p.再如圖4（2），在等邊三角形abc中，ab=2，點e是ab的中點，ad是高，在ad上找一點p，使bp+pe的值最小.作法如下：作點b關(guān)于ad的對稱點，恰好與點c重合，連接ce交ad于一點，則這點就是所求的點

4、p，故bp+pe的最小值為 .圖4（1）圖4（2）（2） 實踐運用：如圖4（3），已知o的直徑cd為4，ad的度數(shù)為60，點b是ad的中點，在直徑cd上找一點p，使bp+ap的值最小，并求bp+ap的最小值.圖4（3）圖4（4）（3） 拓展延伸：如圖4（4），在四邊形abcd的對角線ac上找一點p，使apb=apd.保留作圖痕跡，不必寫出作法.解析 （1） 審題后發(fā)現(xiàn)要求bp+pe的最小值實質(zhì)就是在高ad上求一點p，使得它到其同側(cè)的兩定點b、e的距離和最小.根據(jù)等邊三角形是軸對稱圖形，可知b和c關(guān)于ad對稱，所以ce就是bp+pe的最小值.由e是ab的中點可得be1，且ceab.在rtbce中

5、，根據(jù)勾股定理可得bp+pe的最小值為3.（2） 深究題意后，不難發(fā)現(xiàn)其實質(zhì)是在直徑cd上求一點p，使其到同側(cè)的兩個定點a、b的距離和最小.如圖5，作點b關(guān)于cd的對稱點e，則點e正好在圓周上，連接oa、ob、oe，連接ae交cd于點p，此時ap+bp就最短.因為ad的度數(shù)為60，點b是ad的中點，所以aeb=15.因為b關(guān)于cd的對稱點為e，所以boe=60，所以obe為等邊三角形，所以oeb=60，所以oea=45，又因為oa=oe，所以oae為等腰直角三角形，所以ae=22.圖5圖6（3） 如圖6，找b關(guān)于ac的對稱點e，連接de并延長交ac于點p即可.例3 （x廣東深圳）如圖7（1），

6、拋物線yax2+bx+c（a0）的頂點為c（1，4），交x軸于a、b兩點，交y軸于點d，其中點b的坐標為（3，0）.（1） 求拋物線的解析式；（2） 如圖7（2），過點a的直線與拋物線交于點e，交y軸于點f，其中點e的橫坐標為2，若直線pq為拋物線的對稱軸，點g為直線pq上的一動點，則x軸上是否存在一點h，使d、g、h、f四點所圍成的四邊形周長最小.若存在，求出這個最小值及點g、h的坐標；若不存在，請說明理由.（3） 如圖7（3），在拋物線上是否存在一點t，過點t作x軸的垂線，垂足為點m，過點m作mnbd，交線段ad于點n，連接md，使dnmbmd.若存在，求出點t的坐標；若不存在，請說明理由

7、.解析 （1） 由頂點c（1，4）、點b（3，0）即可求出拋物線的解析式為y=-(x-1)2+4.（2） 此題的實質(zhì)是求dg+gh+fh+df的值最小.由題意不難發(fā)現(xiàn)點d、f為定點，故df為定值，于是問題轉(zhuǎn)化為求dg+gh+fh的值最小.注意到點d、f為兩個定點，點g，h分別為對稱軸和x軸上的動點，作f關(guān)于x軸的對稱點i，則i在y軸上（如圖7（4），且hfhi. 通過計算可知點d與點e關(guān)于pq對稱，則gdge. 因此，要使四邊形dfhg的周長最小，只要使dg+gh+hf最小即可.由圖形的對稱性和、，可知，此時dg+gh+hfeg+gh+hi，只有當ei為一條直線時，eg+gh+hi最小， |e

8、i|=de2+di2=22+42=25，df+ei2+25，從而所求四邊形dfhg的周長最小為2+25.（3） 如圖7（5），由題意可知，nmdmdb，要使得dnmbmd，只要nmmd=mdbd即可，即md2nmbd.設(shè)點m的坐標為（a，0），由mnbd，可得amnabd，通過計算可得點t的坐標為32，154.例4 （x四川樂山）已知頂點為a（1，5）的拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過點b（5，1）.（1） 求拋物線的解析式；（2） 如圖8（1），設(shè)c、d分別是x軸、y軸上的兩個動點，求四邊形abcd周長的最小值.解析 （1） 由頂點a（1，5）、點b（5，1）即可求出拋物線的解析式為：y=-14(x-1)2+5.（2） 此題要使四邊形abcd周長最小，也就是ab+bc+cd+ad 的和最小，而點a、b為定點，ab為定值，故只要bc+cd+ad的和最小.點c、d分別為x軸和y軸上的動點.如圖8（2），過點a作關(guān)于y軸的對稱點a， 過點b作關(guān)于x軸的對稱點b，連接ab，交x軸于點c， 交y軸于點d，則點b、c、d、 a在同一條直線上，故點c，d即為所求，也就是此時da+cd+bcda+cd+bc最小.此時四邊形abcd的周長最小，最小值為ab+ab.而ab=(5+1