線性代數(shù)真題987-203選擇題

1、二、選擇題1.(1987,)設為階方陣,且的行列式,而是的伴隨矩陣,則等于（ C ）(A). (B). (C). (D).【考點】伴隨矩陣的性質(zhì).解 .2.(1987,)假設是階方陣,其秩,那么在的個行向量中（ ）(A) 必有個行向量線性無關.(B) 任意個行向量線性無關.(C) 任意個行向量都構(gòu)成最大線性無關向量組.(D) 任何一個行向量都可以由其他個行向量線性表出.【考點】矩陣的秩,向量組的線性相關性及向量組的最大無關組.解 的行秩的行向量組的最大無關組含個行向量.選(A).3.(1988,)維向量組線性無關的充分必要條件是（ D ）(A) 存在一組不全為零的數(shù),使.(B)中任意兩個向量都

2、線性無關.(C)中存在一個向量,它不能用其余向量線性表出.(D)中任意一個向量都不能用其余向量線性表出.【考點】向量組線性相關的性質(zhì).解 “向量組線性相關的充分必要條件是至少有一個向量可由其余向量線性表示”的逆否命題是(D).對(A):“存在”改為“任意”就正確.對(B):如中任意兩個向量都線性無關,但線性相關.對(C):中不能由線性表示,但線性相關.4.(1989,)設是階方陣,且的行列式,則中（ ）(A)必有一列元素全為零. (B)必有兩列元素對應成比例.(C)必有一列向量是其余列向量的線性組合.(D)任一列向量是其余列向量的線性組合.【考點】向量組線性相關的判別定理.解 的列(或行)秩的

3、列(或行)向量組線性相關.選(C).5.(1989)設和均為矩陣,則必有（ ）(A). (B).(C). (D).【考點】矩陣的性質(zhì).解 .選(C).6.(1989)設元齊次線性方程組的系數(shù)矩陣的秩為，則有非零解的充分必要條件是（ ）(A). (B). (C). (D).【考點】齊次線性方程組解的理論.解 齊次線性方程組有非零解的充分必要條件是.選(B).7.(1990,)已知是非齊次線性方程組的兩個不同的解,是對應齊次線性方程組的基礎解系,為任意常數(shù),則方程組的通解（一般解）必是（ ）(A). (B).(C). (D).【考點】非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu).解 線性無關且為對應齊次線性方程組的解

4、,故是對應齊次線性方程組的基礎解系;又,故為的一個特解;由非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu),知選(B).對(A):為的解.對(C):為的解,且為的解.對(D):不一定線性無關.8.(1990,)向量組線性無關的充分條件是（ ）(A)均不為零向量.(B)任意兩個向量的分量不成比例.(C)中任意一個向量均不能由其余個向量線性表示.(D)中有一部分向量線性無關.【考點】向量組線性無關的性質(zhì).解 向量組線性無關的充分必要條件是中任意一個向量均不能由其余個向量線性表示.選(C).對(A):如均不為零向量,但線性相關.對(B):如中任意兩個向量的分量不成比例,但線性相關.對(D):如中線性無關.9.(1990)設

5、是階可逆矩陣,是的伴隨矩陣,則（ ）(A). (B). (C). (D).參考1.(1987,). 選(A).10.(1991,)設階方陣滿足關系式,其中是階單位陣,則必有（ ）(A). (B). (C). (D).【考點】可逆矩陣的判別定理之推論.解 由知是的逆矩陣.選(D).11.(1991)設為階可逆矩陣,是的一個特征值,則的伴隨矩陣的特征值之一是（ ）(A). (B). (C). (D).【考點】特征值的性質(zhì).解 選(B).12.(1991)設為階方陣,滿足等式,則必有（ ）(A)或. (B). (C)或. (D).【考點】矩陣的性質(zhì).解 選(C).13.(1991)設是矩陣,是非齊次

6、線性方程組所對應的齊次線性方程組,則下列結(jié)論正確的是（ ）(A)若僅有零解,則有唯一解.(B)若有非零解,則有無窮多個解.(C)若有無窮多個解,則僅有零解.(D)若有無窮多個解,則有非零解.【考點】非齊次線性方程組解的理論.解 選(D).有無窮多個解有非零解.對(A):如僅有零解,但無解.對(B):如有非零解,但無解.對(C):有無窮多個解,則有非零解.14.(1992,)要使都是線性方程組的解,只要系數(shù)矩陣為（ ）(A). (B). (C). (D).【考點】齊次線性方程組解向量的定義.解 選(A).【注意】只需驗證.15.(1992)設為矩陣,齊次線性方程組僅有零解的充分條件是（ ）(A)

7、的列向量線性無關. (B)的列向量線性相關.(C)的行向量線性無關. (D)的行向量線性相關.【考點】齊次線性方程組解的理論,矩陣的秩及向量組的線性相關性.解 僅有零解的列秩的列向量線性無關.選(A).16.(1992)設均為階可逆矩陣,則等于（ ）(A). (B). (C). (D).【考點】逆矩陣的性質(zhì).解 選(C).或.17.(1992)設均為維向量,那么,下列結(jié)論正確的是（ ）(A)若，則線性相關.(B)若對任意一組不全為零的數(shù),都有,則線性無關.(C)若線性相關,則對任意一組不全為零的數(shù),都有.(D)若,則線性無關.【考點】向量組線性相(無)關的定義.解 選(B).由線性相關定義的逆

8、否命題可得.18.(1993,)已知為3階非零矩陣,且滿足,則（ ）(A)時的秩必為1. (B)時的秩必為2.(C)時的秩必為1. (D)時的秩必為2.【考點】矩陣的秩及其性質(zhì).解 .當時,1或2,則(A)和(B)都錯;當時,.選(C).【注】(1).(2),則的列向量組為的解向量.19.(1993)階方陣具有個不同的特征值是與對角陣相似的（ ）(A)充分必要條件. (B)充分而非必要條件.(C)必要而非充分條件. (D)既非充分也非必要條件.【考點】矩陣能對角化的判別定理(充分條件).解 選(B).20.(1993)若都是四維列向量,且4階行列式,則4階行列式等于（ ）(A). (B). (

9、C). (D).【考點】矩陣的運算及行列式的性質(zhì).解 選(C).21.(1993)設是非奇異矩陣的一個特征值,則矩陣有一特征值等于（ ）(A). (B). (C). (D).【考點】特征值的性質(zhì).解 有一特征值,則有一特征值.選(B).22.(1994,)已知向量組線性無關,則向量組（ ）(A)線性無關.(B)線性無關.(C)線性無關.(D)線性無關.【考點】判別向量組線性相(無)關的方法.解 對(A):,則線性相關.對(B):,則線性相關.對(D):,則線性相關.故選(C).或?qū)?A):,所以,則線性相關.同理可討論(B),(C),(D).【注意】判別向量組線性相(無)關的常見方法如下.(1

10、)用定義:一般對抽象的向量組.理論根據(jù):維向量組線性相(無)關齊次線性方程組有非零解(只有零解).(2)用向量組的秩:對具體的向量組直接求秩;對抽象的向量組用矩陣的秩的性質(zhì)推導出來.理論根據(jù):向量組線性相(無)關.(3)用相關理論推導.(4)特殊情形:若向量組可由線性表示,且線性無關時,設,則向量組線性相(無)關.23.(1994)設是矩陣,是階可逆矩陣,矩陣的秩為,矩陣的秩為,則( )(A). (B). (C). (D)與的關系依而定.【考點】矩陣秩的性質(zhì).解 .選(C).【注】設為可逆矩陣,則.24.(1994)設都是階非零矩陣,且,則和的秩( )(A)必有一個等于零. (B)都小于. (

11、C)一個小于,一個等于. (D)都等于.【考點】矩陣秩的性質(zhì).解 ;又,則.選(B).25.(1994)設有向量組,則該向量組的最大線性無關組是( )(A). (B). (C). (D).【考點】具體向量組的最大線性無關組的求法.解 ,則向量組的最大線性無關組是.選(B).【注意】(1)初等行變換保持矩陣的行向量組等價,保持矩陣的列向量組的線性相關性不變;(2)初等列變換保持矩陣的列向量組等價,保持矩陣的行向量組的線性相關性不變.26.(1995,)設則必有（ ）(A). (B). (C). (D).【考點】初等變換與初等矩陣的關系.解 可將的第一行加到第三行,再將的第一行與第二行交換得到.故

12、選(C).【注】在矩陣的左(右)邊乘以一個初等矩陣,相當于對矩陣作相應的初等行(列)變換.27.(1995,)設矩陣的秩為為階單位矩陣,下述結(jié)論中正確的是( )(A)的任意個列向量必線性無關.(B)的任意一個階子式不等于零.(C)若矩陣滿足,則.(D)通過初等行變換,必可以化為的形式.【考點】向量組線性無關的判別,矩陣秩的定義及矩陣的行階梯形和標準形.解 選(C).由,則齊次線性方程組只有零解,即的列向量全為零,故.28.(1995)設維行向量,矩陣,其中為階單位矩陣,則等于( )(A)0. (B). (C). (D).【考點】矩陣的運算.解 選(C).29.(1996,)四階行列式的值等于（

13、 ）(A). (B).(C). (D).【考點】行列式的計算.解 選(D).將行列式按第一行展開.30.(1996,)設階矩陣非奇異,是的伴隨矩陣,則( )(A). (B).(C). (D).【考點】矩陣運算的性質(zhì).解 選(C).31.(1996,)設有任意兩個維向量組和,若存在兩組不全為的數(shù)和,使,則( )(A)和都線性相關.(B)和都線性無關.(C)線性無關.(D)線性相關.【考點】向量組線性相(無)關的定義.解 由,得,所以線性相關.選(D).32.(1997)設,則三條直線（其中）交于一點的充分必要條件（ ）(A)線性相關. (B)線性無關.(C)秩秩. (D)線性相關，線性無關.【考

14、點】齊次線性方程組解的理論.解 三條直線交于一點的充分必要條件是線性方程組有惟一解33.(1997,)設向量組線性無關,則下列向量組中,線性無關的是( )(A) (B)(C)(D)解 參考22.(1994,).選(C).34.(1997)設為同階可逆矩陣,則( )(A) (B)存在可逆陣,使(C)存在可逆陣,使 (D)存在可逆陣和,使【考點】矩陣等價,合同,相似的判別.解 為同階可逆矩陣,則都與同階的單位矩陣等價,從而等價.故選(D).【注意】兩個同型矩陣等價的充分必要條件是它們的秩相等.如果不是同型矩陣,則必要性不成立.35.(1997)非齊次線性方程組中未知量個數(shù)為,方程個數(shù)為,系數(shù)矩陣的

15、秩為,則( )(A)時,方程組有解.(B)時,方程組有惟一解.(C)時,方程組有惟一解.(D)時,方程組有無窮多解.【考點】線性方程組解的理論.解 選(A).36.(1998)設矩陣是滿秩的，則直線與直線（ ）(A)相交于一點. (B)重合. (C)平行但不重合. (D)異面.【考點】空間兩條直線位置的判別.解 設.由共面,則兩直線共面.又,則不平行,即兩直線不平行.選(A).37.(1998)設是任一階方陣,是其伴隨矩陣,又為常數(shù),且,則必有（ ）(A). (B). (C). (D).【考點】伴隨矩陣的定義.解 (由伴隨矩陣的定義得到).選(B).或由看出.38.(1998)齊次線性方程組的

16、系數(shù)矩陣記為.若存在三階矩陣使得,則( )(A)且. (B)且.(C)且. (D)且.【考點】矩陣的性質(zhì),齊次線性方程組解的理論.解 有非零解.若,由得,矛盾.故選(C).39.(1998)設階矩陣,如果矩陣的秩為,則必為( )(A)1. (B). (C). (D).【考點】含參數(shù)的矩陣的秩的討論.解 或.當時,顯然.故選(B).40.(1998)若向量組線性無關;線性相關,則( )(A)必可由線性表示. (B)必不可由線性表示(C)必可由線性表示. (D)必不可由線性表示.【考點】向量組線性相(無)關的性質(zhì).解 線性無關,有線性無關;又線性相關,得必可由線性表示,也必可由線性表示.選(C).

17、41.(1999)設是矩陣,是矩陣,則（ ）(A)當時,必有行列式. (B)當時,必有行列式.(C)當時,必有行列式. (D)當時,必有行列式.【考點】矩陣秩的性質(zhì).解 .選(B).42.(1999)記行列式為,則方程的根的個數(shù)為（ ）(A)1. (B)2. (C)3. (D)4.【考點】行列式的計算.解 .選(B).43.(1999,)設向量可由向量組線性表示,但不能由向量組():線性表示,記向量組():,則( )(A)不能由()線性表示,也不能由()線性表示.(B)不能由()線性表示,但可由()線性表示.(C)可由()線性表示,也可由()線性表示.(D)可由()線性表示,但不可由()線性表

18、示.【考點】向量組的線性表示的定義及其判別.解 方法一: 若可由()線性表示,則與不能由線性表示,矛盾,則不能由()線性表示.故(C),(D)錯.且,由不能由線性表示,則.所以,則可由線性表示.故選(B).方法二:可由向量組線性表示.若可由線性表示,則可由向量組線性表示,矛盾.故(C),(D)錯.可由向量組線性表示,則存在一組數(shù),使得,其中.若,則可由向量組線性表示,矛盾.可由線性表示.故(A)錯.選(B).44.(1999)設為階矩陣,且與相似,為階單位矩陣,則( )(A).(B)與有相同的特征值和特征向量.(C)與都相似于一個對角矩陣.(D)對任意常數(shù),與相似.【考點】矩陣相似的性質(zhì).解

19、選(D).與相似,存在可逆矩陣,使得,則,即與相似.對(A):.對(B):與相似,則與有相同的特征值,但特征向量不一定相同.對(C):與不一定能對角化.45.(2000)維列向量組線性無關,則維列向量組線性無關的充分必要條件為（ ）(A)向量組可由向量組線性表示.(B)向量組可由向量組線性表示.(C)向量組與向量組等價.(D)矩陣與矩陣等價.【考點】向量組線性相(無)關的判別.解 選(D).(A)是充分非必要條件.(1) (A)是充分條件:.(2) (A)是非必要條件:如線性無關,線性無關,但不能由線性表示.(B)是既非必要也非充分條件.(1) (B)是非必要條件:如線性無關,線性無關,但不能

20、由線性表示.(2) (B)是非充分條件:如線性無關,.可由線性表示,但線性相關.(C)是充分非必要條件.(1) (C)是充分條件:.(2) (C)是非必要條件:如線性無關,線性無關,但不能由線性表示,則與不等價.(D)是充分必要條件.向量組線性無關.46.(2000,)設是四元非齊次線性方程組的三個解向量,且秩()=3,表示任意常數(shù),則線性方程組的通解( )(A). (B). (C). (D).【考點】線性方程組解的性質(zhì)及非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu).解 選(C).的基礎解系含個解向量.可取.47.(2000)設為階實矩陣,是的轉(zhuǎn)置矩陣,則對于線性方程組():和():,必有( )(A)()的解是(

21、)的解, ()的解也是()的解.(B)()的解是()的解,但()的解不是()的解.(C)()的解不是()的解, ()的解也不是()的解.(D)()的解是()的解, 但()的解不是()的解.【考點】與解的關系.解 選(A).【注意】與同解.事實上(1),即的解是的解;(2),即的解是的解.48.(2001)設,則與（ ）(A)合同且相似. (B)合同但不相似. (C)不合同但相似. (D)不合同且不相似.【考點】實對稱矩陣的對角化.解 選(A).為實對稱矩陣且的特征值為.【注意】實對稱矩陣既正交合同也正交相似于對角矩陣.49.(2001,)設,其中可逆,則( )(A). (B). (C). (D

22、).【考點】初等矩陣與初等變換的關系及乘積矩陣的求逆.解 選(C).由的第二列與第三列交換,再將第一列與第四列交換得到,則.50.(2001)設是階矩陣,是維列向量.若秩=秩(),則線性方程組( )(A)必有無窮多解. (B)必有惟一解.(C)僅有零解. (D)必有非零解.【考點】線性方程組解的理論.解 秩=秩(),則必有非零解.選(D).51.(2002)設有三張不同平面的方程，它們所組成的線性方程組的系數(shù)矩陣與增廣矩陣的秩都為2，則這三張平面可能的位置關系為（ ）【考點】線性方程組解的理論.解 方程組有無窮多解.選(B).【注意】(1)三張不同平面相交于一點有惟一解;(2)三張不同平面相交

23、于直線有無窮多解;(3)三張不同平面無交點無解.52.(2002)設向量組線性無關，向量可由線性表示，而向量不能由線性表示，則對于任意常數(shù)，必有（ ）(A)線性無關. (B)線性相關.(C)線性無關. (D)線性相關.【考點】向量組線性相(無)關與線性表示之間的關系.解 令,則線性無關,(B)錯;線性相關,(C)錯.令,若線性相關,則能由線性表示,(D)錯.選(A).53.(2002)設是矩陣,是矩陣,則線性方程組( )(A)當時僅有零解. (B)當時必有非零解.(C)當時僅有零解. (D)當時必有非零解.【考點】矩陣的秩的性質(zhì)與齊次線性方程組解的理論.解 ,又為階方陣.選(D).【注意】(1

24、);(2).54.(2002)設是階實對稱矩陣,是階可逆矩陣.已知維列向量是的屬于特征值的特征向量,則矩陣屬于特征值的特征向量是( )(A). (B). (C). (D).【考點】矩陣的運算及矩陣的特征值與特征向量的定義.解 ,從后式看出要利用前式,必須消去,即在的前面乘以.選(B).或.【注意】在做選擇題及填空題時,要有意識地培養(yǎng)“只求目的,不擇手段”.55.(2002)設為階矩陣,分別為對應的伴隨矩陣,分塊矩陣,則的伴隨矩陣( )(A). (B)(C) (D)【考點】伴隨矩陣的性質(zhì).解 方法一:根據(jù)驗證.選(D).(此方法在解決這類問題時一般較麻煩).方法二:若易求得,由最簡便.顯然.56

25、.(2003,)設向量組: 可由向量組:線性表示,則（ ）(A)當時,向量組必線性相關. (B)當時,向量組必線性相關.(C)當時,向量組必線性相關. (D)當時,向量組必線性相關.【考點】向量組線性表示與向量組秩的關系.解 .選(D).57.(2003)設有齊次線性方程組和,其中均為矩陣,現(xiàn)有4個命題:若的解均是的解,則秩()秩().若秩()秩(),則的解均是的解.若與同解,則秩()秩().若秩()秩(),則與同解.以上命題正確的是（ ）(A) (B) (C) (D)【考點】線性方程組解的理論.解 若的解均是的解,則的基礎解系必是的基礎解系的一部分,故的基礎解系所含解向量個數(shù)必小于的基礎解系

26、所含解向量個數(shù),即.則對,從而也對.選(B).或直觀地判別結(jié)論.若的解均是的解,則所含限制條件不少于所含限制條件,從而所含獨立方程個數(shù)必不少于所含獨立方程個數(shù),故.對.【注意】(1)線性方程組所含獨立方程個數(shù);(2)線性方程組所含獨立方程個數(shù).此題的后面解法又是“不擇手段”,讀者在考試中做選擇題和填空題時稍加運用,可以提高考試的效率和得分率.這里要說明的,所謂“不擇手段”是在對數(shù)學理論的直觀理解的基礎上,而不是記憶上.58.(2003)設均為維向量,下列結(jié)論不正確的是( )(A)若對于任意一組不全為零的數(shù),都有,則線性無關.(B)若線性相關,則對于任意一組不全為零的數(shù),有.(C)線性無關的充分

27、必要條件是此向量組的秩為.(D)線性無關的必要條件是其中任意兩個向量線性無關.【考點】向量組的線性相(無)關.解 選(B).59.(2003)設矩陣.已知矩陣相似于,則秩與秩之和等于( )(A)2. (B)3. (C)4. (D)5.【考點】相似矩陣的性質(zhì).解 .選(C).【注】(1)若與相似,則與相似;(2)相似矩陣有相同的秩.60.(2004,)設是三階方陣,將的第1列與第2列交換得,再把的第2列加到第3列得,則滿足的可逆矩陣為（ ）(A). (B). (C). (D).【考點】初等矩陣與初等變換的關系.解 .61.(2004,)設為滿足的任意兩個非零矩陣,則必有（）(A)的列向量組線性相

28、關,的行向量組線性相關.(B)的列向量組線性相關,的列向量組線性相關.(C)的行向量組線性相關,的行向量組線性相關.(D)的行向量組線性相關,的列向量組線性相關.【考點】向量組線性相(無)關的判別.解 有非零解,則的列向量組線性相關;有非零解,則的列向量組(即的行向量組線性相關).選(A).62.(2004,)設階矩陣與等價,則必有( )(A)當時,.(B)當時,.(C)當時,.(D)當時,.【考點】矩陣等價的性質(zhì).解 與等價,則.選(D).63.(2004)設階矩陣的伴隨矩陣,若是非齊次線性方程組的互不相等的解,則對應的齊次線性方程組的基礎解系( )(A)不存在. (B)僅含一個非零解向量.(C)含有兩個線性無關的解向量. (D)含有三個線性無關的解向量.【考點】的秩的秩的關系,線性方程組解的理論.解 或.若,則有惟一解,所以.選(B).2005(11)設是矩陣的兩個不同的特征值,對應的特征向量分別為,則,線性無關的充分必要條件是(A) (B) (C) (D)(12)設為階可逆矩陣,交換的第1行與第2行得矩陣分別為