奧數(shù)因式分解.docx

1、一、常用公式：序號公式記憶特征1x2+(a + b)x+ab = (x+a)(x+b) （十字相乘法）(1) 常數(shù)項兩數(shù)積(2) 一次項系數(shù)兩數(shù)和(3) 二次項系數(shù)為12a2-b2 = (a-b)(a+b)（平方差公式）3a2+2ab+b2 = (a+b)2 a2-2ab+b2 = (a-b)2（完全平方公式）4a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc = (a+b+c)2（完全平方公式擴展）(1) 三數(shù)平方和(2) 兩兩積的2倍5a3+3a2b+3ab2+b3 = (a+b)3a3-3a2b-3ab2+b3 = (a-b)3（完全立方公式）對照完全平方公式相互加強記憶6a3+b3 = (a+

2、b)(a2-ab+b2)a3-b3 = (a-b)(a2+ab+b2)(1) 近似完全平方公式(2) 缺項之完全立方公式(a+b)(a+b)2-3ab=(a+b)3-3ab(a+b)(a-b)(a+b)2+3ab=(a-b)3+3ab(a+b)7a3+b3+c3-3abc = (a+b+c)(a2+b2+c2-ab-ac-bc)對照公式4相互加強記憶8an-bn = (a-b)(an-1+an-2b+an-3b2+abn-2+bn-1) n=整數(shù)（平方差公式擴展）(1) 短差長和；(2) a指數(shù)逐項遞減1；(3) b指數(shù)逐項遞增1；(4) 長式每項指數(shù)和恒等于 n-1。9an-bn = (a+

3、b)(an-1-an-2b+an-3b2-+abn-2-bn-1) n=偶數(shù)（立方差公式擴展）(1) 短式變加長式加減相間；(2) a指數(shù)逐項遞減1；(3) b指數(shù)逐項遞增1；(4) 每項符號b指數(shù)決定偶加奇減。10an+bn = (a+b)(an-1-an-2b+an-3b2-+abn-2-bn-1) n=奇數(shù)（立方和公式擴展）對比公式9的異同公式1練習：第一組第二組第三組第四組第五組x2+6x+52x2+8x-10x3-8x2+15x2x2-x-3x2+2xy-15y2x2-x+423x2+3x-36x3+20x2+51x-3x2+11x-6x3+2x2y-15xy2x2+2x-355x2

4、-10x-15x3-12x2+32x-4x2-8x-32x2-xy+3y2x2+4x-457x2-35x+42x3-11x2+30x6x2-2x-84x2-2xy+2y2二、常用因式分解方法1、提取公因式法2、運用公式法3、分組分解法4、十字相乘法5、拆項、添項法三、例題講解1、提取公因式法例1 x(a-b)2n+y(b-a)2n+1 提示：(b-a)2n=(a-b)2n, (b-a)2n+1=-(a-b)2n+1解： 原式=(a-b)2nx-y(a-b)=(a-b)2n(x-ay+by)例2 (ax+by)2+(ay-bx)2+c2y2+c2x2 提示：先展開再合并同類項解：原式=a2x2+

5、2abxy+b2y2+a2y2-2abxy+b2x2+c2y2+c2x2（原式展開）=(a2+b2+c2)x2+(a2+b2+c2)y2（合并同類項）=(a2+b2+c2)(x2+y2)（提取公因式）2、運用公式例1 x7y-xy7 提示：先取公因式，然后用公式。用公式時注意盡量將指數(shù)降到最低（2或3最佳）解：原式=xy(x6-y6)（提取公因式）=xy(x3)2-(y3)2（公式2：平方差公式）=xy(x3-y3)(x3+y3)（公式6：立方和/差公式）=xy(x-y)(x2+xy+y2)(x+y)(x2-xy+y2)例2 (a+2b+c)3-(a+b)3-(b+c)3 提示：第一個多項式為

6、另外兩個多項式之和原式=(a+2b+c)3-(a+b)3+(b+c)3（添括號形成立方和的形式）=(a+2b+c)3-(a+2b+c)(a+b)2-(a+b)(b+c)+ (b+c)2（應用立方和公式展開） =(a+2b+c)(a+2b+c)2-(a+b)2+(a+b)(b+c)- (b+c)2（提取公因式a+2b+c形成平方差公式） =(a+2b+c)(2a+3b+c)(b+c)+(a+b)(b+c)- (b+c)2（提取公因式b+c） =(a+2b+c)(b+c)(2a+3b+c)+(a+b)- (b+c)（合并化簡） = 3(a+b) (b+c) (a+2b+c)例3 若x=2+2，y=

7、2-2，則x6+y6的值是： 解：x6+y6=(x2)3+(y2)3 =(x2+y2)(x2)2-x2y2+(y2)2 （應用立方和公式） =(x2+y2)(x2+y2)2-3x2y2 （應用完全平方公式）x2+y2=(2+2)2+(2-2)2=4, 3x2y2=3(2+2)2(2-2)2=6x6+y6=4(426)=403、分組分解法提示：合理適當?shù)胤纸M產(chǎn)生公因式。關鍵之處在合理分組，多嘗試不同地分組以觸動靈感。1) 按系數(shù)分組例 2ax-10ay+5by-bx = (2ax-10ay)+(5by-bx) =2a(x-5y)-b(x-5y) =(2a-b) (x-5y)2) 按字母分組例 x

8、3(a+1)-xy(x-y)(a-b)+y3(b+1) =ax3+x3-axy(x-y)+bxy(x-y)+by3+y3（去括號） = ax3 -axy(x-y)+bxy(x-y)+by3+x3+y3（適當分組） =(ax3-ax2y+axy2)+(bx2y-bxy2+by3)+(x3+y3)（去括號化簡） =ax(x2-xy+y2)+by(x2-xy+y2)+(x+y)(x2-xy+y2)（提取公因式及應用立方和公式） =( x2-xy+y2)(ax+by+x+y)3) 按次數(shù)分組例 (xy-1)2+(x+y-2)(x+y-2xy) =(xy-1)2+(x+y)-2)(x+y)-2xy（分組

9、） =(xy-1)2+(x+y)2-2xy(x+y)-2(x+y)+4xy（多項式相乘） =(xy-1)2+(x+y)2-2(x+y)(xy+1)+4xy（提取公因式整理） =(xy-1)2+4xy +(x+y)2-2(x+y)(xy+1)（再次分組） =(xy)2-2(xy)+1+4(xy)+ (x+y)2-2(x+y)(xy+1)（完全平方公式展開） =(xy+1)2-2(xy+1)(x+y)+(x+y)2（合并后得到新的完全平方） =(xy+1)-(x+y)2（再次應用完全平方公式） =(xy-x-y+1)25、添拆項法例1 x5+x+1提示：原因無法直接應用任何公式，可通過添加-x2+

10、x2后分組應用公式原式=(x5-x2)+(x2+x+1)（添加-x2+x2后分組）=x2(x3-1)+(x2+x+1)（提取公因式）=x2(x-1)(x2+x+1)+(x2+x+1)（應用立方差公式）=(x2+x+1)x2(x-1)+1（提取公因式）=(x2+x+1)(x3-x2+1)例2 2x4-15x3+38x2-39x+14提示：把-15x3拆成-13x3和-2x3，把38x2拆成13x2和25x2，把-39x拆成-25x和-14x，分組提取公因式原式=2x4-2x3-13x3+13x2+25x2-25x-14x+14（拆項分組）=2x3(x-1)-13x2(x-1)+25x(x-1)-

11、14(x-1)（各自提取公因式）=(x-1)( 2x3-13x2+25x-14)（提取公因式x-1）=(x-1)( 2x3-7x2-6x2+21x+4x-14)（再次拆項）=(x-1)x2(2x-7)-3x(2x-7)+2(2x-7)（分組各自提取公因式）=(x-1)(2x-7)(x2-3x+2)（提取公因式2x-7）=(x-1)(2x-7)(x-1)(x-2)（對進行x2-3x+2十字相乘分解）=(x-1)2(x-2)(2x-7)真題精解：1） 已知多項式ax3+bx2+cx+d除以x-1時的余數(shù)是1，除以x-2時的余數(shù)是3，那么，它除以(x-1)(x-2)時所得的余數(shù)是什么？（第12屆“希

12、望杯”試題）解：設原式=(x-1)(x-2)(ax+k)+(mx+n)，當x=1時，原式=1，即m+n=1；當x=2時，原式=3，即2m+n=3，解此關于m、n的方程組得m=2,n=-1，故原式除以(x-1)(x-2)時的余數(shù)為x-12） k為何值時，多項式x2-2xy+ky2+3x-5y+2能分解成兩個一次因式的積？（天津市競賽試題）解：原式中不含y的項為x2+3x+2可分解為(x+1)(x+2)，故可設原式=(x+1)+ay(x+2)+by，將其展開得：x2+(a+b)xy+aby2+3x+(2a+b)y+2，與原式對比系數(shù)得：a+b=-2, ab=k, 2a+b=-5，解之得a=-3,b

13、=1,k=-33） 如果x3+ax2+bx+8有兩個因式x+1和x+2，求a+b的值。（美國猶他州中學競賽試題）解法1：設原式=(x+1)(x+2)(x+k)，展開后得：x3+(3+k)x2+(3k+2)x+2k，對比原式系數(shù)得a=3+k, b=3k+2, 8=2k，所以a+b=4k+5=16+5=21解法2：因當x=-1或x=-2時，原式=0，分別代入后得a-b+8=0, 4a-2b+8=0，解得a=7, b=14，故a+b=14真題實練：1下列四個從左到右的變形中，是因式分解的是（ ）A. (x+1)(x-1)=x2 B. (a-b)(m-n)=(b-a)(n-m) C. ab-a-b+1

14、=(a-1)(b-1) D. m2-2m-3=m(m-2-3/m)（第8屆“希望杯”試題）（提示：本題簡單，因式分解的概念）2下列五個多項式中在有理數(shù)范圍可以進行因式分解的有（ ）a2b2-a2-b2-1x3-9ax2+27a2x-27a3 x(b+c-d)-y(d-b-c)-2c+2d-2b 3m(m-n)+6n(n-m) (x-2)2+4x A.B. C. D. （第10屆“希望杯”試題）（提示：立方差公式、提取公因式，但排除法最快）3設bc，且滿足(3+1)(a-b)+2(b-c)=a-c，則a-bb-c的值（ ）A.大于零B. 等于零C. 小于零D. 正負號不確定（第12屆“希望杯”試題）（提示：按(a-b)和(b-c)重新整理分組合并）4已知x2+ax-12能分解成兩個整系數(shù)的一次因式乘積，則符合條件的整數(shù)a的個數(shù)是（ ）A.3個B. 4個C. 6個D. 8個（第7屆“希望杯”試題）（提示：對-12以十字相乘法拆分窮舉）5y-2x+1是4xy-4x2-y2-k的一個因式，則k的值是（ ）A. 0B. -1C. 2D. 4（第14屆“希望杯”試題）（提示：完全平方+平方差）6將多項式x2-4y2-9z2-12yz因式分解結果是（ ）A. (x+2y-3z)(x-2y-3z)B. (x-2y-3z)(x-2y+3z)C. (x+2y+3z)(x+2