實際問題與二次函數(shù)-詳解與練習(含答案)

1、 初中數(shù)學專項訓練：實際問題與二次函數(shù)（人教版）一、利用函數(shù)求圖形面積的最值問題一、 圍成圖形面積的最值1、 只圍二邊的矩形的面積最值問題例1、 如圖1，用長為18米的籬笆（虛線部分）和兩面墻圍成矩形苗圃。（1） 設矩形的一邊長為x（米），面積為y（平方米），求y關于x的函數(shù)關系式；（2） 當x為何值時，所圍成的苗圃面積最大？最大面積是多少？分析：關鍵是用含x的代數(shù)式表示出矩形的長與寬。解：（1）設矩形的長為x（米），則寬為（18- x）（米）， 根據(jù)題意，得：；又（2）中，a= -10，y有最大值，即當時，故當x=9米時，苗圃的面積最大，最大面積為81平方米。點評：在回扣問題實際時，一定注意

2、不要遺漏了單位。2、 只圍三邊的矩形的面積最值例2、 如圖2，用長為50米的籬笆圍成一個養(yǎng)雞場，養(yǎng)雞場的一面靠墻。問如何圍，才能使養(yǎng)雞場的面積最大？分析：關鍵是明確問題中的變量是哪兩個，并能準確布列出函數(shù)關系式解：設養(yǎng)雞場的長為x（米），面積為y（平方米），則寬為（）（米）， 根據(jù)題意，得：；又中，a=0，y有最大值，即當時，故當x=25米時，養(yǎng)雞場的面積最大，養(yǎng)雞場最大面積為平方米。點評：如果設養(yǎng)雞場的寬為x，上述函數(shù)關系式如何變化？請讀者自己完成。3、 圍成正方形的面積最值例3、將一條長為20cm的鐵絲剪成兩段，并以每一段鐵絲的長度為周長做成一個正方形 (1)要使這兩個正方形的面積之和等于

3、17cm2，那么這段鐵絲剪成兩段后的長度分別是多少? (2)兩個正方形的面積之和可能等于12cm2嗎? 若能，求出兩段鐵絲的長度；若不能，請說明理由（1）解：設剪成兩段后其中一段為xcm，則另一段為（20-x）cm 由題意得： 解得： 當時，20-x=4；當時，20-x=16答：這段鐵絲剪成兩段后的長度分別是16厘米、4厘米。（2）不能 理由是：設第一個正方形的邊長為xcm，則第二個正方形的邊長為cm，圍成兩個正方形的面積為ycm2，根據(jù)題意，得：，中，a= 20，y有最小值，即當時，=12.512,故兩個正方形面積的和不可能是12cm2.練習1、如圖，正方形EFGH的頂點在邊長為a的正方形A

4、BCD的邊上，若AE=x，正方形EFGH的面積為y.(1)求出y與x之間的函數(shù)關系式；(2)正方形EFGH有沒有最大面積？若有，試確定E點位置；若沒有，說明理由.二、利用二次函數(shù)解決拋物線形建筑物問題例題1 如圖（1）是一個橫斷面為拋物線形狀的拱橋，當水面在l時，拱頂（拱橋洞的最高點）離水面2m，水面寬4m如圖（2）建立平面直角坐標系，則拋物線的關系式是 .圖（1） 圖（2）.【解析】試題分析：由圖中可以看出，所求拋物線的頂點在原點，對稱軸為y軸，可設此函數(shù)解析式為：y=ax2，利用待定系數(shù)法求解.試題解析：設此函數(shù)解析式為：，；那么（2，-2）應在此函數(shù)解析式上則即得，那么考點：根據(jù)實際問題

5、列二次函數(shù)關系式.練習1某地要建造一個圓形噴水池，在水池中央垂直于水面安裝一個花形柱子OA，O恰在水面中心，安置在柱子頂端A處的噴頭向外噴水，水流在各個方向上沿形狀相同的拋物線路徑落下，且在過OA的任一平面上，拋物線形狀如圖（1）所示.圖（2）建立直角坐標系，水流噴出的高度y（米）與水平距離x（米）之間的關系是.請回答下列問題：(1)柱子OA的高度是多少米？(2)噴出的水流距水平面的最大高度是多少米？(3)若不計其他因素，水池的半徑至少要多少米才能使噴出的水流不至于落在池外？2一座橋如圖，橋下水面寬度AB是20米，高CD是4米.要使高為3米的船通過，則其寬度須不超過多少米.（1）如圖1，若把橋

6、看做是拋物線的一部分，建立如圖坐標系.求拋物線的解析式；要使高為3米的船通過，則其寬度須不超過多少米?（2）如圖2，若把橋看做是圓的一部分.求圓的半徑；要使高為3米的船通過，則其寬度須不超過多少米?三、利用拋物線解決最大利潤問題例題1 某市政府大力扶持大學生創(chuàng)業(yè)李明在政府的扶持下投資銷售一種進價為每件20元的護眼臺燈銷售過程中發(fā)現(xiàn)，每月銷售量y(件)與銷售單價x(元)之間的關系可近似的看做一次函數(shù)：y10x500.（1）設李明每月獲得利潤為w(元)，當銷售單價定為多少元時，每月可獲得最大利潤？（6分）（2）如果李明想要每月獲得2 000元的利潤，那么銷售單價應定為多少元？（3分）（3）物價部門

7、規(guī)定，這種護眼臺燈的銷售單價不得高于32元，如果李明想要每月獲得的利潤不低于2 000元，那么他每月的成本最少需要多少元？(成本進價銷售量) （3分）答案：（1）35；（2）30或40；（3）3600.【解析】試題分析：（1）由題意得，每月銷售量與銷售單價之間的關系可近似看作一次函數(shù)，根據(jù)利潤=（定價-進價）銷售量，從而列出關系式；（2）令w=2000，然后解一元二次方程，從而求出銷售單價；（3）根據(jù)函數(shù)解析式，利用一次函數(shù)的性質求出最低成本即可試題解析：（1）由題意得出： ，當銷售單價定為35元時，每月可獲得最大利潤 （2）由題意，得：，解這個方程得：x1=30，x2=40李明想要每月獲得2

8、000元的利潤，銷售單價應定為30元或40元（3），拋物線開口向下. 當30x40時，W2000.x32，當30x32時，W2000.設成本為P（元），由題意，得：，k=2000，P隨x的增大而減小當x=32時，P最小=3600答：想要每月獲得的利潤不低于2000元，每月的成本最少為3600元考點：二次函數(shù)的應用練習1某玩具批發(fā)商銷售每只進價為40元的玩具，市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，若以每只50元的價格銷售，平均每天銷售90只，單價每提高1元，平均每天就少銷售3只（1）平均每天的銷售量y(只)與銷售價x(元只)之間的函數(shù)關系式為 ；（2）求該批發(fā)商平均每天的銷售利潤W(元)與銷售只x(元只)之間的函數(shù)關系

9、式；（3）物價部門規(guī)定每只售價不得高于55元，當每只玩具的銷售價為多少元時，可以獲得最大利潤？最大利潤是多少元2為了落實國務院的指示精神，地方政府出臺了一系列“三農(nóng)”優(yōu)惠政策，使農(nóng)民收入大幅度增加某農(nóng)戶生產(chǎn)經(jīng)銷一種農(nóng)產(chǎn)品，已知這種產(chǎn)品的成本價為每千克20元，市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該產(chǎn)品每天的銷售量y(千克)與銷售價x(元/千克)有如下關系：. 設這種產(chǎn)品每天的銷售利潤為w元.（1）求w與x之間的函數(shù)關系式；（2）該產(chǎn)品銷售價定為每千克多少元時，每天的銷售利潤最大？最大利潤是多少元？3某公司營銷兩種產(chǎn)品，根據(jù)市場調(diào)研，發(fā)現(xiàn)如下信息：信息1：銷售種產(chǎn)品所獲利潤(萬元)與所售產(chǎn)品(噸)之間存在二次函數(shù)關系.

10、當時， ；當時，信息2：銷售種產(chǎn)品所獲利潤 (萬元)與所售產(chǎn)品(噸)之間存在正比例函數(shù)關系根據(jù)以上信息，解答下列問題：(1)求二次函數(shù)解析式；(2)該公司準備購進兩種產(chǎn)品共10噸，請設計一個營銷方案，使銷售兩種產(chǎn)品獲得的利潤之和最大，最大利潤是多少？4為鼓勵大學畢業(yè)生自主創(chuàng)業(yè)，某市政府出臺了相關政策：由政府協(xié)調(diào)，本市企業(yè)按成本價提供產(chǎn)品給大學畢業(yè)生自主銷售，成本價與出廠價之間的差價由政府承擔李明按照相關政策投資銷售本市生產(chǎn)的一種新型節(jié)能燈已知這種節(jié)能燈的成本價為每件10元，出廠價為每件12元，每月銷售量（件）與銷售單價（元）之間的關系近似滿足一次函數(shù)：（1）李明在開始創(chuàng)業(yè)的第一個月將銷售單價定

11、為20元，那么政府這個月為他承擔的總差價為多少元？（2）設李明獲得的利潤為（元），當銷售單價定為多少元時，每月可獲得最大利潤？（3）物價部門規(guī)定，這種節(jié)能燈的銷售單價不得高于25元如果李明想要每月獲得的利潤不低于3000元，那么政府為他承擔的總差價最少為多少元？5某文具店銷售一種進價為10元/個的簽字筆，物價部門規(guī)定這種簽字筆的售價不得高于14元/個，根據(jù)以往經(jīng)驗：以12元/個的價格銷售，平均每周銷售簽字筆100個；若每個簽字筆的銷售價格每提高1元，則平均每周少銷售簽字筆10個. 設銷售價為x元/個.（1）該文具店這種簽字筆平均每周的銷售量為 個（用含x的式子表示）；（2）求該文具店這種簽字筆

12、平均每周的銷售利潤w（元）與銷售價x（元/個）之間的函數(shù)關系式；（3）當x取何值時，該文具店這種簽字筆平均每周的銷售利潤最大？最大利潤是多少元？6一汽車租賃公司擁有某種型號的汽車100輛公司在經(jīng)營中發(fā)現(xiàn)每輛車的月租金x(元)與每月租出的車輛數(shù)(y)有如下關系：x3000320035004000y100969080（1）觀察表格，用所學過的一次函數(shù)、反比例函數(shù)或二次函數(shù)的有關知識求出每月租出的車輛數(shù)y（輛）與每輛車的月租金x（元）之間的關系式.（2）已知租出的車每輛每月需要維護費150元，未租出的車每輛每月需要維護費50元用含x（x3000）的代數(shù)式填表:租出的車輛數(shù) 未租出的車輛數(shù) 租出每輛車

13、的月收益 所有未租出的車輛每月的維護費 （3）若你是該公司的經(jīng)理，你會將每輛車的月租金定為多少元，才能使公司獲得最大月收益？請求出公司的最大月收益是多少元4、 利用二次函數(shù)解決動點問題例1如圖8，如圖9，在平行四邊形ABCD中，AD=4 cm，A=60，BDAD. 一動點P從A出發(fā)，以每秒1 cm的速度沿ABC的路線勻速運動，過點P作直線PM，使PMAD .(1) 當點P運動2秒時，設直線PM與AD相交于點E，求APE的面積；(2) 當點P運動2秒時，另一動點Q也從A出發(fā)沿ABC的路線運動，且在AB上以每秒1 cm的速度勻速運動，在BC上以每秒2 cm的速度勻速運動. 過Q作直線QN，使QNP

14、M. 設點Q運動的時間為t秒(0t10)，直線PM與QN截平行四邊形ABCD所得圖形的面積為S cm2 . 求S關于t的函數(shù)關系式； 求S的最大值.解：(1) 當點P運動2秒時，AP=2 cm，由A=60，知AE=1，PE=. SAPE=.(2) 當0t6時，點P與點Q都在AB上運動，設PM與AD交于點G，QN與AD交于點F，則AQ=t，AF=，QF=，AP=t+2，AG=1+，PG=. 此時兩平行線截平行四邊形ABCD的面積為S=.當6t8時，點P在BC上運動，點Q仍在AB上運動. 設PM與DC交于點G，QN與AD交于點F，則AQ=t，AF=，DF=4-，QF=，BP=t-6，CP=10-t

15、，PG=，而BD=，故此時兩平行線截平行四邊形ABCD的面積為S=.當8t10時，點P和點Q都在BC上運動. 設PM與DC交于點G，QN與DC交于點F，則CQ=20-2t，QF=(20-2t)，CP=10-t，PG=. 此時兩平行線截平行四邊形ABCD的面積為S=.故S關于t的函數(shù)關系式為當0t6時，S的最大值為當6t8時，S的最大值為當8t10時，S的最大值為所以當t=8時，S有最大值為 . 初中數(shù)學專項訓練：實際問題與二次函數(shù)參考答案一、1（1）y=2x2-2ax+a2 (2) 有.當點E是AB的中點時，面積最大.【解析】本題考查了二次函數(shù)的應用.（1）先由AAS證明AEFDHE，得出AE

16、=DH=x米，AF=DE=（a-x）米，再根據(jù)勾股定理，求出EF2，即可得到S與x之間的函數(shù)關系式；（2）先將（1）中求得的函數(shù)關系式運用配方法寫成頂點式，再根據(jù)二次函數(shù)的性質即可求解解：四邊形ABCD是邊長為a米的正方形，A=D=90，AD= a米四邊形EFGH為正方形，F(xiàn)EH=90，EF=EH在AEF與DHE中，A=D，AEF=DHE=90-DEH，EF=EHAEFDHE（AAS），AE=DH=x米，AF=DE=（a-x）米，y=EF2=AE2+AF2=x2+（a-x）2=2x2-2ax+ a2，即y=2x2-2ax+ a2；（2）y=2x2-2ax+ a2=2（x-）2+，當x=時，S有

17、最大值故當點E是AB的中點時，面積最大2、 練習1（1） （2） （3）【解析】本題考查了二次函數(shù)的應用.（1）本題需先根據(jù)已知條件把x=0代入拋物線的解析式，從而得出y的值，即可求出答案（2）通過拋物線的頂點坐標求得（3）本題需先根據(jù)已知條件把y=0代入拋物線求出所要求的式子，再得出x的值，即可求出答案解：（1）把x=0代入拋物線的解析式得：y=，即柱子OA的高度是（2）由題意得：當x=時，y=,即水流距水平面的最大高度（3）把y=0代入拋物線得：=0，解得，x1=(舍去，不合題意)，x2=故水池的半徑至少要米才能使噴出的水流不至于落在池外2（1）；10；（2）14.5；【解析】試題分析：（

18、1）利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式即可；根據(jù)題意得出y=3時，求出x的值即可；（2）構造直角三角形利用BW2=BC2+CW2，求出即可；在RTWGF中，由題可知，WF=14.5，WG=14.51=13.5，根據(jù)勾股定理知：GF2=WF2WG2，求出即可試題解析：（1）設拋物線解析式為：，橋下水面寬度AB是20米，高CD是4米，A（10，0），B（10，0），D（0，4），解得：，拋物線解析式為：；要使高為3米的船通過，則，解得：，EF=10米；（2）設圓半徑r米，圓心為W，BW2=BC2+CW2，解得：；在RTWGF中，由題可知，WF=14.5，WG=14.51=13.5，根據(jù)勾股定理知：GF2=

19、WF2WG2，即GF2=14.5213.52=28，所以GF=，此時寬度EF=米考點：1二次函數(shù)的應用；2垂徑定理的應用三、1(1）y=-3x+240；(2)w=-3x2+360x-9600；(3)定價為55元時，可以獲得最大利潤是1125元.【解析】試題分析：（1）根據(jù)題意知銷售量y(只)與銷售價x(元只)之間的函數(shù)關系式為y=90-3（x-50）=-3x+240；(2)根據(jù)“總利潤=每件商品的利潤銷售量”可知w=（x-40）y=（x-40）（-3x+240）=-3x2+360x-9600；(3)求獲得最大利潤，也就是求函數(shù)w=-3x2+360x-9600的最大值.試題解析：( 1）y=90

20、-3（x-50）即y=-3x+240； （2）w=（x-40）y=（x-40）（-3x+240）=-3x2+360x-9600；(3)當x60，y隨x的增大而減小，當x=55時，w最大=1125所以定價為55元時，可以獲得最大利潤是1125元.考點：（1）一次函數(shù)；（2）二次函數(shù)2（1）；（2）該產(chǎn)品銷售價定為每千克30元時，每天銷售利潤最大，最大銷售利潤200元.【解析】試題分析：（1）根據(jù)銷售額=銷售量銷售價單x，列出函數(shù)關系式；（2）用配方法將（2）的函數(shù)關系式變形，利用二次函數(shù)的性質求最大值.試題解析：（1）由題意得：，w與x的函數(shù)關系式為：.（2），20，當x=30時，w有最大值w最

21、大值為200.答：該產(chǎn)品銷售價定為每千克30元時，每天銷售利潤最大，最大銷售利潤200元.考點：1.二次函數(shù)的應用；2.由實際問題列函數(shù)關系式；3.二次函數(shù)的最值.3見解析【解析】試題分析：（1）因為當x=1時，y=1.4；當x=3時，y=3.6，代入得 解得 ，所以，二次函數(shù)解析式為y=-0.1x2+1.5x； （2）設購進A產(chǎn)品m噸，購進B產(chǎn)品（10-m）噸，銷售A、B兩種產(chǎn)品獲得的利潤之和為W元，根據(jù)題意可列函數(shù)關系式為：W=-0.1m2+1.5m+0.3（10-m）=-0.1m2+1.2m+3=-0.1（m-6）2+6.6，因為-0.10，根據(jù)二次函數(shù)的性質知當m=6時，W有最大值6.

22、6， 試題解析：（1）當x=1時，y=1.4；當x=3時，y=3.6， 解得 ，所以，二次函數(shù)解析式為y=-0.1x2+1.5x； 3分（2）設購進A產(chǎn)品m噸，購進B產(chǎn)品（10-m）噸，銷售A、B兩種產(chǎn)品獲得的利潤之和為W元，則W=-0.1m2+1.5m+0.3（10-m）=-0.1m2+1.2m+3=-0.1（m-6）2+6.6，-0.10，當m=6時，W有最大值6.6， 購進A產(chǎn)品6噸，購進B產(chǎn)品4噸，銷售A、B兩種產(chǎn)品獲得的利潤之和最大，最大利潤是6.6萬元 考點：1.待定系數(shù)法求解析式.2.二次函數(shù)性質.4（1）政府這個月為他承擔的總差價為600元；（2）當銷售單價定為30元時，每月可

23、獲得最大利潤4000；（3）銷售單價定為25元時，政府每個月為他承擔的總差價最少為500元.【解析】試題分析：（1）根據(jù)每月銷售量（件）與銷售單價（元）之間的關系可求得每月銷售量，又由單價和成本間關系得到每件節(jié)能燈的差價，則可得到總差價.（2）求每月可獲得最大利潤，即為求該二次函數(shù)的最大值，將二次函數(shù)配方法，可得該函數(shù)的最大值.（3）同時滿足，根據(jù)函數(shù)圖象的性質知道，隨的增大而減小，當時，該函數(shù)有最大值時，有最小值500.試題解析：（1）當時，政府這個月為他承擔的總差價為600元。（2）依題意得，當時，有最大值4000.當銷售單價定為30元時，每月可獲得最大利潤4000（3）由題意得：，解得：，.