數(shù)值分析簡明教程課后習(xí)題答案(第二版)

1、0.1算法1、 （p.11，題1）用二分法求方程在1,2內(nèi)的近似根，要求誤差不超過10-3.【解】由二分法的誤差估計式，得到.兩端取自然對數(shù)得，因此取，即至少需二分9次.求解過程見下表。符號0121.5+1234567892、（p.11，題2） 證明方程在區(qū)間0,1內(nèi)有唯一個實(shí)根；使用二分法求這一實(shí)根，要求誤差不超過。【解】由于，則在區(qū)間0,1上連續(xù)，且，即，由連續(xù)函數(shù)的介值定理知，在區(qū)間0,1上至少有一個零點(diǎn).又，即在區(qū)間0,1上是單調(diào)的，故在區(qū)間0,1內(nèi)有唯一實(shí)根.由二分法的誤差估計式，得到.兩端取自然對數(shù)得，因此取，即至少需二分7次.求解過程見下表。符號0010.512345670.2誤

2、差1（p.12，題8）已知e=2.71828，試問其近似值，x2=2.71，各有幾位有效數(shù)字？并給出它們的相對誤差限?！窘狻坑行?shù)字：因?yàn)?，所以有兩位有效?shù)字；因?yàn)?，所以亦有兩位有效?shù)字；因?yàn)?，所以有四位有效?shù)字；。評（1）經(jīng)四舍五入得到的近似數(shù)，其所有數(shù)字均為有效數(shù)字；（2）近似數(shù)的所有數(shù)字并非都是有效數(shù)字. 2（p.12，題9）設(shè)，均為經(jīng)過四舍五入得出的近似值，試指明它們的絕對誤差(限)與相對誤差(限)?！窘狻?，；，；，；評經(jīng)四舍五入得到的近似數(shù)，其絕對誤差限為其末位數(shù)字所在位的半個單位.3（p.12，題10）已知，的絕對誤差限均為，問它們各有幾位有效數(shù)字？【解】由絕對誤差限均為知有效數(shù)字

3、應(yīng)從小數(shù)點(diǎn)后兩位算起，故，有三位；有一位；而，也是有一位。1.1泰勒插值和拉格朗日插值1、（p.54，習(xí)題1）求作在節(jié)點(diǎn)的5次泰勒插值多項式，并計算和估計插值誤差，最后將有效數(shù)值與精確解進(jìn)行比較?！窘狻坑?，求得；，所以 插值誤差：，若，則，而，精度到小數(shù)點(diǎn)后5位，故取，與精確值相比較，在插值誤差的精度內(nèi)完全吻合！2、（p.55，題12）給定節(jié)點(diǎn)，試分別對下列函數(shù)導(dǎo)出拉格朗日余項：（1）；（2）【解】依題意，拉格朗日余項公式為 （1） ；（2）因?yàn)?，所?3、（p.55，題13）依據(jù)下列數(shù)據(jù)表，試用線性插值和拋物線插值分別計算的近似值并估計誤差。0120.320.340.360.3145670.

4、3334870.352274【解】依題意，拉格朗日余項公式為 （1） 線性插值因?yàn)樵诠?jié)點(diǎn)和之間，先估計誤差；須保留到小數(shù)點(diǎn)后4為，計算過程多余兩位。 （2） 拋物線插值插值誤差：拋物線插值公式為： 經(jīng)四舍五入后得：，與精確值相比較，在插值誤差范圍內(nèi)完全吻合！1.3分段插值與樣條函數(shù)1、（p.56，習(xí)題33）設(shè)分段多項式 是以0,1,2為節(jié)點(diǎn)的三次樣條函數(shù)，試確定系數(shù)b，c的值.【解】依題意，要求S(x)在x=1節(jié)點(diǎn)函數(shù)值連續(xù)：，即： 一階導(dǎo)數(shù)連續(xù)：，即：解方程組（1）和（2），得，即由于，所以S(x) 在x=1節(jié)點(diǎn)的二階導(dǎo)數(shù)亦連續(xù)。2、 已知函數(shù) 的一組數(shù)據(jù)，和，（1）求其分段線性插值函數(shù)；（

5、2）計算的近似值，并根據(jù)余項表達(dá)式估計誤差?！窘狻浚?）依題意，將x分為0,1和1,2兩段，對應(yīng)的插值函數(shù)為，利用拉格朗日線性插值公式，求得；（2），而，實(shí)際誤差為：。由,可知，則余項表達(dá)式1.4 曲線擬合1、（p.57，習(xí)題35）用最小二乘法解下列超定方程組： 【解】構(gòu)造殘差平方和函數(shù)如下：，分別就Q對x和y求偏導(dǎo)數(shù)，并令其為零： ：，：，解方程組（1）和（2），得2、（p.57，習(xí)題37）用最小二乘法求形如 的多項式，使之與下列數(shù)據(jù)相擬合?！窘狻苛睿瑒t為線性擬合，根據(jù)公式(p.39,公式43)，取m=2，a1=0，N=5，求得；依據(jù)上式中的求和項，列出下表xiyiXi (=xi2)Xi2(

6、=xi4)Xi yi (=xi2yi)191936113032168592532.362539062520187.53149961923521470893873.314442085136105845.24497.819363748096189340.8157271.453277277699369321.5將所求得的系數(shù)代入方程組（1）和（2），得；即：。2.1 機(jī)械求積和插值求積1、（p.94，習(xí)題3）確定下列求積公式中的待定參數(shù)，使其代數(shù)精度盡量高，并指明求積公式所具有的代數(shù)精度： ；?！窘狻浚?）令時等式精確成立，可列出如下方程組： 解得：，即：，可以驗(yàn)證，對公式亦成立，而對不成立，故公式

7、（1）具有3次代數(shù)精度。（2）令時等式精確成立，可列出如下方程組：解得：，即：，可以驗(yàn)證，對公式亦成立，而對不成立，故公式（2）具有3次代數(shù)精度。（3）令時等式精確成立，可解得：即： ，可以驗(yàn)證，對公式亦成立，而對不成立，故公式（3）具有2次代數(shù)精度。2、（p.95，習(xí)題6）給定求積節(jié)點(diǎn) 試構(gòu)造計算積分的插值型求積公式，并指明該求積公式的代數(shù)精度?！窘狻恳李}意，先求插值求積系數(shù)：；插值求積公式：當(dāng)，左邊=；右邊=；左=右；當(dāng)，左邊=；右邊=；左=右；當(dāng)，左邊=；右邊=；左右；故該插值求積公式具有一次代數(shù)精度。2.2 梯形公式和Simpson公式1、（p.95，習(xí)題9）設(shè)已給出的數(shù)據(jù)表，x0.0

8、00.250.500.751.00f(x)1.000 001.655 341.551 521.066 660.721 59分別用復(fù)化梯形法與復(fù)化辛普生法求積分的近似值。【解】（1）用復(fù)化梯形法： （2）用復(fù)化辛普生法： 2、（p.95，習(xí)題10）設(shè)用復(fù)化梯形法計算積分，為使截斷誤差不超過，問應(yīng)當(dāng)劃分區(qū)間【0,1】為多少等分？如果改用復(fù)化辛普生法呢？ 【解】（1）用復(fù)化梯形法， ，設(shè)需劃分n等分，則其截斷誤差表達(dá)式為：；依題意，要求，即，可取。（2）用復(fù)化辛普生法， ，截斷誤差表達(dá)式為：；依題意，要求，即，可取，劃分8等分。2.3 數(shù)值微分1、（p.96，習(xí)題24）導(dǎo)出三點(diǎn)公式(51)、(52)

9、和(53)的余項表達(dá)式【解】如果只求節(jié)點(diǎn)上的導(dǎo)數(shù)值，利用插值型求導(dǎo)公式得到的余項表達(dá)式為由三點(diǎn)公式(51)、(52)和(53)可知，則2、（p.96，習(xí)題25）設(shè)已給出的數(shù)據(jù)表，x1.01.11.2f(x)0.25000.22680.2066試用三點(diǎn)公式計算的值，并估計誤差?！窘狻恳阎萌c(diǎn)公式計算微商：，用余項表達(dá)式計算誤差3、（p.96，習(xí)題26）設(shè)，分別取步長，用中點(diǎn)公式（52）計算的值，令中間數(shù)據(jù)保留小數(shù)點(diǎn)后第6位。【解】中心差商公式：，截斷誤差：?？梢姴介Lh越小，截斷誤差亦越小。(1) ,則；(2) ,則(3) ,則而精確值，可見當(dāng)時得到的誤差最小。在時反而誤差增大的原因是與很接近

10、，直接相減會造成有效數(shù)字的嚴(yán)重?fù)p失。因此，從舍入誤差的角度看，步長不宜太小。3.1 Euler格式1、（p.124，題1）列出求解下列初值問題的歐拉格式，取；，??；【解】（1）；（2）。2、（p.124，題2）取，用歐拉方法求解初值問題，?！窘狻繗W拉格式：；化簡后，計算結(jié)果見下表。n0123xn0.00.20.40.6yn1.00.80.61440.46133、（p.124，題3）取，用歐拉方法求解初值問題，。并與精確解比較計算結(jié)果?！窘狻繗W拉格式：；化簡后，計算結(jié)果見下表。1、（p.124，題7）用改進(jìn)的歐拉方法求解上述題2，并比較計算結(jié)果?！窘狻恳?yàn)?，且，則改進(jìn)的歐拉公式：。計算結(jié)果見下表

11、。n0123xn0.00.20.40.6yp1.00.67300.51470.3941yc0.760.70920.55640.4319yn0.880.69110.53560.413與原結(jié)果比較見下表 n0123xn0.00.20.40.6yn1.00.80.61440.4613yn(改進(jìn))0.880.69110.53560.4133.3 龍格-庫塔方法1、（p.124，題11）用四階經(jīng)典的龍格-庫塔方法求解初值問題，試取步長計算的近似值，要求小數(shù)點(diǎn)后保留4位數(shù)字。【解】四階經(jīng)典的龍格-庫塔方法公式：；列表求得如下：nxnyn00.02.00010.22.300420.42.46544.1 迭代

12、法及收斂定理1、（p.153，題1）試取，用迭代公式，求方程的根，要求準(zhǔn)確到。【解】迭代計算結(jié)果列于下表kxk|xk-xk-1|0.001kxk|xk-xk-1|0.00111.538460.53846N61.365930.00937N21.295020.24344N71.370090.00416N31.401820.10680N81.368240.00185N41.354210.04761N91.369060.00082Y51.375300.02109N因?yàn)?，所以?、（p.153，題2）證明方程有且僅有一實(shí)根。試確定這樣的區(qū)間，使迭代過程對均收斂?！咀C明】設(shè)：，則當(dāng)時，且一階導(dǎo)數(shù)連續(xù)， ，

13、所以迭代過程對均收斂。（壓縮映像定理），方程有且僅有一實(shí)根。3、（p.153，題4）證明迭代過程對任意初值均收斂于。【證明】設(shè)：，對于任意，因?yàn)椋?。一階導(dǎo)數(shù)， 根據(jù)壓縮映像定理，迭代公式對任意初值均收斂。假設(shè)，對迭代式兩邊取極限，則有，則，解得，因不在范圍內(nèi)，須舍去。故。4.2 牛頓迭代法1、（p.154，題17）試用牛頓迭代法求下列方程的根，要求計算結(jié)果有4位有效數(shù)字：（1），（2），【解】（1）設(shè)，則，牛頓迭代公式：，迭代計算過程見下列表。kxk|xk-xk-1|0.0001kxk|xk-xk-1|0.000111.888890.11111N31.879390.00006Y21.879

14、450.00944N因?yàn)?，所以。?）設(shè)，則，牛頓迭代公式：，迭代計算過程見下列表。kxk|xk-xk-1|0.0001kxk|xk-xk-1|0.00110.268940.73106N30.257530.00014N20.257390.01155N40.257530.00000Y因?yàn)?，所以?、（p.154，題18）應(yīng)用牛頓法于方程，導(dǎo)出求立方根的迭代公式，并證明該迭代公式具有二階收斂性?！咀C明】（1）設(shè)：，則，對任意，牛頓迭代公式 （2）由以上迭代公式，有：。設(shè) ；。，可見該迭代公式具有二階收斂性。5.1 線性方程組迭代公式1、（p.170，題1）用雅可比迭代與高斯-賽德爾迭代求解方程組：

15、，要求結(jié)果有3位有效數(shù)字?！窘狻垦趴杀鹊剑海嬎憬Y(jié)果列于下表。?000-12/31/22/31/2N21/21/61/61/3N311/181/41/91/12N47/127/361/361/18N50.601850.208330.018520.01389N60.597220.199080.004630.00925N70.600310.201390.003090.00231N80.599540.199850.000770.00154N90.600050.200230.000510.00038N100.599920.199980.000030.00025Y；由上表可見，所求根皆為小數(shù)點(diǎn)

16、后第1位不為零的小數(shù)，要取3位有效數(shù)，則誤差限為。高斯-賽德爾迭代公式：，迭代計算結(jié)果列于下表。?000-12/31/62/31/6N20.61110.1944N30.60190.19910.00920.0047N40.60030.19990.00160.0008N50.60000.19990.00030.0000Y；2、（p.171，題7）取，用松弛法求解下列方程組，要求精度為?！窘狻繗W先寫出高斯-賽德爾迭代：引入松弛因子，得將方程組（1）代入（2），并化簡計算結(jié)果見下表。?0000-152.5-3.12552.53.125N21.406252.65625-2.14844N32.158203

17、.03223-2.28882N41.611733.15872-2.19860N51.635773.24423-2.19187N61.549593.28508-2.17800N71.532843.30793-2.17320N81.515613.31978-2.17001N91.508803.32615-2.16847N01.504533.32951-2.16762N11.502453.33130-2.16717N21.501293.33225-2.16694N31.500693.33276-2.16672N41.500373.33306-2.16676N51.500163.33318-2.166

18、70N61.500103.33325-2.16668N71.500053.33329-2.166680.000050.000040.00000Y迭代解：精確解：5.1 線性方程組迭代公式1、（p.170，題2）試列出求解下列方程組的雅可比迭代公式與高斯-賽德爾迭代公式，并考察迭代過程的收斂性?！窘狻浚?）雅可比迭代公式： (1)，迭代收斂。（2）高斯-賽德爾迭代公式： (2)將方程組（1）帶入（2），經(jīng)化簡后，得： (3)，迭代收斂。2、（p.171，題5）分別用雅可比迭代與高斯-賽德爾迭代求解下列方程組：（1）（2）【解】（1）雅可比迭代： ，,不收斂。高斯-賽德爾迭代： 或 ，,不收斂。（2）雅可比迭代：，,不收斂。高斯-賽德爾迭代： 或 ,不收斂。3、（p.