余弦定理的證明方法

1、余弦定理的證明方法篇一：余弦定理的六種證法余弦定理的六種證法法一(平面幾何)：在ABC中，已知AC?b,BC?a,及?C，求c。過A作AD?BC于D，是ADACsinC?BCsinC，CD?ACcos?bcosc,C在Rt?ABD中，AB2?AD2?BD2?(bsinc)2?(a?bcosc)2?a2?b2?2abcosc，法二（平面向量）：?2?2?2?AB?AB?(AC?BC)?(AC?BC)?AC?2AC?BC?BC?AC?2|AC|?|BC| ?222222cos(180?B)?BC?b?2abcosB?a，即：c?a?b?2abcosc?法三（解析幾何）：把頂點(diǎn)C置于原點(diǎn)，CA落在x

2、軸的正半軸上，由于ABC的AC=b，CB=a，AB=c，則A，B，C點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(b，0)，B(acosC，asinC)，C(0，0)|AB|2=(acosCb)2+(asinC0)2=a2cos2C2abcosC+b2+a2sin2C=a2+b22abcosC，即c2=a2+b22abcosC法四（利用正弦定理）：先證明如下等式：sin證明：sin22A?sin22B?sinC?2sinAsinBcosC 2A?sin2B?sinC?1?cos2A212?1?cos2B2?1?cos2C222?coo2sA?cos2B?1?cos2CsA?B?co?sA?B?cosC?co?cosC?c

3、o?sA?B?co?sA?B?2sinAsinBcosC故式成立，再由正弦定理變形，得?a?2RsinA?b?2RsinB?c?2RsinC?(2)結(jié)合、(2)有a?b?c?4R2222?sinA?sinB?sinC?222?4R?2sinAsinBcosC?2abcosC.2即 c?a?b?2abcosC.同理可證 a?b?c?2bccosA；b?c?a?2cacosB.222222222法五（用相交弦定理證明余弦定理）:如圖，在三角形ABC中，A=，AB=a，BC=b，AC=c。現(xiàn)在以B為圓心，以長(zhǎng)邊AB為半徑做圓，這里要用長(zhǎng)邊的道理在于，這樣能保證C點(diǎn)在圓內(nèi)。BC的延長(zhǎng)線交圓B于點(diǎn)D和E

4、 這樣以來，DC=a-b，CE=a+b，AC=c。因?yàn)锳G=2acos，所以CG=2acos-c。根據(jù)相交弦定理有： DCCE=ACCG，帶入以后就是(a-b)(a+b)=c(2acos-c)化簡(jiǎn)以后就得b2=a2+c2+2accos。也就是我們的余弦定理。法六（面積解釋）：如圖9，以ABC的三邊為邊長(zhǎng)向外作三個(gè)正方形，說歐幾里德就是利用此圖形證明勾股定理的。易證旋轉(zhuǎn)而成)，進(jìn)而可得；同理形面積等于兩直角邊上兩正方形面積之和。，(最好是將交AB于K。據(jù)看作是，所以直角三角形斜邊上的正方此處還有一個(gè)副產(chǎn)品：影定理。等價(jià)于，無需用到相似，輕松可得射圖9 圖10假若不是直角三角形呢？如圖10，ABC

5、的三高的延長(zhǎng)線將三個(gè)正方形分為6個(gè)矩形，而且兩兩相等，輕松可得余弦定理。例1：證明余弦定理。勾股定理只是對(duì)于直角三角形成立，很有必要將之推廣到一般三角形的情形，這樣在使用的時(shí)候才方便。在第一章中已經(jīng)介紹了面積法證明余弦定理了，下面再介紹三種面積證法。證明勾股定理主要用到平移，而證明余弦定理則可能需要用旋轉(zhuǎn)。余弦定理證明1：如圖1，將ABC繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)一個(gè)較小角度得到DBE，則；由面積關(guān)系得，即，則，即，化簡(jiǎn)得。圖1 圖2如果認(rèn)為證法1較麻煩，也還有簡(jiǎn)單的證法。 余弦定理證明2：只要注意到馬可得。，立余弦定理證明3：如圖3，在ABC中，設(shè)三邊長(zhǎng)度為a，b，c，在AB邊上取點(diǎn)E，使得在AB邊上取點(diǎn)D

6、，使得得；易得AECCDBACB，；由；，化簡(jiǎn)得。圖3篇二：余弦定理的證明方法集錦余弦定理的證明方法集錦江蘇省泗陽(yáng)縣李口中學(xué)沈正中余弦定理和勾股定理一樣，證明方法也有很多種,下面給出比較經(jīng)典的幾種證明方法，供大家參考！余弦定理：三角形任一邊的平方等于另外兩邊的平方和減去這兩邊與其夾角余弦的積的二倍。如圖1所示，在ABC中，若ABc，BCa，CAb，則c2a2b22abcosC（或a2b2c22bccosA或b2c2a22cacosB）。【證法1】如圖2，在銳角ABC中，作ADBC于D，則CDbcosC，ADbsinC，在ABD中，由勾股定理，得AB2BD2AD2，即AB2(abcosC)2(b

7、sinC)2a22abcosCb2cos2Cb2sinC2a22abcosCb2，即c2a2b22abcosC。當(dāng)C重合于D時(shí)，在RtABC中，C90，因cosC0，所以c2a2b2。當(dāng)C在D左側(cè)時(shí)，ABC為鈍角三角形，如圖3所示，ACD180C，cosACDcos(180C)cosC，sinACDsin(180C)sinC，所以CDbcos(180C)bcosC，ADbsin(180C)b sinC，在RtABD中，由勾股定理，得AB2BD2AD2，即AB2(abcosC)2(bsinC)2a22abcosCb2cos2Cb2sinC2a22abcosCb2，即c2a2b22abcosC。【

8、證法2】將ABC的頂點(diǎn)C置于原點(diǎn)，CA落在x軸的正半軸上，如圖4所示，則A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(b，0)，B(acosC，asinC)，C(0，0)。由此得|AB|2(acosCb)2(asinC0)2a2cos2C2abcosCb2a2sin2Ca2b22abcosC，即c2a2b22abcosC ?！咀C法3】由正弦定理 變形，得，所以 a2b2c24R2(sin2Asin2Bsin2C)因sin2Asin2Bsin2Ccos(AB) cos(AB)cosC 2cosCcos(AB)cos2CcosCcos(AB)cosCcosCcos(AB)cos(AB)2sinAsinBcosC，

9、所以a2b2c24R22sinAsinBcosC22RsinA2RsinBcosC2abcosC，即c2a2b22abcosC?！咀C法4】由正弦定理，得從而有asinBbsinA，csinAasin(AB)asinAcosBacosAsinB，代入，整理得acosBcbcosA，22，可得a2(bsinA)2(cbcosA)2b2c22bccosA，即c2a2b22abcosC。【證法5】如圖5所示，令A(yù)=，以B為圓心，以長(zhǎng)邊AB為半徑畫圓（這里用長(zhǎng)邊的原因是保證C點(diǎn)在圓內(nèi)）。延長(zhǎng)BC交B于點(diǎn)D和E，則DCca，CEca，ACb，AG2ccos，CG2ccosb，由相交弦定理得DCCEACCG

10、，(ca)(ca)b(2cosb)，化簡(jiǎn)得a2b2c22accos，即a2b2c22ac cosA?！咀C法6】如圖6，以RtABC的三邊為邊長(zhǎng)向外作三個(gè)正方形，CNIH交斜邊AB于K。據(jù)說當(dāng)時(shí)歐幾里德就是利用此圖形證明勾股定理的。連BE、CH，易證EABCAH(SAS)，EAB與正方形EACD等高共底，CAH與長(zhǎng)方形KAHN等高共底，進(jìn)而可得SEACDSKAHN；同理SFBCGSKBIN，所以SEACDSFBCGSKAHNSKBINSABIH，即a2b2c2。又從SEACDSKAHN可知，AC2AKAHAKAB，即AC2AKAB(射影定理)。若ABC不是直角三角形，如圖7所示，則ABC的三高的

11、延長(zhǎng)線將三個(gè)正方形分為6個(gè)矩形，用上面的證明方法可證得每個(gè)頂點(diǎn)兩邊的矩形面積相等，即SBFMJSBLPEaccosB(長(zhǎng)寬)，SMGCJSCHNKabcosC(長(zhǎng)寬)，SKNIASLADPbccosA(長(zhǎng)寬)，故b2c22bccosAaccosBabcosC2bccosAa2，即a2b2c22bccosA?！咀C法7】如圖8，將ABC繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)一個(gè)較小角度得到DBE，則ABCDBE；由面積關(guān)系得SAECDSABDSDBCSCBESABE，即ACDE sinBABD sinBDBC sin(B) BCBE sinBABE sin(B)，即b2 sinc2 sinac(sinBcoscosBsin)

12、a2sinac(sinBcoscosBsin)，化簡(jiǎn)得b2a2c22ac cosB ?！咀C法8】建立圖9所示的平面直角坐標(biāo)系，則點(diǎn)A(0,0)、B(c,0)、C(bcosA，bsinA)，再由兩點(diǎn)間距離公式，可得a2(cbcosA)2(bsinA)2c22cbcosAb2，即a2b2c22bc cosA。【證法9】如圖10所示，過C作CDAB，交ABC外接圓于D，則ADBCa，BDACb。分別過C、D作AB的垂線，垂足分別為E、F，則AEBFbcosA，故CDc2bcosA。由托勒密定理，得ABBCABCDACBD，即aac(c2bcosA)bb，整理得a2b2c22bccosA?！咀C法10】

13、如圖11所示，以ABC的三邊為邊長(zhǎng)向外作三個(gè)正方形，作AB邊上的高CD，則ADbcosA，CDbsinA，在RtBDC中，BC2BD2CD2，又BDcbcosA ，所以a2(cbcosA)2(bsinA)2，整理，得a2b2c22bccosA。【證法11】 如圖12所示，作ABC，AB邊上的高，則cbcosAacosB，將等式兩邊同乘以c得 c2bccosAaccosB， 同理可得a2accosBabcosC， b2abcosCbccosA， 得a2b2accosBabcosCabcosCbccosA(bccosAaccosB)(abcosCabcosC)c22abcosC，即c2a2b22a

14、bcosC。篇三：余弦定理的十一種證明方法余弦定理的十一種證明方法余弦定理和勾股定理一樣，證明方法也有很多種,下面給出比較經(jīng)典的十一種證明方法，供大家參考！ 余弦定理：三角形任一邊的平方等于另外兩邊的平方和減去這兩邊與其夾角余弦的積的二倍。如圖1所示，在ABC中，若ABc，BCa，CAb，則有：c2a2b22abcosCa2b2c22bccosAb2c2a22cacosB.【證法1】如圖2，在銳角ABC中，作ADBC于D，則CDbcosC，ADbsinC，在ABD中，由勾股定理，得AB2BD2AD2，即AB2(abcosC)2(bsinC)2a22abcosCb2cos2Cb2sinC2a22

15、abcosCb2，即c2a2b22abcosC。當(dāng)C重合于D時(shí)，在RtABC中，C90，因cosC0，所以c2a2b2。當(dāng)C在D左側(cè)時(shí)，ABC為鈍角三角形，如圖3所示，ACD180C，cosACDcos(180C)cosC，sinACDsin(180C)sinC，所以CDbcos(180C)bcosC，ADb sin(180C)b sinC，在RtABD中，由勾股定理，得AB2BD2AD2，即AB2(abcosC)2(bsinC)2a22abcosCb2cos2Cb2sinC2a22abcosCb2，即c2a2b22abcosC?！咀C法2】將ABC的頂點(diǎn)C置于原點(diǎn)，CA落在x軸的正半軸 上，如

16、圖4所示，則A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(b，0)，B(acosC， asinC)，C(0，0).由此得|AB|2(acosCb)2(asinC0)2a2cos2C2abcosCb2a2sin2Ca2b22abcosC，即c2a2b22abcosC ?！咀C法3】由正弦定理abc?2R變形得： sinAsinBsinC?a?2RsinA?b?2RsinB?c?2Rsinc?所以 a2b2c24R2(sin2Asin2Bsin2C)因sin2Asin2Bsin2Ccos(AB) cos(AB)cos2CcosCcos(AB)cos2CcosCcos(AB)cosCcosCcos(AB)cos(AB

17、)2sinAsinBcosC，所以a2b2c24R22sinAsinBcosC22RsinA2RsinBcosC 2abcosC，即c2a2b22abcosC。【證法4】由正弦定理，得 從而有asinBbsinA，csinAasin(AB)asinAcosBacosAsinB，代入，整理得acosBcbcosA，22，可得a2(bsinA)2(cbcosA)2b2c22bccosA，即c2a2b22abcosC?！咀C法5】如圖5所示，令A(yù)=，以B為圓心，以長(zhǎng)邊AB為半徑畫圓（這里用長(zhǎng)邊的原因是保證C點(diǎn)在圓內(nèi)）。延長(zhǎng)BC交B于點(diǎn)D和E，則DCca，CEca，ACb，AG2ccos，CG2ccosb，由相交弦定理得DCCEACCG，(ca)(ca)b(2cosb)，化簡(jiǎn)得a2b2c22accos，即a2b2c22ac cosA。【證法6】如圖6，以RtABC的三邊為邊長(zhǎng)向外作三個(gè)正方形， CNIH交斜邊AB于K。據(jù)說當(dāng)時(shí)歐幾里德就是利用此圖形證明勾股定理的。連BE、CH，易證EABCAH(SAS)，EAB與正方形EACD等高共底，CAH與長(zhǎng)方形KAHN等高共底，進(jìn)而可得SEACDSKAHN；同理SFBCGSKBIN，所以SEACDSFBCGSKAHNSKBINSABIH，即a