電路分析基礎(chǔ)難點一階動態(tài)電路分析.ppt

1、第三 一階動態(tài)電路分析,3.1 電容元件和電感元件,3.2 換路定律及初始值的確定,3.3 零 輸 入 響 應(yīng),3.4 零 狀 態(tài) 響 應(yīng),3.5 全 響 應(yīng),3.6 求解一階電路三要素法,返回,學(xué) 習(xí) 目 標(biāo),理解動態(tài)元件L、C的特性，并能熟練應(yīng)用于 電路分析。 深刻理解零輸入響應(yīng)、零狀態(tài)響應(yīng)、暫態(tài)響 應(yīng)、穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的含義，并掌握它們的分析計算 方法 。 弄懂動態(tài)電路方程的建立及解法。 熟練掌握輸入為直流信號激勵下的一階電路的三要素分析法。,3.1 電容元件和電感元件,3.1.1 電容元件 電容器是一種能儲存電荷的器件,電容元件是電容器的理想化模型。,斜率為R,圖3-1 電容的符號、線性非時變

2、電容的特性曲線,當(dāng)電容上電壓與電荷為關(guān)聯(lián)參考方向時，電荷q與u關(guān)系為：q(t)=Cu(t) C是電容的電容量，亦即特性曲線的斜率。當(dāng)u、i為關(guān)聯(lián)方向時,據(jù)電流強(qiáng)度定義有： i=C dq/dt 非關(guān)聯(lián)時： i= -C dq/dt,電容的伏安還可寫成：,式中，u(0)是在 t=0 時刻電容已積累的電壓，稱為初始電壓；而后一項是在 t=0 以后電容上形成的電壓，它體現(xiàn)了在0t的時間內(nèi)電流對電壓的貢獻(xiàn)。 由此可知：在某一時刻 t，電容電壓u不僅與該時刻的電流 i有關(guān)，而且與t以前電流的全部歷史狀況有關(guān)。因此，我們說電容是一種記憶元件，有“記憶”電流的作用。,當(dāng)電容電壓和電流為關(guān)聯(lián)方向時，電容吸收的瞬時

3、功率為：,瞬時功率可正可負(fù)，當(dāng) p(t)0時，說明電容是在吸收能量，處于充電狀態(tài)；當(dāng) p(t) 0時，說明電容是在供出能量，處于放電狀態(tài)。 對上式從到 t 進(jìn)行積分，即得t 時刻電容上的儲能為：,式中 u(-) 表示電容未充電時刻的電壓值，應(yīng)有u(-) =0。于是，電容在時刻 t 的儲能可簡化為：,由上式可知：電容在某一時刻 t 的儲能僅取決于此時刻的電壓，而與電流無關(guān)，且儲能 0。 電容在充電時吸收的能量全部轉(zhuǎn)換為電場能量，放電時又將儲存的電場能量釋放回電路，它本身不消耗能量，也不會釋放出 多于它吸收的能量，所以稱電容為儲能元件。,3.1.2 電感元件,電感器（線圈）是存儲磁能的器件，而電感

4、元件是它的理想化模型。當(dāng)電流通過感器時，就有磁鏈與線圈交鏈，當(dāng)磁通與電流 i參考方向之間符合右手螺旋關(guān)系時，磁力鏈與電流的關(guān)系為：,圖3-2 電感元件模型符號及特性曲線,當(dāng)u、i為關(guān)聯(lián)方向時，有: 這是電感伏安關(guān)系的微分形式。,(t)=L i(t),電感的伏安還可寫成：,式中，i(0)是在 t=0 時刻電感已積累的電流，稱為初始電流；而后一項是在t=0以后電感上形成的電流，它體現(xiàn)了在0-t 的時間內(nèi)電壓對電流的貢獻(xiàn)。 上式說明：任一時刻的電感電流，不僅取決于該時刻的電壓值，還取決于-t 所有時間的電壓值，即與電壓過去的全部歷史有關(guān)。可見電感有“記憶”電壓的作用，它也是一種記憶元件。,當(dāng)電感電壓

5、和電流為關(guān)聯(lián)方向時，電感吸收的瞬時功率為：,與電容一樣，電感的瞬時功率也可正可負(fù)，當(dāng) p(t) 0時，表示電感從電路吸收功率，儲存磁場能量；當(dāng) p(t) 0時，表示供出能量，釋放磁場能量。 對上式從到 t 進(jìn)行積分，即得t 時刻電感上的儲能為：,因為,所以,由上式可知：電感在某一時刻 t 的儲能僅取決于此時刻的電流值，而與電壓無關(guān)，只要有電流存在，就有儲能，且儲能0。,3.2 換路定律及初始值的確定,3.2.1 換路定律 通常，我們把電路中開關(guān)的接通、斷開或電路參數(shù)的突然變化等統(tǒng)稱為“換路”。我們研究的是換路后電路中電壓或電流的變化規(guī)律，知道了電壓、電流的初始值，就能掌握換路后電壓、電流是從多

6、大的初始值開始變化的。 該定律是指若電容電壓、電感電流為有限值，則uC 、 iL不能躍變，即換路前后一瞬間的uC 、iL是相等的，可表達(dá)為： uC(0+)=uC(0-) iL(0+)=iL(0-) 必須注意：只有uC 、 iL受換路定律的約束而保持不變，電路中其他電壓、電流都可能發(fā)生躍變。,3.2.2 初 始 值 的確 定,換路后瞬間電容電壓、電感電流的初始值，用 uC(0+)和 iL(0+)來表示，它是利用換路前瞬間 t=0-電路確定uC(0-)和iL(0- )，再由換路定律得到 uC(0+)和 iL(0+)的值。,電路中其他變量如 iR、uR、uL、iC 的初始值不遵循換路定律的規(guī)律，它們

7、的初始值需由t=0+電路來求得。具體求法是： 畫出t=0+電路，在該電路中若uC (0+)= uC (0-)=US，電容用一個電壓源US代替，若uC (0+)= 0則電容用短路線代替。若iL(0+)= iL(0-)=IS，電感一個電流源IS 代替，若iL(0+)= 0則電感作開路處理。下面舉例說明初始值的求法。,例1：在圖3-3(a)電路中，開關(guān)S在t=0時閉合，開關(guān)閉合 前電路已處于穩(wěn)定狀態(tài)。試求初始值 uC(0+)、iL(0+)、i1(0+)、i2(0+)、ic(0+) 和uL(0+)。,圖 3-3 例 1 圖,解(1) 電路在 t=0時發(fā)生換路，欲求各電壓、電流的初始值，應(yīng)先求uC(0+

8、)和iL(0+)。通過換路前穩(wěn)定狀態(tài)下t=0- 電路可求得uC(0-)和iL(0-)。在直流穩(wěn)態(tài)電路中，uC不再變化，duC/dt=0，故iC=0，即電容C相當(dāng)于開路。同理 iL也不再變化，diL/dt=0，故uL=0，即電感L相當(dāng)于短路。所以t=0- 時刻的等效電路如圖3-3(b)）所示，由該圖可知：,（2）由換路定理得,因此，在t=0+ 瞬間，電容元件相當(dāng)于一個4V的電壓源，電感元件相當(dāng)于一個2A的電流源。據(jù)此畫出t=0+ 時刻的等效電路，如圖3-3 (C) 所示。 （3）在t=0+ 電路中，應(yīng)用直流電阻電路的分析 方法，可求出電路中其他電流、電壓的初始 值，即,iC(0+)=2-2-1=

9、-1A uL(0+)=10-32-4=0,例2: 電路如圖3-4 (a)所示，開關(guān)S閉合前電路無儲能，開 關(guān)S在 t=0時閉合，試求 i1 、i2 、i3、 uc、uL的初始值。,圖 3-4 例 2 圖,解（1）由題意知：,（2）由換路定理得,因此，在t=0+ 電路中，電容應(yīng)該用短路線代替，電感以開路代之。得到 t=0+ 電路，如圖3-4 (b)所示。 （3）在t=0+ 電路中，應(yīng)用直流電阻電路的分析方法求得,通過以上例題，可以歸納出求初始值的一般步驟如下： (1) 根據(jù)t=0- 時的等效電路，求出uC(0-) 及iL(0-)。 (2) 作出t=0+ 時的等效電路，并在圖上標(biāo)出各待 求量。 (

10、3) 由t=0+ 等效電路，求出各待求量的初始值。,i3(0+)=0,uL(0+)=20i2(0+)=200.3=6V,當(dāng)外加激勵為零,僅有動態(tài)元件初始儲能所產(chǎn)生的電流和電壓,稱為動態(tài)電路的零輸入響應(yīng).,圖3- 5 RC電路的零輸入,uR,3.3 零 輸 入 響 應(yīng),圖3-5 (a) 所示的電路中，在t0后，電路中無電源作用，電路的響應(yīng)均是由電容的初始儲能而產(chǎn)生，故屬于零輸入響應(yīng)。,3.3.1 RC電路的零輸入響應(yīng),-uR+uc=0,而uR=i R,，代入上式可得,上式是一階常系數(shù)齊次微分方程，其通解形式為 uc=Aept t0式 式中A為待定的積分常數(shù)，可由初始條件確定。p為式對應(yīng)的特征方程

11、的根。將式代入式可得特征方程為 RCP+1=0,式,換路后由圖（b）可知，根據(jù)KVL有,從而解出特征根為,則通解,式,將初始條件uc(0+)=R0IS代入3式，求出積分常數(shù)A為,將 代入式，得到滿足初始值的微分方程的通解為,式,放電電流為,t0,t0,式,令=RC，它具有時間的量綱，即,故稱為時間常數(shù), 這樣、兩式可分別寫為,t0,t0,由于,為負(fù)，故uc和 i 均按指數(shù)規(guī)律衰減，,它們的最大值分別為初始值 uc(0+)=R0IS 及,當(dāng)t時，uc和 i 衰減到零。,圖3-6 RC 電路零輸入響應(yīng) 電壓電流波形圖,畫出uc及i的波形如圖3-所示。,3.3.2 RL電路的零輸入響應(yīng),一階RL電路

12、如圖3-7(a)所示，t=0- 時開關(guān)S閉合，電路已達(dá)穩(wěn)態(tài)，電感L相當(dāng)于短路，流過L的電流為I0。即 iL(0-)=I0，故電感儲存了磁能。在t=0時開關(guān)S打開，所以在t0時，電感L儲存的磁能將通過電阻R放電，在電路中產(chǎn)生電流和電壓，如圖3-7 (b)所示。由于t0后，放電回路中的電流及電壓均是由電感L的初始儲能產(chǎn)生的，所以為零輸入響應(yīng)。,圖3-7 RL電路的零輸入響應(yīng),由圖 (b)，根據(jù)KVL有 uL+uR=0,將,代入上式得,1式,iL=Ae pt t0,上式為一階常系數(shù)齊次微分方程，其通解形式為,2式,將2式代入1式，得特征方程為 LP+R=0,故特征根為,則通解為,若令 ，是RL電路的

13、時間常數(shù)，仍具有時間量綱，上式可寫為,t0,t0,3式,將初始條件i L(0+)= iL (0-)=I 0 代入3式，求出積分常數(shù)A為 iL (0+)=A=I0 這樣得到滿足初始條件的微分方程的通解為,t0,4式,電阻及電感的電壓分別是,t0,t0,分別作出 iL 、uR 和、uL的波形如圖3-8(a)、(b)所示。 由圖3-8可知，iL、uR及uL的初始值（亦是最大值）分別為iL(0+)=I0、 uR(0+)=RI0、uL(0+)= -RI0，它們都是從各自的初始值開始，然后按同一指數(shù)規(guī)律逐漸衰減到零。衰減的快慢取決于時間常數(shù)，這與一階RC零輸入電路情況相同。,圖3-8 RL 電路零輸入響應(yīng)

14、iL、uR和 uL 的波形,從以上求得的RC和RL電路零輸入響應(yīng)進(jìn)一步分析可知，對于任意時間常數(shù)為非零有限值的一階電路，不僅電容電壓、電感電流，而且所有電壓、電流的零輸入響應(yīng)，都是從它的初始值按指數(shù)規(guī)律衰減到零的。且同一電路中，所有的電壓、電流的時間常數(shù)相同。若用f (t)表示零輸入響應(yīng)，用f (0+)表示其初始值，則零輸入響應(yīng)可用以下通式表示為,t0,應(yīng)該注意的是: RC電路與RL電路的時間常數(shù)是不同的，前者=RC，后者=L/R。,例 3：如圖3-9 (a)所示電路，t=0- 時電路已處于穩(wěn)態(tài)，t=0時開關(guān)S打開。求t0時的電壓uc、uR和電流ic。 解 由于在t=0- 時電路已處于穩(wěn)態(tài)，在

15、直流電源作用下，電容相當(dāng)于開路。,圖 3-9 例 3 圖,所以,由換路定律，得,作出t=0+等效電路如圖(b)所示，,電容用4V電壓源代替，由圖(b)可知,換路后從電容兩端看進(jìn)去的等效電阻如圖 (C)所示，為：,時間常數(shù)為,A,V,t0,t0,也可以由,求出 i C = -0.8e -t A t0,V,t0,計算零輸入響應(yīng)，得,3.4 零 狀 態(tài) 響 應(yīng),在激勵作用之前，電路的初始儲能為零僅由激勵引起的響應(yīng)叫零狀態(tài)響應(yīng)。 3.4.1 RC電路的零狀態(tài)響應(yīng) 圖3-10所示一階RC電路，電容先未充電，t=0時開關(guān)閉合，電路與激勵US 接通，試確定k閉合后電路中的響應(yīng)。,圖3-10 (a) R C電

16、路的零狀態(tài)響應(yīng),在k閉合瞬間，電容電壓不會躍變，由換路定律uc(0+)= uc(0-)= 0，t=0+ 時電容相當(dāng)于短路，uR(0+)=US，故 電容開始充電。隨著時間的推移，uC將逐漸升高，,uR則逐漸降低，iR（等于ic） 逐漸減小。當(dāng)t時，電路達(dá)到穩(wěn)態(tài)，這時電容相當(dāng)于開路，充電電流 ic()=0，uR ()=0，uc=()=Us。 由kVL uR+uc=US,而uR=RiR=RiC= ，代入上式可得到以uc為變量的微分方程 t0 初始條件為 uC(0+)=0,1式,1式為一階常系數(shù)非齊次微分方程，其解由兩部分組成：一部分是它相應(yīng)的齊次微分方程的通解uCh，也稱為齊次解；另一部分是該非齊次

17、微分方程的特解uCP，即 uc=uch + ucp,將初始條件uc(0+)=0代入上式，得出積分常數(shù)A=-US，故,由于1式相應(yīng)的齊次微分方程與RC零輸入響應(yīng)式完全相同, 因此其通解應(yīng)為,式中A為積分常數(shù)。特解ucp取決于激勵函數(shù)，當(dāng)激勵為常量時特解也為一常量，可設(shè)ucp=k，代入1式得,1式的解（完全解）為,ucp =k=US,由于穩(wěn)態(tài)值 uc ()=US，故上式可寫成 t0 2式 由2式可知，當(dāng)t=0時，uc(0)=0，當(dāng) t=時， uc() =US（1-e1）=63.2%US，即在零狀態(tài)響應(yīng)中，電容電壓上升到穩(wěn)態(tài)值uc=()=US的63.2%所需的時間是。而當(dāng)t=45時，u c上升到其穩(wěn)

18、態(tài)值US的98.17%99.3%，一般認(rèn)為充電過程即告結(jié)束。電路中其他響應(yīng)分別為,t0,t0,t0,根據(jù)uc、ic、iR及uR的表達(dá)式，畫出它們的波形如3-10 (b)、(c)所示，其變化規(guī)律與前面敘述的物理過程一致。,圖3-10 (b)、(C) R C 電路零狀態(tài)響應(yīng) uc、ic、iR及uR波形圖,3.4.2 RL電路的零狀態(tài)響應(yīng),圖3-11 (a) 一階RL電路的零狀態(tài)響應(yīng),對于圖3-11(a)所示的一階RL電路，US為直流電壓源，t0時，電感L中的電流為零。t=0時開關(guān)s閉合，電路與激勵US接通，在s閉合瞬間，電感電流不會躍變，即有iL(0+)= iL(0-)=0, 選擇iL為首先求解的

19、變量，由KVL有：,uL+uR=US,將 , uR=RiL , 代入上式，可得 初始條件為 iL (0+)=0,1式,1式也是一階常系數(shù)非齊次微分方程，其解同樣由齊次方程的通解iLh 和非齊次方程的特解iLP兩部分組成，即 iL=iLh+iLp 其齊次方程的通解也應(yīng)為,式中時間常數(shù)=L/R，與電路激勵無關(guān)。非齊次方程的特解與激勵的形式有關(guān)，由于激勵為直流電壓源，故特解 iLP為常量，令iLP =K，代入1式得,因此完全解為,代入t=0時的初始條件 iL(0+)=0得,于是 由于iL的穩(wěn)態(tài)值 ，故上式可寫成： t0 電路中的其他響應(yīng)分別為 t0,它們的波形如圖3-11 (b)、(c)所示。,t0

20、,t0,圖3-11 (b) (C) 一階RL電路的零狀態(tài)響應(yīng)波形圖,其物理過程是，S閉合后，iL(即 iR)從初始值零逐漸上升，uL從初始值 uL(0+)=US 逐漸下降，而uR從 uR(0+)=0逐漸上升，當(dāng) t=，電路達(dá)到穩(wěn)態(tài)，這時L相當(dāng)于短路，iL()=USR，uL()= 0，uR()= US。從波形圖上可以直觀地看出各響應(yīng)的變化規(guī)律。,3.4.3 單位階躍響應(yīng) 單位階躍函數(shù)用(t)表示，其定義如下：,(t) =,0 t 0-,1 t 0+,(t)的波形如圖3-12(a)所示，它在（0-，0+）時域內(nèi)發(fā)生了單位階躍。,圖 3-12 單位階躍函數(shù),單位階躍函數(shù)可以用來描述圖3-12 (b)

21、所示的開關(guān)動作，它表示在t=0時把電路接入1V直流源時 u(t)的值，即： u (t)= (t) V 如果在 t=t0時發(fā)生跳變，這相當(dāng)于單位直流源接入電路的時間推遲到 t=t0，其波形如圖3-13所示，它是延遲的單位階躍函數(shù)，可表示為,(t-t0) =,0 tt 0-,1 tt 0+,圖 3-13 延遲的單位階躍函數(shù),當(dāng)激勵為單位階躍函數(shù)(t)時，電路的零狀態(tài)響應(yīng)稱為單位階躍響應(yīng)，簡稱階躍響應(yīng)。對于圖3-10所示電路的單位階躍響應(yīng)，只要令US=(t)就能得到，例如電容電壓為,若圖3-10的激勵uS=K(t)（K為任意常數(shù)），則根據(jù)線性電路的性質(zhì)，電路中的零狀態(tài)響應(yīng)均應(yīng),如單位階躍不是在t=0

22、而是在某一時刻 t0時加上的，則只要把上述表達(dá)式中的t改為t-t0，即延遲時間t0就行了。例如這種情況下的uC為,擴(kuò)大K倍，對于電容有,例4： 求圖3-14 (a)電路的階躍響應(yīng) uC。,解 先將電路ab左端的部分用戴維南定理化簡， 得圖3-14(b)所示電路。由圖 (a)可得,圖 3-14 例 4 圖, 3u1+u1=0 u1=0,則,于是,式中 =R0C=210-6S,將ab端短路，設(shè)短路電流為ISC（從a流向b）,3.5 全 響 應(yīng) 由電路的初始狀態(tài)和外加激勵共同作用而產(chǎn)生的響應(yīng)，叫全響應(yīng)。 如圖3-15所示，設(shè) uC =uC(0-)=U0，S在t=0時閉合，顯然電路中的響應(yīng)屬于全響應(yīng)。

23、,圖3-15 RC電路的全響應(yīng),對t0的電路，以uC為求解變量可列出描述電路的微分方程為,1式與描述零狀態(tài)電路的微分方程式比較，僅只有初始條件不同，因此，其解答必具有類似的形式，即,代入初始條件 uC (0+)=U0 得 K= U0 - US,1式,從而得到,通過對1式分析可知，當(dāng)US=0時，即為RC零輸入電路的微分方程。而當(dāng)U0=0時，即為RC零狀態(tài)電路的微分方程。這一結(jié)果表明，零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)都是全響應(yīng)的一種特殊情況。 上式的全響應(yīng)公式可以有以下兩種分解方式。 1、全響應(yīng)分解為暫態(tài)響應(yīng)和穩(wěn)態(tài)響應(yīng)之和。如2式中第一項為齊次微分方程的通解，是按指數(shù)規(guī)律衰減的，稱暫態(tài)響應(yīng)或稱自由分量（固有

24、分量）。2式中第二項US = uC()受輸入的制約，它是非齊次方程的特解，其解的形式一般與輸入信號形式相同，稱穩(wěn)態(tài)響應(yīng)或強(qiáng)制分量。這樣有 全響應(yīng)=暫態(tài)響應(yīng)+穩(wěn)態(tài)響應(yīng),2式,2、全響應(yīng)分解為零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)之和。將2式改寫后可得：,3式等號右邊第一項為零輸入響應(yīng)，第二項為零狀態(tài)響應(yīng)。 因為電路的激勵有兩種，一是外加的輸入信號，一是儲能元件的初始儲能，根據(jù)線性電路的疊加性，電路的響應(yīng)是兩種激勵各自所產(chǎn)生響應(yīng)的疊加，即 全響應(yīng)=零輸入響應(yīng)+零狀態(tài)響應(yīng),3式,3.6 求解一階電路三要素法,如用 f (t) 表示電路的響應(yīng)，f (0+)表示該電壓或電流的初始值，f () 表示響應(yīng)的穩(wěn)定值， 表示電

25、路的時間常數(shù)，則電路的響應(yīng)可表示為：,上式稱為一階電路在直流電源作用下求解電壓、電流響應(yīng)的三要素公式。 式中f (0+)、 f () 和 稱為三要素，把按三要素公式求解響應(yīng)的方法稱為三要素法。 由于零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)是全響應(yīng)的特殊情況，因此，三要素公式適用于求一階電路的任一種響應(yīng)，具有普遍適用性。,用三要素法求解直流電源作用下一階電路的響應(yīng)，其求解步驟如下：,一、 確定初始值 f (0+) 初始值f(0+)是指任一響應(yīng)在換路后瞬間t=0+ 時的數(shù)值，與本章前面所講的初始值的確定方法是一樣的。 先作t=0- 電路。確定換路前電路的狀態(tài) uC(0-)或iL(0-), 這個狀態(tài)即為t0階段的穩(wěn)定狀態(tài)，因此，此時電路中電容C視為開路，電感L用短路線代替。 作t=0+ 電路。這是利用剛換路后一瞬間的電路確定各變量的初始值。若uC(0+)=uC(0-)=U0，iL(0+)=iL(0-)=I0，在此電路中C用電壓源U0代替，,圖3-16 電容、電感元件在t=0時的電路模型,L用電流源I0代替。若uC(0+)=uC(0-)=0 或 iL(0+)=iL(0-)=0