導(dǎo)數(shù)命題特征及復(fù)習(xí)建議

1、導(dǎo)數(shù)命題特征及復(fù)習(xí)建議,2008年12月,洛陽市高三一練研討會,函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，函數(shù)的觀點和方法貫穿于高中代數(shù)的全過程，同時也應(yīng)用于幾何問題及其它問題。導(dǎo)數(shù)是分析和解決函數(shù)問題的便利的、必不可少的工具,縱觀近幾年的高考試題，函數(shù)與導(dǎo)數(shù)知識占有極其重要的地位，是高考考查數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法和綜合能力的主陣地。同時應(yīng)該看到，導(dǎo)數(shù)是試卷的得分點之一（綜合題除外），求導(dǎo)-解方程得極值點-找單調(diào)區(qū)間是一套完整的程序，學(xué)生容易把握，因此盡可能地在導(dǎo)數(shù)部分避免不必要的失分，這也是進行本講座的目的。,教學(xué)大綱對文理的內(nèi)容是相同的，都是導(dǎo)數(shù)的背景，定義，幾何意義，導(dǎo)函數(shù)，運算，應(yīng)用，價值。但要求是不同的

2、，求導(dǎo)的函數(shù)類型的減少大大地降低了難度。因為2009年考試大綱尚未出臺，附表中給出的是2008年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試大綱中的數(shù)學(xué)科部分，考試大綱和教學(xué)大綱的要求是一致的。在這里將考綱與新實施的課程標準作一對比，以利于下一輪的教學(xué)工作。,一、兩綱解讀,2008年考試大綱強調(diào)了對數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的考查。仔細研讀考試大綱可以發(fā)現(xiàn)：不僅在“考試性質(zhì)”、“考試要求”（即對數(shù)學(xué)高考提出的總體的命題要求）中強調(diào)了對數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識的考查，并且在對具體的“考試內(nèi)容”的考查要求中突出了對數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識的考查?？荚嚧缶V是高考命題的依據(jù)，因而也是備考的準繩，特別是在目前這一階段，一輪已經(jīng)過半，時間非常寶貴，考綱的指導(dǎo)意義

3、更加明顯。,二、前“試”不忘,1、考查方式 導(dǎo)數(shù)部分的考查形式上以解答題為主，夾有選擇題、填空題，難度上分層次考查，考試熱點有：函數(shù)的單調(diào)性與極值、最值，復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，導(dǎo)數(shù)定義，求導(dǎo)數(shù)法則（特別是多項式求導(dǎo)、乘積函數(shù)求導(dǎo)、分式函數(shù)求導(dǎo)），導(dǎo)數(shù)的幾何意義（涉及曲線的切線問題）。附表三、四是2007、2008兩年全國及各省、市數(shù)學(xué)高考試題中有關(guān)導(dǎo)數(shù)試題的主要信息。,2、命題特點 這兩年對導(dǎo)數(shù)的考查有效地貫徹了“在考查基礎(chǔ)知識的同時，注重對數(shù)學(xué)思想方法的考查，注重對數(shù)學(xué)能力的考查”的命題指導(dǎo)思想。主要有以下幾個特點：,（1）突出重點內(nèi)容,高考試題突出了重點內(nèi)容重點考察的命題方向，何謂重點知識？凡是

4、考試大綱上用“掌握”、“理解”，“熟記”，“會求”，“能用”等詞語要求的知識點都應(yīng)成為重點知識。比如“掌握函數(shù)在一點處導(dǎo)數(shù)的幾何意義”，“掌握兩個函數(shù)和、差、積、商的求導(dǎo)法則”，“熟記基本導(dǎo)數(shù)公式（c,xm,sinx,cosx,ex,ax,lnx,logax 的導(dǎo)數(shù)）”，“理解可導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的關(guān)系”等都是重點知識。由下表的數(shù)字可知，小題集中考查切線與求值，大題幾乎都考查了單調(diào)性和極值（表中數(shù)據(jù)不包括實施新課程標準的省區(qū)） 。,07、08兩年各卷導(dǎo)數(shù)客觀題涵蓋的知識點,07、08兩年各卷導(dǎo)數(shù)解答題涵蓋的知識點及交匯內(nèi)容,【例1】（07湖北卷文12） 已知函數(shù) 的圖象在點 處的切線方程是

5、 ，則 ,【評析】本題是一個非常典型的題目。 （1）考查導(dǎo)數(shù)幾何意義，這體現(xiàn)了重點知識重點考查的命題指導(dǎo)思想，“掌握函數(shù)在一點處的導(dǎo)數(shù)意義及導(dǎo)數(shù)的幾何意義”是考綱的明確要求，這說明導(dǎo)數(shù)幾何意義是特別重要的概念； （2）考查了切點既在曲線上，又在切線上，這樣就提供了點的坐標。,【例2】（08全國卷理19）已知函數(shù) ， （）討論函數(shù) 的單調(diào)區(qū)間； （）設(shè)函數(shù) 在區(qū)間 內(nèi)是減函數(shù)，求a的取值范圍,【評析】本題是函數(shù)單調(diào)性問題，是熱點題型，在每一年的高考中出現(xiàn)的頻率很高，又是相當穩(wěn)定的題型。之所以如此，是因為它所涉及到的數(shù)學(xué)方法等價轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合、分類討論，特別重要；所涉及到的知識點函數(shù)單調(diào)性、解不等

6、式、求導(dǎo)是主干知識。,（2）文理差異明顯,教學(xué)大綱和考試大綱對文理科的要求是不同的，因此，試卷中的差異較大。文科試題僅涉及多項式函數(shù)，07年只有三次函數(shù)和二次函數(shù)，08年拓展為從一次函數(shù)到五次函數(shù)。理科所涉及的函數(shù)類型廣泛，包括多項式函數(shù)，分式函數(shù)，指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)（均是以e為底），三角函數(shù)等（見下表）。文理試題都常與不等式結(jié)合，但文科側(cè)重于解不等式，理科側(cè)重于證明不等式。,07、08兩年全國及各省（市）卷導(dǎo)數(shù)試題的載體函數(shù),【例3】（07全國卷文20） 設(shè) 在 及 時取得極值 （）求a、b的值； （）若對于任意的 ，都有 成立，求c的取值范圍 【例4】（07全國卷理20） 設(shè)函數(shù) （）證明

7、： 的導(dǎo)數(shù) ； （）若對所有 都有 ，求 的取值范圍,【評析】例3、例4考查導(dǎo)數(shù)的運算以及導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性、極值的關(guān)系，考查考生正確求解一元二次不等式的能力以及解決綜合問題的能力，都是借助導(dǎo)數(shù)解決恒成立問題，但是不管是函數(shù)的類型，還是試題的深度，二者都有明顯的區(qū)別。文科題設(shè)問簡單些，不必對字母參數(shù)進行分類討論。而理科題通過一個對含參數(shù)不等式恒成立問題，考查了利用導(dǎo)數(shù)證明不等式這種思想的關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù)，然后從函數(shù)的導(dǎo)數(shù)出發(fā)，利用函數(shù)的單調(diào)性證明，完成題目的證明。,（3）瞄準交會知識,“在知識和方法的交會處設(shè)計高考題”已成為數(shù)學(xué)高考的主要趨勢。只有這樣，才能達到一定的知識覆蓋面，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)素

8、質(zhì)。,【例5】（08全國卷理22） 設(shè)函數(shù) ,數(shù)列 滿足 . （）證明：函數(shù) 在區(qū)間 是增函數(shù)； （）證明： ； （）設(shè) ，整數(shù) . 證明 ：,（4）強化參數(shù)討論,導(dǎo)數(shù)問題的處理是常規(guī)通法，要增加試題的難度，除了與其它知識交融外，還可以設(shè)置參數(shù)。參數(shù)的引入少不了分類討論，而分類討論又是中學(xué)數(shù)學(xué)所要掌握的重要思想方法之一。文科試卷中含參的大題為07年7個（占64），08年11個（占79），理科試卷中含參的大題為07年12個（占80），08年14個（占87）（見前表）。,【例6】（08浙江卷文21） 已知a是實數(shù)，函數(shù)f(x)=x2(x-a). （）若 ,求a的值及曲線在點 處的切線方程； （）求

9、 在區(qū)間0，2上的最大值。,三、真題點擊,創(chuàng)新是高考命題追求的目標之一，雖然近年來的導(dǎo)數(shù)試題出現(xiàn)了穩(wěn)定的趨勢，以常規(guī)試題為主，沒有偏題和怪題，但也不乏創(chuàng)新的意識，有立足于考查基礎(chǔ)知識掌握和知識運用巧妙結(jié)合的新穎試題，也有立足于考查數(shù)學(xué)能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng)的探究性、靈活性試題。,（1）注重對導(dǎo)數(shù)的定義及幾何意義的 考查,數(shù)學(xué)定義是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識的重要組成部分，是構(gòu)建其它數(shù)學(xué)知識的源泉，故有“定義為本”之稱。因此，考查重要的數(shù)學(xué)定義是高考的主流之一，在導(dǎo)數(shù)部分，主要考查了函數(shù)連續(xù)、導(dǎo)數(shù)、導(dǎo)數(shù)幾何意義、函數(shù)極值等重要數(shù)學(xué)定義。 08年全國各套高考數(shù)學(xué)試卷，注重數(shù)學(xué)定義的考查是一個顯著的特點，如北京卷理12、

10、文17題重點考查了導(dǎo)數(shù)定義，四川卷文20題、湖北卷文17題考查了函數(shù)極值的定義。這充分展現(xiàn)了定義為本的重要意義。,【例7】（08北京卷理12） 如圖，函數(shù) 的圖象是折線段 ，其 中 的坐標分別為 ，則 ； （用數(shù)字作答）,（2）注重對單調(diào)性和極（最）值的 考查,單調(diào)性和極（最）值的是導(dǎo)數(shù)的主旋律，是解決其它問題的基礎(chǔ)，試卷中或單調(diào)性確定參數(shù)范圍，或根據(jù)參數(shù)討論單調(diào)性，所以對單調(diào)性和極（最）值的考查經(jīng)久不衰，屢考屢新。,【例8】（08湖北卷理7）若 上是減函數(shù)，則 的取值范圍是（ ） a. b. c. d.,【例9】（07天津卷文21）設(shè)函數(shù) （ ），其中 （）當 時，求曲線 在點 處的切線方程

11、； （）當 時，求函數(shù) 的極大值以及極小值； （）當 時，證明存在 ，使得不等式 對任意的 恒成立,（3）注重對通性通法的考查,注重通性通法的考查一直是近幾年高考的主要導(dǎo)向，這已在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中產(chǎn)生了良好的影響。因為考查通性通法有利于考查重點的主干知識和重要的數(shù)學(xué)思想方法，有利于強化考生對基礎(chǔ)知識與基本方法的復(fù)習(xí)，所以提倡通性通法的考查是特別重要的高考趨勢，正如考試大綱所說：“注重通性通法，淡化特殊技巧”，兩年的各套試卷中都體現(xiàn)了這一指導(dǎo)思想，這給我們本年度的復(fù)習(xí)教學(xué)提供了參照。 08陜西卷理科第21題集中考查了求導(dǎo)法則、極值的意義等重要知識與分類討論等重要思想。08年重慶卷理科第20題涉及到

12、了導(dǎo)數(shù)的幾何意義、二次函數(shù)、二次不等式等知識與待定系數(shù)法、消元配方等方法。,【例10】（08四川卷理22）已知 是函數(shù) 的一個極值點. （）求 ； （）求函數(shù) 的單調(diào)區(qū)間； （）若直線 與函數(shù) 的圖象有3個交點，求 的取值范圍。,（4）注重對綜合能力的考查,高考要達到一定的知識覆蓋面與難度系數(shù)，要選拔出不同層次的學(xué)生，必須體現(xiàn)試題的綜合性，以知識點與方法的綜合為出發(fā)點，考查思維的層次性，真正選拔出有學(xué)習(xí)潛力的學(xué)生。與導(dǎo)數(shù)綜合的知識很多，如不等式、數(shù)列、三角函數(shù)及二項式等，尤其是07年的試題中，理科中導(dǎo)數(shù)和期望、文科中導(dǎo)數(shù)和線性規(guī)劃結(jié)合到一起。由于導(dǎo)數(shù)與不等式的綜合題比比皆是，下面就其它方面舉例

13、說明。,【例11】（08福建卷理19）已知函數(shù) . （）設(shè)an是正數(shù)組成的數(shù)列，前n項和為sn，其中a1=3.若點 (nn*)在函數(shù)y=f(x)的圖象上，求證：點（n,sn）也在y=f(x)的圖象上； （）求函數(shù)f(x)在區(qū)間（a-1,a）內(nèi)的極值.,導(dǎo)數(shù)與數(shù)列的綜合,導(dǎo)數(shù)與三角的綜合,【例12】（08全國卷 理22）設(shè)函數(shù) （）求 的單調(diào)區(qū)間； （）如果對任何 ，都有 ，求 的取值范圍,【例13】（08四川卷理22） 設(shè)函數(shù) . ()當x=6時,求 的展開式中二項式系數(shù)最大的項; ()對任意的實數(shù)x,證明 ()是否存在 ,使得an 恒成立?若存在,試證明你的結(jié)論并求出a的值;若不存在,請說明

14、理由.,導(dǎo)數(shù)與二項式的綜合,【評析】本題考查函數(shù)、不等式、導(dǎo)數(shù)、二項式定理、組合數(shù)計算公式等內(nèi)容和數(shù)學(xué)思想方法。考查綜合推理論證與分析解決問題的能力及創(chuàng)新意識，學(xué)生找不到知識的交匯點，思維的深度不夠。對于第（2）問，學(xué)生不知道先使用不等式進行放縮，對于第（3）問，在平時的訓(xùn)練中，學(xué)生對含有二項式系數(shù)的式子不會通過合理分項重組的方法改造通項，所以即使明確思維的方向，即將和式轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的可以裂項求和的數(shù)列，但不知道如何處理含有二項式系數(shù)的式子。,【例14】（08湖南卷理21） 已知函數(shù)f(x)=ln2(1+x) (i) 求函數(shù) 的單調(diào)區(qū)間; （）若不等式 對任意的 都成立（其中e是自然對數(shù)的底數(shù)）

15、.求 的最大值.,解題手段的綜合,（）函數(shù) 的定義域是 ， 設(shè) 則 令 則 當 時， 在（-1，0）上為增函數(shù)， 當x0時， 在 上為減函數(shù). 所以h(x)在x=0處取得極大值，而h(0)=0,所以 ， 函數(shù)g(x)在 上為減函數(shù). 于是當 時， 當x0時， 所以，當 時， 在（-1，0）上為增函數(shù). 當x0時， 在 上為減函數(shù). 故函數(shù) 的單調(diào)遞增區(qū)間為（-1，0）， 單調(diào)遞減區(qū)間為 .,（）不等式 等價于 由 知 ， 設(shè) 則 由（）知， 即 所以 于是g(x)在 上為減函數(shù). 故函數(shù)g（x）在 上的最小值為 所以a的最大值為,【評析】函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合題，是高考的熱點。通常我們只是利用導(dǎo)數(shù)的

16、正與負來判斷原函數(shù)的增減，本題中導(dǎo)函數(shù)的正負是不易判斷的，需要對導(dǎo)函數(shù)再次求導(dǎo)，這樣多次求導(dǎo)，化難為易，具有一定的示范性。又如07年湖北卷理科21題也利用了多次求導(dǎo)。,四、復(fù)習(xí)建議,由于導(dǎo)數(shù)既是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，又是對進入高校繼續(xù)學(xué)習(xí)有用的知識，因此在高考中占據(jù)重要地位，常以一個大題、一個小題的形式出現(xiàn)，占的分值較重，08年的全國一卷出現(xiàn)了兩小（2題、7題）兩大（19題、22題）四個題目。因此，需要扎扎實實地復(fù)習(xí)，認認真真地備考。,切實加強函數(shù)在一點處的導(dǎo)數(shù)的定義和導(dǎo)數(shù)的幾何意義的復(fù)習(xí)。復(fù)習(xí)此內(nèi)容時要回歸課本，弄清楚函數(shù)在一點處的導(dǎo)數(shù)的定義細節(jié)和導(dǎo)數(shù)的幾何意義的細節(jié)，特別是定義的產(chǎn)生背景，定

17、義的數(shù)學(xué)表達式，導(dǎo)數(shù)幾何意義生成過程等，扎扎實實地復(fù)習(xí)好這些細節(jié)。,（1）緊扣“綱” “本” 加固基礎(chǔ),重點復(fù)習(xí)好兩個函數(shù)和、差、積、商的求導(dǎo)法則與復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，并用這些法則熟練求一些函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，特別是與c,xm,sinx,cosx,ex,ax,lnx, ,logax 有關(guān)的函數(shù)求導(dǎo)問題（注意：文科只要求c,xm的導(dǎo)數(shù)，理科的重點是分式函數(shù)及ex, lnx的導(dǎo)數(shù)）。,充分掌握可導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，可導(dǎo)函數(shù)的極值與其導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，利用導(dǎo)數(shù)對函數(shù)進行研究。,（2）構(gòu)建網(wǎng)絡(luò) 加深認知,完整的知識結(jié)構(gòu)是高考取勝的必要條件，導(dǎo)數(shù)內(nèi)容知識雖然不是很多，但涉及面廣,引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)、歸納、深化，發(fā)現(xiàn)

18、知識的內(nèi)在聯(lián)系，形成知識網(wǎng)絡(luò)，有利于記憶、理解和應(yīng)用，以點帶面，以面蓋點，由知識點對應(yīng)習(xí)題，以習(xí)題聯(lián)想知識點，能夠舉一反三，融會貫通。,（3）注重方法 加強能力,數(shù)學(xué)思想和方法是數(shù)學(xué)知識在更高層次上的抽象和概括，它們蘊含在數(shù)學(xué)知識發(fā)生、發(fā)展和應(yīng)用的過程中。數(shù)學(xué)思想方法在學(xué)生的能力培養(yǎng)和素質(zhì)提高方面具有重要作用，因此數(shù)學(xué)思想方法的考查是數(shù)學(xué)能力考查的必然，數(shù)學(xué)思想方法認識的提高是綜合能力提高的前提。數(shù)學(xué)思想方法一直是高考數(shù)學(xué)試卷的主題。,（4）精講實練 加實效果,在高三復(fù)習(xí)中，講與練的關(guān)系，應(yīng)該是以練為主，講練結(jié)合。在講練中處理好以下幾個問題：,講什么 教師需要對考綱與高考題型考查的知識點進行精

19、心講解，需要對篩選出來的例題進行講解，歷屆的高考試題對新高考的命題有借鑒作用，需要認真地講解。對習(xí)題要講解題方法，講審題技能，講解后總結(jié)，講解題規(guī)范。尤其是教學(xué)生學(xué)會審題，學(xué)會思考。,導(dǎo)數(shù)中易混易忽視的知識要點:, 忽視“過某點的切線”與 “在某點處的切線”的區(qū)別; 誤解“導(dǎo)數(shù)為零”與“有極值”的關(guān)系； 誤解“導(dǎo)數(shù)值的符號”與 “函數(shù)單調(diào)性”的關(guān)系； 忽視函數(shù)的定義域； 不能理清原函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)圖象的關(guān)系。,【例15】（08全國卷理2）汽車經(jīng)過啟動、加速行駛、勻速行駛、減速行駛之后停車，若把這一過程中汽車的行駛路程看作時間的函數(shù)，其圖象可能是（ ） 【例16】（08福建卷理12）已知函數(shù)y=f(x),y=g(x)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如下圖，那么y=f(x),y=g(x)的圖象可能是 （ ）,【評析】此兩例均是圖象問題，部分學(xué)生根本不知道如何考慮。例15應(yīng)抓住行駛路程隨時間的增加而增加以及啟動、加速行駛、勻速行駛、減速行駛來判斷；學(xué)生對例16給出的條件不會使用，找不出導(dǎo)函數(shù)圖象與原函數(shù)圖象的關(guān)系，這就要求老師在平時就要培養(yǎng)學(xué)生的審題意識，善于從條件中發(fā)現(xiàn)信息，挖掘信息。,在上述例14的湖南試題中，既有多次求導(dǎo)，又告訴考生一個大題中的幾個問題是相互關(guān)聯(lián)的，前后兩問看似沒有什么關(guān)聯(lián)，實際上后一問的解答要用到前一問的結(jié)論，再如08安徽卷理19亦是