人教A高中數(shù)學(xué)選修21221橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程課件共31

1、2.2.1 橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程,2020/11/3,制作:吉林市吉化一中 韋宇哲,2,在我們實(shí)際生活中，同學(xué)們見過橢圓嗎？能舉出一些實(shí)例嗎？,想一想,2003年10月15日是全中國人感到驕傲和自豪的日子： 這一天在中國發(fā)生了什么震驚世人的事件？中國人終于實(shí)現(xiàn)了什么夢想?,生活中的橢圓,生活中的橢圓,如何精確地設(shè)計(jì)、制作、建造出現(xiàn)實(shí)生活中這些橢圓形的物件呢？,圓是點(diǎn)的軌跡.,是平面內(nèi)到定點(diǎn)距離等于定長的動點(diǎn)的軌跡.,橢圓是滿足什么幾何條件的點(diǎn)的軌跡呢？,數(shù) 學(xué) 實(shí) 驗(yàn),1取一條細(xì)繩，無彈性。 2把它的兩端固定在板上的兩點(diǎn)F1、F2 3用粉筆尖（M）把細(xì)繩拉緊，在板上慢慢移動看看畫出的圖形,F1,F

2、2,M,請同學(xué)們觀察，并思考下面兩個(gè)問題： (1)動點(diǎn)（移動的粉筆尖）運(yùn)動出的軌跡是什么？ (2)動點(diǎn)滿足怎樣的幾何條件？,反 思,（1）在畫出一個(gè)橢圓的過程中，圓規(guī)兩腳末端 的位置是固定的還是運(yùn)動的？ （2）在畫橢圓的過程中，繩子的長度變了沒有？說明了什么？ （3）在畫橢圓的過程中，繩子長度與兩定點(diǎn)距離大小有怎樣的關(guān)系？,結(jié)合實(shí)驗(yàn)以及“圓的定義”,思考討論一下應(yīng)該 如何定義橢圓？它應(yīng)該包含幾個(gè)要素？,（1）在平面內(nèi),（2）到兩定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離等于定長2a,（3）定長2a |F1F2|,問：能否由此得到：到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和等于定值的點(diǎn)的軌跡就一定是橢圓呢？,說明：在平面上到兩個(gè)定點(diǎn)F1，

3、 F2的距 離之和等于定值2a的點(diǎn)的軌跡為： 當(dāng)2aF1F2=2c ，軌跡為：橢圓 當(dāng)2a F1F2=2c，軌跡為：線段 當(dāng)2a F1F2=2c，軌跡為：不存在,平面內(nèi)到兩定點(diǎn)F1、F2的距離之和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓 這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)， 兩焦點(diǎn)的距離叫做焦距,1.橢圓的定義,O,X,Y,F1,F2,M,2.橢圓方程的建立,步驟一：建立直角坐標(biāo)系, 設(shè)動點(diǎn)坐標(biāo),步驟二：找關(guān)系式,步驟三：列方程,步驟四：化簡方程,步驟五：驗(yàn)證,求曲線方程的步驟:,3.方程的推導(dǎo),以兩定點(diǎn)F1、F2的所在直線為x軸，線段F1F2的垂直平分線為y軸，建立直角坐標(biāo)系(如圖)。,設(shè)|F1

4、F2|=2c(c0)，M(x，y)為橢圓上任意一點(diǎn)，則有F1(-c，0)，F(xiàn)2(c，0)，且M到F1，F(xiàn)2的距離和為2a.,由橢圓的定義, 可知：|MF1|+|MF2|=2a,由兩點(diǎn)間的距離公式，可知：,即：,兩邊平方得：a4-2a2cx+c2x2=a2x2-2a2cx+a2c2+a2y2,即：(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2),因2a2c，即ac，故a2-c20， 令a2-c2=b2，其中b0，代入上式 , 可得：,兩邊同時(shí)除以a2(a2-c 2) 得：,這就是所求橢圓的軌跡方程，它表示的橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，焦點(diǎn)是F1(-c，0)、F2(c，0)這里c2=a2-b2,4橢圓標(biāo)準(zhǔn)

5、方程分析,我們把方程 叫做橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，它表示的橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，焦點(diǎn)是F1(-c，0)、 F2(c，0)這里c2=a2b2,如果橢圓的焦點(diǎn)在y軸上，焦點(diǎn)是F1(o,-c)、F2(0,c).這里c2=a2-b2方程是怎樣呢？,由兩點(diǎn)間的距離公式，可知：,設(shè)|F1F2|=2c(c0)，M(x，y)為橢圓上任意一點(diǎn)，則有F1(0,-c)，F(xiàn)2(0,c)，,又由橢圓 的定義可得： |MF1|+ |MF2|=2a,只須將(1)方程的x、y互換即可得到,這個(gè)也是橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,x,Y,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的再認(rèn)識：,（1）橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的形式：左邊是兩個(gè)分式的平方和，右邊是1,（3）橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中三個(gè)參數(shù)

6、a、b、c滿足a2=b2+c2。,（4）由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可以求出三個(gè)參數(shù)a、b、c的值。,（2）橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中，x2與y2的分母哪一個(gè)大，則焦點(diǎn)在哪 一個(gè)軸上。,例1 已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)分別是(-2,0), (2,0), 并且經(jīng)過點(diǎn) .求它的標(biāo)準(zhǔn)方程.,解:因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在x軸上,所以設(shè) 它的標(biāo)準(zhǔn)方程為,由橢圓的定義知,待定系數(shù)法,又因?yàn)?,所以,因此, 所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為,所以,能用其他方法求它的方程嗎？,另解:因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在x軸上,所以設(shè)它 的標(biāo)準(zhǔn)方程為:,聯(lián)立,因此, 所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為:,又焦點(diǎn)的坐標(biāo)為,【變式練習(xí)】,已知橢圓經(jīng)過兩點(diǎn) 和 ，求橢圓的 標(biāo)準(zhǔn)方程.,解：設(shè)橢圓

7、的標(biāo)準(zhǔn)方程為,則有,解得,所以，所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 .,注意這種設(shè)法適用的情況,x,y,O,D,M,P,例2 如圖，在圓 上任取一點(diǎn)P，過點(diǎn)P 作x軸的垂線段PD，D為垂足.當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動 時(shí)，線段PD的中點(diǎn)M的軌跡是什么？為什么？,解：設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x,y）,點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x0,y0）,則,因?yàn)辄c(diǎn)P（x0,y0）在圓,相關(guān)點(diǎn)法,把點(diǎn)0=x，y0=2y代入方程，得,即,所以點(diǎn)M的軌跡是一個(gè)橢圓.,從例2你能發(fā)現(xiàn)橢圓與圓之間的關(guān)系嗎？,【變式練習(xí)】,已知圓 ，從這個(gè)圓上任意一點(diǎn)P向x軸作 垂線段 ，點(diǎn)M在 上,并且 ，則點(diǎn)M的 軌跡方程為 .,例3 如圖，設(shè)點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別是(-5，0)和(5，0), 直線AM,BM相交于點(diǎn)M，且它們的斜率之積是 ,求 點(diǎn)M的軌跡方程.,y,A,x,M,B,O,解：設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)（x,y）,因?yàn)辄c(diǎn)A的坐標(biāo)是（-5,0）,所以,直線AM的斜率為,同理，直線BM的斜率,由已知有,化簡，得點(diǎn)M的軌跡方程為,圖 形,方 程,焦 點(diǎn),F(c，0),F(0，c),a,b,c之間的關(guān)系,c2=a2-b2,MF1