2018共創(chuàng)考研數(shù)學(xué)一模擬1試卷與解答_h

1、2018 數(shù)學(xué)考研模擬試卷啟用前合肥工業(yè)大學(xué)（共創(chuàng)）考研輔導(dǎo)中心Tel： 0551-629050182018 年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)（一）（科目代碼:304）（模擬試卷 1）考生注意事項(xiàng)答題前，考生須在答題紙指定位置上填寫考生姓名、報(bào)考單位和考生編號(hào)。 答案必須書寫在答題紙指定的位置上，寫在其他地方無效。 填（書）寫必須使用藍(lán)（黑）色字跡鋼筆、圓珠筆或簽字筆。考試結(jié)束，將答題紙和試題一并裝入試題袋中交回。 1.2.3.4.第 1 頁(yè) 共 9 頁(yè) 需要論文查重、簡(jiǎn)歷模板請(qǐng)聯(lián)系群主3729910612018 數(shù)學(xué)考研模擬試卷合肥工業(yè)大學(xué)（共創(chuàng)）考研輔導(dǎo)中心Tel： 0551-629050

2、182018 年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)一（模擬 1）考生注意:本試卷共二十三題,滿分 150 分,考試時(shí)間為 3 小時(shí).一、選擇題：（1）（8）小題,每小題 4 分,共 32 分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一個(gè)選項(xiàng)符合要求,將所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號(hào)里.(1)下列命題中不正確的是()(A)若 f (x) 在 x = x0 處左、右導(dǎo)數(shù)均存在但不相等，則 f (x) 在 x = x0 連續(xù) (B)若lim f (n) = A, lim f (x) = 0 ，則 lim f (x) = Anx+x+(C) lim f (x) 不存在，且lim g(x) 不存在，則lim f (x)

3、g(x) 不存在 xx0xx0xx0(D) lim f (x) + g(x) 不存在，但lim g(x) 存在，則lim f (x) 不存在 xx0xx0xx0(2)設(shè) f (x) g(x) 在區(qū)間0, 2 上二階可導(dǎo)，且 f (0) = g(0) = 0, f (2) = g(2) =1，且 f (x) 0 ， 22g(x) 0 ，記 S = f (x) d x, S=g(x) d x ，則()1200(A) S1 1 S2(B) S2 1 S1(C) S1 S2 1(D)1 S2 0, y 0(14)設(shè)隨量( X ,Y ) 的聯(lián)合概率密度函數(shù)為 f (x, y) = ，則方差0,其他D(

4、XY ) = .第 3 頁(yè) 共 9 頁(yè) 需要論文查重、簡(jiǎn)歷模板請(qǐng)聯(lián)系群主3729910612018 數(shù)學(xué)考研模擬試卷合肥工業(yè)大學(xué)（共創(chuàng)）考研輔導(dǎo)中心Tel：、解答題：1523 小題，共 94 分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.(15)(本小題滿分 10 分)已知函數(shù)j(x) 是以T (T 0) 為周期的連續(xù)函數(shù)，且j(0) = 1，2 xj(t) d t ，求 f (x) =x - tf(T ) 的值。0(16)(本小題滿分 10 分)設(shè) z = z(x, y) 是由方程 x2 + y2 - z = j(x + y + z) 所確定的函數(shù)，其中j 具有二

5、1 z - z u階導(dǎo)數(shù)，且j 1 ()求 dz ；()記u(x, y) =x - y x，求xy(17)(本小題滿分 10 分)證明： x 0 ，時(shí)ln(e2x + x) 3x - 5 x2 。2(18)(本小題滿分 10 分)設(shè)兩曲線積分 I =(3xy2 + x3)dx + P(x, y)dy 及1LI2 = P(x, y)dx + (3xy +2 x )d3 y 在平面內(nèi)與積分路徑無關(guān)，且 P(0,1) = 1(I)求 P(x, y) 的表達(dá)式；(II)LI =P(x, y)dx + (3xy2 + x3)dy 的值，此處 L 為曲線 y = x2 +1上，從(0,1) 到(1,2)

6、的路徑。求曲線積分 L(19)(本小題滿分 10 分)求 f (x) = x arctan x -ln 2 + x2 的麥克勞林級(jí)數(shù),并求級(jí)數(shù) n-1 n2n+1 - 2n -1n(2n -1)2n+1(-1)的和.n=1 -1 1 1 1 1 (20)(本小題滿分 11 分) (I)設(shè)a = 0,a = 1 ,a = 2 , b = 2 , b = 0 ，問 a,b 為何值時(shí) 12312 1 2 a 1 b 1 -1 111 12 , B = 20 ，問a, b 為何值時(shí)矩陣方程b , b 不能同時(shí)由a ,a ,a 線性表示？(II)設(shè) A =012123a b 121Ax = B 有解，有

7、解時(shí)求出其全部解.(21)(本小題滿分 11 分)設(shè) A 是 n 階矩陣， A 的第i 行， j 列元素 aij = i j(1)求 R( A) ;(2)求 A 的特征值，特征向量，并問 A 能否相似于對(duì)角陣，若能，求出相似對(duì)角陣，若不能， 則說明理由.第 4 頁(yè) 共 9 頁(yè) 需要論文查重、簡(jiǎn)歷模板請(qǐng)聯(lián)系群主3729910612018 數(shù)學(xué)考研模擬試卷合肥工業(yè)大學(xué)（共創(chuàng)）考研輔導(dǎo)中心Tel： X N(0,1), PY = -1 = PY = 1 =1 ，且 X 與Y 相互獨(dú)立，令(22)(本小題滿分 11 分)設(shè)隨2Z = XY ,求證(I) Z N(0,1) ；

8、(II) X與Z 不相關(guān)也不獨(dú)立.(23)(本小題滿分 11 分)設(shè) X1, Xn 為總體 X 的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，總體 X 的密度函數(shù)為 x22e-q 2 , x 0x 0f (x) = qp0,試求：(I)參數(shù)q 的最大似然估計(jì)q ；(II)考察q2 是否為q 2 的無偏估計(jì)。數(shù)學(xué)一（模擬 1）參考答案一、選擇題：（1）（8）小題,每小題 4 分,共 32 分.0, x 0,1, x 0 時(shí), g(x) 0 ,因而 x 0 時(shí),有 g(x) g(0) = 0 ，即 f (x) 0 ， 由此可得函數(shù) f (x) 在0, +) 上單增，因而有 x 0 時(shí), f (x) = ln(e2x + x)

9、- 3x + 5 x2 f (0) = 0 ，即2ln(e2x + x) 3x - 5 x2 。 2PP(18)【解】= 6xy P = 3x2 y + g( y) ，= 3y2 + 3x2 P = y3 + 3x2 y + j(x) ，xy所以 P = y3 + 3x2 y +j(x) 3x2 y + g( y) j(x) = 0, g( y) = y3 ，故 P = y3 + 3x2 y ， 1I = ( y3 + 3x2 y)dx + (3xy2 + x3)dy =(8 + 6x )dx = 8 + 2 = 102L01xx(19)【解】 x arctan x = xdt = x(-1)

10、 t dtn 2n+ t2100n=0(-1)n(-1)n= xx2n+1= x2n 1,xn=0 2n +1n=1 2n -1(-1)n-1ln2 + x 2 = 1 ln 2 + 1 ln(1+ x2 ) = 1 ln 2 + 11 x,2n 1x2n2合并上面兩級(jí)數(shù)，得到2222 n=1n(-1)n-1-n-12n - 11(1)11 ln 2 +(-1)n-1 1 1f (x) = n=1ln 2- x2n= -2nxn+1 x 2n -1n 22n -12nn22 n=12n=1收斂域?yàn)?1,1,令 x = 1,得f (1) + 1 ln 2 = p - ln3 + 1 ln 2 =

11、 p + 1 ln 2n-1 n2n+1 - 2n-1 =(-1)n(2n -1)2n+1242423n=1行 1-1 2011012a -31(20)【解】(I) (a ,a ,a | b b ) 0012312 0b -11. a = 3,b 1時(shí)， b2 不能由a1,a2,a3 表出2. a 3,b 任意， b1, b2 均可由a1,a2,a3 表出，且表示法唯一.Ax1 = b1 ，解為 x1 = -3, x2 = 2, x3 = 0 ，即 b1 = -3a1 + 2a2Ax = b ，解為 x = 1+ b -1 ， x= 1+ -2(b -1) ， x = b -122123a -

12、3a -3a -3即 b2 = x1a1 + x2a2 + x3a33. a = 3,b = 1 有無窮多解. b1, b2 均可由a1,a2,a3 線性表出，且不唯一.Ax = b 有解 k ( 1, - 2, 1T )+ - (, ,2T00T11Ax2 = b2 有解1,- 2, 1 )+ , (,1k ( 12T(II)1.由(I)知，當(dāng) a = 3,b 1, AX = B 無解第 7 頁(yè) 共 9 頁(yè) 需要論文查重、簡(jiǎn)歷模板請(qǐng)聯(lián)系群主3729910612018 數(shù)學(xué)考研模擬試卷合肥工業(yè)大學(xué)（共創(chuàng)）考研輔導(dǎo)中心Tel： 0551-629050181+ b -1 -3a - 3 -2(b

13、-1)= 2.當(dāng)a 3,b任意, AX = B 有唯一解，且 X2a -3b -1 0a - 3 k1 - 2k2 +13. a = 3,b, AX = B 有無窮多解，且有 X = -2k-2kk2 1 k+1 12 (21)【解】(1)由題設(shè)條件知 1 2 1 24n2n 2 得A = = (1,2, n)=aa T ,故 R( A) = 1， n n 22nn 2 n(2)因 A2 = (aaT )(aaT )= aTa A =i = 0 ， l = 0 是 A 特征值.,A i=1n對(duì)應(yīng)特征向量滿足 A x= aaT x，a Ta = i2 0i=1故方程組aaT x = 0 與aT

14、x = 0 是同解方程組， 只需解方程a x = 0 ,即滿足 x + 2x + nx = 0 ，T12n, 0)T , x = (-3, 0,1,2有線性無關(guān)特征向量為x1 =(-2,1,0,由此可知l = 0 至少是 n -1重根，, 0)T ,x n-1 = (-n,0, 0,1)T ，nnn又 trA = i2 = l2 0 .故 A 有一個(gè)非零特征值ln= i2 0i=1i=1Ta 時(shí),由 (lEi=1- A) x = (aTa E -aaT ) x = 0n當(dāng)l = i2= ai=1n由觀察可知 x = a 時(shí), (aTa E -aaT )a = 0 .故a = (1,2,A 有

15、n 個(gè)線性無關(guān)特征向量, A 能相似對(duì)角化., n)T= x 是對(duì)應(yīng)l =i2 特征向量.ni=1 0 = 。 -21 -3-n012 取 P = (x ,x,x )= ，則 P-1AP =12n0nn i2 1(22)【解】(I) 由分布函數(shù)定義： i=1FZ (z) = P(Z z) = PXY z = P(Y =1)P(XY z | Y =1) + P(Y = -1)P(XY z | Y = -1- z2- z2z2112p12p11+z-z=PX z+ PX -z =e 2 dz + edz = e 2 dz = F(z) ； 22p22- z-第 8 頁(yè) 共 9 頁(yè) 需要論文查重、簡(jiǎn)

16、歷模板請(qǐng)聯(lián)系群主3729910612018 數(shù)學(xué)考研模擬試卷合肥工業(yè)大學(xué)（共創(chuàng)）考研輔導(dǎo)中心Tel：II) 因 EX = 0, EY = 0 , X與Y 獨(dú)立，由協(xié)方差公式： Cov(X , Z ) = E(X 2Y ) - EXEXY = 0 ,所以 X 與Z 不相關(guān)； 又 PX 1, Z 1 = PX 1, XY 1 = PX 1, XY 1,Y = -1+ PX 1, XY 1,Y =1= PX 1, X -1,Y = -1+ PX 1, X 1,Y = 1 = 1 P-1 X 1+ PX 1 = 1 3F(1) -12另一方面， PX 1PZ 1=F(1)2 ，由此知 X與Z 不能獨(dú)立.(23)【解】(I)求參數(shù)q 的最大似然估計(jì)qn2x 21i=12n2p2- x-i1) L = iq2= (q 2)n eei=1 qq p11nd