八年級(jí)因式分解難題(附答案及解析)

1、2017年05月21日數(shù)學(xué)（因式分解難題）2一填空題（共10小題）1已知x+y=10，xy=16，則x2y+xy2的值為2兩位同學(xué)將一個(gè)二次三項(xiàng)式分解因式，一位同學(xué)因看錯(cuò)了一次項(xiàng)系數(shù)而分解成2（x1）（x9）；另一位同學(xué)因看錯(cuò)了常數(shù)項(xiàng)分解成2（x2）（x4），請(qǐng)你將原多項(xiàng)式因式分解正確的結(jié)果寫出來：3若多項(xiàng)式x2+mx+4能用完全平方公式分解因式，則m的值是4分解因式：4x24x3=5利用因式分解計(jì)算：2022+202196+982=6abc三邊a，b，c滿足a2+b2+c2=ab+bc+ca，則abc的形狀是7計(jì)算：1222+3242+5262+1002+1012=8定義運(yùn)算ab=（1a）b

2、，下面給出了關(guān)于這種運(yùn)算的四個(gè)結(jié)論：2（2）=3ab=ba若a+b=0，則（aa）+（bb）=2ab若ab=0，則a=1或b=0其中正確結(jié)論的序號(hào)是（填上你認(rèn)為正確的所有結(jié)論的序號(hào)）9如果1+a+a2+a3=0，代數(shù)式a+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8=10若多項(xiàng)式x26xb可化為（x+a）21，則b的值是二解答題（共20小題）11已知n為整數(shù)，試說明（n+7）2（n3）2的值一定能被20整除12因式分解：4x2y4xy+y13因式分解（1）a3ab2（2）（xy）2+4xy14先閱讀下面的內(nèi)容，再解決問題，例題：若m2+2mn+2n26n+9=0，求m和n的值解：m2+2mn+2n

3、26n+9=0m2+2mn+n2+n26n+9=0（m+n）2+（n3）2=0m+n=0，n3=0m=3，n=3問題：（1）若x2+2y22xy+4y+4=0，求xy的值（2）已知abc的三邊長(zhǎng)a，b，c都是正整數(shù)，且滿足a2+b26a6b+18+|3c|=0，請(qǐng)問abc是怎樣形狀的三角形？15如果一個(gè)正整數(shù)能表示為兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)的平方差，那么稱這個(gè)正整數(shù)為“和諧數(shù)”如4=2202，12=4222，20=6242，因此4，12，20這三個(gè)數(shù)都是和諧數(shù)（1）36和2016這兩個(gè)數(shù)是和諧數(shù)嗎？為什么？（2）設(shè)兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)為2k+2和2k（其中k取非負(fù)整數(shù)），由這兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)構(gòu)造的和諧數(shù)是4的倍數(shù)嗎？

4、為什么？（3）介于1到200之間的所有“和諧數(shù)”之和為16如圖1，有若干張邊長(zhǎng)為a的小正方形、長(zhǎng)為b寬為a的長(zhǎng)方形以及邊長(zhǎng)為b的大正方形的紙片（1）如果現(xiàn)有小正方形1張，大正方形2張，長(zhǎng)方形3張，請(qǐng)你將它們拼成一個(gè)大長(zhǎng)方形 （在圖2虛線框中畫出圖形），并運(yùn)用面積之間的關(guān)系，將多項(xiàng)式a2+3ab+2b2分解因式（2）已知小正方形與大正方形的面積之和為169，長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)為34，求長(zhǎng)方形的面積（3）現(xiàn)有三種紙片各8張，從其中取出若干張紙片，每種紙片至少取一張，把取出的這些紙片拼成一個(gè)正方形（按原紙張進(jìn)行無空隙、無重疊拼接），求可以拼成多少種邊長(zhǎng)不同的正方形17（1）有若干塊長(zhǎng)方形和正方形硬紙片如圖

5、1所示，用若干塊這樣的硬紙片拼成一個(gè)新的長(zhǎng)方形，如圖2用兩種不同的方法，計(jì)算圖2中長(zhǎng)方形的面積；由此，你可以得出的一個(gè)等式為：（2）有若干塊長(zhǎng)方形和正方形硬紙片如圖3所示請(qǐng)你用拼圖等方法推出一個(gè)完全平方公式，畫出你的拼圖；請(qǐng)你用拼圖等方法推出2a2+5ab+2b2因式分解的結(jié)果，畫出你的拼圖18已知a+b=1，ab=1，設(shè)s1=a+b，s2=a2+b2，s3=a3+b3，sn=an+bn（1）計(jì)算s2；（2）請(qǐng)閱讀下面計(jì)算s3的過程：因?yàn)閍+b=1，ab=1，所以s3=a3+b3=（a+b）（a2+b2）ab（a+b）=1s2（1）=s2+1=你讀懂了嗎？請(qǐng)你先填空完成（2）中s3的計(jì)算結(jié)果，

6、再用你學(xué)到的方法計(jì)算s4（3）試寫出sn2，sn1，sn三者之間的關(guān)系式；（4）根據(jù)（3）得出的結(jié)論，計(jì)算s619（1）利用因式分解簡(jiǎn)算：9.82+0.49.8+0.04（2）分解因式：4a（a1）2（1a）20閱讀材料：若m22mn+2n28n+16=0，求m、n的值解：m22mn+2n28n+16=0，（m22mn+n2）+（n28n+16）=0（mn）2+（n4）2=0，（mn）2=0，（n4）2=0，n=4，m=4根據(jù)你的觀察，探究下面的問題：（1）已知x2+2xy+2y2+2y+1=0，求xy的值（2）已知abc的三邊長(zhǎng)a、b、c都是正整數(shù)，且滿足a2+b26a8b+25=0，求ab

7、c的最大邊c的值（3）已知ab=4，ab+c26c+13=0，則ab+c=21仔細(xì)閱讀下面例題，解答問題：例題：已知二次三項(xiàng)式x24x+m有一個(gè)因式是（x+3），求另一個(gè)因式以及m的值解：設(shè)另一個(gè)因式為（x+n），得x24x+m=（x+3）（x+n），則x24x+m=x2+（n+3）x+3nn+3=4m=3n 解得：n=7，m=21另一個(gè)因式為（x7），m的值為21問題：（1）若二次三項(xiàng)式x25x+6可分解為（x2）（x+a），則a=；（2）若二次三項(xiàng)式2x2+bx5可分解為（2x1）（x+5），則b=；（3）仿照以上方法解答下面問題：已知二次三項(xiàng)式2x2+5xk有一個(gè)因式是（2x3），求另一

8、個(gè)因式以及k的值22分解因式：（1）2x2x；（2）16x21；（3）6xy29x2yy3；（4）4+12（xy）+9（xy）223已知a，b，c是三角形的三邊，且滿足（a+b+c）2=3（a2+b2+c2），試確定三角形的形狀24分解因式（1）2x44x2y2+2y4（2）2a34a2b+2ab225圖是一個(gè)長(zhǎng)為2m、寬為2n的長(zhǎng)方形，沿圖中虛線用剪刀平均分成四塊小長(zhǎng)方形，然后按圖的形狀拼成一個(gè)正方形（1）圖中的陰影部分的面積為；（2）觀察圖請(qǐng)你寫出三個(gè)代數(shù)式（m+n）2、（mn）2、mn之間的等量關(guān)系是（3）若x+y=7，xy=10，則（xy）2=（4）實(shí)際上有許多代數(shù)恒等式可以用圖形的面

9、積來表示如圖，它表示了（5）試畫出一個(gè)幾何圖形，使它的面積能表示（m+n）（m+3n）=m2+4mn+3n226已知a、b、c滿足ab=8，ab+c2+16=0，求2a+b+c的值27已知：一個(gè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為正整數(shù)a、b、c，且滿足a+b+c+ab+bc+ac+abc=2006，求：這個(gè)長(zhǎng)方體的體積28（x24x）22（x24x）1529閱讀下列因式分解的過程，再回答所提出的問題：1+x+x（x+1）+x（x+1）2=（1+x）1+x+x（x+1）=（1+x）2（1+x）=（1+x）3（1）上述分解因式的方法是，共應(yīng)用了次（2）若分解1+x+x（x+1）+x（x+1）2+x（x+1）

10、2004，則需應(yīng)用上述方法次，結(jié)果是（3）分解因式：1+x+x（x+1）+x（x+1）2+x（x+1）n（n為正整數(shù)）30對(duì)于多項(xiàng)式x35x2+x+10，如果我們把x=2代入此多項(xiàng)式，發(fā)現(xiàn)多項(xiàng)式x35x2+x+10=0，這時(shí)可以斷定多項(xiàng)式中有因式（x2）（注：把x=a代入多項(xiàng)式能使多項(xiàng)式的值為0，則多項(xiàng)式含有因式（xa），于是我們可以把多項(xiàng)式寫成：x35x2+x+10=（x2）（x2+mx+n），（1）求式子中m、n的值；（2）以上這種因式分解的方法叫試根法，用試根法分解多項(xiàng)式x32x213x10的因式2017年05月21日數(shù)學(xué)（因式分解難題）2參考答案與試題解析一填空題（共10小題）1（20

11、16秋望謨縣期末）已知x+y=10，xy=16，則x2y+xy2的值為160【分析】首先提取公因式xy，進(jìn)而將已知代入求出即可【解答】解：x+y=10，xy=16，x2y+xy2=xy（x+y）=1016=160故答案為：160【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了提取公因式法分解因式，正確找出公因式是解題關(guān)鍵2（2016秋新賓縣期末）兩位同學(xué)將一個(gè)二次三項(xiàng)式分解因式，一位同學(xué)因看錯(cuò)了一次項(xiàng)系數(shù)而分解成2（x1）（x9）；另一位同學(xué)因看錯(cuò)了常數(shù)項(xiàng)分解成2（x2）（x4），請(qǐng)你將原多項(xiàng)式因式分解正確的結(jié)果寫出來：2（x3）2【分析】根據(jù)多項(xiàng)式的乘法將2（x1）（x9）展開得到二次項(xiàng)、常數(shù)項(xiàng)；將2（x2）（x4）

12、展開得到二次項(xiàng)、一次項(xiàng)從而得到原多項(xiàng)式，再對(duì)該多項(xiàng)式提取公因式2后利用完全平方公式分解因式【解答】解：2（x1）（x9）=2x220x+18；2（x2）（x4）=2x212x+16；原多項(xiàng)式為2x212x+182x212x+18=2（x26x+9）=2（x3）2【點(diǎn)評(píng)】根據(jù)錯(cuò)誤解法得到原多項(xiàng)式是解答本題的關(guān)鍵二次三項(xiàng)式分解因式，看錯(cuò)了一次項(xiàng)系數(shù)，但二次項(xiàng)、常數(shù)項(xiàng)正確；看錯(cuò)了常數(shù)項(xiàng)，但二次項(xiàng)、一次項(xiàng)正確3（2015春昌邑市期末）若多項(xiàng)式x2+mx+4能用完全平方公式分解因式，則m的值是4【分析】利用完全平方公式（a+b）2=（ab）2+4ab、（ab）2=（a+b）24ab計(jì)算即可【解答】解：x

13、2+mx+4=（x2）2，即x2+mx+4=x24x+4，m=4故答案為：4【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了公式法分解因式，熟記有關(guān)完全平方的幾個(gè)變形公式是解題關(guān)鍵4（2015秋利川市期末）分解因式：4x24x3=（2x3）（2x+1）【分析】ax2+bx+c（a0）型的式子的因式分解，這種方法的關(guān)鍵是把二次項(xiàng)系數(shù)a分解成兩個(gè)因數(shù)a1，a2的積a1a2，把常數(shù)項(xiàng)c分解成兩個(gè)因數(shù)c1，c2的積c1c2，并使a1c2+a2c1正好是一次項(xiàng)b，那么可以直接寫成結(jié)果：ax2+bx+c=（a1x+c1）（a2x+c2），進(jìn)而得出答案【解答】解：4x24x3=（2x3）（2x+1）故答案為：（2x3）（2x+1）【

14、點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了十字相乘法分解因式，正確分解各項(xiàng)系數(shù)是解題關(guān)鍵5（2015春東陽市期末）利用因式分解計(jì)算：2022+202196+982=90000【分析】通過觀察，顯然符合完全平方公式【解答】解：原式=2022+2x202x98+982=（202+98）2=3002=90000【點(diǎn)評(píng)】運(yùn)用公式法可以簡(jiǎn)便計(jì)算一些式子的值6（2015秋浮梁縣校級(jí)期末）abc三邊a，b，c滿足a2+b2+c2=ab+bc+ca，則abc的形狀是等邊三角形【分析】分析題目所給的式子，將等號(hào)兩邊均乘以2，再化簡(jiǎn)得（ab）2+（ac）2+（bc）2=0，得出：a=b=c，即選出答案【解答】解：等式a2+b2+c2=

15、ab+bc+ac等號(hào)兩邊均乘以2得：2a2+2b2+2c2=2ab+2bc+2ac，即a22ab+b2+a22ac+c2+b22bc+c2=0，即（ab）2+（ac）2+（bc）2=0，解得：a=b=c，所以，abc是等邊三角形故答案為：等邊三角形【點(diǎn)評(píng)】此題考查了因式分解的應(yīng)用；利用等邊三角形的判定，化簡(jiǎn)式子得a=b=c，由三邊相等判定abc是等邊三角形7（2015秋鄂托克旗校級(jí)期末）計(jì)算：1222+3242+5262+1002+1012=5151【分析】通過觀察，原式變?yōu)?+（3222）+（5242）+（10121002），進(jìn)一步運(yùn)用高斯求和公式即可解決【解答】解：1222+3242+52

16、62+1002+1012=1+（3222）+（5242）+（10121002）=1+（3+2）+（5+4）+（7+6）+（101+100）=（1+101）1012=5151故答案為：5151【點(diǎn)評(píng)】此題考查因式分解的實(shí)際運(yùn)用，分組分解，利用平方差公式解決問題8（2015秋樂至縣期末）定義運(yùn)算ab=（1a）b，下面給出了關(guān)于這種運(yùn)算的四個(gè)結(jié)論：2（2）=3ab=ba若a+b=0，則（aa）+（bb）=2ab若ab=0，則a=1或b=0其中正確結(jié)論的序號(hào)是（填上你認(rèn)為正確的所有結(jié)論的序號(hào)）【分析】根據(jù)題中的新定義計(jì)算得到結(jié)果，即可作出判斷【解答】解：2（2）=（12）（2）=2，本選項(xiàng)錯(cuò)誤；ab=

17、（1a）b，ba=（1b）a，故ab不一定等于ba，本選項(xiàng)錯(cuò)誤；若a+b=0，則（aa）+（bb）=（1a）a+（1b）b=aa2+bb2=a2b2=2a2=2ab，本選項(xiàng)正確；若ab=0，即（1a）b=0，則a=1或b=0，本選項(xiàng)正確，其中正確的有故答案為【點(diǎn)評(píng)】此題考查了整式的混合運(yùn)算，以及有理數(shù)的混合運(yùn)算，弄清題中的新定義是解本題的關(guān)鍵9（2015春張掖校級(jí)期末）如果1+a+a2+a3=0，代數(shù)式a+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8=0【分析】4項(xiàng)為一組，分成2組，再進(jìn)一步分解因式求得答案即可【解答】解：1+a+a2+a3=0，a+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8，=a（

18、1+a+a2+a3）+a5（1+a+a2+a3），=0+0，=0故答案是：0【點(diǎn)評(píng)】此題考查利用因式分解法求代數(shù)式的值，注意合理分組解決問題10（2015春昆山市期末）若多項(xiàng)式x26xb可化為（x+a）21，則b的值是8【分析】利用配方法進(jìn)而將原式變形得出即可【解答】解：x26xb=（x3）29b=（x+a）21，a=3，9b=1，解得：a=3，b=8故答案為：8【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了配方法的應(yīng)用，根據(jù)題意正確配方是解題關(guān)鍵二解答題（共20小題）11已知n為整數(shù)，試說明（n+7）2（n3）2的值一定能被20整除【分析】用平方差公式展開（n+7）2（n3）2，看因式中有沒有20即可【解答】解：（

19、n+7）2（n3）2=（n+7+n3）（n+7n+3）=20（n+2），（n+7）2（n3）2的值一定能被20整除【點(diǎn)評(píng)】主要考查利用平方差公式分解因式公式：a2b2=（a+b）（ab）12（2016秋農(nóng)安縣校級(jí)期末）因式分解：4x2y4xy+y【分析】先提取公因式y(tǒng)，再對(duì)余下的多項(xiàng)式利用完全平方公式繼續(xù)分解【解答】解：4x2y4xy+y=y（4x24x+1）=y（2x1）2【點(diǎn)評(píng)】本題考查了用提公因式法和公式法進(jìn)行因式分解，一個(gè)多項(xiàng)式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法進(jìn)行因式分解，同時(shí)因式分解要徹底，直到不能分解為止13（2015秋成都校級(jí)期末）因式分解（1）a3ab2（2）（xy）2

20、+4xy【分析】（1）原式提取a，再利用平方差公式分解即可；（2）原式利用完全平方公式分解即可【解答】解：（1）原式=a（a2b2）=a（a+b）（ab）；（2）原式=x22xy+y2+4xy=x2+2xy+y2=（x+y）2【點(diǎn)評(píng)】此題考查了提公因式法與公式法的綜合運(yùn)用，熟練掌握因式分解的方法是解本題的關(guān)鍵14（2015春甘肅校級(jí)期末）先閱讀下面的內(nèi)容，再解決問題，例題：若m2+2mn+2n26n+9=0，求m和n的值解：m2+2mn+2n26n+9=0m2+2mn+n2+n26n+9=0（m+n）2+（n3）2=0m+n=0，n3=0m=3，n=3問題：（1）若x2+2y22xy+4y+4

21、=0，求xy的值（2）已知abc的三邊長(zhǎng)a，b，c都是正整數(shù)，且滿足a2+b26a6b+18+|3c|=0，請(qǐng)問abc是怎樣形狀的三角形？【分析】（1）首先把x2+2y22xy+4y+4=0，配方得到（xy）2+（y+2）2=0，再根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)得到x=y=2，代入求得數(shù)值即可；（2）先把a(bǔ)2+b26a6b+18+|3c|=0，配方得到（a3）2+（b3）2+|3c|=0，根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)得到a=b=c=3，得出三角形的形狀即可【解答】解：（1）x2+2y22xy+4y+4=0x2+y22xy+y2+4y+4=0，（xy）2+（y+2）2=0x=y=2；（2）a2+b26a6b+18+|3c

22、|=0，a26a+9+b26b+9+|3c|=0，（a3）2+（b3）2+|3c|=0a=b=c=3三角形abc是等邊三角形【點(diǎn)評(píng)】此題考查了配方法的應(yīng)用：通過配方，把已知條件變形為幾個(gè)非負(fù)數(shù)的和的形式，然后利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)得到幾個(gè)等量關(guān)系，建立方程求得數(shù)值解決問題15（2015秋太和縣期末）如果一個(gè)正整數(shù)能表示為兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)的平方差，那么稱這個(gè)正整數(shù)為“和諧數(shù)”如4=2202，12=4222，20=6242，因此4，12，20這三個(gè)數(shù)都是和諧數(shù)（1）36和2016這兩個(gè)數(shù)是和諧數(shù)嗎？為什么？（2）設(shè)兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)為2k+2和2k（其中k取非負(fù)整數(shù)），由這兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)構(gòu)造的和諧數(shù)是4的倍數(shù)嗎？為

23、什么？（3）介于1到200之間的所有“和諧數(shù)”之和為2500【分析】（1）利用36=10282；2016=50525032說明36是“和諧數(shù)”，2016不是“和諧數(shù)”；（2）設(shè)兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)為2n，2n+2（n為自然數(shù)），則“和諧數(shù)”=（2n+2）2（2n）2，利用平方差公式展開得到（2n+2+2n）（2n+22n）=4（2n+1），然后利用整除性可說明“和諧數(shù)”一定是4的倍數(shù)；（3）介于1到200之間的所有“和諧數(shù)”中，最小的為：2202=4，最大的為：502482=196，將它們?nèi)苛谐霾浑y求出他們的和【解答】解：（1）36是“和諧數(shù)”，2016不是“和諧數(shù)”理由如下：36=10282；20

24、16=50525032；（2）設(shè)兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)為2k+2和2k（n為自然數(shù)），（2k+2）2（2k）2=（2k+2+2k）（2k+22k）=（4k+2）2=4（2k+1），4（2k+1）能被4整除，“和諧數(shù)”一定是4的倍數(shù)；（3）介于1到200之間的所有“和諧數(shù)”之和，s=（2202）+（4222）+（6242）+（502482）=502=2500故答案是：2500【點(diǎn)評(píng)】本題考查了因式分解的應(yīng)用：利用因式分解把所求的代數(shù)式進(jìn)行變形，從而達(dá)到使計(jì)算簡(jiǎn)化16（2015春興化市校級(jí)期末）如圖1，有若干張邊長(zhǎng)為a的小正方形、長(zhǎng)為b寬為a的長(zhǎng)方形以及邊長(zhǎng)為b的大正方形的紙片（1）如果現(xiàn)有小正方形1張，大

25、正方形2張，長(zhǎng)方形3張，請(qǐng)你將它們拼成一個(gè)大長(zhǎng)方形 （在圖2虛線框中畫出圖形），并運(yùn)用面積之間的關(guān)系，將多項(xiàng)式a2+3ab+2b2分解因式（2）已知小正方形與大正方形的面積之和為169，長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)為34，求長(zhǎng)方形的面積（3）現(xiàn)有三種紙片各8張，從其中取出若干張紙片，每種紙片至少取一張，把取出的這些紙片拼成一個(gè)正方形（按原紙張進(jìn)行無空隙、無重疊拼接），求可以拼成多少種邊長(zhǎng)不同的正方形【分析】（1）根據(jù)小正方形1張，大正方形2張，長(zhǎng)方形3張，直接畫出圖形，利用圖形分解因式即可；（2）由長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)為34，得出a+b=17，由題意可知：小正方形與大正方形的面積之和為a2+b2=169，將a+b=1

26、7兩邊同時(shí)平方，可求得ab的值，從而可求得長(zhǎng)方形的面積；（3）設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為（na+mb），其中（n、m為正整數(shù)）由完全平方公式可知：（na+mb）2=n2a2+2nmab+m2b2因?yàn)楝F(xiàn)有三種紙片各8張，n28，m28，2mn8（n、m為正整數(shù)）從而可知n2，m2，從而可得出答案【解答】解：（1）如圖：拼成邊為（a+2b）和（a+b）的長(zhǎng)方形a2+3ab+2b2=（a+2b）（a+b）；（2）長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)為34，a+b=17小正方形與大正方形的面積之和為169，a2+b2=169將a+b=17兩邊同時(shí)平方得：（a+b）2=172，整理得：a2+2ab+b2=289，2ab=289169，a

27、b=60長(zhǎng)方形的面積為60（3）設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為（na+mb），其中（n、m為正整數(shù)）正方形的面積=（na+mb）2=n2a2+2nmab+m2b2現(xiàn)有三種紙片各8張，n28，m28，2mn8（n、m為正整數(shù)）n2，m2共有以下四種情況；n=1，m=1，正方形的邊長(zhǎng)為a+b；n=1，m=2，正方形的邊長(zhǎng)為a+2b；n=2，m=1，正方形的邊長(zhǎng)為2a+b；n=2，m=2，正方形的邊長(zhǎng)為2a+2b【點(diǎn)評(píng)】此題考查因式分解的運(yùn)用，要注意結(jié)合圖形解決問題，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用完全平方公式17（2014秋萊城區(qū)校級(jí)期中）（1）有若干塊長(zhǎng)方形和正方形硬紙片如圖1所示，用若干塊這樣的硬紙片拼成一個(gè)新的長(zhǎng)方形

28、，如圖2用兩種不同的方法，計(jì)算圖2中長(zhǎng)方形的面積；由此，你可以得出的一個(gè)等式為：a2+2a+1=（a+1）2（2）有若干塊長(zhǎng)方形和正方形硬紙片如圖3所示請(qǐng)你用拼圖等方法推出一個(gè)完全平方公式，畫出你的拼圖；請(qǐng)你用拼圖等方法推出2a2+5ab+2b2因式分解的結(jié)果，畫出你的拼圖【分析】（1）要能根據(jù)所給拼圖運(yùn)用不同的計(jì)算面積的方法，來推導(dǎo)公式；（2）要能根據(jù)等式畫出合適的拼圖【解答】解：（1）長(zhǎng)方形的面積=a2+2a+1；長(zhǎng)方形的面積=（a+1）2；a2+2a+1=（a+1）2；（2）如圖，可推導(dǎo)出（a+b）2=a2+2ab+b2；2a2+5ab+2b2=（2a+b）（a+2b）【點(diǎn)評(píng)】本題考查運(yùn)

29、用正方形或長(zhǎng)方形的面積計(jì)算推導(dǎo)相關(guān)的一些等式；運(yùn)用圖形的面積計(jì)算的不同方法得到多項(xiàng)式的因式分解18（2013秋海淀區(qū)校級(jí)期末）已知a+b=1，ab=1，設(shè)s1=a+b，s2=a2+b2，s3=a3+b3，sn=an+bn（1）計(jì)算s2；（2）請(qǐng)閱讀下面計(jì)算s3的過程：因?yàn)閍+b=1，ab=1，所以s3=a3+b3=（a+b）（a2+b2）ab（a+b）=1s2（1）=s2+1=4你讀懂了嗎？請(qǐng)你先填空完成（2）中s3的計(jì)算結(jié)果，再用你學(xué)到的方法計(jì)算s4（3）試寫出sn2，sn1，sn三者之間的關(guān)系式；（4）根據(jù)（3）得出的結(jié)論，計(jì)算s6【分析】（1）（2）利用完全平方公式進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后代入a+

30、b，ab的值，即可推出結(jié)論；（3）根據(jù)（1）所推出的結(jié)論，即可推出sn2+sn1=sn；（4）根據(jù)（3）的結(jié)論，即可推出a6+b6=s6=s4+s5=2s4+s3【解答】解：（1）s2=a2+b2=（a+b）22ab=3；（2）（a2+b2）（a+b）=a3+ab2+a2b+b3=a3+b3+ab（a+b），31=a3+b31，a3+b3=4，即s3=4；s4=（a2+b2）22（ab）2=7，s4=7；（3）s2=3，s3=4，s4=7，s2+s3=s4，sn2+sn1=sn；（3）sn2+sn1=sn，s2=3，s3=4，s4=7，s5=4+7=11，s6=7+11=18【點(diǎn)評(píng)】本題主要考

31、查整式的混合運(yùn)算、完全平方公式的運(yùn)用，關(guān)鍵在于根據(jù)題意推出s2=3，s3=4，s4=7，分析歸納出規(guī)律：sn2+sn1=sn19（2013春重慶校級(jí)期末）（1）利用因式分解簡(jiǎn)算：9.82+0.49.8+0.04（2）分解因式：4a（a1）2（1a）【分析】（1）利用完全平方公式因式分解計(jì)算即可；（2）先利用提取公因式法，再利用完全平方公式因式分解即可【解答】解：（1）原式=9.82+20.29.8+0.22=（9.8+0.2）2=100；（2）4a（a1）2（1a）=（a1）（4a24a+1）=（a1）（2a1）2【點(diǎn)評(píng)】此題考查因式分解的實(shí)際運(yùn)用，掌握平方差公式和完全平方公式是解決問題的關(guān)鍵

32、20（2013春惠山區(qū)校級(jí)期末）閱讀材料：若m22mn+2n28n+16=0，求m、n的值解：m22mn+2n28n+16=0，（m22mn+n2）+（n28n+16）=0（mn）2+（n4）2=0，（mn）2=0，（n4）2=0，n=4，m=4根據(jù)你的觀察，探究下面的問題：（1）已知x2+2xy+2y2+2y+1=0，求xy的值（2）已知abc的三邊長(zhǎng)a、b、c都是正整數(shù)，且滿足a2+b26a8b+25=0，求abc的最大邊c的值（3）已知ab=4，ab+c26c+13=0，則ab+c=7【分析】（1）將多項(xiàng)式第三項(xiàng)分項(xiàng)后，結(jié)合并利用完全平方公式化簡(jiǎn)，根據(jù)兩個(gè)非負(fù)數(shù)之和為0，兩非負(fù)數(shù)分別為0

33、求出x與y的值，即可求出xy的值；（2）將已知等式25分為9+16，重新結(jié)合后，利用完全平方公式化簡(jiǎn)，根據(jù)兩個(gè)非負(fù)數(shù)之和為0，兩非負(fù)數(shù)分別為0求出a與b的值，根據(jù)邊長(zhǎng)為正整數(shù)且三角形三邊關(guān)系即可求出c的長(zhǎng)；（3）由ab=4，得到a=b+4，代入已知的等式中重新結(jié)合后，利用完全平方公式化簡(jiǎn)，根據(jù)兩個(gè)非負(fù)數(shù)之和為0，兩非負(fù)數(shù)分別為0求出b與c的值，進(jìn)而求出a的值，即可求出ab+c的值【解答】解：（1）x2+2xy+2y2+2y+1=0（x2+2xy+y2）+（y2+2y+1）=0（x+y）2+（y+1）2=0x+y=0 y+1=0解得x=1，y=1xy=2；（2）a2+b26a8b+25=0（a2

34、6a+9）+（b28b+16）=0（a3）2+（b4）2=0a3=0，b4=0解得a=3，b=4三角形兩邊之和第三邊ca+b，c3+4c7，又c是正整數(shù)，c最大為6；（3）ab=4，即a=b+4，代入得：（b+4）b+c26c+13=0，整理得：（b2+4b+4）+（c26c+9）=（b+2）2+（c3）2=0，b+2=0，且c3=0，即b=2，c=3，a=2，則ab+c=2（2）+3=7故答案為：7【點(diǎn)評(píng)】此題考查了因式分解的應(yīng)用，以及非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握完全平方公式是解本題的關(guān)鍵21（2012秋溫嶺市校級(jí)期末）仔細(xì)閱讀下面例題，解答問題：例題：已知二次三項(xiàng)式x24x+m有一個(gè)因式是（x+

35、3），求另一個(gè)因式以及m的值解：設(shè)另一個(gè)因式為（x+n），得x24x+m=（x+3）（x+n），則x24x+m=x2+（n+3）x+3nn+3=4m=3n 解得：n=7，m=21另一個(gè)因式為（x7），m的值為21問題：（1）若二次三項(xiàng)式x25x+6可分解為（x2）（x+a），則a=3；（2）若二次三項(xiàng)式2x2+bx5可分解為（2x1）（x+5），則b=9；（3）仿照以上方法解答下面問題：已知二次三項(xiàng)式2x2+5xk有一個(gè)因式是（2x3），求另一個(gè)因式以及k的值【分析】（1）將（x2）（x+a）展開，根據(jù)所給出的二次三項(xiàng)式即可求出a的值；（2）（2x1）（x+5）展開，可得出一次項(xiàng)的系數(shù)，繼而即

36、可求出b的值；（3）設(shè)另一個(gè)因式為（x+n），得2x2+5xk=（2x3）（x+n）=2x2+（2n3）x3n，可知2n3=5，k=3n，繼而求出n和k的值及另一個(gè)因式【解答】解：（1）（x2）（x+a）=x2+（a2）x2a=x25x+6，a2=5，解得：a=3；（2）（2x1）（x+5）=2x2+9x5=2x2+bx5，b=9；（3）設(shè)另一個(gè)因式為（x+n），得2x2+5xk=（2x3）（x+n）=2x2+（2n3）x3n，則2n3=5，k=3n，解得：n=4，k=12，故另一個(gè)因式為（x+4），k的值為12故答案為：（1）3；（2分）（2）9；（2分）（3）另一個(gè)因式是x+4，k=12（

37、6分）【點(diǎn)評(píng)】本題考查因式分解的意義，解題關(guān)鍵是對(duì)題中所給解題思路的理解，同時(shí)要掌握因式分解與整式乘法是相反方向的變形，即互逆運(yùn)算，二者是一個(gè)式子的不同表現(xiàn)形式22（2012春郯城縣期末）分解因式：（1）2x2x；（2）16x21；（3）6xy29x2yy3；（4）4+12（xy）+9（xy）2【分析】（1）直接提取公因式x即可；（2）利用平方差公式進(jìn)行因式分解；（3）先提取公因式y(tǒng)，再對(duì)余下的多項(xiàng)式利用完全平方公式繼續(xù)分解；（4）把（xy）看作整體，利用完全平方公式分解因式即可【解答】解：（1）2x2x=x（2x1）；（2）16x21=（4x+1）（4x1）；（3）6xy29x2yy3，=y

38、（9x26xy+y2），=y（3xy）2；（4）4+12（xy）+9（xy）2，=2+3（xy）2，=（3x3y+2）2【點(diǎn)評(píng)】本題考查了提公因式法與公式法分解因式，是因式分解的常用方法，難點(diǎn)在（3），提取公因式y(tǒng)后，需要繼續(xù)利用完全平方公式進(jìn)行二次因式分解23（2012春碑林區(qū)校級(jí)期末）已知a，b，c是三角形的三邊，且滿足（a+b+c）2=3（a2+b2+c2），試確定三角形的形狀【分析】將已知等式利用配方法變形，利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)解題【解答】解：（a+b+c）2=3（a2+b2+c2），a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac，=3a2+3b2+3c2，a2+b22ab+b2+c22bc+a

39、2+c22ac=0，即（ab）2+（bc）2+（ca）2=0，ab=0，bc=0，ca=0，a=b=c，故abc為等邊三角形【點(diǎn)評(píng)】本題考查了配方法的運(yùn)用，非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，等邊三角形的判斷關(guān)鍵是將已知等式利用配方法變形，利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)解題24（2011秋北辰區(qū)校級(jí)期末）分解因式（1）2x44x2y2+2y4（2）2a34a2b+2ab2【分析】（1）原式提取公因式后，利用平方差公式分解即可；（2）原式提取公因式，利用完全平方公式分解即可【解答】解：（1）2x44x2y2+2y4=2（x42x2y2+y4）=2（x2y2）2=2（x+y）2（xy）2；（2）2a34a2b+2ab2=2a（a22

40、ab+b2）=2a（ab）2【點(diǎn)評(píng)】此題考查了提公因式法與公式法的綜合運(yùn)用，提取公因式后利用公式進(jìn)行二次分解，注意分解要徹底25（2011秋蘇州期末）圖是一個(gè)長(zhǎng)為2m、寬為2n的長(zhǎng)方形，沿圖中虛線用剪刀平均分成四塊小長(zhǎng)方形，然后按圖的形狀拼成一個(gè)正方形（1）圖中的陰影部分的面積為（mn）2；（2）觀察圖請(qǐng)你寫出三個(gè)代數(shù)式（m+n）2、（mn）2、mn之間的等量關(guān)系是（m+n）2（mn）2=4mn（3）若x+y=7，xy=10，則（xy）2=9（4）實(shí)際上有許多代數(shù)恒等式可以用圖形的面積來表示如圖，它表示了（m+n）（2m+n）=2m2+3mn+n2（5）試畫出一個(gè)幾何圖形，使它的面積能表示（m

41、+n）（m+3n）=m2+4mn+3n2【分析】（1）可直接用正方形的面積公式得到（2）掌握完全平方公式，并掌握和與差的區(qū)別（3）此題可參照第（2）題（4）可利用各部分面積和=長(zhǎng)方形面積列出恒等式（5）可參照第（4）題畫圖【解答】解：（1）陰影部分的邊長(zhǎng)為（mn），陰影部分的面積為（mn）2；（2）（m+n）2（mn）2=4mn；（3）（xy）2=（x+y）24xy=7240=9；（4）（m+n）（2m+n）=2m2+3mn+n2；（5）答案不唯一：例如：【點(diǎn)評(píng)】本題考查了因式分解的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是認(rèn)真觀察題中給出的圖示，用不同的形式去表示面積，熟練掌握完全平方公式，并能進(jìn)行變形26（2009

42、秋海淀區(qū)期末）已知a、b、c滿足ab=8，ab+c2+16=0，求2a+b+c的值【分析】本題乍看下無法代數(shù)求值，也無法進(jìn)行因式分解；但是將已知的兩個(gè)式子進(jìn)行適當(dāng)變形后，即可找到本題的突破口由ab=8可得a=b+8；將其代入ab+c2+16=0得：b2+8b+c2+16=0；此時(shí)可發(fā)現(xiàn)b2+8b+16正好符合完全平方公式，因此可用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出b、c的值，進(jìn)而可求得a的值；然后代值運(yùn)算即可【解答】解：因?yàn)閍b=8，所以a=b+8（1分）又ab+c2+16=0，所以（b+8）b+c2+16=0（2分）即（b+4）2+c2=0又（b+4）20，c20，則b=4，c=0（4分）所以a=4，（5分）

43、所以2a+b+c=4（6分）【點(diǎn)評(píng)】本題既考查了對(duì)因式分解方法的掌握，又考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)以及代數(shù)式求值的方法27（2010春北京期末）已知：一個(gè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為正整數(shù)a、b、c，且滿足a+b+c+ab+bc+ac+abc=2006，求：這個(gè)長(zhǎng)方體的體積【分析】我們可先將a+b+c+ab+bc+ac+abc分解因式可變?yōu)椋╝+1）（b+1）（c+1）1，就得（1+b）（c+1）（a+1）=2007，由于a、b、c均為正整數(shù)，所以（a+1）、（b+1）、（c+1）也為正整數(shù)，而2007只可分解為33223，可得（a+1）、（b+1）、（c+1）的值分別為3、3、223，所以a、b、c值為2、2、222就可求出長(zhǎng)方體體積abc了【解答】解：原式可化為：a+ab+c+ac+ab+abc+b+11=2006，a（1+b）+c（1+b）+ac（1+b）+（1+b）1=2006，（1+b）（a+c+ac）+（1+b）=2007，（1+b）（c+1+a+ac）=2007，（1+b）（c+1）（a+1）=2007，2007只能分解為33223（a+1）、（b+1）、（c+1）也只能分別為3、3、223a、b、c也只能分別為2、2、222長(zhǎng)方體的體