1990考研數(shù)一真題解析

1、.1990年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)一試題一、填空題(本題共5個(gè)小題,每小題3分,滿分15分.)(1) 過點(diǎn)且與直線垂直的平面方程是_x-3y-z+4=0_.(2) 設(shè)為非零常數(shù),則=_.(3) 設(shè)函數(shù) 則=_1_.(4) 積分的值等于_.(5) 已知向量組,則該向量的秩是_2_.二、選擇題(本題共5個(gè)小題,每小題3分,滿分15分.)(1) 設(shè)是連續(xù)函數(shù),且,則等于 ( A )(A) (B) (C) (D) (2) 已知函數(shù)具有任意階導(dǎo)數(shù),且,則當(dāng)為大于2的正整數(shù)時(shí), 的階導(dǎo)數(shù)是 ( A )(A) (B) (C) (D) (3) 設(shè)為常數(shù),則級(jí)數(shù) ( C ) (A) 絕對(duì)收斂 (B) 條

2、件收斂 (C) 發(fā)散 (D) 收斂性與的取值有關(guān) (4) 已知在的某個(gè)領(lǐng)域內(nèi)連續(xù),且,則在點(diǎn)處 ( D )(A) 不可導(dǎo) (B) 可導(dǎo),且 (C) 取得極大值 (D) 取得極小值 (5) 已知、是非齊次線性方程組的兩個(gè)不同的解,、是對(duì)應(yīng)齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系,為任意常數(shù),則方程組的通解(一般解)必是( B )(A) (B) (C) (D) 三、(本題滿分15分,每小題5分.)(1) 求 .解：(2) 設(shè),其中具有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù),求.解：(3) 求微分方程的通解(一般解).解：特征方程為的跟為.對(duì)應(yīng)齊次方程的通解為，其中為任意常數(shù).設(shè)原方程的特解為代入原方程得.因此，原方程的通解為四、(本題

3、滿分6分.)求冪級(jí)數(shù)的收斂域,并求其和函數(shù).解：因?yàn)樗燥@然冪級(jí)數(shù)在時(shí)發(fā)散，故此冪級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)橛?五、(本題滿分8分)求曲面積分其中是球面外側(cè)在的部分.解：令其法向量與z軸的負(fù)向相同.設(shè)S和S1所圍成的區(qū)域?yàn)?，則由奧-高公式有而所以六、(本題滿分7分)設(shè)不恒為常數(shù)的函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù),在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo),且.證明在內(nèi)至少存在一點(diǎn),使得.證：因且不恒為常數(shù)，故至少存在一點(diǎn)，使得于是或現(xiàn)設(shè)，則在上因滿足拉格朗日定理的條件，故至少存在一點(diǎn)，使得對(duì)于情形，類似地可證得此結(jié)果.七、(本題滿分6分)設(shè)四階矩陣,且矩陣滿足關(guān)系式,其中為四階單位矩陣,表示的逆矩陣,表示的轉(zhuǎn)置矩陣.將上述關(guān)系式化簡(jiǎn)并求矩陣.解：

4、因故因此八、(本題滿分8分)求一個(gè)正交變換,化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形.解：二次型的矩陣A =，由 A的特征值為對(duì)于從而可取特征向量及與P1正交的另一特征向量對(duì)于取特征向量將上述相互正交的特征向量單位化，得故在正交變換下，二次型.九、(本題滿分8分)質(zhì)點(diǎn)沿著以為直徑的半圓周,從點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)的過程中受變力作用(見圖).的大小等于點(diǎn)與原點(diǎn)之間的距離,其方向垂直于線段且與軸正向的夾角小于,求變力對(duì)質(zhì)點(diǎn)所作的功.解：由題意，變力F=-yi+xj.圓弧AB的參數(shù)方程是變力F所作的功十、填空題(本題滿分6分,每小題2分.)(1) 已知隨機(jī)變量的概率密度函數(shù),則的概率分布函數(shù)_.(2) 設(shè)隨機(jī)事件、及其和事件的概率分別是0.4、0.3和0.6,若表示的對(duì)立事件,那么積事件的概率_0.3_.(3) 已知離散型隨機(jī)變量服從參數(shù)為2的泊松(Poisson)分布,即,則隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望_4_.十一、(本題滿分6分