高中數(shù)學導數(shù)教案

1、（一） 主要知識及主要方法：設(shè)函數(shù)在處附近有定義，當自變量在處有增量時，則函數(shù)相應(yīng)地有增量，如果時，與的比（也叫函數(shù)的平均變化率）有極限即無限趨近于某個常數(shù)，我們把這個極限值叫做函數(shù)在處的導數(shù)，記作，即在定義式中，設(shè)，則，當趨近于時，趨近于，因此，導數(shù)的定義式可寫成.導數(shù)的幾何意義：導數(shù)是函數(shù)在點的處瞬時變化率，它反映的函數(shù)在點處變化的快慢程度. 它的幾何意義是曲線上點（）處的切線的斜率.因此，如果在點可導，則曲線在點（）處的切線方程為 導函數(shù)(導數(shù)):如果函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)的每點處都有導數(shù)，此時對于每一個，都對應(yīng)著一個確定的導數(shù)，從而構(gòu)成了一個新的函數(shù), 稱這個函數(shù)為函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)的導函數(shù)，簡稱

2、導數(shù)，也可記作，即函數(shù)在處的導數(shù)就是函數(shù)在開區(qū)間上導數(shù)在處的函數(shù)值，即.所以函數(shù)在處的導數(shù)也記作可導: 如果函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)每一點都有導數(shù)，則稱函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)可導可導與連續(xù)的關(guān)系：如果函數(shù)在點處可導，那么函數(shù)在點處連續(xù)，反之不成立. 函數(shù)具有連續(xù)性是函數(shù)具有可導性的必要條件，而不是充分條件.求函數(shù)的導數(shù)的一般步驟：求函數(shù)的改變量求平均變化率；取極限，得導數(shù) 幾種常見函數(shù)的導數(shù)：(為常數(shù))；()； ； ， ； 求導法則：法則 法則 , 法則： 復合函數(shù)的導數(shù)：設(shè)函數(shù)在點處有導數(shù)，函數(shù)在點的對應(yīng)點處有導數(shù)，則復合函數(shù)在點x處也有導數(shù)，且 或 復合函數(shù)的求導法則：復合函數(shù)對自變量的導數(shù)，等于已知函數(shù)對

3、中間變量的導數(shù)，乘以中間變量對自變量的導數(shù) 復合函數(shù)求導的基本步驟是：分解求導相乘回代 導數(shù)的幾何意義是曲線在點（）處的切線的斜率，即，要注意“過點的曲線的切線方程”與“在點處的切線方程”是不盡相同的，后者必為切點，前者未必是切點.問題1已知，求設(shè)函數(shù)在點處可導，求對于上可導的任意函數(shù)，若滿足，則必有 設(shè)函數(shù)，在上均可導，且，則當時，有 問題2的導函數(shù)的圖象如圖所示，則的圖象最有可能的是 問題3求下列函數(shù)的導數(shù)：； ； 問題4求過點且與曲線相切的直線方程.（全國文）過點作拋物線的切線，則其中一條切線為 （屆高三攸縣一中）已知曲線的一條切線方程是，則的值為 或 或（三）課后作業(yè)： 若,求（屆高三

4、皖南八校聯(lián)考）已知，則 （四）走向高考： 過原點作曲線的切線，則切點的坐標為 ，切線的斜率為 設(shè)函數(shù)（），若是奇函數(shù)，則 設(shè)，則 若曲線的一條切線與直線垂直，則的方程為 ；曲線在點處的切線與坐標軸所圍三角形的面積為 已知曲線的一條切線的斜率為，則切點的橫坐標為 已知函數(shù)的圖象在點處的切線方程是，則 曲線在點處的切線方程是 對正整數(shù)，設(shè)曲線在處的切線與軸交點的縱坐標為，則數(shù)列的前項和的公式是 已知函數(shù)在處取得極值. 討論和函數(shù)的的極大值還是極小值；過點作曲線的切線，求此切線方程.導數(shù)的應(yīng)用（一） 主要知識及主要方法：利用導數(shù)研究多項式函數(shù)單調(diào)性的一般步驟:求;確定在內(nèi)符號;若在上恒成立，則在上是

5、增函數(shù)；若在上恒成立，則在上是減函數(shù)為增函數(shù)（為減函數(shù)）.在區(qū)間上是增函數(shù)在上恒成立；在區(qū)間上為減函數(shù)在上恒成立.極大值： 一般地，設(shè)函數(shù)在點附近有定義，如果對附近的所有的點，都有，就說是函數(shù)的一個極大值，記作極大值，是極大值點.極小值：一般地，設(shè)函數(shù)在附近有定義，如果對附近的所有的點，都有就說是函數(shù)的一個極小值，記作極小值，是極小值點.極大值與極小值統(tǒng)稱為極值在定義中，取得極值的點稱為極值點，極值點是自變量的值，極值指的是函數(shù)值請注意以下幾點：（）極值是一個局部概念由定義，極值只是某個點的函數(shù)值與它附近點的函數(shù)值比較是最大或最小.并不意味著它在函數(shù)的整個的定義域內(nèi)最大或最小.（）函數(shù)的極值不

6、是唯一的即一個函數(shù)在某區(qū)間上或定義域內(nèi)極xs大值或極小值可以不止一個.（）極大值與極小值之間無確定的大小關(guān)系即一個函數(shù)的極大值未必大于極小值，如下圖所示，是極大值點，是極小值點，而.（）函數(shù)的極值點一定出現(xiàn)在區(qū)間的內(nèi)部，區(qū)間的端點不能成為極值點而使函數(shù)取得最大值、最小值的點可能在區(qū)間的內(nèi)部，也可能在區(qū)間的端點.當在點連續(xù)時，判別是極大、極小值的方法:若滿足，且在的兩側(cè)的導數(shù)異號，則是的極值點，是極值，并且如果在兩側(cè)滿足“左正右負”，則是的極大值點，是極大值；如果在兩側(cè)滿足“左負右正”，則是的極小值點，是極小值.求可導函數(shù)的極值的步驟:確定函數(shù)的定義區(qū)間，求導數(shù)求方程的根用函數(shù)的導數(shù)為的點，順次

7、將函數(shù)的定義區(qū)間分成若干小開區(qū)間，并列成表格.檢查在方程根左右的值的符號，如果左正右負，那么在這個根處取得極大值；如果左負右正，那么在這個根處取得極小值；如果左右不改變符號，那么在這個根處無極值.如果函數(shù)在某些點處連續(xù)但不可導，也需要考慮這些點是否是極值點 .函數(shù)的最大值和最小值: 一般地，在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)在上必有最大值與最小值說明：在開區(qū)間內(nèi)連續(xù)的函數(shù)不一定有最大值與最小值如函數(shù)在內(nèi)連續(xù)，但沒有最大值與最小值；函數(shù)的最值是比較整個定義域內(nèi)的函數(shù)值得出的；函數(shù)的極值是比較極值點附近函數(shù)值得出的函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，是在閉區(qū)間上有最大值與最小值的充分條件而非必要條件函數(shù)在其定義區(qū)間上的最大值、

8、最小值最多各有一個，而函數(shù)的極值可能不止一個，也可能沒有一個.利用導數(shù)求函數(shù)的最值步驟:由上面函數(shù)的圖象可以看出，只要把連續(xù)函數(shù)所有的極值與定義區(qū)間端點的函數(shù)值進行比較，就可以得出函數(shù)的最值了設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，在內(nèi)可導，則求在上的最大值與最小值的步驟如下：求在內(nèi)的極值；將的各極值與、比較得出函數(shù)在上的最值p求參數(shù)范圍的方法：分離變量法；構(gòu)造（差）函數(shù)法.構(gòu)造函數(shù)法是證明不等式的常用方法：構(gòu)造時要注意四變原則：變具體為抽象，變常量為變量，變主元為輔元，變分式為整式.通過求導求函數(shù)不等式的基本思路是：以導函數(shù)和不等式為基礎(chǔ)，單調(diào)性為主線，最(極值）為助手，從數(shù)形結(jié)合、分類討論等多視角進行綜合探索.（

9、二）典例分析： 問題1函數(shù)在定義域內(nèi)可導，其圖象如圖所示，記的導函數(shù)為，則不等式的解集為設(shè)均是定義在上的奇函數(shù)，當時，且，則不等式的解集是 問題2如果函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，并且方程的根都在區(qū)間內(nèi)，則的取值范圍為 已知，那么在區(qū)間上單調(diào)遞增在上單調(diào)遞增在上單調(diào)遞增 在上單調(diào)遞增函數(shù)，（）求的單調(diào)區(qū)間和極值；（）若關(guān)于的方程有個不同實根，求實數(shù)的取值范圍. （）已知當時，恒成立，求實數(shù)的取值范圍.問題3已知函數(shù)，其中（）當時，求曲線在點處的切線方程；（）當時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值問題4已知定義在正實數(shù)集上的函數(shù)，其中設(shè)兩曲線，有公共點，且在該點處的切線相同（）用表示，并求的最大值；（）求證：（）

10、若函數(shù)在上可導且滿足不等式恒成立，且常數(shù)滿足，則下列不等式一定成立的是 求滿足條件的的范圍：使為上增函數(shù)，則的范圍是 使為上增函數(shù)，則的范圍是 使為上增函數(shù)，則的范圍是 證明方程在上至多有一實根. 如果是二次函數(shù), 且的圖象開口向上,頂點坐標為, 那么曲線上任一點的切線的傾斜角的取值范圍是 如圖，是函數(shù)的大致圖像，1,3,5則等于 函數(shù)的定義域是開區(qū)間,導函數(shù)在內(nèi)的圖象如圖所示，則函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)有極小值點個 個 個 個函數(shù)的圖象如圖所示，且，則有 已知：，證明不等式：設(shè)恰有三個單調(diào)區(qū)間，試確定的取值范圍，并求出這三個單調(diào)區(qū)間已知函數(shù)在處取得極值求實數(shù)的值；若關(guān)于的方程 在區(qū)間上恰有兩個不同的實數(shù)根，求實數(shù)的取值范圍；證明：對任意的正整數(shù)，不等式都成立 （四）走向高考： 是定義在上的非負可導函數(shù)，且滿足對任意正數(shù)，若，則必有 已知二次函數(shù)的導數(shù)為，對于任意實數(shù)，有，則的最小值為 函數(shù)在下面哪個區(qū)間內(nèi)是增函數(shù) 曲線在點處的切線與軸、直線所圍成的三角形的面積為，則 已