選修2-2、2-3綜合測試題二(解析版)

1、高二數(shù)學(xué)選修2-2、2-3測試題一.選擇題（本大題共10小題，每小題5分，共50分）1. 過函數(shù)圖象上點O（0，0），作切線，則切線方程為 （ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】函數(shù)，導(dǎo)函數(shù)，時，所求切線斜率為，所求切線方程為，故選A.【方法點晴】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求曲線切線方程，屬于難題.求曲線切線方程的一般步驟是：（1）求出在處的導(dǎo)數(shù)，即在點 出的切線斜率（當(dāng)曲線在處的切線與軸平行時，在 處導(dǎo)數(shù)不存在，切線方程為）；（2）由點斜式求得切線方程.2. 設(shè),則 ( )A. 256 B. 0 C. D. 1【答案】D【解析】 ，令得，即，故選D.3. 定義運算，則(是虛數(shù)單位)為 (

2、 )A. 3 B. C. D. 【答案】B學(xué).科.網(wǎng).學(xué).科.網(wǎng).學(xué).科.網(wǎng).學(xué).科.網(wǎng).4. 任何進制數(shù)均可轉(zhuǎn)換為十進制數(shù),如八進制轉(zhuǎn)換成十進制數(shù)，是這樣轉(zhuǎn)換的：,十六進制數(shù),那么將二進制數(shù)轉(zhuǎn)換成十進制數(shù)，這個十進制數(shù)是 （ ）A. 12 B. 13 C. 14 D. 15【答案】B【解析】，所以將二進制數(shù)轉(zhuǎn)換成十進制數(shù)，這個十進制數(shù)是 ，故選B.5. 用數(shù)學(xué)歸納法證明：“兩兩相交且不共點的條直線把平面分為部分，則?！痹谧C明第二步歸納遞推的過程中，用到+ 。( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】當(dāng)時，有，那么當(dāng)時，從“到”左端需增加代數(shù)式 在證明第二步歸納遞推的過程中，用到，故選C

3、.6. 記函數(shù)表示對函數(shù)連續(xù)兩次求導(dǎo),即先對求導(dǎo)得,再對求導(dǎo)得,下列函數(shù)中滿足的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C7. 甲、乙速度與時間的關(guān)系如下圖，是時的加速度，是從到的路程，則與，與的大小關(guān)系是 ( )A. ， B. ，C. ， D. ，【答案】C【解析】因為加速度是速度對的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知，加速度是速度對函數(shù)的切線斜率，由圖可得在處，甲的切線斜率小于甲的切線斜率，即甲在處的加速度小于乙在處的加速度；由圖知到甲的速度總大于乙的速度，所以甲從到的路程大于乙從到的路程，只有選項符合題意，故選C.8. 如圖，螞蟻從A沿著長方體的棱以的方向行走至B，不同的行走路線有( )A.

4、6條 B. 7條 C. 8條 D. 9條【答案】A【解析】共有3個頂點與點相鄰，經(jīng)過每個相鄰頂點，按規(guī)定方向都有2條路徑到達點，所以，螞蟻從沿著長方體的棱以規(guī)定的方向行走至，不同的行走路線有：（條），故選A.9. 如圖，是導(dǎo)數(shù)y=f（x）的圖象，則函數(shù)y=f（x）的圖象是（）A. B. C. D. 【答案】D【解析】由的圖象可知，時，可得函數(shù)是減函數(shù)；時，可得函數(shù)是增函數(shù)；時，可得函數(shù)是減函數(shù)；由導(dǎo)函數(shù)圖象可知，時， ，說明時，函數(shù)的切線斜率趨向于零，由此可以判斷函數(shù)的圖象為，故選D.【方法點晴】本題通過對多個圖象的選擇考查函數(shù)的圖象與其導(dǎo)函數(shù)的圖象，屬于中檔題.這類題型也是近年高考常見的命題

5、方向，該題型的特點是綜合性較強較強、考查知識點較多，但是并不是無路可循.解答這類題型可以從多方面入手，根據(jù)函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、特殊點以及時函數(shù)圖象的變化趨勢，利用排除法，將不合題意的選項一一排除.10. 設(shè)，由到上的一一映射中，有7個數(shù)字和自身對應(yīng)的映射個數(shù)是 ( )A. 120 B. 240 C. D. 360【答案】B【解析】 有個元素，則由到上的一一映射中，分兩步：先挑出個數(shù)字和自身對應(yīng)共有種方法，剩余三個元素都不與自身對應(yīng)共有種對應(yīng)方式，所以，有個數(shù)字和自身對應(yīng)的映射個數(shù)是種，故選B.【方法點睛】本題主要考查分類計數(shù)原理與分步計數(shù)原理及排列組合的應(yīng)用，屬于難題.有關(guān)排列

6、組合的綜合問題，往往是兩個原理及排列組合問題交叉應(yīng)用才能解決問題，解答這類問題理解題意很關(guān)鍵，一定多讀題才能挖掘出隱含條件.解題過程中要首先分清“是分類還是分步”、“是排列還是組合”，在應(yīng)用分類計數(shù)加法原理討論時，既不能重復(fù)交叉討論又不能遺漏，這樣才能提高準(zhǔn)確率.二.填空題（本大題4個小題，每小題5分，共20分）11. 公式_揭示了微積分學(xué)中導(dǎo)數(shù)和定積分之間的內(nèi)在聯(lián)系;提供了求定積分的一種有效方法?！敬鸢浮俊窘馕觥咳?，則的不定積分為，所以可得定積分故答案為.12. 若有一組數(shù)據(jù)的總偏差平方和為100，相關(guān)指數(shù)=0.75，則其殘差平方和為_。【答案】25【解析】因為數(shù)據(jù)的總偏差平方和為，相關(guān)指數(shù)

7、，故答案為.13. 已知數(shù)列為等差數(shù)列，則有類似上三行,第四行的結(jié)論為_?！敬鸢浮俊窘馕觥坑^察前三個式子，可知三個式子的項數(shù)分別是，所以第四個式子有項，前三個式子奇數(shù)項為正，偶數(shù)項為負，項的系數(shù)滿足二項式定理系數(shù)的形式，所以第四項的結(jié)論：，故答案為.【方法點睛】本題通過觀察幾組多項式式，歸納出一般規(guī)律來考查歸納推理，屬于中檔題.歸納推理的一般步驟: 一、通過觀察個別情況發(fā)現(xiàn)某些相同的性質(zhì). 二、從已知的相同性質(zhì)中推出一個明確表述的一般性命題(猜想）. 常見的歸納推理分為數(shù)的歸納和形的歸納兩類：(1) 數(shù)的歸納包括數(shù)的歸納和式子的歸納，解決此類問題時，需要細心觀察，尋求相鄰項及項與序號之間的關(guān)系

8、，同時還要聯(lián)系相關(guān)的知識，如等差數(shù)列、等比數(shù)列等；(2) 形的歸納主要包括圖形數(shù)目的歸納和圖形變化規(guī)律的歸納.14. 已知長軸長為，短軸長為橢圓的面積為，則=_?！敬鸢浮俊窘馕觥吭O(shè)，則對應(yīng)的曲線為橢圓的上半部分，對應(yīng)的面積，根據(jù)積分的運算法則可得， ，故答案為.三.解答題（本大題6個小題，共80分）15. 如圖，陰影部分區(qū)域是由函數(shù)圖象，直線圍成，求這陰影部分區(qū)域面積?！敬鸢浮俊窘馕觥吭囶}分析：由定積分的幾何意義可知，所求陰影部分的面積為，利用微積分定理計算即可.試題解析：所求圖形面積為 .【方法點睛】本題主要考查定積分的幾何意義，屬于中檔題.一般情況下，定積分的幾何意義是介于軸、曲線 以及直

9、線之間的曲邊梯形面積的代數(shù)和 ，其中在軸上方的面積等于該區(qū)間上的積分值，在軸下方的面積等于該區(qū)間上積分值的相反數(shù),所以在用定積分求曲邊形面積時，一定要分清面積與定積分是相等還是互為相反數(shù)；兩條曲線之間的面積可以用兩曲線差的定積分來求解.16. 據(jù)研究,甲磁盤受到病毒感染，感染的量y(單位: 比特數(shù))與時間x(單位:秒)的函數(shù)關(guān)系是,乙磁盤受到病毒感染，感染的量y(單位: 比特數(shù))與時間x(單位:秒)的函數(shù)關(guān)系是,顯然當(dāng)時，甲磁盤受到病毒感染增長率比乙磁盤受到病毒感染增長率大.試根據(jù)上述事實提煉一個不等式,并證明之.【答案】【解析】試題分析：因為甲磁盤受到感染的感染增長率是的導(dǎo)數(shù),乙磁盤受到病毒

10、感染增長率為的導(dǎo)數(shù)，又因為當(dāng)時,甲磁盤受到病毒感染增長率比乙磁盤受到病毒感染增長率大，構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)證明即可.試題解析：因為甲磁盤受到感染的感染增長率是的導(dǎo)數(shù),乙磁盤受到病毒感染增長率為的導(dǎo)數(shù)又因為當(dāng)時,甲磁盤受到病毒感染增長率比乙磁盤受到病毒感染增長率大下面證明:,所以在上是增函數(shù), 即.17. (1)拋擲一顆骰子兩次,定義隨機變量試寫出隨機變量的分布列(用表格格式);(2)拋擲一顆骰子兩次,在第一次擲得向上一面點數(shù)是偶數(shù)的條件下,求第二次擲得向上一面點數(shù)也是偶數(shù)的概率【答案】（1）（2） 【解析】試題分析：（1）拋擲一顆骰子兩次,共有種不同結(jié)果，當(dāng)?shù)谝淮蜗蛏系拿娴狞c數(shù)等于第二次向上的面

11、點數(shù)時，有種情況，所以，由對立事件概率公式得，即可寫出隨機變量的分布列；（2）利用條件概率公式，即可得出結(jié)論.試題解析：(1)當(dāng)?shù)谝淮蜗蛏系拿娴狞c數(shù)等于第二次向上的面點數(shù)時,有6種情況,所以,由互斥事件概率公式得, )所以所求分布列是 (2)設(shè)第一次擲得向上一面點數(shù)是偶數(shù)的事件為A,第二次擲得向上一面點數(shù)是偶數(shù)的事件為B,在第一次擲得向上一面點數(shù)是偶數(shù)的條件下,第二次擲得向上一面點數(shù)也是偶數(shù)的概率為或18. 已知函數(shù)（1）求的極值；（2）請?zhí)詈孟卤?在答卷),并畫出的圖象(不必寫出作圖步驟)；（3）設(shè)函數(shù)的圖象與軸有兩個交點，求的值。【答案】（1）見解析（2）當(dāng)時有極大值7, 當(dāng)時有極小值-2

12、0（3）【解析】試題分析：（1）求導(dǎo)數(shù),解方程求出函數(shù)定義域內(nèi)的所有根；列表檢查在的根左右兩側(cè)值的符號，如果左正右負（左增右減），那么在處取極大值，如果左負右正（左減右增），那么在處取極小值；（2）直接將表格中數(shù)據(jù)代入解析式，然后描點、連線即可；（3）由（1）知當(dāng)時有極大值, 當(dāng)時有極小值，可得函數(shù)的圖象與軸有兩個交點時，或.試題解析：（1），令得-（2分）由表知,當(dāng)時有極大值7, 當(dāng)時有極小值-20.（2）畫對圖（3）由（1）知當(dāng)時有極大值, 當(dāng)時有極小值，再由（2）知，當(dāng)?shù)臉O大值或極小值為0時，函數(shù)的圖象與軸有兩個交點，即.19. 編輯一個運算程序：，（1）設(shè)，求；（2）由（1）猜想的通項

13、公式；（3）用數(shù)學(xué)歸納法證明你的猜想。【答案】（1）（2）（3）見解析【解析】試題分析：（1）根據(jù)運算程序，翻譯成四則運算可求得；（2）根據(jù)（1）中的結(jié)果，到每項的值都是項數(shù)的二倍，由此可猜得（3）驗證時，猜想成立，假設(shè)假設(shè)當(dāng)時，猜想成立，只需根據(jù)運算程序證明當(dāng)時猜想也成立即可.試題解析：（1），令，則由，得再令，則，得再令，則，得（2）由（1）猜想：（3）證明：當(dāng)時，另一方面，所以當(dāng)時等式成立.假設(shè)當(dāng)時，等式成立，即，此時， 那么，當(dāng)時所以當(dāng)時等式也成立.由知，等式對都成立.【方法點睛】本題考查歸納推理與數(shù)學(xué)歸納法、以及新定義問題，屬于難題.新定義題型的特點是：通過給出一個新概念，或約定一種

14、新運算，或給出幾個新模型來創(chuàng)設(shè)全新的問題情景，要求考生在閱讀理解的基礎(chǔ)上，依據(jù)題目提供的信息，聯(lián)系所學(xué)的知識和方法，實現(xiàn)信息的遷移，達到靈活解題的目的.遇到新定義問題，應(yīng)耐心讀題，分析新定義的特點，弄清新定義的性質(zhì)，按新定義的要求，“照章辦事”，逐條分析、驗證、運算，使問題得以解決.本題定義一個運算程序達到考查歸納推理與數(shù)學(xué)歸納法的目的.20. 為研究“在n次獨立重復(fù)試驗中,事件A恰好發(fā)生k次的概率的和”這個課題，我們可以分三步進行研究：（I）取特殊事件進行研究;()觀察分析上述結(jié)果得到研究結(jié)論；（）試證明你得到的結(jié)論。現(xiàn)在，請你完成:(1)拋擲硬幣4次,設(shè)分別表示正面向上次數(shù)為0次,1次,2次,3次,4次的概率,求(用分?jǐn)?shù)表示),并求;(2)拋擲一顆骰子三次,設(shè)分別表示向上一面點數(shù)是3恰好出現(xiàn)0次,1次,2次,3次的概率,求(用分?jǐn)?shù)表示),并求;(3)由(1)、(2)寫出結(jié)論,并對得到的結(jié)論給予解釋或給予證明.【答案】（1） （2），（3）在n次獨立重復(fù)試驗中,事件A恰好發(fā)生次的概率的和為1.【解析】試題分析：（1）拋擲硬幣擲得正面向上的次數(shù)服從二項分布，即，分別求得的值，可得的值；（2）拋擲骰子擲得向上一面點數(shù)是的的次數(shù)服從二項分布，即，分別求得