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文檔簡介
1、專項十 勾股定理與弦圖(三)華盛頓的傍晚親愛的小朋友們:“在那山的那邊海的那邊的美國首都華盛頓,有一位中年人,他聰明又勤奮,他潛心探討,他反復思考與演算”,那是1876年一個周末的傍晚,在美國首都華盛頓的郊外,有一位中年人正在散步,欣賞黃昏的美景,他就是當時美國俄亥俄州共和黨議員加菲爾德。他走著走著,突然發(fā)現(xiàn)附近的一個小石凳上,有兩個小孩正在聚精會神地談論著什么,時而大聲爭論,時而小聲探討。由于好奇心驅使,加菲爾德循聲向兩個小孩走去,想搞清楚兩個小孩到底在干什么。只見一個小男孩正俯著身子用樹枝在地上畫著一個直角三角形。于是加菲爾德便問他們在干什么?那個小男孩頭也不抬地說:“請問先生,如果直角三
2、角形的兩條直角邊分別為3和4,那么斜邊長為多少呢?”加菲爾德答道:“是5呀。”小男孩又問道:“如果兩條直角邊分別為5和7,那么這個直角三角形的斜邊長又是多少?”加菲爾德不加思索地回答到:“那斜邊的平方一定等于5的平方加上7的平方”小男孩說:“先生,你能說出其中的道理嗎?”加菲爾德一時語塞,無法解釋了,心里很不是滋味。加菲爾德不再散步,立即回家,潛心探討小男孩給他出的難題。他經(jīng)過反復思考與演算,終于弄清了其中的道理,并給出了簡潔的證明方法。 具體方法如下: 兩個全等的RtABC和RtBDE可以拼成直角梯形ACDE,則梯形面積等于三個直角三角形面積之和。即(ACDE)CD2ACBC2BDDE2AB
3、BE2(ab)22ab2ab2cc2化簡整理得a2b2c2點評:此種解法主要利用了三角形的面積公式:底高2,和梯形的面積公式:(上底+下底)高2而在我國對于勾股定理的證明又做出了那些貢獻哪?在我國古代,把直角三角形叫做勾股形。把直角三角形的較短直角邊稱為“勾”,較長直角邊為“股”,斜邊稱為“弦”,所以把這個定理稱為“勾股定理”。勾股定理揭示了直角三角形邊之間的關系。即:在直角三角形中倆條直角邊的平方和等于斜邊的平方。公元前11世紀的周髀算經(jīng)中提到:故折矩,以為句廣三,股修四、徑修五既方之.外半卿一矩,環(huán)而共盤.得成三、四、五 三國時期的趙爽注解道:句股各自乘,并之為弦實,開方除之,即弦.案:弦
4、圖又可以句股相乘為朱實二,倍之為朱實四,以句股之差自相乘為中黃實,加差之,亦成弦實漢朝張蒼、狄昌壽整理的九章算術第九卷為句股.其中解釋到:短面曰句,長面曰股,相與結角曰弦.句短其股,股短其弦 句股各自乘,并,而開方除之,即弦。勾股定理的證明: (1)方法一:將四個全等的直角三角形拼成如圖所示的正方形: (2)方法二:將四個全等的直角三角形拼成如圖所示的正方形: (3)方法三:“總統(tǒng)”法.如圖所示將兩個直角三角形拼成直角梯形: 勾股定理:直角三角形中的兩直角邊平方后的和等于斜邊的平方注:勾最短的邊、股較長的直角邊、弦斜邊。勾股定理實際上包含兩方面的內容:1. 如果一個三角形是直角三角形,那么兩條
5、直角邊的平方之和等于斜邊的平方; 如果一個三角形有兩邊的平方和等于第三邊的平方,那么它一定是直角三角形勾股數(shù):滿足a2 +b2=c2的三個正整數(shù),稱為勾股數(shù)勾股數(shù)擴大相同倍數(shù)后,仍為勾股數(shù)常用勾股數(shù):3、4、5; 5、12、13;7、24、25;8、15、17。弦圖:1.會用勾股定理解決簡單問題。2.會用勾股定理的逆定理判定三角形是否為直角三角形3.勾股定理與弦圖的聯(lián)系與應用【例1】如圖,以一個直角三角形的三邊為邊長分別向外作三個正方形,如果兩個較大正方形的面積分別是和,那么最小的正方形的面積為 【鞏固】如圖,所有的四邊形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形,其中最大的正方形的邊和長為7cm
6、,則正方形A,B,C,D的面積之和為_cm2。7cm【例2】已知,如圖,四邊形ABCD中,AB=3cm,AD=4cm,BC=13cm,CD=12cm,且A=90,求四邊形ABCD的面積。【例3】在B港有甲、乙兩艘漁船,若甲船沿北偏東0方向以每小時8海里的速度前進,乙船沿南偏東某個角度以每小時15海里的速度前進,2小時后,甲船到M島,乙船到P島,兩島相距34海里,你知道乙船是沿哪個方向航行的嗎?【鞏固】如圖,某沿海開放城市A接到臺風警報,在該市正南方向100km的B處有一臺風中心,沿BC方向以20km/h的速度向D移動,已知城市A到BC的距離AD=60km,那么臺風中心經(jīng)過多長時間從B點移到D點
7、?如果在距臺風中心30km的圓形區(qū)域內都將有受到臺風的破壞的危險,正在D點休閑的游人在接到臺風警報后的幾小時內撤離才可脫離危險?【例4】 從一個正方形的木板上鋸下寬0.5米的一個長方形木條以后,剩下的長方形的面積為5平方米,問鋸下的長方形木條的面積等于多少?【鞏固】 從一塊正方形玻璃上裁下寬為16分米的一長方形條后,剩下的那塊長方形的面積為336平方分米,原來正方形的面積是多少平方分米?【例5】如圖,P是正方形ABCD外面一點,船為12厘米.APB的面積是90平方厘米,ACPB的面積是48平方厘米請你回答:正方形ABCD的面積是多少平方厘米?【鞏固】有一個長方形,它的長是寬的4倍,對角線長34
8、cm。求這個長方形的面積?!纠?】.如圖,EFGH是正方形ABCD的內接四邊形,四邊形EFGH的面積是94.5.已知EG=15,FH=13,求正方形ABCD的面積 【鞏固】如圖所示,在四邊形ABCD中,E,F(xiàn),G,H分別是ABCD各邊的中點,求陰影部分與四邊形PQRS的面積之比。 【例7】.如圖,一張長14厘米,寬11厘米的長方形紙片最多能裁出多少個長4厘米、寬1厘米的紙片?怎樣裁?請畫圖說明【鞏固】三個面積都是12的正方形放在一個長方形的盒子里面,如圖7-15,盒中空白部分的面積已經(jīng)標出,求圖中大長方形的面積?【例8】.有5個長方形,它們的長和寬都是整數(shù),且5個長和5個寬恰好是110這10個
9、整數(shù);現(xiàn)在用這5個長方形拼成1個大正方形,那么,大正方形面積的最小值為多少?【鞏固】已知兩數(shù)的和為3,兩數(shù)的積為1.25,求兩數(shù)? 【例9】.如圖,A在線段BG上,ABCD和DEFG都是正方形,面積分別為7和11.求三角形CDE的面積的平方值? 【鞏固】(第8屆華羅庚金杯賽小學組第一試決賽試題第4題)如圖32-6(b),平面上CDEF是正方形,ABCD是等腰梯形,它的上底肋為23厘米,下底口C為35厘米.求三角形ADE的面積 【例10】園林小路,曲徑通幽.如圖32-7所示,小路由白色正方形石板和青、紅兩色的三角形石板鋪成.問:內圈三角形石板的總面積大,還是外圈三角形的總面積大?請說明理由 【鞏
10、固】一個長方形若能分割成大小不一樣的小正方形,則稱它為完美長方形。下圖完美長方形可以分割成9個小正方形,其中小正方形A和B的邊長分別為5厘米和9厘米,那么大長方形的面積是多少平方厘米?1、四個完全一樣的直角三角形和一個小正方形拼成一個大正方形(如圖)如果小正方形的面積是1平方米,大正方形的面積是5平方米,那么直角三角形中,最短的直角邊長度是 米。2、請問下圖正方形的面積是 平方厘米。3、如圖7-4,一個邊長為1米的正方形被分成4個小長方形,他們的面積分別是平方米、平方米、平方米和平方米。已知圖中的陰影部分是正方形,那么它的面積是多少平方米?根據(jù)直角三角形計算出三角形中第三邊的長度,在計算時可以
11、借助分解質因數(shù),或者根據(jù)三遍關系判斷是直角三角形;有直角的通過加輔助線構造直角三角形;通過對弦圖進行觀察分析得出構成弦圖的直角三角形兩直角邊的關系,始終要有方程意識1、左下圖中有三個直角三角形。請問x= 厘米。 2、用同樣的長方形條磚,在一叢花的周圍鑲成一個正方形邊框,如右圖.邊框的周長為264厘米.里邊小正方形的面積為900平方厘米,問每塊長方形條磚的長和寬各是多少厘米?3如下圖所示,紅、黃、綠三塊大小一樣的正它們方形紙片,放在一個正方形盒內,它們之間相互疊合,已知露在外面的部分中,紅色的面積是20,黃色的面積是14,綠色的面積是10,那么,正方形盒子的底面積是_ (2003年一零一培訓學校期末考試題(2003年12月)第17題)4如圖:長方形的面積是小于100的整數(shù),他的內部由三個邊長是整數(shù)的正方形,正方形的邊長是長方形長的,正方形的邊長是長方形寬的
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