高中數(shù)學(xué)-基本不等式(考題)

1、第三講基本不等式題組1利用基本不等式比較大小1.2015陜西,9,5分設(shè)f(x)=ln x,0ab,若p=f(ab),q=f(a+b2),r=12( f(a)+f(b),則下列關(guān)系式中正確的是() A.q=rp B.p=rp D.p=rq題組2利用基本不等式求最值2.2015福建,5,5分文若直線xa+yb=1(a0,b0)過(guò)點(diǎn)(1,1),則a+b的最小值等于()A.2B.3C.4D.53.2014重慶,9,5分文若log4(3a+4b)=log2ab,則a+b的最小值是()A.6+23 B.7+23C.6+43 D.7+434.2013山東,12,5分設(shè)正實(shí)數(shù)x,y,z滿足x2-3xy+4y

2、2-z=0,則當(dāng)xyz取得最大值時(shí),2x+1y-2z的最大值為 ()A.0B.1C.94D.35.2017山東,12,5分文若直線xa+yb=1(a0,b0)過(guò)點(diǎn)(1,2),則2a+b的最小值為.6.2017天津,13,5分文若a,bR,ab0,則a4+4b4+1ab的最小值為.7.2015山東,14,5分文定義運(yùn)算“”:xy=x2-y2xy(x,yR,xy0).當(dāng)x0,y0時(shí),xy+(2y)x的最小值為.8.2015重慶,14,5分文設(shè)a,b0,a+b=5,則a+1+b+3的最大值為.題組3基本不等式的實(shí)際應(yīng)用9.2017江蘇,10,5分文某公司一年購(gòu)買某種貨物600噸,每次購(gòu)買x噸,運(yùn)費(fèi)為

3、6萬(wàn)元/次,一年的總存儲(chǔ)費(fèi)用為4x萬(wàn)元.要使一年的總運(yùn)費(fèi)與總存儲(chǔ)費(fèi)用之和最小,則x的值是.10.2014湖北,16,5分文某項(xiàng)研究表明:在考慮行車安全的情況下,某路段車流量F(單位時(shí)間內(nèi)經(jīng)過(guò)測(cè)量點(diǎn)的車輛數(shù),單位:輛/小時(shí))與車流速度v(假設(shè)車輛以相同速度v行駛,單位:米/秒)、平均車長(zhǎng)l(單位:米)的值有關(guān),其公式為F=76000vv2+18v+20l.()如果不限定車型,l=6.05,則最大車流量為輛/小時(shí);()如果限定車型,l=5,則最大車流量比()中的最大車流量增加輛/小時(shí).A組基礎(chǔ)題1.2018長(zhǎng)春市高三第一次質(zhì)量監(jiān)測(cè),7已知x0,y0,且4x+y=xy,則x+y的最小值為()A.8

4、B.9 C.12 D.162.2018合肥市高三調(diào)研,11已知ab0,則a+4a+b+1a-b的最小值為()A.3102 B.4 C.23 D.323.2018湖北省部分重點(diǎn)中學(xué)高三聯(lián)考,9已知關(guān)于x的不等式x2-4ax+3a20(a0,b0)經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2,3),則a+b的最小值為.B組提升題6.2018豫西南部分示范性高中聯(lián)考,9已知正項(xiàng)等比數(shù)列an的公比為2,若aman=4a22,則2m+12n的最小值等于()A.1 B. 12 C.34 D.327.2017沈陽(yáng)三模,10直線ax+by+1=0與圓x2+y2=1相切,則a+b+ab的最大值為()A.1 B.-1 C.2+12D.2+18.2

5、017鄭州市高三一測(cè),10設(shè)正實(shí)數(shù)x,y滿足x12,y1,不等式4x2y-1+y22x-1m恒成立,則m的最大值為()A.22 B.42 C.8 D.169.2017廣東五校一診,16兩圓x2+y2+2ax+a2-4=0和x2+y2-4by-1+4b2=0恰有三條公切線,若aR,bR且ab0,則1a2+1b2的最小值為.10.2018天津市濱海新區(qū)八校聯(lián)考已知ab0,且ab=1,那么a2+b2a-b取最小值時(shí),b=.答案1.B因?yàn)?aab,又f(x)=ln x在(0,+)上單調(diào)遞增,故f(ab)p,因?yàn)閞=12(f(a)+f(b)=12(ln a+ln b)=ln ab=f(ab)=p,所以p

6、=r0,b0)過(guò)點(diǎn)(1,1),所以1a+1b=1,所以1=1a+1b21a1b=2ab(當(dāng)且僅當(dāng)a=b=2時(shí)取等號(hào)),所以ab2.又a+b2ab(當(dāng)且僅當(dāng)a=b=2時(shí)取等號(hào)),所以a+b4(當(dāng)且僅當(dāng)a=b=2時(shí)取等號(hào)),故選C.解法二因?yàn)橹本€xa+yb=1(a0,b0)過(guò)點(diǎn)(1,1),所以1a+1b=1,所以a+b=(a+b)(1a+1b)=2+ab+ba2+2abba=4(當(dāng)且僅當(dāng)a=b=2時(shí)取等號(hào)),故選C.3.D因?yàn)閘og4(3a+4b)=log2ab,所以log4(3a+4b)=log4(ab),即3a+4b=ab,且3a+4b0,ab0,即a0,b0,所以4a+3b=1(a0,b0)

7、,所以a+b=(a+b)(4a+3b)=7+4ba+3ab7+24ba3ab=7+43,當(dāng)且僅當(dāng)4ba=3ab時(shí)取等號(hào),故選D.4.Bxyz=xyx2-3xy+4y2=1xy+4yx-314-3=1,當(dāng)且僅當(dāng)x=2y時(shí)等號(hào)成立,此時(shí)z=2y2,2x+1y-2z=-1y2+2y=-(1y-1)2+11,當(dāng)且僅當(dāng)y=1時(shí)等號(hào)成立,故選B.5.8直線xa+yb=1(a0,b0)過(guò)點(diǎn)(1,2),1a+2b=1,a0,b0,2a+b=(2a+b)(1a+2b)=4+ba+4ab4+2ba4ab=8,當(dāng)且僅當(dāng)ba=4ab,即a=2,b=4時(shí)等號(hào)成立,2a+b的最小值為8.6.4a4+4b4+1ab=a3b

8、+4b3a+1ab,因?yàn)閍b0,所以由基本不等式可得a3b+4b3a+1ab2a3b4b3a+1ab=4ab+1ab4,當(dāng)且僅當(dāng)a3b=4b3a,4ab=1ab同時(shí)成立時(shí)等號(hào)成立.7.2因?yàn)閤0,y0,所以xy+(2y)x=x2-y2xy+4y2-x22xy=x2+2y22xy=12(xy+2yx)2,當(dāng)且僅當(dāng)xy=2yx,即x=2y時(shí)取等號(hào).故xy+(2y)x的最小值為2.8.32(a+1+b+3)2=a+b+4+2a+1b+39+2(a+1)2+(b+3)22=9+a+b+4=18,所以a+1+b+332,當(dāng)且僅當(dāng)a+1=b+3且a+b=5,即a=72,b=32時(shí)等號(hào)成立.所以a+1+b+

9、3的最大值為32.9.30一年購(gòu)買 600x 次,則總運(yùn)費(fèi)與總存儲(chǔ)費(fèi)用之和為600x6+4x=4(900x+x)8900xx=240,當(dāng)且僅當(dāng)x=30時(shí)取等號(hào),故總運(yùn)費(fèi)與總存儲(chǔ)費(fèi)用之和最小時(shí)x的值是30.10.()1 900F=76000v+206.05v+18+18=1 900,當(dāng)且僅當(dāng)v=11時(shí)等號(hào)成立.()100F=76000v+205v+18+18=2 000,當(dāng)且僅當(dāng)v=10時(shí)等號(hào)成立,2 000-1 900=100.A組基礎(chǔ)題1.B由4x+y=xy得4y+1x=1,則x+y=(x+y)(4y+1x)=4xy+yx+1+424+5=9,當(dāng)且僅當(dāng)4xy=yx,即x=3,y=6時(shí)取“=”

10、,故選B.2.D因?yàn)閍b0,所以a+4a+b+1a-b=12(a+b+8a+b+a-b+2a-b)(a+b)8a+b+(a-b)2a-b=22+2=32,當(dāng)且僅當(dāng)a+b=8a+b,a-b=2a-b,即a=322,b=22時(shí)等號(hào)成立.故選D.3.D不等式x2-4ax+3a20(a0)的解集為(x1,x2), 在方程x2-4ax+3a2=0中,由根與系數(shù)的關(guān)系知x1x2=3a2,x1+x2=4a,則x1+x2+ax1x2=4a+13a. a0,所以 a-10,所以2a-1+1b-2=2a-1+12aa-1-2=2a-1+a-1222a-1a-12=2,當(dāng)且僅當(dāng)2a-1=a-12,即a=b=3時(shí)等號(hào)

11、成立,所以2a-1+1b-2的最小值為2,故選A.5.5+26因?yàn)橹本€l經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2,3),所以2a+3b-ab=0,所以b=2aa-30,所以a-30,所以a+b=a+2aa-3=a-3+6a-3+55+2(a-3)6a-3=5+26,當(dāng)且僅當(dāng)a-3=6a-3,即a=3+6,b=2+6時(shí)等號(hào)成立.B組提升題6.C由題意知,aman=a122m+n-2=4a22=4a1222=a1224,故得到m+n=6,所以2m+12n=16(2m+12n)(m+n)=16(52+2nm+m2n)16(52+2)=34,當(dāng)且僅當(dāng)2nm=m2n,即m=2n時(shí)等號(hào)成立.故選C.7.C直線ax+by+1=0與圓x2

12、+y2=1相切,圓心O(0,0)到直線ax+by+1=0的距離等于半徑,即1a2+b2=1a2+b2=1,易知a+b+ab的最大值一定在a0,b0時(shí)取得,a+b+ab=(a+b)2+ab=1+2ab+ab.令1+2ab=t,則ab=t2-12.aba2+b22=12(當(dāng)且僅當(dāng)a=b=22時(shí)取“=”)且ab0,10,y-10,4x2y-1+y22x-1=(2x-1)+12y-1+(y-1)+122x-14(2x-1)y-1+4(y-1)2x-1422x-1y-1y-12x-1=8,即4x2y-1+y22x-18,當(dāng)且僅當(dāng)2x-1=1,y-1=1,2x-1y-1=y-12x-1,即x=1,y=2時(shí)取等號(hào),即4x2y-1+y22x-1的最小值是8,故m8,即m的最大值是8,選C.9.1將方程x2+y2+2ax+a2-4=0和x2+y2-4by-1+4b2=0分別配方,得(x+a)2+y2=4,x2+(y-2b)2=1, 依題意得兩圓相外切,故a2+4b2=1+2=3,即a2+4b2=9,1a2+1b2=(a29