高中數(shù)學(xué)新教材變式題

1、 忠實(shí)課本，拔高課本 課本是學(xué)生學(xué)習(xí)和教師教學(xué)的“本”，高考選拔人才必然要以這個(gè)“本”為依據(jù)，那么高三復(fù)習(xí)肯定要忠實(shí)于課本，以課本為基礎(chǔ)，根據(jù)數(shù)學(xué)課的特點(diǎn)，應(yīng)該在歸納課本上的思想方法的基礎(chǔ)上“拔高”課本，使課本上的思想方法得到“升華”。那么在具體復(fù)習(xí)時(shí)我通常是引導(dǎo)學(xué)生將課本例題習(xí)題多題一組，編擬問題鏈，形成“合力”，加強(qiáng)題與題之間的橫向聯(lián)合。并且將題目一變多，使學(xué)生對(duì)此問題更深入，更透徹。下面就是我通過課本例題習(xí)題改編的題目。1 人教A版選修2-2第79頁例1：已知數(shù)列的第1項(xiàng)，且，試歸納出這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式變式1：已知數(shù)列的第1項(xiàng)，且，試歸納出這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式解：，一般地有；本題也可以直接

2、求出通項(xiàng)公式由得，即，所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為2的等差數(shù)列，則，而，則理科學(xué)生還可以先歸納，提出猜想，然后用數(shù)學(xué)歸納法證明變式2：已知數(shù)列的第1項(xiàng)，且，試歸納出這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式解：，一般地有；本題也可以直接求出通項(xiàng)公式由得，即，所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，則，而，則由變式（1）、變式（2）你能總結(jié)出什么規(guī)律？對(duì)滿足型的數(shù)列，當(dāng)時(shí)采取取倒數(shù)的方法即可得出數(shù)列是等差數(shù)列，再根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求出數(shù)列的通項(xiàng)變式3：（2005年高考湖南卷）已知數(shù)列的第1項(xiàng)，且，則A0 B C D解法1：由于，則，由此歸納出數(shù)列是以3為周期的數(shù)列，則，選B解法2：，令，則，則，即，而，則，；變式4：（

3、2007年廣州市高考二模）已知數(shù)列滿足，（），則的值為 ， 的值為 【思路1】分別求出、，可以發(fā)現(xiàn)，且，故【思路2】由，聯(lián)想到兩角和的正切公式，設(shè)，則有，則，故從以上變式3到變式5，你能受到什么啟發(fā)呢？結(jié)構(gòu)與兩角和或差正切公式相似，這樣的數(shù)列一定是周期數(shù)列2.原題（選修2-2第五十六頁例1）改編 由曲線，所圍成圖形的面積為_解：聯(lián)立 得焦點(diǎn)坐標(biāo)（0,0），（1,1） 而表示單位圓在第一象限內(nèi)的部分= 故填立（略）3.（原題選修2-2 第77頁練習(xí)2）改編 將楊輝三角中的奇數(shù)換成1，偶數(shù)換成0，得到如圖所示的01三角數(shù)表從上往下數(shù)，第1次全行的數(shù)都為1的是第1行，第2次全行的數(shù)都為1的是第3行，

4、第n次全行的數(shù)都為1的是第_行；第61行中1的個(gè)數(shù)是_答案2n1324人教A版選修2-2第83頁例3：類比平面內(nèi)直角三角形的勾股定理，試給出空間中四面體性質(zhì)的猜想變式1：直角三角形與直角四面體的性質(zhì)類比平面內(nèi)直角三角形的性質(zhì)空間中直角四面體的性質(zhì)在ABC中，BCA=900，點(diǎn)C在AB上的射影為D，則有下列結(jié)論:(1) 點(diǎn)D在線段AB上(2) ABAC,ABBC, 即直角三角形三邊中斜邊最長.(3) 射影定理: AC2=ADAB, CB2=DBAB,CD2=ADDB(4)在四面體SABC中，三個(gè)平面SAB、平面SBC、平面SAC兩兩垂直，點(diǎn)S在底面上的射影為O,則有類似結(jié)論:(1) 點(diǎn)O在ABC

5、內(nèi)(2) ABC，ABS，SBC，ASC中，ABC的面積最大；(3)(4)以上結(jié)論的證明如下：（1）由題設(shè)SA，SB，SC兩兩垂直，則三角形SBC為直角三角形，則斜邊BC邊上的高SD在三角形SBC內(nèi)，即點(diǎn)D在BC上，連結(jié)AD，則BC平面SAD，則平面ABC平面ASD，過點(diǎn)S在面SAD內(nèi)作SOAD于O，則SO平面ABC，即點(diǎn)S在平面ABC的射影為O；由于三角形SAD為直角三角形，則斜邊AD上的高的垂足O在線段AD上，即O在三角形ABC內(nèi)（2）由于，SAD為直角三角形，則斜邊，故；同理可證：，（3），而在直角三角形ASD中，因此 ，同理可證，（4）在直角三角形SAD中，由于SOAD于O，則，在直角

6、三角形SBC中，由于SDBC于D，則，因此變式2：平面內(nèi)的一般三角形與空間中的四面體性質(zhì)類比三角形四面體三角形兩邊之和大于第三邊.四面體任意三個(gè)面的面積之和大于第四個(gè)面的面積三角形的三條內(nèi)角平分線交于一點(diǎn)且該點(diǎn)是三角形內(nèi)切圓的圓心.四面體的六個(gè)二面角的平分面交于一點(diǎn)，且該點(diǎn)是四面體內(nèi)切球的球心三角形任意兩邊中點(diǎn)的連線平行于第三邊，且等于第三邊的一半.四面體任意三條棱的中點(diǎn)連成的三角形的面積等于第四個(gè)面面積的,且該三角形所在平面平行于第四個(gè)面.三角形的任何一條邊上的中線將三角形分成面積相等的兩部分.四面體的任何一個(gè)三角形面上的一條中線和這個(gè)三角形所在平面外一頂點(diǎn)所確定的平面將這個(gè)四面體分成體積相

7、等的兩部分三角形的三條中線交于一點(diǎn)，且三角形的每一條中線被該點(diǎn)分成的兩段的比為2：1.將四面體的每一個(gè)頂點(diǎn)和對(duì)面的重心相連接，所得四條線段交于一點(diǎn)，且其中每一條線段被交點(diǎn)分成的兩段的比都是3：1在ABC中，的平分線交BC于D，則；在四面體ABCD中，二面角C-AB-D的平分面交棱CD于點(diǎn)E，則，；在ABC中，（正弦定理）在四面體ABCD中，棱AB與面ACD、BCD的夾角分別，則設(shè)ABC的三邊長分別為、，ABC的面積為，內(nèi)切圓半徑為，外接圓半徑為，則（1）（2）四面體SABCD的四個(gè)側(cè)面的面積分別為，內(nèi)切球的半徑為，外接球的半徑為，則（1）（2）以上性質(zhì)，限于篇幅，不再一一證明變式3：平面內(nèi)三角

8、形與空間中的三棱柱性質(zhì)類比三角形三棱柱三角形的三個(gè)內(nèi)角之和為180三棱柱的任意兩個(gè)側(cè)面所成的三個(gè)二面角之和為180三角形中任意兩個(gè)兩邊之和大于第三邊三棱柱的任意兩個(gè)側(cè)面的面積之和大于第三個(gè)側(cè)面的面積三角形中較大的邊所對(duì)的角較大；反之，較大的角所對(duì)的邊也較大三棱柱中面積較大的側(cè)面所對(duì)的二面角較大；反之，較大的二面角所對(duì)的側(cè)面的面積也較大三角形內(nèi)角平分線定理：在ABC中，的平分線交BC于D，則在三棱柱ABC-A1B1C1中，平面BB1GH平分面角ABB1C1，則正弦定理：在ABC中，有如圖，在三棱柱ABCA1B1C1中，二面角BAA1C、CBB1A、BCC1A所成的二面角分別為、，則有余弦定理：在

9、ABC中，有 在三棱柱ABCA1B1C1中，二面角BAA1C、CBB1A、BCC1A所成的二面角分別為、，則三角形的面積為在三棱柱ABCA1B1C1中，棱CC1到側(cè)面A1ABB1的距離為，則三棱柱ABCA1B1C1的體積為圖4以上性質(zhì)證明的關(guān)鍵是構(gòu)造直截面（與側(cè)棱垂直的截面），轉(zhuǎn)化為平面問題，以正弦定理的拓廣為例，其余的類似證明（6）如圖4，在三棱柱ABCA1B1C1中，二面角BAA1C、CBB1A、BCC1A所成的二面角分別為、，則 ；證明：作平面DEF與三棱柱ABC-A1B1C1側(cè)棱垂直，分別交側(cè)棱AA1，BB1 ，CC1于點(diǎn)D，E，F(xiàn)，則=，在DEF中，根據(jù)正弦定理得，即而，且，因此5人

10、教A版選修2-2第96頁例1 在ABC中，三個(gè)內(nèi)角A，B，C對(duì)應(yīng)的邊分別為，且A，B，C成等差數(shù)列，成等比數(shù)列，求證ABC為等邊三角形變式1：在ABC中，三個(gè)內(nèi)角A，B，C對(duì)應(yīng)的邊分別為，且A，B，C成等差數(shù)列，也成等差數(shù)列，求證ABC為等邊三角形 證明：由A，B，C成等差數(shù)列知，由余弦定理知，又也成等差數(shù)列，代入上式得，整理得，從而，而，則，從而ABC為等邊三角形變式2：在ABC中，三個(gè)內(nèi)角A，B，C對(duì)應(yīng)的邊分別為，且成等比數(shù)列，成等差數(shù)列，求證ABC為等邊三角形證明：由于成等比數(shù)列，則，即 （1）又成等差數(shù)列，則 則，由于，即 （2）將（2）式代入（1）式得：，或（舍去），而， （3）將（

11、3）代入（1）得：，由于，因此，從而ABC為等邊三角形變式3：在ABC中，三個(gè)內(nèi)角A，B，C對(duì)應(yīng)的邊分別為，且成等比數(shù)列，成等比數(shù)列，求證ABC為等邊三角形證明：由于成等比數(shù)列，則，即 （1）又成等比數(shù)列，則，即 （2）將（2）代入（1）得：，或（舍去）而， （3）將（3）代入（1）得：，由于，因此，從而ABC為等邊三角形變式4：在ABC中，三個(gè)內(nèi)角A，B，C對(duì)應(yīng)的邊分別為，且成等差數(shù)列，成等差數(shù)列，求證ABC為等邊三角形證明：由于成等差數(shù)列，則= （1）又成等差數(shù)列，則，由于， （2）將（1）代入（2）得，而， （3）將（3）代入（2）得：，由于，因此，從而ABC為等邊三角形 變式5： 在ABC中，三個(gè)內(nèi)角A，B，C對(duì)應(yīng)的邊分別為，且成等差數(shù)列，成等比數(shù)列，求證ABC為等邊三角形證明：由于成等差數(shù)列，則=，則 （1）又成等比數(shù)列，則，即 （2）將(1)代入(2)整理得:即，分解因式得，或（舍去）或（舍去）而， （3）將（3）代入（2）得：，由于，因此，從而ABC為等邊三角形 當(dāng)然，我們強(qiáng)調(diào)復(fù)習(xí)課應(yīng)回歸教材，并不是