第六章1彎曲變形

1、彎 曲 變 形,第 六 章, 62 梁的撓曲線近似微分方程, 64 用疊加法求彎曲變形, 66 梁的剛度校核 提高梁剛度的措施, 65 簡單超靜定梁的解法, 61 概述, 63 用積分法求彎曲變形,一，基本概念, 61 概 述,撓曲線方程為,式中 ，x 為梁變形前軸線上任一點(diǎn)的橫坐標(biāo) ，y為該點(diǎn)的撓度。,撓曲線,撓曲線,撓度：向上為正，向下為負(fù)。,轉(zhuǎn)角：自 x 轉(zhuǎn)至 切線方向，逆時(shí)針轉(zhuǎn)為正，順時(shí)針轉(zhuǎn)為負(fù)。,撓曲線,6-2 撓曲線近似微分方程,橫力彎曲時(shí), M 和 都是 x 的函數(shù) 。略去剪力對(duì)梁的位移 的影響, 則,純彎曲時(shí)曲率與彎矩的關(guān)系為,由幾何關(guān)系知, 平面曲線的曲率可寫作,y,在規(guī)定的

2、坐標(biāo)系中, x 軸水平向右 為正, y 軸豎直向上為正。,曲線向上凸 時(shí) : y“ 0 , M 0,曲線向下凸 時(shí) ： y“ 0 , M 0,因此, M 與 y 的正負(fù)號(hào)相同,此式稱為 梁的撓曲線近似微分方程,近似原因 : (1) 略去了剪力的影響 ; (2) 略去了 y2 項(xiàng)。,與 1 相比十分微小而可以忽略不計(jì), 故上式可近似為,再積分一次, 得撓度方程,上式積分一次得轉(zhuǎn)角方程,若為等截面直梁, 其抗彎剛度 EI 為一常量上式可改寫成, 63 用積分法求彎曲變形,撓度方程：,轉(zhuǎn)角方程：,式中：積分常數(shù) C1 、C2 可通過梁撓曲線的 邊界條件 和 變形 連續(xù)性條件 來確定。,在簡支梁中，

3、左右兩鉸支座處的 撓度 yA 和 yB 都應(yīng)等于零。,在懸臂梁 中，固定端處的撓度 y 和轉(zhuǎn)角 A都應(yīng)等于零。,邊界條件,yA= 0,yB = 0,yA= 0,A= 0,連續(xù)性條件,在撓曲線的任一點(diǎn)上， 有唯一的撓度和轉(zhuǎn)角。,例題 ： 圖示一抗彎剛度為EI的懸臂梁, 在自由端受一 集中力P作用。試求梁的撓曲線方程和轉(zhuǎn)角方程, 并確定其 最大撓度 fmax 和最大轉(zhuǎn)角 max .,彎矩方程為,解：,撓曲線的近似微分方程為,對(duì)撓曲線近似微分方程進(jìn)行積分,邊界條件為 :,C1=0 C2=0,C1=0 C2=0,梁的轉(zhuǎn)角方程和撓曲線方程分別為,例題： 圖示一抗彎剛度為 EI 的簡支梁, 在全梁上受集度

4、為 q 的均布荷載作用。試求此梁的撓曲線方程和轉(zhuǎn)角方程, 并確定其最大撓度 fmax 和最大轉(zhuǎn)角 max .,解: 由對(duì)稱性可知，梁的兩個(gè)支反力為,梁的 彎矩方程 及 撓曲線微分方程 分別為,(c),(d),邊界條件為 :,將邊界條件代入 (c) , (d) 兩式得,梁的轉(zhuǎn)角方程和撓度方程分別為,在 x = 0 和 x = l 處轉(zhuǎn)角的 絕對(duì)值相等且都是 最大值，,在梁跨中點(diǎn) l /2 處有 最大撓度值,A,B,q,例題 ： 圖示一抗彎剛度為 EI 的簡支梁, 在 D點(diǎn)處受一集中 力 P 的作用。試求此梁的撓曲線方程和轉(zhuǎn)角方程，并求其最大 撓度和最大轉(zhuǎn)角。,解: 梁的兩個(gè)支反力為,兩段梁的彎矩

5、方程分別為,兩段梁的撓曲線方程分別為,代入方程可解得:,兩段梁的撓曲線方程分別為,1,2,將 x = 0 和 x = l 分別代入轉(zhuǎn)角方程左右兩支座處截面的轉(zhuǎn)角,當(dāng) a b 時(shí), 右支座處截面的轉(zhuǎn)角絕對(duì)值為最大,當(dāng) a b時(shí)，x1a 最大撓度確實(shí)在第一段梁中,梁中點(diǎn) C 處的撓度為,結(jié)論: 在簡支梁中, 不論它受什么荷載作用, 只要撓曲線上 無 拐點(diǎn), 其最大撓度值都可用梁跨中點(diǎn)處的撓度值來代替, 其精確度是能滿足工程要求的.,6-4 疊加法求梁變形 梁的剛度校核,疊加原理：梁的變形微小， 且梁在線彈性范圍內(nèi)工作時(shí)， 梁在幾項(xiàng)荷載（可以是集中力, 集中力偶或分布力）同時(shí) 作用下的撓度和轉(zhuǎn)角，

6、就分別等于每一荷載單獨(dú)作用下 該截面的撓度和轉(zhuǎn)角的疊加。 當(dāng)每一項(xiàng)荷載所引起的 撓度為同一方向（如均沿 y 軸方向 ), 其轉(zhuǎn)角是在同一平面內(nèi) ( 如均在 xy 平面內(nèi) ) 時(shí),則疊加就是代數(shù)和。 這就是疊加原理。,一，疊加法求梁變形,例題：一抗彎剛度為 EI 的簡支梁受荷載如 圖 a 所示。 試按疊加原理求梁跨中點(diǎn)的撓度 fC 和支座處橫截面的 轉(zhuǎn)角 A , B 。,解：將梁上荷載分為兩項(xiàng)簡單 的荷載，如圖。b,c 所示,例題: 試?yán)茂B加法， 求圖示抗彎剛度為 EI 的簡支梁跨中點(diǎn)的撓度 fC 和兩端截面的轉(zhuǎn)角 A , B 。,解： 該梁上荷載可視 為 正對(duì)稱荷載 與 反稱對(duì)荷載 兩種情況

7、的疊加。,（1）正對(duì)稱荷載作用下,（2）反對(duì)稱荷載作用下,可將 AC 段和 BC 段分別視為受均布線荷載作用且長度 為 l /2 的簡支梁,在跨中C截面處，撓度 fc 等于零 ，但 轉(zhuǎn)角不等于零 且該截面的 彎矩也等于零,將相應(yīng)的位移進(jìn)行疊加, 即得,解：將外伸梁沿 B 截面截成兩段，將AB 段看成 B 截面 固定的懸臂梁，BC 段看成 簡支梁。,B 截面兩側(cè)的相互作用 力為：,2qa,就是外伸梁 AC 的 B ，fD,簡支梁 BC 的受力情況 與外伸梁 AC 的 BC 段的 受力情況相同,由簡支梁 BC 求得的 B ，fD,簡支梁 BC 的變形就是 MB 和均布荷載 q 分別 引起變形的疊加

8、。,(1)求 B ，fD,由疊加原理得,(2) 求 fA,由于簡支梁上 B 截面的轉(zhuǎn)動(dòng)，代動(dòng) AB 段一起作剛體運(yùn) 動(dòng)，使 A 端產(chǎn)生撓度 f1,懸臂梁 AB 本身的彎曲變形，使 A 端產(chǎn)生撓度 f2,2qa,2qa,因此，A 端的總撓度應(yīng)為,由附錄 1V 查得,2qa,2qa,例 題：用疊加法求梁中點(diǎn)處的撓度。設(shè) b l / 2 。,解：將均布荷載看作許多微集中力 dP 組成,A,C,B,b,l,q,dP = q dx,A,C,B,b,l,q,x,梁的剛度條件可表示為,二，梁的剛度校核,一. 基本概念,6-5 簡單超靜定梁的解法,單憑靜力平衡方程不能求出全 部支反力的梁 , 稱為超靜定梁,多

9、于維持其靜力平衡所必需 的約束,與“多余”約束相應(yīng)的支座反力,超靜定梁的“多余”約束的 數(shù)目就等于其超靜定次數(shù)。,二 ，求解超靜定梁的步驟,圖示為抗彎剛度為 EI 的一次 超靜定梁。,（1）解除多余約束，代之以 約束反力。得到原超靜定梁 的 基本靜定系。,圖（b）為 基本靜定系。,（2）超靜定梁在多余約束處 的約束條件，就是原超靜定 梁的 變形相容條件。,（3）根據(jù)變形相容條件得 變形幾何方程,變形幾何方程為,（4）將力與變形的關(guān)系代入 變形幾何方程得補(bǔ)充方程,查表得,補(bǔ)充方程為,由該式解得,梁固定端的兩個(gè)支反力,l,代以與其相應(yīng)的多余反力 偶 mA 得基本靜定系,變形相容條件為,請(qǐng)同學(xué)們自行

10、完成 ！,方法二,取支座 A處阻止梁轉(zhuǎn)動(dòng)的約束 為多余約束。,例題 ：梁 A C 如圖所示, 梁的 A 端用一鋼桿 AD 與梁 AC 鉸接, 在梁受荷載作用前, 桿 AD 內(nèi)沒有內(nèi)力, 已知梁和桿用同樣的鋼材制成, 材料的彈性模量為 E, 鋼梁橫截面的慣性矩為 l , 拉桿橫截面的面積為 A, 其余尺寸見圖 , 試求鋼桿 AD 內(nèi)的拉力 N。,A點(diǎn)的變形相容條件是拉桿和梁在變形后仍連結(jié)于A點(diǎn)。即,解：這是一次超靜定問題。將 AD 桿與梁 AC 之間的連結(jié)絞看作 多于約束。拉力N為多余反力?；眷o定系如圖,變形幾何方程為,根據(jù)疊加法A端的撓度為,在例題 中已求得,可算出,拉桿 AD 的伸長為,補(bǔ)充方程為,由此解得,梁的位移（撓度和轉(zhuǎn)角）除了與梁的支承和荷載情況有 關(guān)外，還取決于以下三個(gè)因素：,材料 梁的位移與材料的彈性模量 E 成反比；,截面 梁的位移與截面的慣性矩 I 成反比；,跨長 梁的位移與跨長 l 的 n 次冪成正比。,66 提高梁的剛度的措施,工程中常采用工字形, 箱形截面,為了減小梁的位移，可采取下列措