《固體物理學(xué)》概念和習(xí)題 答案解析

1、固體物理學(xué)概念和習(xí)題固體物理基本概念和思考題： 1. 給出原胞的定義。答：最小平行單元。2. 給出維格納-賽茨原胞的定義。答：以一個(gè)格點(diǎn)為原點(diǎn)，作原點(diǎn)與其它格點(diǎn)連接的中垂面(或中垂線)，由這些中垂面(或中垂線)所圍成的最小體積(或面積)即是維格納-賽茨原胞。3. 二維布喇菲點(diǎn)陣類(lèi)型和三維布喇菲點(diǎn)陣類(lèi)型。4. 請(qǐng)描述七大晶系的基本對(duì)稱(chēng)性。5. 請(qǐng)給出密勒指數(shù)的定義。6. 典型的晶體結(jié)構(gòu)（簡(jiǎn)單或復(fù)式格子，原胞，基矢，基元坐標(biāo)）。7. 給出三維、二維晶格倒易點(diǎn)陣的定義。 8. 請(qǐng)給出晶體衍射的布喇格定律。 9. 給出布里淵區(qū)的定義。10. 晶體的解理面是面指數(shù)低的晶面還是指數(shù)高的晶面？為什么？ 11

2、. 寫(xiě)出晶體衍射的結(jié)構(gòu)因子。12. 請(qǐng)描述離子晶體、共價(jià)晶體、金屬晶體、分子晶體的結(jié)合力形式。 13. 寫(xiě)出分子晶體的雷納德-瓊斯勢(shì)表達(dá)式，并簡(jiǎn)述各項(xiàng)的來(lái)源。 14. 請(qǐng)寫(xiě)出晶格振動(dòng)的波恩-卡曼邊界條件。15. 請(qǐng)給出晶體彈性波中光學(xué)支、聲學(xué)支的數(shù)目與晶體原胞中基元原子數(shù)目之間的關(guān)系以及光學(xué)支、聲學(xué)支各自的振動(dòng)特點(diǎn)。（晶體含N個(gè)原胞，每個(gè)原胞含p個(gè)原子，問(wèn)該晶體晶格振動(dòng)譜中有多少個(gè)光學(xué)支、多少個(gè)聲學(xué)支振動(dòng)模式？） 16. 給出聲子的定義。17. 請(qǐng)描述金屬、絕緣體熱容隨溫度的變化特點(diǎn)。18. 在晶體熱容的計(jì)算中，愛(ài)因斯坦和德拜分別做了哪些基本假設(shè)。 19. 簡(jiǎn)述晶體熱膨脹的原因。20. 請(qǐng)描述

3、晶體中聲子碰撞的正規(guī)過(guò)程和倒逆過(guò)程。固體物理學(xué)黃昆21. 分別寫(xiě)出晶體中聲子和電子分別服從哪種統(tǒng)計(jì)分布（給出具體表達(dá)式）？ 22. 請(qǐng)給出費(fèi)米面、費(fèi)米能量、費(fèi)米波矢、費(fèi)米溫度、費(fèi)米速度的定義。 23. 寫(xiě)出金屬的電導(dǎo)率公式。 24. 給出魏德曼-夫蘭茲定律。 25. 簡(jiǎn)述能隙的起因。26. 請(qǐng)簡(jiǎn)述晶體周期勢(shì)場(chǎng)中描述電子運(yùn)動(dòng)的布洛赫定律。27. 請(qǐng)給出在一級(jí)近似下，布里淵區(qū)邊界能隙的大小與相應(yīng)周期勢(shì)場(chǎng)的傅立葉分量之間的關(guān)系。28. 給出空穴概念。29. 請(qǐng)寫(xiě)出描述晶體中電子和空穴運(yùn)動(dòng)的朗之萬(wàn)（Langevin）方程。 30. 描述金屬、半導(dǎo)體、絕緣體電阻隨溫度的變化趨勢(shì)。 31. 解釋直接能隙和

4、間接能隙晶體。 32. 請(qǐng)說(shuō)明本征半導(dǎo)體與摻雜半導(dǎo)體的區(qū)別。 33. 請(qǐng)解釋晶體中電子的有效質(zhì)量的物理意義。 34. 給出半導(dǎo)體的電導(dǎo)率。35. 說(shuō)明半導(dǎo)體的霍爾效應(yīng)與那些量有關(guān)。 36. 請(qǐng)解釋德哈斯-范阿爾芬效應(yīng)。 37. 什么叫費(fèi)米液體？38. 請(qǐng)給出純金屬的電導(dǎo)率隨溫度的關(guān)系。39. 請(qǐng)解釋刃位錯(cuò)、螺位錯(cuò)、晶界和小角晶界并畫(huà)出示意圖。40. 請(qǐng)列出順磁性、抗磁性的主要區(qū)別。 41. 請(qǐng)列出鐵磁性固體的主要特征。 42. 請(qǐng)列出亞鐵磁性與反鐵磁性的主要區(qū)別。43. 什么是格波和聲子？晶體中聲子有多少種可能的量子態(tài)？44. 請(qǐng)說(shuō)明Debye熱容量模型的基本假設(shè)，為什么說(shuō)Debye熱容量模型

5、在低溫下是正確的？ 45. 什么是近自由電子近似和緊束縛近似？46. 請(qǐng)用能帶論解釋晶體的導(dǎo)電性，并試述導(dǎo)體、半導(dǎo)體、絕緣體能帶的特點(diǎn)？ 47. 什么是n型半導(dǎo)體和p型半導(dǎo)體？什么是本征半導(dǎo)體？48. 試分析晶格熱振動(dòng)引起晶體熱膨脹的原因以及限制聲子自由程的原因。固體物理學(xué)習(xí)題注意：固體物理習(xí)題集（黃波等編寫(xiě)）上波矢q的定義（q=1/）與課堂上所用的波矢k相差2（k=2/）；另外習(xí)題集上的量綱多采用厘米克秒制，注意其與國(guó)際單位制之間的轉(zhuǎn)換1. 在14種布喇菲格子中，為什么沒(méi)有底心四方、面心四方和底心立方格子？2. 在六角晶系中常用4個(gè)指數(shù)（h,k,i,l）來(lái)表示，如圖，前三個(gè)指數(shù)表示晶面族中最

6、靠近原點(diǎn)的晶面在互成120的共平面軸a1,a2,a3上的截距為：a1/h,a2/k,a3/i，第4個(gè)指數(shù)表示該晶面在六重軸c上截距為c/l,證明：i=-(h+k),并將下列用(h,k,l)表示的晶面改用(h,k,i,l)表示：(001)(133)(1 10)(323)(100)(010)( 213)。答：根據(jù)幾何學(xué)可知，三維空間獨(dú)立的坐標(biāo)軸最多不超過(guò)三個(gè)。前三個(gè)指數(shù)中只有兩 個(gè)是獨(dú)立的，它們之間存在以下關(guān)系：i-( h + k ) 。（0001），（1323），（1100），（3213），（1010），（0110），（2133）。3. 證明理想六角密堆積結(jié)構(gòu)的c/a比是8/3=1.633，如果

7、c/a值比這個(gè)值大得多，可以把晶體視為由原子密集平面所組成，這些面是疏松堆垛的。4. 在單晶硅中，哪個(gè)晶面的原子面密度最大？在面心立方晶格中，哪個(gè)晶面的原子面密度最大？答：?jiǎn)尉Ч柚校嫔系脑用芏仁?111)(110)(100)；面心立方晶格中，晶面原子排列密度（111） (100) (110)。5. 如圖的兩種正六邊形（邊長(zhǎng)為a）平面格子是布喇菲格子還是復(fù)式格子？應(yīng)如何選取其基矢和原胞？6. 六角空間點(diǎn)陣，六角空間點(diǎn)陣的基矢可以取為：a=3a2x+a2y；b=-3a2x+a2y；c=cz；（1） 證明：原胞的體積是32a2c；（2）證明：倒易點(diǎn)陣的基矢是：A=23ax+2ay，B=23ax

8、+2ay，C=2cz；因此直接點(diǎn)陣就是它本身的點(diǎn)陣，但軸經(jīng)過(guò)了轉(zhuǎn)動(dòng)；（3） 描述并繪出六角空間點(diǎn)陣的第一布里淵區(qū)。7. 證明第一布里淵區(qū)的體積是23Vc此處Vc是晶體初基晶胞的體積。8. 金剛石的晶體結(jié)構(gòu)是一類(lèi)典型的結(jié)構(gòu)，如果晶胞是慣用立方體，基元由八個(gè)原子組成； （1） 給出這個(gè)基元的結(jié)構(gòu)因子；（2） 求結(jié)構(gòu)因子的諸零點(diǎn)并證明金剛石結(jié)構(gòu)所允許的反射滿足h+k+l=4n，且所有指數(shù)都是偶數(shù)，n是任何整數(shù)；否則所有指數(shù)都是奇數(shù)。體心立方、面心立方晶胞的結(jié)構(gòu)因子和消光條件。如：面心立方晶體慣用晶胞基元包含幾個(gè)原子，寫(xiě)出其基元原子的位置和其衍射的結(jié)構(gòu)因子，并給出消光條件9. 如果a表示晶格常數(shù)，表示

9、入射光束與衍射光束之間的交角，證明對(duì)于簡(jiǎn)單立方晶格，sin2=2ah2+k2+l212式中（h k l）為密勒指數(shù)，為入射光波長(zhǎng)。10. 畫(huà)出體心立方和面心立方晶體結(jié)構(gòu)的金屬在（100），（110），（111）面上的原子排列。11. 若一晶體的總互作用能可表示為：Ur=N2-rm+rn，試求：（1） 平衡間距r0；（2） 結(jié)合能W； （3） 體彈性模量；（4） 若m=2,n=10,r0=3,W=4eV,求、的值。12. (黃昆教材2.6)用雷納德-瓊斯勢(shì)計(jì)算Ne在體心立方和面心立方結(jié)構(gòu)中的結(jié)合能之比。13. (黃昆教材2.7)對(duì)于H2，從氣體的測(cè)量得到雷納德-瓊斯勢(shì)中的參數(shù)為：=5010-23

10、J，=2.96，計(jì)算一摩爾氫原子結(jié)合成面心立方固體分子氫時(shí)的結(jié)合能。(A12=12.13, A6=14.45)14. (固體物理習(xí)題集1.15和黃昆教材1.11)證明六角晶體的介電常數(shù)張量為10002000215. (固體物理習(xí)題集2.1)設(shè)兩原子間的互作用能可表示為：ur=-rm+rn式中，第一項(xiàng)為引力能；第二項(xiàng)為排斥能；、均為正常數(shù)。證明，要使這兩原子系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)，必須nm。16. (固體物理習(xí)題集2.2)設(shè)兩原子間的互作用能可由：ur=-rm+rn表述。若m=2,n=10，而且兩原子構(gòu)成穩(wěn)定的分子，其核間距離為：310-10m，離解能為4eV,試計(jì)算：（1）和；（2）使該分子分裂所必

11、須的力和當(dāng)分裂發(fā)生時(shí)原子核間的臨界間距； （3）使原子間距比平衡距離減少10%時(shí)所需要的壓力。17. (固體物理習(xí)題集2.11)有一晶體，平均每對(duì)離子的互作用能為：uR=AnRn-e2R 式中，R是最RR近鄰離子間距；是馬德隆常數(shù)；、An為常數(shù)。若n=10, =7.5,平衡時(shí)最近鄰距離R0=2.8110-10m。求由2N=21022個(gè)離子組成的這種晶體平衡時(shí)的總互作用能。18. (固體物理習(xí)題集2.21)設(shè)LiF晶體(NaCl結(jié)構(gòu))的總互作用能可寫(xiě)成：U=N2Ze-R/-e2/R， 式中，N、Z、R分別代表晶體的離子總數(shù)、任一離子的最近鄰數(shù)和離子間的最短間距；是馬德隆常數(shù)；、為參量。求平衡時(shí)最

12、近鄰間距R0、總結(jié)合能U0和體積彈性模量B的表達(dá)式。19. (固體物理習(xí)題集2.32)設(shè)NaCl晶體的互作用能可表示為：UR=-N2e2/R-Ae-R/式中的N、R、A分別為晶體中的離子數(shù)、近鄰離子間距、排斥核半徑和排斥能參數(shù)。實(shí)驗(yàn)測(cè)定，NaCl晶體近鄰離子的平衡間距R0=2.8210-10m，體積彈性模量K=2.41011dyn/cm2，已知NaCl結(jié)構(gòu)的馬德隆常數(shù)=1.7476，試求NaCl晶體的排斥核半徑和排斥能參數(shù)A。20. 2N個(gè)正負(fù)離子組成一個(gè)一維鏈晶體。平衡時(shí)兩個(gè)最近鄰正負(fù)離子間距為R0。試證：(1)該晶體的馬德隆常數(shù)為2ln2。(2)自然平衡狀態(tài)下的結(jié)合能為EbR0=2Nq2l

13、n240R01-1n。-q +q21. (固體物理習(xí)題集3.5)已知由N個(gè)相同原子組成的一維單原子晶格格波的密度可以表示為：g=2Nm2-2-1/2式中m是格波的最高頻率。求證它的振動(dòng)?？倲?shù)恰好等N。22. (固體物理習(xí)題集3.8)設(shè)有一維原子鏈（如圖），第2n個(gè)原子與第2n+1個(gè)原子之間的恢復(fù)力常數(shù)為，第2n個(gè)原子與第2n-1個(gè)原子之間的恢復(fù)力常數(shù)為（0)(1) 已測(cè)得帶頂電子的有效質(zhì)量m*=-22a2 ,試求參數(shù)A;(2) 試求能帶寬度；(3) 試求布里淵區(qū)中心點(diǎn)附近電子的態(tài)密度。所以能態(tài)密度為44. (固體物理習(xí)題集7.13)設(shè)vF, TF分別為費(fèi)米面電子的速度和平均自由時(shí)間，g(EF)

14、為費(fèi)米能級(jí)處的狀態(tài)密度，證明：對(duì)于球形費(fèi)米面的情況，電導(dǎo)率=e2 vF2TF g(EF)/345. (固體物理習(xí)題集8.1)證明：在一給定溫度下，當(dāng)電子濃度n=ni(h/e)1/2，空穴濃度p=ni(e/h)1/2時(shí)，半導(dǎo)體的電導(dǎo)率為極小。這里ni是本征載流子濃度，e和h分別為電子和空穴的遷移率。46. (固體物理習(xí)題集8.27)實(shí)驗(yàn)得到一鍺樣品不呈現(xiàn)任何霍爾效應(yīng)。已知鍺中電子遷移率為3500cm2/Vs，空穴遷移率為1400cm2/Vs，問(wèn)電子電流在該樣品的總電流中所占的比例等于多少？47. (黃昆教材4.12)設(shè)有二維正方晶格，晶體勢(shì)場(chǎng)為Ux,y=-4Ucos2axcos2ay用近自由電子

15、近似的微擾論（簡(jiǎn)并微擾）近似求出布里淵區(qū)頂角（/a,/a）處的能隙。(本題類(lèi)似于基特爾教材（7.6）)48. (黃昆教材5.1)設(shè)有一維晶體的電子能帶可以寫(xiě)成Ek=h2ma278-coska+18cos2ka其中，a是晶格常數(shù)，試求： （1）能帶的寬度；（2）電子在波矢k狀態(tài)的速度；（3）能帶底部和能帶頂部的有效質(zhì)量。49. (黃昆教材5.2)晶格常數(shù)為2.5的一維晶格，當(dāng)外加102V/m和107V/m電場(chǎng)時(shí)，試分別估算電子自能帶底運(yùn)動(dòng)到能帶頂所需要的時(shí)間。50. (黃昆教材5.6)若已知E(k)=Ak2+c(kxky+kykz+kzkx)，導(dǎo)出k0點(diǎn)上的有效質(zhì)量張量，并找出主軸方向（使用空間

16、旋轉(zhuǎn)矩陣）。51. (黃昆教材6.1)He3的自旋為1/2，是費(fèi)米子。液體He3在絕對(duì)零度附近的密度為0.081g/cm3。計(jì)算費(fèi)米能EF和費(fèi)米溫度TF。52. (黃昆教材6.3)若把銀看成具有球形費(fèi)米面的單價(jià)金屬，計(jì)算以下各量： （1）費(fèi)米能和費(fèi)米溫度； （2）費(fèi)米球半徑； （3）費(fèi)米速度；（4）費(fèi)米球面的橫截面積；（5）在室溫及低溫時(shí)電子的平均自由程。銀的密度等于10.5 g/cm3，原子量等于107.87，電阻率等于1.6110-6cm（在295K）0.03810-6cm（在20K）。53. (黃昆教材7.1)InSb的電子有效質(zhì)量me=0.015m（m為電子靜質(zhì)量），介電常數(shù)=18，晶

17、格常數(shù)a=6.479，試計(jì)算： （1）施主的電離能； （2）基態(tài)的軌道半徑；（3）若施主均勻分布，相鄰雜質(zhì)原子的軌道之間發(fā)生交疊時(shí)，摻有的施主雜質(zhì)濃度應(yīng)高于多少？54. (黃昆教材7.3)已知Si中只含施主雜質(zhì)ND=1015/cm3?，F(xiàn)在40K下測(cè)得電子濃度為1012/cm3，試估算施主雜質(zhì)的電離能。Ei=1.38110-2340ln1015-10121.26610181024=1.15610-20J=0.0722eV55. (黃昆教材7.4)某一N型半導(dǎo)體電子濃度為11015/cm3，電子遷移率為1000cm2/Vs，求其電阻率。56. (基特爾教材4.5)孔氏異常（Kohn anomaly

18、）：假定晶面運(yùn)動(dòng)方程Fs=pCpus+p-us中平面力常數(shù)Cp取如下形式Cp=Asinpk0apa,其中A和k0是常數(shù)，而p遍取所有的整數(shù)值。這種形式是對(duì)于金屬的預(yù)期結(jié)果。利用這個(gè)公式和式2=2Mp0Cp1-cospKa求出2和2/K的表達(dá)式，證明K=k0時(shí)，2/K是無(wú)窮大，于是在k0處2對(duì)K或?qū)的圖形有一條垂直的切線：即在k0處色散關(guān)系（K）有一個(gè)扭折。（W. Kohn, Phys.Rev.Lett. 2(1959)393曾預(yù)言了與此有關(guān)的一個(gè)效應(yīng)。）57. (基特爾教材7.2)約化能區(qū)中的自由電子能量。（a）在空點(diǎn)陣近似下考慮面心立方晶體在約化能區(qū)圖式表示中的自由電子能帶，在約化能區(qū)圖式

19、表示中所有的k都變換到 第一布里淵區(qū)內(nèi)。粗略繪出111方向上的所有能帶的能量，直至相當(dāng)于布里淵區(qū)邊界k=(2/a)(1/2,1/2,1/2)處的最低帶能量的6倍。就令這個(gè)能量為能量的單位。這個(gè)問(wèn)題表明，為什么帶邊不一定要在布里淵區(qū)中心。當(dāng)考慮到晶體勢(shì)場(chǎng)時(shí)，有幾個(gè)簡(jiǎn)并（能帶交叉）被消除。58. (基特爾教材7.4)金剛石結(jié)構(gòu)中的勢(shì)能。（a）試證對(duì)于金剛石結(jié)構(gòu)，在G=2A時(shí)，一個(gè)電子所感受的晶體勢(shì)場(chǎng)的傅立葉分量UG為零，其中A是慣用立方晶胞的倒易點(diǎn)陣中的基矢。（b)證明在周期點(diǎn)陣中波動(dòng)方程通常的一級(jí)近似解中與矢量A末端垂直的布里淵區(qū)邊界面上的能隙為零，并且證明在二級(jí)近似中該能隙不為零。59. (基特爾教材7.6)正方點(diǎn)陣?？紤]在二維情況下具有晶體勢(shì)場(chǎng)U(x,y)=4Ucos(2x/a)cos(2y/a)的正方點(diǎn)陣。應(yīng)用中心方程近似求出布里淵區(qū)角點(diǎn)（/a,/a）處的能隙。這個(gè)問(wèn)題只需解一個(gè)22的行列式方程就足夠了。(本題類(lèi)似于黃昆教材4.12)60. (基特爾教材9.3)六角密堆積結(jié)構(gòu). 考慮點(diǎn)陣常數(shù)為a和c的三維簡(jiǎn)單六角點(diǎn)陣晶體的第一布