翻硬幣問題訣竅翻硬幣問題訣竅

1、作者: 楊金玨 翻硬幣問題訣竅翻硬幣問題訣竅 硬幣問題是公務(wù)員考試出現(xiàn)的數(shù)學(xué)運(yùn)算題型，屬于邏輯類考題，這類問題變化復(fù)雜，對(duì)考生的推理能力要求高。博大弘仕楊金玨老師將在這里介紹翻硬幣問題的快速解題技巧。 首先要明白什么是“翻硬幣問題”， 通常題面形式是這樣的： M個(gè)硬幣全部正面朝上，現(xiàn)在要求每次必須同時(shí)翻轉(zhuǎn)其中的N個(gè)硬幣，至少翻轉(zhuǎn)多少次才能使全部硬幣反面朝上？ 那么可能出現(xiàn)四種情況： 硬幣總數(shù)（M） 每次翻硬幣數(shù)量（N） 奇 奇 奇 偶 偶 奇 偶 偶上面四種情況中，只有當(dāng)硬幣總數(shù)是奇數(shù)個(gè)并且每次翻偶數(shù)個(gè)硬幣時(shí)，不能完成要求，其他三種都可以完成翻轉(zhuǎn)。為什么不能完成這種情況呢？根據(jù)奇偶的基本性質(zhì)可

2、以推導(dǎo)出來，每個(gè)硬幣必須翻轉(zhuǎn)奇數(shù)次才能實(shí)現(xiàn)反面朝上，現(xiàn)在總數(shù)是奇數(shù)，那么所有硬幣翻轉(zhuǎn)總數(shù)就是奇數(shù)個(gè)奇數(shù)，其結(jié)果必定是個(gè)奇數(shù)。但是每次翻轉(zhuǎn)偶數(shù)個(gè)硬幣，那么硬幣被翻動(dòng)的總數(shù)為偶數(shù)乘以翻動(dòng)次數(shù)，結(jié)果必定是偶數(shù)。所以這種情況下是不可能完成任務(wù)的。翻硬幣問題形式多樣，這里總結(jié)出了一個(gè)基本的解題步驟。第一步：判斷總個(gè)數(shù)是否與每次翻的個(gè)數(shù)呈倍數(shù)關(guān)系。如果是倍數(shù)關(guān)系，翻動(dòng)次數(shù)MN第二步：如果沒有倍數(shù)關(guān)系，考慮硬幣總數(shù)的奇偶情況。當(dāng)總數(shù)為偶數(shù)（1）每次翻的個(gè)數(shù)是總數(shù)減一【例1】現(xiàn)有6個(gè)一元面值硬幣正面朝上放在桌子上，你可以每次翻轉(zhuǎn)5個(gè)硬幣（必須要翻轉(zhuǎn)5個(gè)），問你最少要經(jīng)過幾次翻轉(zhuǎn)可以使這6個(gè)硬幣全部反面朝上？A

3、.5次 B.6次 C.7次 D.8次 【解析】本題屬于歸納推理問題。一個(gè)硬幣要翻面，需要翻奇數(shù)次，一共有6個(gè)硬幣，每一次翻轉(zhuǎn)5個(gè)，那么必須翻轉(zhuǎn)偶數(shù)次才能保證每一枚硬幣翻轉(zhuǎn)奇數(shù)次，故排除A、C。因?yàn)槊看畏鍌€(gè)，則有一個(gè)沒被改變，或者說每次是在原來的基礎(chǔ)上變一個(gè)，一共有6個(gè)硬幣，每次變一個(gè)，那么需要6次才能全部變完。具體過程如下： 故需要6次，故正確答案為B。這類問題的解答公式為：翻動(dòng)次數(shù)M翻動(dòng)方法：只要按照第一次第一個(gè)不翻，第二次第二個(gè)不翻，按照此方法進(jìn)行操作就可以成功。（2）除了上述以外情況，要計(jì)算翻動(dòng)次數(shù)，我們采用余數(shù)分析法。首先用總數(shù)（M）每次翻的個(gè)數(shù)（N），表達(dá)式為：MNab上面式子中，

4、a為商，b為余數(shù)。那么我們把余數(shù)分成三種情況：b1，翻動(dòng)次數(shù)a+1【例2】共有10個(gè)硬幣正面朝上，每次翻動(dòng)3個(gè)，總共翻動(dòng)幾次才能反面朝上？A.3次 B.4次 C.5次 D.6次【解析】利用公式：MN10331。余數(shù)b1，翻動(dòng)次數(shù)3+14。這個(gè)公式在怎么推導(dǎo)出來的呢？此題計(jì)算為103=31，余數(shù)為1，我們需要改寫余數(shù)為103=24，相當(dāng)于翻了2次3個(gè)硬幣，還剩下4個(gè)硬幣沒有翻過來。OOOOOO OOOOXXXXXX OOOO那么我們將這4個(gè)硬幣分成兩組，每組兩個(gè)。接下來翻其中的2個(gè)硬幣和前面已經(jīng)翻成反面的1個(gè)硬幣。XXXXXO XXOO最后把剩下的兩個(gè)正面硬幣和剛才翻成正面的那個(gè)硬幣一起翻過來。

5、XXXXXX XXXX只要余數(shù)是偶數(shù)，都可以采用這樣的方法翻轉(zhuǎn)。再回過頭來看下最初計(jì)算式子，103=31，我們改寫余數(shù)為103=24，商減少了1，余數(shù)變成了1+3=4，余數(shù)加除數(shù)。根據(jù)奇偶基本性質(zhì)，這里變化的余數(shù)一定是個(gè)偶數(shù)，因?yàn)楸怀龜?shù)是偶數(shù)，被除數(shù)=除數(shù)商+1，要使余數(shù)為1，除數(shù)和商必定也是奇數(shù)。所以變化后的余數(shù)等于1+除數(shù)，結(jié)果必定為偶數(shù)。偶數(shù)就需要2步完成翻轉(zhuǎn)，總體上在原來商的基礎(chǔ)上只增加了1，所以余數(shù)b1時(shí)，翻動(dòng)次數(shù)a+1。b偶數(shù)，翻動(dòng)次數(shù)a+2【例3】共有92個(gè)杯口朝上的杯子，每次翻動(dòng)11個(gè)杯子，使其杯口朝下，總共翻動(dòng)幾次才能讓所有杯子反面朝下？A.9次 B.10次 C.11次 D.

6、12次【解析】利用公式：MN921184。余數(shù)b偶數(shù)，翻動(dòng)次數(shù)8+210。翻動(dòng)方法和上一道例題相同，將最后剩下的4個(gè)杯子分成兩組，先翻其中的2個(gè)和前面已經(jīng)翻過的2個(gè)，然后剛好剩下4個(gè)杯口朝上的杯子?？偣残枰?0次。翻動(dòng)方法如圖所示：（第8次） XXX XXX XXX XXX OOOO（第9次） XXX OOO OOO OOO XXOO（第10次）XXX XXX XXX XXX XXXXb奇數(shù)，翻動(dòng)次數(shù)a+3【例4】有18個(gè)房間開著燈，如果每次同時(shí)撥動(dòng)5個(gè)房間的開關(guān)，經(jīng)過幾次撥動(dòng)，燈全部關(guān)上？ A.3次 B.4次 C.6次 D.幾次也不能【解析】利用公式：MN18533。余數(shù)b奇數(shù)，翻動(dòng)次數(shù)3+

7、36。余數(shù)是奇數(shù)時(shí)，為什么要翻3次呢？是如何翻轉(zhuǎn)的呢？下面我們用硬幣翻轉(zhuǎn)來代替燈的開關(guān)。首先完成三次翻轉(zhuǎn)，如圖所示：OOOOO OOOOO OOOOO OOOXXXXX OOOOO OOOOO OOOXXXXX XXXXX OOOOO OOOXXXXX XXXXX XXXXX OOO接下來將剩下的3個(gè)全部翻轉(zhuǎn)，并且把前面翻過來的2個(gè)再次翻轉(zhuǎn)。XXXXX XXXXX XXXOO XXX現(xiàn)在就和前面講的余數(shù)是偶數(shù)情況相同了。把剩下的分成兩組，先翻其中的一組，不夠的在前面翻過里面翻轉(zhuǎn)。OOOOX XXXXX XXXXO XXX最后剩下的剛好翻完。XXXXX XXXXX XXXXX XXX前面我們討論

8、的是總數(shù)是偶數(shù)，總數(shù)是奇數(shù)時(shí)有兩種情況：（1）每次翻轉(zhuǎn)的個(gè)數(shù)為奇數(shù)，那么按照上面講的余數(shù)分析法解決。MNabb1，翻動(dòng)次數(shù)a+1b偶數(shù)，翻動(dòng)次數(shù)a+2b奇數(shù)，翻動(dòng)次數(shù)a+3（2）每次翻轉(zhuǎn)的個(gè)數(shù)為偶數(shù)，這種情況下無法完成任務(wù)?！纠?】有7個(gè)杯口全部向上的杯子，每次將其中4個(gè)同時(shí)翻轉(zhuǎn)，經(jīng)過幾次翻轉(zhuǎn)，杯口可以全部向下？【09山西】A.3次 B.4次 C.5次 D.幾次也不能【解析】根據(jù)公式，不可能完成任務(wù)。所以選D。要想杯子杯口朝下的話，需要翻轉(zhuǎn)奇數(shù)次，所以七個(gè)杯口要全部向下的話，翻轉(zhuǎn)的總次數(shù)為7個(gè)奇數(shù)的和，必定也是奇數(shù)，所以總共也是需要翻轉(zhuǎn)奇數(shù)次才行。但是每次翻轉(zhuǎn)其中4個(gè)，不論翻多少次總數(shù)都是偶數(shù)，因此無論翻幾次都不行。正確答案為D。 下面我