浙江高考數(shù)學復習專題四解析幾何第3講圓錐曲線中的定點、定值、最值與范圍問題學案

1、第3講圓錐曲線中的定點、定值、最值與范圍問題高考定位圓錐曲線中的定點與定值、最值與范圍問題是高考必考的問題之一，主要以解答題形式考查，往往作為試卷的壓軸題之一，一般以橢圓或拋物線為背景，試題難度較大，對考生的代數(shù)恒等變形能力、計算能力有較高的要求.真 題 感 悟(2018北京卷)已知拋物線C：y22px經(jīng)過點P(1，2).過點Q(0，1)的直線l與拋物線C有兩個不同的交點A，B，且直線PA交y軸于M，直線PB交y軸于N.(1)求直線l的斜率的取值范圍；(2)設O為原點，求證：為定值.解(1)因為拋物線y22px過點(1，2)，所以2p4，即p2.故拋物線C的方程為y24x.由題意知，直線l的斜

2、率存在且不為0.設直線l的方程為ykx1(k0).由得k2x2(2k4)x10.依題意(2k4)24k210，解得k0或0k0，得34k2m20，當m12k時，l的方程為yk(x2)，直線過定點(2，0)，與已知矛盾.當m2時，l的方程為yk，直線過定點，且滿足，直線l過定點，定點坐標為.探究提高(1)動直線l過定點問題解法：設動直線方程(斜率存在)為ykxt，由題設條件將t用k表示為tmk，得yk(xm)，故動直線過定點(m，0).(2)動曲線C過定點問題解法：引入?yún)⒆兞拷⑶€C的方程，再根據(jù)其對參變量恒成立，令其系數(shù)等于零，得出定點.考法2定值的探究與證明【例12】 (2018金麗衢聯(lián)考

3、)已知O為坐標原點，直線l：xmyb與拋物線E：y22px(p0)相交于A，B兩點.(1)當b2p時，求；(2)當p且b3時，設點C的坐標為(3，0)，記直線CA，CB的斜率分別為k1，k2，證明：2m2為定值.解設A(x1，y1)，B(x2，y2)，聯(lián)立方程消元得y22mpy2pb0，所以y1y22mp，y1y22pb.(1)當b2p時，y1y24p2，x1x24p2，所以x1x2y1y24p24p20.(2)證明當p且b3時，y1y2m，y1y23.因為k1，k2，所以m，m.因此2m22m22m212m362m212m3612m3624，即2m2為定值.探究提高(1)求定值問題常見的方法

4、有兩種：從特殊入手，求出定值，再證明這個值與變量無關.直接推理、計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定值.(2)定值問題求解的基本思路是使用參數(shù)表示要解決的問題，然后證明與參數(shù)無關，這類問題選擇消元的方向是非常關鍵的.【訓練11】 (2017北京卷)已知拋物線C：y22px過點P(1，1)，過點作直線l與拋物線C交于不同的兩點M，N，過點M作x軸的垂線分別與直線OP，ON交于點A，B，其中O為原點.(1)求拋物線C的方程，并求其焦點坐標和準線方程；(2)求證：A為線段BM的中點.(1)解把P(1，1)代入y22px，得p，所以拋物線C的方程為y2x，焦點坐標為，準線方程為x.(2)證明

5、當直線MN斜率不存在或斜率為零時，顯然與拋物線只有一個交點不滿足題意，所以直線MN(也就是直線l)斜率存在且不為零.由題意，設直線l的方程為ykx(k0)，l與拋物線C的交點為M(x1，y1)，N(x2，y2).由得4k2x2(4k4)x10.考慮(4k4)244k216(12k)，由題可知有兩交點，所以判別式大于零，所以k.則x1x2，x1x2.因為點P的坐標為(1，1)，所以直線OP的方程為yx，點A的坐標為(x1，x1).直線ON的方程為yx，點B的坐標為.因為y12x10.所以y12x1.故A為線段BM的中點.【訓練12】 已知橢圓C：1(ab0)的離心率為，A(a，0)，B(0，b)

6、，O(0，0)，OAB的面積為1.(1)求橢圓C的方程；(2)設P是橢圓C上一點，直線PA與y軸交于點M，直線PB與x軸交于點N.求證：|AN|BM|為定值.(1)解由已知，ab1.又a2b2c2，解得a2，b1，c.橢圓方程為y21.(2)證明由(1)知A(2，0)，B(0，1).設橢圓上一點P(x0，y0)，則y01.當x00時，直線PA方程為y(x2)，令x0得yM.從而|BM|1yM|.直線PB方程為yx1.令y0得xN.|AN|2xN|.|AN|BM|4.當x00時，y01，|BM|2，|AN|2，所以|AN|BM|4.故|AN|BM|為定值.熱點二最值與范圍問題考法1求線段長度、面

7、積(比值)的最值【例21】 (2018湖州調研)已知拋物線C：y24x的焦點為F，直線l：ykx4(1k2)與y軸、拋物線C分別相交于P，A，B(自下而上)，記PAF，PBF的面積分別為S1，S2.(1)求AB的中點M到y(tǒng)軸的距離d的取值范圍；(2)求的取值范圍.解(1)聯(lián)立消去y得，k2x2(8k4)x160(1k得，41740，解得4或.因為01，所以0.由7得，710，解得，又1，所以1.綜上，0)的直線交E于A，M兩點，點N在E上，MANA.(1)當t4，|AM|AN|時，求AMN的面積；(2)當2|AM|AN|時，求k的取值范圍.解設M(x1，y1)，則由題意知y10.(1)當t4時

8、，E的方程為1，A(2，0).由|AM|AN|及橢圓的對稱性知，直線AM的傾斜角為.因此直線AM的方程為yx2.將xy2代入1得7y212y0，解得y0或y，所以y1.因此AMN的面積SAMN2.(2)由題意t3，k0，A(，0)，將直線AM的方程yk(x)代入1得(3tk2)x22tk2xt2k23t0.由x1()得x1，故|AM|x1|.由題設，直線AN的方程為y(x)，故同理可得|AN|.由2|AM|AN|得，即(k32)t3k(2k1)，當k時上式不成立，因此t.t3等價于0，即0.由此得或解得k2.因此k的取值范圍是(，2).探究提高解決范圍問題的常用方法：(1)構建不等式法：利用已

9、知或隱含的不等關系，構建以待求量為元的不等式求解.(2)構建函數(shù)法：先引入變量構建以待求量為因變量的函數(shù)，再求其值域.(3)數(shù)形結合法：利用待求量的幾何意義，確定出極端位置后數(shù)形結合求解.【訓練22】 (2018臺州調研)已知橢圓1(ab0)的左焦點為F(c，0)，離心率為，點M在橢圓上且位于第一象限，直線FM被圓x2y2截得的線段的長為c，|FM|.(1)求直線FM的斜率；(2)求橢圓的方程；(3)設動點P在橢圓上，若直線FP的斜率大于，求直線OP(O為原點)的斜率的取值范圍.解(1)由已知，有，又由a2b2c2，可得a23c2，b22c2.設直線FM的斜率為k(k0)，F(xiàn)(c，0)，則直線

10、FM的方程為yk(xc).由已知，有，解得k.(2)由(1)得橢圓方程為1，直線FM的方程為y(xc)，兩個方程聯(lián)立，消去y，整理得3x22cx5c20，解得xc，或xc.因為點M在第一象限，可得M的坐標為.由|FM|，解得c1，所以橢圓的方程為1.(3)設點P的坐標為(x，y)，直線FP的斜率為t，得t，即yt(x1)(x1)，與橢圓方程聯(lián)立消去y，整理得2x23t2(x1)26，又由已知，得t，解得x1，或1x0.設直線OP的斜率為m，得m，即ymx(x0)，與橢圓方程聯(lián)立，整理得m2.當x時，有yt(x1)0，因此m0，于是m，得m.當x(1，0)時，有yt(x1)0.因此m0，于是m，

11、得m.綜上，直線OP的斜率的取值范圍是.1.解答圓錐曲線的定值、定點問題，從三個方面把握：(1)從特殊開始，求出定值，再證明該值與變量無關；(2)直接推理、計算，在整個過程中消去變量，得定值；(3)在含有參數(shù)的曲線方程里面，把參數(shù)從含有參數(shù)的項里面分離出來，并令其系數(shù)為零，可以解出定點坐標.2.圓錐曲線的范圍問題的常見求法(1)幾何法：若題目的條件和結論能明顯體現(xiàn)幾何特征和意義，則考慮利用圖形性質來解決；(2)代數(shù)法：若題目的條件和結論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關系，則可首先建立起目標函數(shù)，再求這個函數(shù)的最值，在利用代數(shù)法解決范圍問題時常從以下五個方面考慮：利用判別式來構造不等關系，從而確定參數(shù)的取

12、值范圍；利用已知參數(shù)的范圍，求新參數(shù)的范圍，解這類問題的核心是在兩個參數(shù)之間建立等量關系；利用隱含或已知的不等關系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；利用基本不等式求出參數(shù)的取值范圍；利用函數(shù)的值域的求法，確定參數(shù)的取值范圍.一、選擇題1.F1，F(xiàn)2是橢圓y21的左、右焦點，點P在橢圓上運動，則的最大值是()A.2 B.1 C.2 D.4解析設P(x，y)，依題意得點F1(，0)，F(xiàn)2(，0)，(x)(x)y2x2y23x22，注意到2x221，因此的最大值是1.答案B2.(2018鎮(zhèn)海中學二模)若點P為拋物線y2x2上的動點，F(xiàn)為拋物線的焦點，則|PF|的最小值為()A.2 B. C. D.

13、解析根據(jù)題意，設P到準線的距離為d，則有|PF|d.拋物線的方程為y2x2，即x2y，其準線方程為y，當點P在拋物線的頂點時，d有最小值，即|PF|min.答案D3.設A，B是橢圓C：1長軸的兩個端點.若C上存在點M滿足AMB120，則m的取值范圍是()A.(0，19，) B.(0，9，)C.(0，14，) D.(0，4，)解析(1)當焦點在x軸上，依題意得0m3，且tan.0m3且m1，則03，且tan，m9，綜上，m的取值范圍是(0，19，).答案A4.已知F是拋物線C：y28x的焦點，M是C上一點，F(xiàn)M的延長線交y軸于點N.若M為FN的中點，則|FN|()A.3 B.5 C.6 D.10

14、解析因y28x，則p4，焦點為F(2，0)，準線l：x2.如圖，M為FN中點，故易知線段BM為梯形AFNC的中位線，|CN|2，|AF|4，|MB|3，又由定義|MB|MF|，且|MN|MF|，|NF|NM|MF|2|MB|6.答案C5.(2018北京西城區(qū)調研)過拋物線y24x的焦點的直線l與雙曲線C：y21的兩個交點分別為(x1，y1)，(x2，y2)，若x1x20，則直線l的斜率k的取值范圍是()A. B.C. D.解析易知雙曲線兩漸近線為yx，拋物線的焦點為雙曲線的右焦點，當k或k0.答案D6.在直線y2上任取一點Q，過Q作拋物線x24y的切線，切點分別為A，B，則直線AB恒過的點的坐

15、標為()A.(0，1) B.(0，2)C.(2，0) D.(1，0)解析設Q(t，2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，拋物線方程變?yōu)閥x2，則yx，則在點A處的切線方程為yy1x1(xx1)，化簡得yx1xy1，同理，在點B處的切線方程為yx2xy2，又點Q(t，2)的坐標適合這兩個方程，代入得2x1ty1，2x2ty2，這說明A(x1，y1)，B(x2，y2)都滿足方程2xty，即直線AB的方程為y2tx，因此直線AB恒過點(0，2).答案B二、填空題7.已知雙曲線1(a0，b0)的漸近線與圓x24xy220相交，則雙曲線的離心率的取值范圍是_.解析雙曲線的漸近線方程為yx，即bxay

16、0，圓x24xy220可化為(x2)2y22，其圓心為(2，0)，半徑為.因為直線bxay0和圓(x2)2y22相交，所以，整理得b2a2.從而c2a2a2，即c22a2，所以e22.又e1，故雙曲線的離心率的取值范圍是(1，).答案(1，)8.(2018金華質檢)已知橢圓1(0b2)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，過F1的直線l交橢圓于A，B兩點，若|BF2|AF2|的最大值為5，則b的值是_，橢圓的離心率為_.解析由橢圓的方程，可知長半軸長a2；由橢圓的定義，可知|AF2|BF2|AB|4a8，所以|AB|8(|AF2|BF2|)3.由橢圓的性質，可知過橢圓焦點的弦中垂直于長軸的弦最短，即3

17、，可求得b23，即b，e.答案9.已知拋物線C：x28y的焦點為F，動點Q在C上，圓Q的半徑為1，過點F的直線與圓Q切于點P，則的最小值為_，此時圓Q的方程為_.解析如圖，在RtQPF中，|cosPFQ|2|21.由拋物線的定義知：|d(d為點Q到準線的距離)，易知，拋物線的頂點到準線的距離最短，|min2，的最小值為3.此時圓Q的方程為x2y21.答案3x2y2110.(2018溫州模擬)已知拋物線y24x，過焦點F的直線與拋物線交于A，B兩點，過A，B分別作x軸、y軸的垂線，垂足分別為C，D，則|AC|BD|的最小值為_.解析不妨設A(x1，y1)(y10)，B(x2，y2)(y20).則

18、|AC|BD|y1x2y1.又y1y2p24，|AC|BD|(y20)的焦點，點P是拋物線上一點，且|PF|2，直線l過定點(4，0)，與拋物線T交于A，B兩點，點P在直線l上的射影是Q.(1)求m，p的值；(2)若m0，且|PQ|2|QA|QB|，求直線l的方程.解(1)由|PF|2得，12，所以p2，將x1，ym代入y22px得，m2.(2)因為m0，故由(1)知點P(1，2)，拋物線T：y24x.設直線l的方程是xny4，由得，y24ny160.設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則y1y24n，y1y216.因為|PQ|2|QA|QB|，所以PAPB，所以0，且12n4，所以(x11)(x21)(y12)(y22)0，且n.由(ny13)(ny23)(y12)(y22)0得，(n21)y1y2(3n2)(y1y2)130，16(n21)(3n2)4n130，4n28n30，解得，n(舍去)或n，所以直線l的方程是：xy4，即2xy80.14.(2018紹興模擬)如圖，已知函數(shù)y2x圖象上三點C，D，E，直線CD經(jīng)過點(1，0)，直線CE經(jīng)過點(2，0).(1)若|CD|，求直線CD的方程；(2)當CDE的面積最小時，求點C的橫坐標.解設C(x1，y1)，D(x2，y2)，