點、直線、平面之間的位置關(guān)系

1、點、直線、平面之間的位置關(guān)系【考綱要求】1、理解空間直線、平面位置關(guān)系的定義，并了解如下可以作為推理依據(jù)的公理和定理。 公理1：如果一條直線上的兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線上所有的點在此平面內(nèi)。 公理2：過不在同一條直線上的三點，有且只有一個平面。 公理3：如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線。 公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行。 定理：空間中如果一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別平行，那么這兩個角相等或互補。2、以立體幾何的上述定義、公理和定理為出發(fā)點，認(rèn)識和理解空間中線面平行、垂直的有關(guān)性質(zhì)與判定。 理解以下判定定理： (1)如果平面外一條直線與

2、此平面內(nèi)的一條直線平行，那么該直線與此平面平行。 (2)如果一個平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個平面都平行，那么這兩個平面平行。 (3)如果一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么該直線與此平面垂直。 (4)如果一個平面經(jīng)過另一個平面的垂線，那么這兩個平面互相垂直。 理解以下性質(zhì)定理，并能夠證明。 (1)如果一條直線與一個平面平行，那么經(jīng)過該直線的任一個平面與此平面的交線和該直線平行。 (2)如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么它們的交線相互平行。 (3)垂直于同一個平面的兩條直線平行。 (4)如果兩個平面垂直，那么一個平面內(nèi)垂直于它們交線的直線與另一個平面垂直。3、能運用公理、定理和

3、已獲得的結(jié)論證明一些空間圖形的位置關(guān)系的簡單命題?！净A(chǔ)知識】一、平面公理 公理1：如果一條直線上的兩個點在一平面內(nèi)，那么這條直線上的所有的點都在這個平面內(nèi)。 公理2：如果不重合的兩個平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過這個點的公共直線。 公理3：經(jīng)過不在同一條直線上的三點，有且只有一個平面。 推論1：經(jīng)過一條直線和直線外一點，有且只有一個平面。 推論2：經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個平面。 推論3：經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個平面。 平行直線的（公理4）唯一性：過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行。 傳遞性：平行于同一條直線的兩條直線互相平行。二、空間兩條直線的位置關(guān)系 1、異面

4、直線定義： 不同在任何一個平面內(nèi)的兩條直線叫做異面直線。（既不相交也不平行的直線叫做異面直線） 2、異面直線的判定： 與一平面相交于一點的直線與這個平面內(nèi)不經(jīng)過交點的直線是異面直線。 3、空間兩條直線有共面（相交、平行）和異面（異面）兩種位置關(guān)系。 4、兩條異面直線所成角： 異面兩條直線，空間內(nèi)任取一點，分別過該點作兩條平行線，所形成的銳角或直角。 5、等角定理： 如果一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別對應(yīng)平行，并且方向相同，那么這兩個角相等。三、直線與平面平行 1、直線與平面平行的定義： 直線和平面沒有公共點。 2、直線與平面平行的判定： 如果不在一個平面內(nèi)的一條直線和平面內(nèi)的一條直線平行，那

5、么這條直線和這個平面平行。（記為：線線平行，則線面平行） 3、直線與平面平行性質(zhì)： 如果一條直線和一個平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個平面相交，那么這條直線就和兩平面 的交線平行。（記為：線面平行，則線線平行） 四、平面與平面平行 1、平面與平面平行的定義： 如果兩個平面沒有公共點，則這兩個平面互相平行 2、平面與平面平行的判定 (1)如果一個平面內(nèi)有兩條相交直線平行于另一個平面，那么這兩個平面平行。 （記為：線面平行，則面面平行） (2)如果一個平面內(nèi)有兩條相交直線分別平行于另一個平面內(nèi)的兩條直線，則這兩個平面平行。 3、平面和平面平行的性質(zhì) (1)如果兩個平面平行，那么其中一個平面內(nèi)的任

6、何一條直線平行于另一個平面。 （記為：面面平行，則線面平行） (2)如果兩個平面同時與第三個平面相交，那么它們的交線平行。 (3)平行于同一個平面的兩個平面平行。 (4)兩條直線被三個平行平面所截，截得的對應(yīng)線段成比例。 (5)夾在兩個平行平面間的兩條平行線段相等。五、直線與平面垂直 1、直線與平面垂直的定義： 如果一條直線垂直于一個平面的所有直線，則這條直線垂直于這個平面。 2、直線與平面垂直的判定 (1)如果一條直線與平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，則這條直線與這個平面垂直。 （記為：線線垂直，則線面垂直） (2)如果在兩條平行直線中，有一條垂直于平面，那么另一條直線也垂直于這個平面。 3、直線

7、與平面垂直的性質(zhì) (1)如果一條直線垂直于一個平面，那么它就和平面內(nèi)的任意一條直線垂直。 （記為：線面垂直，則線線垂直） (2)如果兩條直線垂直于同一個平面，那么這兩條直線平行。 (3)過一點與已知平面垂直的直線只有一條。 (4)垂直于同一條直線的兩個平面平行。六、面面垂直 1、面面垂直的定義： 如果兩個平面相交所構(gòu)成的二面角是90，則這兩個平面互相垂直 。 2、面面垂直的判定： 如果一個平面過另一個平面的一條垂線，則這兩個平面互相垂直。 （記為：線面垂直，則面面垂直） 3、面面垂直的性質(zhì) (1)如果兩個平面互相垂直，那么在一個平面內(nèi)垂直于它們的交線的直線垂直于另一個平面。 （記為：面面垂直，

8、則線面垂直） (2)如果兩個平面互相垂直，經(jīng)過一個平面內(nèi)的一點向另一個平面作垂線，那么這條垂線一定在第一 個平面內(nèi)。七、主要結(jié)論 1、(1)，. (2)過不在同一直線上的三點有且僅有一個平面。 (3)，且. (4)平行于同一直線的兩條直線互相平行。 2、線面位置關(guān)系分類 3、線面平行的判定和性質(zhì) (1)線面平行、面面平行判定 ， ， (2)線面平行、面面平行性質(zhì) ， ，4、線面垂直的判定和性質(zhì) (1)線面垂直、面面垂直判定 ， ， (2)線面垂直、面面垂直性質(zhì) ， ，【例題精講】例1：已知S是ABC所在平面外一點，O是邊AC的中點，SOA=SOB=SOC，點P是SA的中點.(1)求證：SO平面

9、ABC；(2)求證：SC平面BOP.例2：已知正方形ABCD，E、F分別是邊AB、CD的中點，將ADE沿DE折起，如圖所示，記二面角ADEC的大小為(0).(1)證明：BF平面ADE；(2)若ACD為正三角形，試判斷點A在平面BCDE內(nèi)的射影G是否在直線EF上，請證明你的結(jié)論，并求角的余弦值.點、直線、平面之間的位置關(guān)系強化訓(xùn)練【基礎(chǔ)精練】1. 設(shè)l、m、n均為直線，其中m、n在平面內(nèi)，則“l(fā)”是“l(fā)m且ln”的( ) A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件2. a、b是兩條異面直線，A是不在a、b上的點，則下列結(jié)論成立的是( ) A.過A有且只有一

10、個平面平行于a、b B.過A至少有一個平面平行于a、b C.過A有無數(shù)個平面平行于a、b D.過A且平行于a、b的平面可能不存在3. 如圖，ABCD A1B1C1D1為正方體，下面結(jié)論錯誤的是( ) A. BD平面CB1D1 B. AC1BD C. AC1平面CB1D1 D. 異面直線AD與CB1所成的角為604. 給出下列四個命題：垂直于同一直線的兩條直線互相平行；垂直于同一平面的兩個平面互相平行；若直線l1、l2與同一平面所成的角相等，則l1、l2互相平行；若直線l1、l2是異面直線，則與l1、l2都相交的兩條直線是異面直線。其中假命題的個數(shù)是( ) A.1 B.2 C.3 D.45. 下

11、列命題錯誤的是( ) A.若四面體的兩組對棱垂直，則第三組對棱也垂直 B.若三棱錐的三側(cè)棱兩兩垂直，則頂點在底面內(nèi)的射影是底面三角形的垂心 C.若ABC所在平面外一點到三頂點的距離相等，則該點在平面ABC內(nèi)的射影是ABC的外心 D.若ABC所在平面外一點P到ABC的三邊距離相等，則P在平面ABC內(nèi)的射影是ABC內(nèi)心6. 如圖，正方體ABCDA1B1C1D1中，EF是異面直線AC、A1D的公垂線，則EF與BD1的關(guān)系為( ) A.相交不垂直 B.相交垂直 C.異面 D.平行7. 如果一條直線與一個平面垂直，那么，稱此直線與平面構(gòu)成一個“正交線面對”，在一個正方體中，由兩個頂點確定的直線與含有四個

12、頂點的平面構(gòu)成的“正交線面對”的對數(shù)是( ) A.48 B.18 C.24 D.368. 給定空間中的直線l及平面，則“直線l與平面內(nèi)無數(shù)條直線都垂直”是“直線l與平面垂直”的( ) A.充要條件 B.充分非必要條件 C.必要非充分條件 D.既非充分又非必要條件9. 設(shè)有直線m、n和平面、，下列四個命題中，正確的是（ ） A.若m，n，則mn B.若m，n，m，n，則 C.若，m，則m D.若，m，m，則m10. 已知兩條直線m、n和兩個平面、，給出下面四個命題： mn，mn，m，nmn， mn，mn，mn，mn. 其中正確命題的序號是( ) A. B. C. D.11. 已知平面=m，直線n

13、，n，則直線m、n的位置關(guān)系是_.12. 平行四邊形的一個頂點A在平面內(nèi)，其余三個頂點在的同側(cè)。已知其中有兩個頂點到平面的距離分別為1和2，那么剩下的一個頂點到平面的距離可能是：1；2；3；4. 以上結(jié)論正確的為_.(寫出所有正確結(jié)論的編號)13. 下列四個正方體圖形中，A、B為正方體的兩個頂點，M、N、P分別為其所在棱的中點，能得出AB面MNP的圖形的序號是_.(寫出所有符合要求的圖形序號)14. 下列五個正方體圖形中，l是正方體的一條對角線，點M、N、P分別是其所在棱的中點，能得出l平面MNP的圖形的序號是_.15. 如圖，四棱錐PABCD的底面是邊長為a的正方形，側(cè)棱PA底面ABCD，側(cè)面PBC內(nèi)有BEPC于E，且BE=a，試在AB上找一點F，使EF平面PAD，并確定AF的長度.16. 如圖，在四棱錐PABCD中，側(cè)面PAD底面ABCD，側(cè)棱PA=PD=，底面ABCD為直角梯形，其中BCAD，ABAD，AD=2AB=2BC=2，O為AD中點.(1)求證：PO平面ABCD；(2)求異面直線PB與CD所成角的大?。?3)線段AD上是否存在點Q，使得它到平面PCD的距離為？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.【拓展提高】1. 如圖，在長方體ABCDA1B1C1D1中，AB=4，BC=3，CC1=2.(1)求證：平面A1BC1平面ACD1；(2)求(1)中兩個平行平