誘導(dǎo)公式總結(jié)大全;

1、誘導(dǎo)公式1合適尺寸 實(shí)際尺寸 誘導(dǎo)公式的本質(zhì)所謂三角函數(shù)誘導(dǎo)公式，就是將角n(/2)的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為角的三角函數(shù)。常用的誘導(dǎo)公式公式一： 設(shè)為任意角，終邊相同的角的同一三角函數(shù)的值相等： sin（2k）sin cos（2k）cos tan（2k）tan cot（2k）cot 公式二： 設(shè)為任意角，+的三角函數(shù)值與的三角函數(shù)值之間的關(guān)系： sin（）sin cos（）cos tan（）tan cot（）cot 公式三： 任意角與 -的三角函數(shù)值之間的關(guān)系： sin（）sin cos（）cos tan（）tan cot（）cot 公式四： 利用公式二和公式三可以得到-與的三角函數(shù)值之間的關(guān)系： s

2、in（）sin cos（）cos tan（）tan cot（）cot 公式五： 利用公式一和公式三可以得到2-與的三角函數(shù)值之間的關(guān)系： sin（2）sin cos（2）cos tan（2）tan cot（2）cot 公式六： /2與的三角函數(shù)值之間的關(guān)系： sin（/2）cos cos（/2）sin tan（/2）cot cot（/2）tan sin（/2）cos cos（/2）sin tan（/2）cot cot（/2）tan誘導(dǎo)公式記憶口訣奇變偶不變，符號(hào)看象限。“奇、偶”指的是整數(shù)n的奇偶，“變與不變”指的是三角函數(shù)的名稱的變化：“變”是指正弦變余 弦，正切變余切。（反之亦然成立）“符

3、號(hào)看象限”的含義是：把角看做銳角，不考慮角所在象限，看n(/2)是第幾象限角，從而得到等式右邊是正號(hào)還是負(fù)號(hào)。一全正；二正弦；三兩切；四余弦這十二字口訣的意思就是說(shuō)： 第一象限內(nèi)任何一個(gè)角的四種三角函數(shù)值都是“”； 第二象限內(nèi)只有正弦是“”，其余全部是“”； 第三象限內(nèi)只有正切和余切是“”，其余全部是“”； 第四象限內(nèi)只有余弦是“”，其余全部是“”。 其他三角函數(shù)知識(shí)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式倒數(shù)關(guān)系 tan cot1 sin csc1 cos sec1 商的關(guān)系 sin/costansec/csc cos/sincotcsc/sec 平方關(guān)系 sin2()cos2()1 1tan2()sec2

4、() 1cot2()csc2() 同角三角函數(shù)關(guān)系六角形記憶法構(gòu)造以上弦、中切、下割；左正、右余、中間1的正六邊形為模型。 倒數(shù)關(guān)系 對(duì)角線上兩個(gè)函數(shù)互為倒數(shù)； 商數(shù)關(guān)系 六邊形任意一頂點(diǎn)上的函數(shù)值等于與它相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)上函數(shù)值的乘積。（主要是兩條虛線兩端的三角函數(shù)值的乘積）。由此，可得商數(shù)關(guān)系式。 平方關(guān)系 在帶有陰影線的三角形中，上面兩個(gè)頂點(diǎn)上的三角函數(shù)值的平方和等于下面頂點(diǎn)上的三角函數(shù)值的平方。 兩角和差公式sin（）sincoscossin sin（）sincoscossin cos（）coscossinsin cos（）coscossinsin tan（）(tantan )/(1ta

5、n tan) tan（）(tantan)/(1tan tan) 二倍角的正弦、余弦和正切公式sin22sincos cos2cos2()sin2()2cos2()112sin2() tan22tan/(1tan2() 半角的正弦、余弦和正切公式sin2(/2)(1cos)/2 cos2(/2)(1cos)/2 tan2(/2)(1cos)/(1cos) tan(/2)=(1cos)/sin=sin/1+cos 萬(wàn)能公式sin2tan(/2)/(1tan2(/2) cos(1tan2(/2)/(1tan2(/2) tan(2tan(/2)/(1tan2(/2) 三倍角的正弦、余弦和正切公式sin

6、33sin4sin3() cos34cos3()3cos tan3(3tantan3()/(13tan2() 三角函數(shù)的和差化積公式sinsin2sin()/2) cos()/2) sinsin2cos()/2) sin()/2) coscos2cos()/2)cos()/2) coscos2sin()/2)sin()/2) 三角函數(shù)的積化和差公式sincos0.5sin()sin() cossin0.5sin()sin() coscos0.5cos()cos() sinsin 0.5cos()cos() 公式推導(dǎo)過(guò)程萬(wàn)能公式推導(dǎo) sin2=2sincos=2sincos/(cos2()+si

7、n2().*， （因?yàn)閏os2()+sin2()=1） 再把*分式上下同除cos2()，可得sin22tan/(1tan2() 然后用/2代替即可。 同理可推導(dǎo)余弦的萬(wàn)能公式。正切的萬(wàn)能公式可通過(guò)正弦比余弦得到。 三倍角公式推導(dǎo) tan3sin3/cos3 (sin2coscos2sin)/(cos2cos-sin2sin) (2sincos2()cos2()sinsin3()/(cos3()cossin2()2sin2()cos) 上下同除以cos3()，得： tan3(3tantan3()/(1-3tan2() sin3sin(2)sin2coscos2sin 2sincos2()(12s

8、in2()sin 2sin2sin3()sin2sin3() 3sin4sin3() cos3cos(2)cos2cossin2sin (2cos2()1)cos2cossin2() 2cos3()cos(2cos2cos3() 4cos3()3cos 即 sin33sin4sin3() cos34cos3()3cos 和差化積公式推導(dǎo) 首先,我們知道sin(a+b)=sina*cosb+cosa*sinb,sin(a-b)=sina*cosb-cosa*sinb 我們把兩式相加就得到sin(a+b)+sin(a-b)=2sina*cosb 所以,sina*cosb=(sin(a+b)+sin

9、(a-b)/2 同理,若把兩式相減,就得到cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b)/2 同樣的,我們還知道cos(a+b)=cosa*cosb-sina*sinb,cos(a-b)=cosa*cosb+sina*sinb 所以,把兩式相加,我們就可以得到cos(a+b)+cos(a-b)=2cosa*cosb 所以我們就得到,cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b)/2 同理,兩式相減我們就得到sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b)/2 這樣,我們就得到了積化和差的四個(gè)公式: sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b)/2 co

10、sa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b)/2 cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b)/2 sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b)/2 好,有了積化和差的四個(gè)公式以后,我們只需一個(gè)變形,就可以得到和差化積的四個(gè)公式. 我們把上述四個(gè)公式中的a+b設(shè)為x,a-b設(shè)為y,那么a=(x+y)/2,b=(x-y)/2 把a(bǔ),b分別用x,y表示就可以得到和差化積的四個(gè)公式: sinx+siny=2sin(x+y)/2)*cos(x-y)/2) sinx-siny=2cos(x+y)/2)*sin(x-y)/2) cosx+cosy=2cos(x+y)/2)

11、*cos(x-y)/2) cosx-cosy=-2sin(x+y)/2)*sin(x-y)/2)誘導(dǎo)公式2誘導(dǎo)公式是數(shù)學(xué)三角函數(shù)中將角度比較大的三角函數(shù)利用角的周期性，轉(zhuǎn)換為角度比較小的三角函數(shù)。目錄誘導(dǎo)公式 誘導(dǎo)公式記憶口訣 同角三角函數(shù)基本關(guān)系 同角三角函數(shù)關(guān)系六角形記憶法 兩角和差公式 二倍角公式 半角公式 萬(wàn)能公式 萬(wàn)能公式推導(dǎo) 三倍角公式 三倍角公式推導(dǎo) 三倍角公式聯(lián)想記憶 和差化積公式 積化和差公式 和差化積公式推導(dǎo)誘導(dǎo)公式誘導(dǎo)公式記憶口訣同角三角函數(shù)基本關(guān)系同角三角函數(shù)關(guān)系六角形記憶法兩角和差公式二倍角公式半角公式萬(wàn)能公式 萬(wàn)能公式推導(dǎo) 三倍角公式 三倍角公式推導(dǎo) 三倍角公式聯(lián)想

12、記憶 和差化積公式 積化和差公式 和差化積公式推導(dǎo)展開(kāi) 誘導(dǎo)公式【誘導(dǎo)公式】 常用的誘導(dǎo)公式有以下幾組：（公式一公式五函數(shù)名未改變， 公式六函數(shù)名發(fā)生改變） 公式一： 設(shè)為任意角，終邊相同的角的同一三角函數(shù)的值相等： 弧度制下的角的表示： sin（2k）sin （kz） cos（2k）cos （kz） tan（2k）tan （kz） cot（2k）cot （kz） sec（2k）sec （kz） csc（2k）csc （kz） 角度制下的角的表示： sin (+k360)sin（kz） cos(+k360)cos（kz） tan (+k360)tan（kz） cot（+k360）cot （kz

13、） sec（+k360）sec （kz） csc（+k360）csc （kz） 公式二： 設(shè)為任意角，+的三角函數(shù)值與的三角函數(shù)值之間的關(guān)系： 弧度制下的角的表示： sin（）sin cos（）cos tan（）tan cot（）cot sec（）sec csc（）csc 角度制下的角的表示： sin（180+）sin cos（180+）cos tan（180+）tan cot（180+）cot sec（180+）sec csc（180+）csc 公式三： 任意角與 -的三角函數(shù)值之間的關(guān)系： sin（）sin cos（）cos tan（）tan cot（）cot sec（）sec csc）c

14、sc 公式四： 利用公式二和公式三可以得到-與的三角函數(shù)值之間的關(guān)系： 弧度制下的角的表示： sin（）sin cos（）cos tan（）tan cot（）cot sec（）sec csc（）csc 角度制下的角的表示： sin（180）sin cos（180）cos tan（180）tan cot（180）cot sec（180）sec csc（180）csc 公式五： 利用公式一和公式三可以得到2-與的三角函數(shù)值之間的關(guān)系： 弧度制下的角的表示： sin（2）sin cos（2）cos tan（2）tan cot（2）cot sec（2）sec csc（2）csc 角度制下的角的表示：

15、sin（360）sin cos（360）cos tan（360）tan cot（360）cot sec（360）sec csc（360）csc 小結(jié)：以上五組公式可簡(jiǎn)記為：函數(shù)名不變，符號(hào)看象限. 即+k360（kz），180，360的三角函數(shù)值，等于的同名三角函數(shù)值，前面加上一個(gè)把看成銳角時(shí)原函數(shù)值的符號(hào)。 公式六： /2 及3/2與的三角函數(shù)值之間的關(guān)系：（） /2與的三角函數(shù)值之間的關(guān)系 弧度制下的角的表示： sin（/2）cos cos（/2）sin tan（/2）cot cot（/2）tan sec（/2）csc csc（/2）sec 角度制下的角的表示： sin（90）cos co

16、s（90）sin tan（90）cot cot（90）tan sec（90）csc csc（90）sec /2與的三角函數(shù)值之間的關(guān)系 弧度制下的角的表示： sin（/2）cos cos（/2）sin tan（/2）cot cot（/2）tan sec（/2）csc csc（/2）sec 角度制下的角的表示： sin (90)cos cos (90)sin tan (90)cot cot (90)tan sec (90)csc csc (90)sec 3/2與的三角函數(shù)值之間的關(guān)系 弧度制下的角的表示： sin（3/2）cos cos（3/2）sin tan（3/2）cot cot（3/2）t

17、an sec（3/2）csc csc（3/2）sec 角度制下的角的表示： sin（270）cos cos（270）sin tan（270）cot cot（270）tan sec（270）csc csc（270）sec 3/2與的三角函數(shù)值之間的關(guān)系 弧度制下的角的表示： sin（3/2）cos cos（3/2）sin tan（3/2）cot cot（3/2）tan sec（3/2）sec csc（3/2）sec 角度制下的角的表示： sin（270）cos cos（270）sin tan（270）cot cot（270）tan sec（270）csc csc（270）sec 溫馨提示：1.在

18、做題目的時(shí)候，最好將看成是銳角。 2.kz 總結(jié)記憶：奇變偶不變，符號(hào)看象限。奇偶是針對(duì)k而言的，變與不變是針對(duì)三角函數(shù)名而言。 誘導(dǎo)公式記憶口訣規(guī)律總結(jié) 上面這些誘導(dǎo)公式可以概括為： 對(duì)于k/2(kz)的三角函數(shù)值， 當(dāng)k是偶數(shù)時(shí)，得到的同名函數(shù)值，即函數(shù)名不改變； 當(dāng)k是奇數(shù)時(shí)，得到相應(yīng)的余函數(shù)值，即sincos;cossin;tancot,cottan. （奇變偶不變） 然后在前面加上把看成銳角時(shí)原函數(shù)值的符號(hào)。 （符號(hào)看象限） 例如： sin(2)sin(4/2)，k4為偶數(shù)，所以取sin。 當(dāng)是銳角時(shí)，2(270，360)，sin(2)0，符號(hào)為“”。 所以sin(2)sin 上述的

19、記憶口訣是： 奇變偶不變，符號(hào)看象限。 公式右邊的符號(hào)為把視為銳角時(shí)，角k360+（kz），-、180，360- 所在象限的原三角函數(shù)值的符號(hào)可記憶 水平誘導(dǎo)名不變；符號(hào)看象限。 各種三角函數(shù)在四個(gè)象限的符號(hào)如何判斷，也可以記住口訣“一全正；二正弦(余割)；三兩切；四余弦(正割)” 這十二字口訣的意思就是說(shuō)： 第一象限內(nèi)任何一個(gè)角的四種三角函數(shù)值都是“”； 第二象限內(nèi)只有正弦是“”，其余全部是“”； 第三象限內(nèi)切函數(shù)是“”，弦函數(shù)是“”； 第四象限內(nèi)只有余弦是“”，其余全部是“” 上述記憶口訣,一全正,二正弦,三內(nèi)切,四余弦 還有一種按照函數(shù)類型分象限定正負(fù)： 函數(shù)類型 第一象限 第二象限 第

20、三象限 第四象限 正弦 . 余弦 . 正切 . 余切 . 奇變偶不變，符號(hào)看象限 同角三角函數(shù)基本關(guān)系同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式 倒數(shù)關(guān)系: tan cot1 sin csc1 cos sec1 商的關(guān)系： sin/costansec/csc cos/sincotcsc/sec 平方關(guān)系： sin2()cos2()1 1tan2()sec2() 1cot2()csc2() 同角三角函數(shù)關(guān)系六角形記憶法六角形記憶法：（參看圖片或參考資料鏈接） 構(gòu)造以上弦、中切、下割；左正、右余、中間1的正六邊形為模型。 （1）倒數(shù)關(guān)系：對(duì)角線上兩個(gè)函數(shù)互為倒數(shù)； （2）商數(shù)關(guān)系：六邊形任意一頂點(diǎn)上的函數(shù)值等于與它

21、相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)上函數(shù)值的乘積。 （主要是兩條虛線兩端的三角函數(shù)值的乘積）。由此，可得商數(shù)關(guān)系式。 （3）平方關(guān)系：在帶有陰影線的三角形中，上面兩個(gè)頂點(diǎn)上的三角函數(shù)值的平方和等于下面頂點(diǎn)上的三角函數(shù)值的平方。 兩角和差公式兩角和與差的三角函數(shù)公式 sin（）sincoscossin sin（）sincoscossin cos（）coscossinsin cos（）coscossinsin tan（）(tan+tan)(1-tantan) tan（）(tantan)(1tantan) 二倍角公式二倍角的正弦、余弦和正切公式（升冪縮角公式） sin22sincos cos2cos2()sin2()2

22、cos2()112sin2() tan22tan/1tan2() 半角公式半角的正弦、余弦和正切公式（降冪擴(kuò)角公式） sin2(/2)(1cos)2 cos2(/2)(1cos)2 tan2(/2)(1cos)(1cos) 另也有tan(/2)=(1cos)/sin=sin/(1+cos) 萬(wàn)能公式萬(wàn)能公式 sin=2tan(/2)/1+tan2(/2) cos=1-tan2(/2)/1+tan2(/2) tan=2tan(/2)/1-tan2(/2) 萬(wàn)能公式推導(dǎo)附推導(dǎo)： sin2=2sincos=2sincos/(cos2()+sin2().*， （因?yàn)閏os2()+sin2()=1） 再

23、把*分式上下同除cos2()，可得sin22tan/(1tan2() 然后用/2代替即可。 同理可推導(dǎo)余弦的萬(wàn)能公式。正切的萬(wàn)能公式可通過(guò)正弦比余弦得到。 三倍角公式三倍角的正弦、余弦和正切公式 sin33sin4sin3() cos34cos3()3cos tan33tantan3()13tan2()=tantan(/3+)tan(/3-) 三倍角公式推導(dǎo)附推導(dǎo)： tan3sin3/cos3 (sin2coscos2sin)/(cos2cos-sin2sin) (2sincos2()cos2()sinsin3()/(cos3()cossin2()2sin2()cos) 上下同除以cos3()

24、，得： tan3(3tantan3()/(1-3tan2() sin3sin(2)sin2coscos2sin 2sincos2()(12sin2()sin 2sin2sin3()sin2sin3() 3sin4sin3() cos3cos(2)cos2cossin2sin (2cos2()1)cos2cossin2() 2cos3()cos(2cos2cos3() 4cos3()3cos 即 sin33sin4sin3() cos34cos3()3cos 三倍角公式聯(lián)想記憶記憶方法：諧音、聯(lián)想 正弦三倍角：3元 減 4元3角（欠債了(被減成負(fù)數(shù))，所以要“掙錢”(音似“正弦”)） 余弦三倍角

25、：4元3角 減 3元（減完之后還有“余”） 注意函數(shù)名，即正弦的三倍角都用正弦表示，余弦的三倍角都用余弦表示。 另外的記憶方法: 正弦三倍角: 山無(wú)司令 (諧音為 三無(wú)四立) 三指的是3倍sin, 無(wú)指的是減號(hào), 四指的是4倍, 立指的是sin立方 余弦三倍角: 司令無(wú)山 與上同理 和差化積公式三角函數(shù)的和差化積公式 sinsin2sin()/2cos()/2 sinsin2cos()/2sin()/2 coscos2cos()/2cos()/2 coscos2sin()/2sin()/2 積化和差公式三角函數(shù)的積化和差公式 sin cos0.5sin()sin() cos sin0.5sin

26、()sin() cos cos0.5cos()cos() sin sin0.5cos()cos() 和差化積公式推導(dǎo)附推導(dǎo)： 首先,我們知道sin(a+b)=sina*cosb+cosa*sinb,sin(a-b)=sina*cosb-cosa*sinb 我們把兩式相加就得到sin(a+b)+sin(a-b)=2sina*cosb 所以,sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b)/2 同理,若把兩式相減,就得到cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b)/2 同樣的,我們還知道cos(a+b)=cosa*cosb-sina*sinb,cos(a-b)=cosa*cos

27、b+sina*sinb 所以,把兩式相加,我們就可以得到cos(a+b)+cos(a-b)=2cosa*cosb 所以我們就得到,cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b)/2 同理,兩式相減我們就得到sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b)/2 這樣,我們就得到了積化和差的四個(gè)公式: sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b)/2 cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b)/2 cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b)/2 sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b)/2 好,有了積化和差的四個(gè)公式以后

28、,我們只需一個(gè)變形,就可以得到和差化積的四個(gè)公式. 我們把上述四個(gè)公式中的a+b設(shè)為x,a-b設(shè)為y,那么a=(x+y)/2,b=(x-y)/2 把a(bǔ),b分別用x,y表示就可以得到和差化積的四個(gè)公式: sinx+siny=2sin(x+y)/2)*cos(x-y)/2) sinx-siny=2cos(x+y)/2)*sin(x-y)/2) cosx+cosy=2cos(x+y)/2)*cos(x-y)/2) cosx-cosy=-2sin(x+y)/2)*sin(x-y)/2)反三角函數(shù)其他公式 arcsin(-x)=-arcsinx arccos(-x)=-arccosx arctan(-x

29、)=-arctanx arccot(-x)=-arccotx arcsinx+arccosx=/2=arctanx+arccotx sin(arcsinx)=cos(arccosx)=tan(arctanx)=cot(arccotx)=x 當(dāng) x-/2, /2 有arcsin(sinx)=x x0, arccos(cosx)=x x(-/2, /2), arctan(tanx)=x x(0, ), arccot(cotx)=x x0, arctanx=/2-arctan1/x, arccotx類似 若 (arctanx+arctany)(-/2, /2), 則 arctanx+arctany=arctan(x+y/1-xy)三角、反三角函數(shù)圖像六個(gè)三角函數(shù)值在每個(gè)象限的符號(hào)：sincsc