概率論與數(shù)理統(tǒng)計概率論3-4

1、3.隨機變量的獨立性,兩事件 A , B 獨立的定義是：若P(AB)=P(A)P(B) 則稱事件 A , B 獨立 .,設F(x,y)為( X,Y)的分布函數(shù)，F(xiàn)X(x),FY(y)為(X,Y)X,Y的邊緣分布函數(shù)，若對任意的x,y,有,則稱 X 和 Y 獨立 .,一、隨機變量相互獨立的定義,說 明,例1：,若 (X,Y)是二維離散型隨機變量，則上述獨立性的定義等價于：,X 和Y 相互獨立.,對(X,Y)的所有可能取值(xi, yj) (i,j=1,2,),有,例2,例3 設隨機變量X和Y獨立同分布，且X的概率分布為,記U = maxX,Y, V=minX,Y. 求(U,V)的概率分布.,其中

2、,是X和Y的聯(lián)合密度，,幾乎處處成立，則稱 X 和 Y 相互獨立 .,對任意的 x, y, 有,若 (X,Y)是二維連續(xù)型隨機變量 ，則上述獨立性的定義等價于：,分別是X的邊緣密度和Y 的邊緣密度 .,例5 設隨機變量（X,Y）在圓形區(qū)域 G=(X,Y)|(x-1)2+(y+2)29 上服從均勻分布. (1)求X，Y的邊緣分布密度；(2)X與Y是否獨立？ (3)求在X=x條件下Y的條件密度；(4)PY0|X=2.,例6 設隨機變量X和Y的概率密度為,故有 f(x,y)=fX(x)fY(y), 因而X,Y是相互獨立的.,例8: 問二維正態(tài)隨機變量X和Y是否相互獨立？ 解：(X,Y)的概率密度為,

3、其邊緣概率密度 的乘積為:,.,例9 一負責人到達辦公室的時間均勻分布在812時, 他的秘書到達辦公室的時間均勻分布在79時, 設他們到達的時間相互獨立, 求他們到達時間相差不超過5分鐘(1/12小時)的概率.,解,0x1,0y1,由于存在面積不為0的區(qū)域，,故 X 和 Y 不獨立 .,以上關(guān)于二維隨機變量的一些概念, 容易推廣到n維隨機變量的情況.n維隨機變量(X1,X2,.,Xn)的分布函數(shù)的定義為F(x1,x2,.,xn)=PX1x1,X2x2,.,Xnxn其中x1,x2,.,xn為任意實數(shù).,若存在非負可積函數(shù)f(x1,x2,.,xn),使得對于任意實數(shù)x1,x2,.,xn有,則稱f(

4、x1,x2,.,xn)為(X1,X2,.,Xn)的概率密度函數(shù).,設(X1,X2,.,Xn)的分布函數(shù)F(x1,x2,.,xn)為已知, 則(X1,X2,.,Xn)的k(1kn)維邊緣分布函數(shù)就隨之確定. 例如(X1,X2,.,Xn)關(guān)于X1,關(guān)于(X1,X2)的邊緣分布函數(shù)分別為,又若f(x1,x2,.,xn)是(X1,X2,.,Xn)的概率密度, 則(X1,X2,.,Xn)關(guān)于X1,關(guān)于(X1,X2)的邊緣概率密度分別為,若對于所有的x1,x2,.,xn有,則稱X1,X2,.,Xn是相互獨立的.,若對于所有的x1,x2,.,xm; y1,y2,.,yn有F(x1,x2,.,xm, y1,y2,.,yn)=F1(x1,x2,.,xm)F2(y1,y2,.,yn),其中F1,F2,F依次為隨機變量(X1,X2,.,Xm), (Y1,Y2,.,Yn)和(X1,X2,.,Xm,Y1,Y2,.,Yn)的分布函數(shù), 則稱隨機變量(X1,X2,.,Xm)和(Y1,Y2,.,Yn)是相互獨立的.,定理 設(X1,X2,.,Xm)和(Y1,Y2,.,Yn)相互獨立, 則Xi(i=1,2,.,m)和Yj(j=1,2,.,n)相互獨立. 又若h,g是連續(xù)函數(shù), 則h(X1,X2,.,Xm)和g(Y1,Y2,.,Yn)相互獨立.,例 一射手進行射擊, 擊中目標的概率為