工程力學(xué)電子教案

1、工 程 力 學(xué),主講 楊 軍,高 等 院 校 力 學(xué) 教 程,課程簡介,工 程 力 學(xué),前三章內(nèi)容學(xué)習(xí)指導(dǎo),如何用約束反力等效替換約束 正確畫出研究對象的受力分析圖 牢記力的平移定理 牢記合力矩定理什么是約束 約束的種類及畫法 非常熟練的應(yīng)用力的平衡方程,剛體和力的概念,剛體:在力的作用下，其物體內(nèi)部任意兩點(diǎn)之間的距離始終保持不變 剛體是靜力學(xué)中對物體進(jìn)行分析所簡化的力學(xué)模型 力是物體間的相互機(jī)械作用. 力對物體作用效應(yīng) 外效應(yīng)：使物體的運(yùn)動狀態(tài)發(fā)生改變； 內(nèi)效應(yīng)：使物體的形狀發(fā)生改變 力的三要素：力的大小、方向、作用線 力的單位：牛頓（N）或千牛（kN）,11 力 力矩 力偶,力矩,力對物體

2、的運(yùn)動效應(yīng)，包括力對物體的移動和轉(zhuǎn)動效應(yīng)，其中力對物體的轉(zhuǎn)動效應(yīng)用力矩來度量。 力矩是力對物體的轉(zhuǎn)動效應(yīng)的度量 力矩的表示 力矩的矩心、力臂 大小、轉(zhuǎn)向、作用面 正負(fù)號規(guī)定 右手螺旋法則 量綱單位： 牛頓.米N.m或千牛.米kN.m,力偶,定義: 兩個大小相等，方向相反，且不共線的平行力組成的力系稱為力偶。 力偶的表示法 力偶矩大小 正負(fù)規(guī)定：逆時針為正 單位量綱：牛米N.m或千牛米kN.m,力偶的三要素 力偶矩的大小、力偶的轉(zhuǎn)向、力偶的作用面,力偶的基本性質(zhì),力偶的基本性質(zhì) 力偶無合力 力偶中兩個力對其作用面內(nèi)任意一點(diǎn)之矩的代數(shù)和，等于該力偶的力偶矩 力偶的可移動性：（保持轉(zhuǎn)向和力偶矩不變）

3、 力偶的可改裝性：（保持轉(zhuǎn)向和力偶矩不變） 力偶的等效 平面力偶系 合成 平衡,力對點(diǎn)的矩與力偶矩的區(qū)別： 相同處：力矩的量綱與力偶矩的相同。,不同處：力對點(diǎn)的矩可隨矩心的位置改變而改 變，但一個力偶的矩是常量。,聯(lián) 系：力偶中的兩個力對任一點(diǎn)的矩之和是 常量，等于力偶矩。,公理一：力的平行四邊形公理 作用在物體上同一點(diǎn)的兩個力可以合成為一個力，合力的作用點(diǎn)仍作用在這一點(diǎn)，合力的大小和方向由這兩個力為鄰邊所構(gòu)成的平行四邊形的對角線確定。 矢量表示法：FR=F1+F2,12 靜力學(xué)公理,靜力學(xué)公理二、三,公理二：二力平衡公理 作用于剛體上的兩個力使剛體平衡的必要和充分條件是：這兩個力的大小相等、

4、方向相反、作用線重合。 矢量表示法：F1=F2；,推論 (三力匯交定理) 當(dāng)剛體在三個力作用下平衡時，設(shè)其中兩力的作用線相交于某點(diǎn)，則第三力的作用線必定也通過這個點(diǎn)。,F1,F3,R1,F2,=,證明：,A3,公理三：加減平衡力系公理 可以在作用于剛體的任何一個力系上加上或去掉幾個互成平衡的力，而不改變原力系對剛體的作用。,推論 (力在剛體上的可傳性),作用于剛體的力，其作用點(diǎn)可以沿作用線在該剛體內(nèi)前后任意移動，而不改變它對該剛體的作用,=,=,靜力學(xué)公理四、五,公理四：作用于反作用公理 任何兩個物體相互的作用力和反作用力總是大小相等，方向相反，沿著同一條直線，分別作用在這兩個物體 公理五：剛

5、化原理 若變形體在某一力系作用下平衡，則可將此受力的變形體視為剛體，其平衡狀態(tài)仍保持不變。,反力 : 沿著繩索背離物體,2 . 光滑支承面 :,反力 : 沿著支承面的公法線指向物體,3 . 固定鉸鏈支座：,反力 : 若被鉸物體不是二力桿則正交分解,1 . 柔索 （繩子、皮帶、鏈條等）:,若鉸鏈的兩部分都是活動的，則稱為中間鉸，兩部分互為約束。拆開鉸鏈時，一部分對另一部分的約束同固定鉸鏈支座。,13 約束和約束反力,約束反力作用在接觸點(diǎn)處，方向沿公法線，指向受力物體是向點(diǎn)而來的力。,2.光滑接觸面的約束 (光滑指摩擦不計(jì)),4 . 滾動支座 :,反力 :沿著支承面的公法線方向,1)向心頸軸承 :

6、,3)球軸承 :,5 . 軸承 :,2)止推軸承 :,反力:垂直于軸向兩正交分力,反力:正交三分力,反力:正交三分力,FR,滑槽與銷釘,固定鉸支座,鏈桿約束,RA,光滑向心頸軸承,活頁鉸(蝶形鉸)約束,固定端(插入端)約束,A,A,固定鉸支座的幾種表示:,滾動鉸支座（輥軸支座）的幾種表示:,14 受力分析和受力圖,畫受力圖的方法與步驟： 1、取分離體（研究對象） 2、畫出研究對象所受的全部主動力（使物體產(chǎn)生 運(yùn)動或運(yùn)動趨勢的力） 3、在存在約束的地方，按約束類型逐一畫出約束 反力（研究對象與周圍物體的連接關(guān)系）,受 力 分 析 示 例 (1),W,FRB,FRA,畫受力圖步驟：,1.取 隔 離

7、 體,2.畫主動力,3.畫約束反力,受 力 分 析 示 例 (2),1.取 隔 離 體,3.畫約束反力,2.畫主動力,畫受力圖步驟：,受 力 分 析 示 例 (3),1.取 隔 離 體,3.畫約束反力,2.畫主動力,對整體 畫受力圖步驟：,作業(yè)要求: 思考題為必做題,第一章 思考題1-11-10 習(xí)題 1-1(d) 1-3(4)(5)(6) 1-4,合成的幾何法：,表達(dá)式：,F1、F2、F3、F4 為平面共點(diǎn)力系：,21 平面匯交力系合成與平衡,把各力矢首尾相接，形成一條有向折線段（稱為力鏈）。加上一封閉邊，就得到一個多邊形，稱為力多邊形。,力的多邊形規(guī)則：,空間共點(diǎn)力系和平面情形類似，在理論

8、上也可以用力多邊形來合成。但空間力系的力多邊形為空間圖形。給實(shí)際作圖帶來困難。,1、共點(diǎn)力系的合成結(jié)果,該力系的力多邊形自行閉合，即力系中各力的矢量和等于零。,共點(diǎn)力系可以合成為一個力，合力作用在力系的公共作用點(diǎn)，它等于這些力的矢量和，并可由這力系的力多邊形的封閉邊表示。,矢量的表達(dá)式：R = F1+ F2+ F3+ + Fn,2、共點(diǎn)力系平衡的充要幾何條件：,反之，當(dāng)投影Fx 、Fy 已知時，則可求出力 F 的大小和方向：,力在坐標(biāo)軸上的投影：,結(jié)論：力在某軸上的投影，等于力的模乘以力與該軸正向間夾角的余弦。,合力在任一軸上的投影，等于它的各分力在同一軸上的投影的代數(shù)和。,證明： 以三個力組

9、成的共點(diǎn)力系為例。設(shè)有三個共點(diǎn)力F1、F2、F3 如圖。,合力投影定理：,合力 R 在x 軸上投影：,F1,F2,R,F3,x,A,B,C,D,(b),推廣到任意多個力F1、F2、 Fn 組成的平面共點(diǎn)力系，可得：,各力在x 軸上投影：, 合力的大小,合力R 的方向余弦,根據(jù)合力投影定理得,共點(diǎn)力系平衡的充要解析條件： 力系中所有各力在各個坐標(biāo)軸中每一軸上的投影的代數(shù)和分別等于零。,平面共點(diǎn)力系的平衡方程:,例題 2-1已知各分力的大小及方向,求其合力的大小及方向. 解:,用解析法求圖示平面匯交力系的合力,解：,FR,解： 1. 取滑輪B 軸銷作為研究對象。,2. 畫出受力圖（b)。,例題 2

10、-2 利用鉸車?yán)@過定滑輪B的繩子吊起一重P=20kN的貨物，滑輪由兩端鉸鏈的水平剛桿AB 和斜剛桿BC 支持于點(diǎn)B (圖(a) )。不計(jì)鉸車的自重，試求桿AB 和BC 所受的力。,3. 列出平衡方程：,4. 聯(lián)立求解，得,反力SAB 為負(fù)值，說明該力實(shí)際指向與圖上假定指向相反。即桿AB 實(shí)際上受拉力。,一、 力偶和力偶矩,1、力偶大小相等的二反向平行力。,、作用效果：引起物體的轉(zhuǎn)動。 、力和力偶是靜力學(xué)的二基本要素。,力偶特性二： 力偶只能用力偶來代替（即只能和另一力偶等效），因而也只能與力偶平衡。,力偶特性一： 力偶中的二個力，既不平衡，也不可能合成為一個力。,22 平面力偶系的合成與平衡,

11、2、力偶臂力偶中兩個力的作用線 之間的距離。,3、力偶矩力偶中任何一個力的大 小與力偶臂d 的乘積，加上 適當(dāng)?shù)恼?fù)號。,力偶矩正負(fù)規(guī)定： 若力偶有使物體逆時針旋轉(zhuǎn)的趨勢，力偶矩取正號；反之，取負(fù)號。,量綱：力長度，牛頓米（Nm）.,二、力偶的等效條件,1. 同一平面上力偶的等效條件,因此，以后可用力偶的轉(zhuǎn)向箭頭來代替力偶。,作用在剛體內(nèi)同一平面上的兩個力偶相互等 效的充要條件是二者的力偶矩代數(shù)值相等。,2. 平行平面內(nèi)力偶的等效條件,空間力偶作用面的平移并不改變對剛體的效應(yīng)。,1、概念： 用來表示力偶矩的大小、轉(zhuǎn)向、作用面的有向線段。 2、力偶的三要素： (1)、力偶矩的大小。 (2)、力偶

12、的轉(zhuǎn)向。 (3)、力偶作用面的方位。 3、符號：M,三、力偶矩矢,右手規(guī)則,4、力偶矩矢與力矢的區(qū)別 力偶矩矢是自由矢量，而力矢是滑動矢量。 M 指向人為規(guī)定，力矢指向由本身所決定。 5、力偶等效定理又可陳述為: 力偶矩矢相等的兩個力偶是等效力偶。,平面力偶系平衡的充要條件：各力偶的力偶矩代數(shù)和等于零。 M=M,力的平移定理,作用在剛體上某點(diǎn)的力，可以平移至剛體上任意一點(diǎn)，但同時必須增加一個附加力偶，該力偶的力偶矩等于原力對該點(diǎn)之矩。,M=?,M=+Fd,23 平面任意力系向作用面內(nèi)一點(diǎn)簡化,幾個性質(zhì)： 1、當(dāng)力線平移時，力的大小、方向都不改變，但附加力偶的矩的大小與正負(fù)一般要隨指定O點(diǎn)的位置

13、的不同而不同。 2、力線平移的過程是可逆的，即作用在同一平面內(nèi)的一個力和一個力偶，總可以歸納為一個和原力大小相等的平行力。 3、力線平移定理是把剛體上平面任意力系分解為一個平面共點(diǎn)力系和一個平面力偶系的依據(jù)。,=,=,應(yīng)用力線平移定理，可將剛體上平面任意力系中各個力的作用線全部平行移到作用面內(nèi)某一給定點(diǎn)O 。從而這力系被分解為平面共點(diǎn)力系和平面力偶系。這種變換的方法稱為力系向給定點(diǎn)O 的簡化。點(diǎn)O 稱為簡化中心。,力系向給定點(diǎn)O 的簡化,共點(diǎn)力系F1、 F2、 F3的合成結(jié)果為一作用點(diǎn)在點(diǎn)O 的力R。這個力矢R 稱為原平面任意力系的主矢。,附加力偶系的合成結(jié)果是作用在同平面內(nèi)的力偶，這力偶的矩

14、用MO 代表，稱為原平面任意力系對簡化中心 O 的主矩。,結(jié)論： 平面任意力系向面內(nèi)任一點(diǎn)的簡化結(jié)果，是一個作用在簡化中心的主矢；和一個對簡化中心的主矩。,推廣：,平面任意力系對簡化中心O 的簡化結(jié)果,主矩：,主矢：,幾點(diǎn)說明： 1、平面任意力系的主矢的大小和方向與簡化中心的位置無關(guān)。 2、平面任意力系的主矩與簡化中心O 的位置有關(guān)。因此，在說到力系的主矩時，一定要指明簡化中心。,方向余弦：,2、主矩Mo可由下式計(jì)算：,主矢、主矩的求法：,1、主矢可用力多邊形規(guī)則作圖求得，或用解析 法計(jì)算。,=,=,1、R=0，而MO0，原力系合成為力偶。這時力系主矩MO 不隨簡化中心位置而變。 2、MO=0

15、，而R0，原力系合成為一個力。作用于點(diǎn)O 的力R就是原力系的合力。 3、R0，MO0，原力系簡化成一個力偶和一個作用于點(diǎn)O 的力。這時力系也可合成為一個力。 說明如下：,簡化結(jié)果的討論,綜上所述，可見：,4、 R=0，而 MO=0，原力系平衡。,、平面任意力系若不平衡，則當(dāng)主矢主矩均不為零時，則該力系可以合成為一個力。 、平面任意力系若不平衡，則當(dāng)主矢為零而主矩不為零時，則該力系可以合成為一個力偶。,平面任意力系的合力對作用面內(nèi)任一點(diǎn)的矩，等于這個力系中的各個力對同一點(diǎn)的矩的代數(shù)和。,合力矩定理,A,B,q,x,例 水平梁AB受三角形分布的載荷作用，如圖所示。載荷的最大集度為q， 梁長l。試求

16、合力作用線的位置。,在梁上距A端為x的微段dx上，作用力的大小為qdx，其中q 為該處的載荷集度 ，由相似三角形關(guān)系可知,x,A,B,q,x,dx,h,l,F,因此分布載荷的合力大小,解：,設(shè)合力F 的作用線距A端的距離為h，根據(jù)合力矩定理，有,將q 和 F 的值代入上式，得,x,A,B,q,x,dx,h,l,F,平衡方程其他形式：,注意:A、B 兩點(diǎn)的連線不能和x 軸相垂直。,注意: A、B、C 三點(diǎn)不能共線。,平面任意力系平衡的充要條件： 力系的主矢等于零 ，又力系對任一點(diǎn)的主矩也等于零。 平衡方程：,2.4 平面任意力系的平衡條件和平衡方程,解： 1、取梁AB為研究對象。 2、受力分析如

17、圖，其中Q=q.AB=1003=300N；作用在AB的中點(diǎn)C 。,例題 梁AB上受到一個均布載荷和一個力偶作用，已知載荷集度q = 100N/m，力偶矩大小M = 500 Nm。長度AB = 3m，DB=1m。求活動鉸支D 和固定鉸支A 的反力。,3、列平衡方程：,4、聯(lián)立求解： FD= 475 N FAx= 0 fAy= -175 N,一、幾個概念： 1、物體系 由若干個物體通過約束組成的系統(tǒng) 2、外 力 物體系以外任何物體作用于該系統(tǒng)的力 3、內(nèi) 力物體系內(nèi)部各物體間相互作用的力 二、物體系平衡方程的數(shù)目： 由n個物體組成的物體系，總共有不多于3n個獨(dú)立 的平衡方程。,物體系的靜定與超靜定

18、問題的概念,三、靜定與超靜定概念： 1、靜定問題 當(dāng)系統(tǒng)中未知量數(shù)目等于或少于獨(dú)立平衡方程數(shù)目時的問題。,2、超靜定問題 當(dāng)系統(tǒng)中未知量數(shù)目多于獨(dú)立平衡方程數(shù)目時，不能求出全部未知量的問題。,設(shè)一物系由 n 個物體構(gòu)成,則每個物體可列出3個獨(dú)立的平衡方 程,整個物系則可列出3n個平衡方程,也即可解出3n個未知量.若物系 的未知量多于3n個,則為超靜定系統(tǒng). 本章不討論超靜定系統(tǒng). 內(nèi)約束力是成對出現(xiàn)的,作用力與反作用力的關(guān)系應(yīng)予考慮.,物系: 由若干個物體所組成的物體系統(tǒng),內(nèi)約束, 內(nèi)力, 外力,物系平衡時,構(gòu)成物系的每一個物體都必然平衡.,2.5 物系的平衡:,解決物系的平衡問題的基本方法是

19、將物系拆開成若干個單個物體,對每個物體列平衡方程,聯(lián)立求解.,解題須知: 對于物系問題，是先拆開還是先整體研究，通常：對于構(gòu)架，若其整體的外約束反力不超過4個，應(yīng)先研究整體；否則，應(yīng)先拆開受力最少的哪一部分。對于連續(xù)梁，應(yīng)先拆開受力最少的哪一部分，不應(yīng)先整體研究。 拆開物系前，應(yīng)先判斷系統(tǒng)中有無二力桿，若有，則先去掉之，代之以對應(yīng)的反力。在任何情況下，二力桿不作為研究對象，它的重要作用在于提供了力的方向。 拆開物系后，應(yīng)正確的表示作用力和反作用力之間的關(guān)系、字母的標(biāo)注、方程的寫法。 對于跨過兩個物體的分布載荷，不要先簡化后拆開，力偶不要搬家。 定滑輪一般不要單獨(dú)研究，而應(yīng)連同支撐的桿件一起考慮

20、。 根據(jù)受力圖，建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)軸，應(yīng)使坐標(biāo)軸與盡可能多的力的作用線平行或垂直，以免投影復(fù)雜；坐標(biāo)軸最好畫在圖外，以免圖內(nèi)線條過多。 取矩時,矩心應(yīng)選在盡可能多的未知力的交點(diǎn)上,以避免方程中出現(xiàn)過多的未知量。,MA,B,M,q,A,解：先以BC為研究對象，做受力圖,列平衡方程,Fbx=0,Fby+FC-ql=0,FCl-ql2/2=0,Fax-Fbx=0,Fay-Fby=0,MA+M-Fbyl=0,聯(lián)立求解即可。,B,C,FC,Fby,Fbx,B,A,Fbx,Fby,Fax,Fay,再研究AB：（或整體ABC）,例2:梁如圖所示，求A、B、C三處的反力。,解:先拆開BC:,再整體:,解： 1、取

21、AC 段研究，受力分析如圖。,例3:三鉸拱橋如圖所示，由左右兩段借鉸鏈C 連接起來，又用鉸鏈A、B 與基礎(chǔ)相聯(lián)結(jié)。已知每段重G=40 kN，重心分別在D、E 處，且橋面受一集中載荷P=10 kN。設(shè)各鉸鏈都是光滑的，試求平衡時，各鉸鏈中的力。尺寸如圖所示，單位是m。,列平衡方程：,2、再取BC 段研究，受力分析如圖。,列平衡方程：,聯(lián)立求解：可得 NAx= -NBx = NCx = 9.2 kN NAy= 42.5 kN NBy= 47.5 kN NCy= 2.5 kN,NCx 和 NCx、 NCy 和 NCy是二對作用與反作用力。,2.6 考慮摩擦?xí)r的平衡問題,摩擦,滑動摩擦,滾動摩擦,靜滑

22、動摩擦,動滑動摩擦,一. 靜滑動摩擦定律,摩擦力F: 方向: 恒與物體相對滑動的 趨勢方向相反,大小: 一般狀態(tài)下由平衡方程確定,當(dāng)物體處于將動未動的臨界狀態(tài) 時,由靜滑動摩擦定律計(jì)算.,Fmax=Nf,N:法相反力 f:靜滑動摩擦系數(shù),為常數(shù),由材料決定,1 滑動摩擦,利用摩擦角測定摩擦系數(shù),因此, 0 F Fmax,作用位置: 作用在兩物體的接觸面上沿公切線,二. 動滑動摩擦定律,F =N f ,N:法相反力 f :動滑動摩擦系數(shù),為常數(shù),由材料決定,f f,2. 帶有摩擦的平衡問題,帶有摩擦的平衡問題的解法與平面一般力系的解法基本相同,只是 在分析受力時要考慮摩擦力,并正確地判斷出摩擦力

23、的方向,考慮臨界狀態(tài)并補(bǔ)充摩擦定律.其結(jié)果往往有一個范圍.,例: 重為G的物體放在傾角為的斜面上,今在該物體上作用一水平力Q,問能使該物體保持平衡時Q的范圍.已知 f=0.5.,解: 解除約束,作受力圖 考察該物體可能的運(yùn)動趨勢,分別考慮每一運(yùn)動趨勢,畫出對應(yīng)的摩擦力, 建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,列平衡方程.,N,F1,F2,G,若不告訴物體的尺寸,則屬匯交力系,否則屬于一般力系. 在臨界狀態(tài)并補(bǔ)充摩擦定律 Fmax=Nf 將各種趨勢的結(jié)果比較分析,得出待求的范圍.,(1). 下滑時:摩擦力朝上,Qcos+F-Gsin=0,-Qsin+N-Gcos=0,Fmax=Nf,Q1=G(sin-fcos)/(

24、cos+fsin),(2). 上滑時:摩擦力朝下,Q2=G(sin+fcos)/(cos-fsin), Q1 Q Q2,F,R,3 . 摩擦角與自鎖現(xiàn)象,全反力: R = N + F,由于 0 F Fmax N R N+ Fmax,把全反力的最大值Rmax與法線N間的夾角max稱為摩擦角,用表示,max,max,由圖可知:,可見,摩擦角與摩擦系數(shù)f 一樣也是表示材料表面性質(zhì)的一個常量.,當(dāng)物體的滑動趨勢方向改變時,全約束反力作用線的方位也隨之改變, 當(dāng)物體在支承面內(nèi)有各個方向滑動的趨勢時,則全反力的最大值Rmax 作用線將畫出一個以接觸點(diǎn)為頂點(diǎn)的圓錐面-摩擦錐,1.摩擦角,摩擦錐的頂角為 2

25、max,由于F不可能超過最大值,所以,全反力R的作用線也不可能超出摩擦角以外,即.物體平衡時,全反力R必在摩擦角以內(nèi).,因此 : 如果作用于物體上的主動力的合力作用線落在摩擦角以內(nèi),則不論這個力多么大, 物體都能夠平衡; 這種現(xiàn)象稱為自鎖現(xiàn)象.,反之如果主動力的合力作用線落在摩擦角以外,則不論這個力多么小, 物體都不能夠平衡.,(可用二力平衡原理解釋),摩擦角的概念被廣泛的使用: (1) 摩擦系數(shù)的測定 (2) 螺旋千斤頂?shù)淖枣i條件 (3) 沙堆成型的過程,概念題：圖示物快重G，一力P作用在摩擦角m之外，已知=300，m=200，G=P，問物快能否保持平衡？為什么？,答：能，因?yàn)橹鲃恿、G的

26、合力作用線落在摩擦角之內(nèi),概念題： 長方形均質(zhì)塊尺寸如圖，放在斜面上，當(dāng)增加到m ( ) 時處于臨界狀態(tài)，求此時靜滑動摩擦系數(shù) f 及 b/a 的范圍。,解:,練習(xí)題：圖示結(jié)構(gòu)在力偶 M=pl 的作用下處于臨界狀態(tài)，求C處靜滑動摩擦系數(shù) f 及 A處的反力。桿自重不計(jì)。,解：BC為二力桿,練習(xí)題： 無重桿AB擱在不計(jì)自重的圓柱體上，求不論P(yáng)多大都不能使圓柱被擠出的各接觸面的摩擦角，表成與的關(guān)系。,練習(xí)題：兩根同重等長的均質(zhì)桿在B點(diǎn)絞接，C點(diǎn)靠在墻上，f=0.5，求平衡時的角=?,解:研究整體， 分析受力:,再研究BC， 分析受力:,練習(xí)題：圖示折梯，兩角的fA=0.2， fB=0.6，AC中間

27、D點(diǎn)作用力P=500N，不計(jì)梯重，問能否平衡？若能， FA、 FB各為多少？,BC為二力桿，受力如圖，由平衡方程：,解：先整體：,能平衡， FA= FB=72.17N。,練習(xí)題：一扇形搖椅底腿半徑為r，頂角600，重Q=100N，重心在C點(diǎn)，OC=r/2，在O點(diǎn)加水平力P并逐漸增加，問搖椅是先滑動還是先翻倒？就f=0.2和0.3兩種情況考慮；若先滑動，OC與鉛直成何角度？若先翻倒，此時F=？,解：依題意畫圖，,D,f =0.2時:,此種情況下，先滑動.,f =0.3時:,當(dāng)=300時，搖椅處于將翻未翻的臨界狀態(tài)；圖示結(jié)構(gòu)不可能超過300，所以此種情況下，先翻倒。此時：,練習(xí)題：圖示折梯，兩角的

28、fA=0.2， fB=0.6，AC中間D點(diǎn)作用力P=500N，不計(jì)梯重，問能否平衡？若能， FA、 FB各為多少？,BC為二力桿，受力如圖，由平衡方程：,解：先整體：,能平衡， FA= FB=72.17N。,例: 圖示為凸輪機(jī)構(gòu)。已知推桿和滑道間的摩擦因數(shù)為fs，滑道寬度為b。設(shè)凸輪與推桿接觸處的摩擦忽略不計(jì)。問a為多大，推桿才不致被卡住。,解方程可得,d,A,x,y,a,O,B,b,FB,FA,取推桿為研究對象，受力分析如圖。,解:,列平衡方程,補(bǔ)充方程,代入式 (c) 解得,解：,取推桿為研究對象，這時應(yīng)將A，B處的摩擦力和法向反力分別合成為全約束反力FRA和FRB。這樣一來，推桿受F，F(xiàn)

29、RA和FRB三個力作用。,圖解法,用比例尺在圖上畫出推桿的幾何尺寸，并自A，B兩點(diǎn)各作與水平線成夾角f （摩擦角）的直線，兩線交于C點(diǎn)，如圖所示。C點(diǎn)至推桿中心線的距離即為所求的臨界值alim，可用比例尺從圖上量出。,或按下式計(jì)算，得,A,x,y,a,O,B,C,b,a極限,F,f,f,FRA,FRB,第二章 思考題2-12-10 習(xí)題 單號題,思考題為必做題,O,Fx= X=Fcos,F,x,第3章 空間力系,z,y,二.力在空間直角坐標(biāo)軸上的投影,Fy= Y=Fcos,Fz= Z=Fcos,二次投影法:,Fx= X=Fsincos,Fy= Y=Fsinsin,Fz= Z=Fcos,一.力在

30、空間的表示:,各力的作用線在空間任意分布且交于同一點(diǎn).,31 空間中的力、力矩與力偶,三.力沿空間直角坐標(biāo)軸的分解,Fx=Xi,Fy=Yj,Fz=Zk,F=Xi+ Yj + Zk,四.空間匯交力系的合成,空間匯交力系用幾何法合成并不方便,因?yàn)榭臻g幾何圖形不易表示. 所以常用解析法.,將空間匯交力系的各力分別投影到空間直角坐標(biāo)系的三個軸上,根據(jù)矢量投影法則,合力在某軸上的投影等于各個分力在該軸上投影的代數(shù)和:,Rx= X,Ry= Y,Rz= Z,Fxy,R= Fi,合力投影定理:,五.空間匯交力系的平衡條件,例:等長桿BD、CD鉸接于D點(diǎn)并用細(xì)繩固定在墻上A點(diǎn)而位于水平面內(nèi)，D點(diǎn)掛一重G的物塊，

31、不計(jì)桿重，求桿及繩的約束反力。,T,-Tsin300cos450-SCD=0,-Tsin300sin450-SBD=0,Tcos300-G=0,SBD,SCD,解：研究力的匯交點(diǎn)D（空間力系不用取隔離體） 畫受力圖,各力偶在空間任意分布 空間力偶系,一.空間力偶的等效條件(對平面力偶的性質(zhì)進(jìn)一步擴(kuò)展),作用于同一剛體上兩平行平面內(nèi)的兩個力偶,若其力偶矩大小相等,轉(zhuǎn)向相同,則兩力偶等效.即:空間力偶可以向平行平面內(nèi)搬動.,F=2F1,利用兩個反向平行力的合成結(jié)論,F2,F2,二.空間力偶的矢量表示,m,矢量的長度表示力偶矩的大小, 矢量的指向與力偶的轉(zhuǎn)向成右手系, 矢量的方位于力偶作用平面垂直.

32、,力偶矩矢為自由矢量,與作用位置無關(guān),既可以在同平面內(nèi)移動,又可在平行平面內(nèi)搬動.,空間力偶的等效條件: 兩力偶矩矢相等.,三.空間力偶系的合成與平衡條件,m2,M,合力偶矩矢 M=mi,合力偶投影定理: 將空間力偶系的各力偶矢分別投影到空間直角坐標(biāo)系的三個軸上,根據(jù)矢量投影法則,合矢量在某軸上的投影等于各個分矢量在該軸上投影的代數(shù)和:,Mx= mx,My= my,Mz= mz,空間力偶系的平衡條件:,M=0,空間力偶系的平衡方程:,z,Fz,Fxy,Fy,F,Fx,y,力F使物體繞z軸轉(zhuǎn)動的效應(yīng)稱為力對軸之矩,記為:,mz(F)=FxOA =Fxyh,o,A,h,x,B,顯然:力與軸平行,無

33、矩 力與軸相交,無矩,即: 力與軸位于同一 平面內(nèi)時,無矩,合力矩定理:,mz(R)=mz(Fi),r,力對軸之矩的解析式:,F,d,X,F,m0( F)= rF,Y,Z,mx(F)=,yZ - zY,mY(F)=,zX - xZ,mz(F)=,xY- yX,4.空間力對點(diǎn)的矩矢,.A(x,y,z),矢量的長度表示力矩的大小, 矢量的指向與力矩的轉(zhuǎn)向成右手系, 矢量的方位于力矩作用平面垂直.,定位矢量,與作用位置有關(guān).,m0( F),力對點(diǎn)矩矢的解析式,F=Xi+Yj+Zk,r=xi+yj+zk,m0( F)= rF = (yZ - Zy) i+ (zX - xZ) j +(xY- yX)k,

34、力對點(diǎn)的矩矢在通過該點(diǎn)的某軸上的投影等于力對該軸之矩.,空間一般力系: 各力的作用線在空間任意分布.,一.空間一般力系向一點(diǎn)簡化,33 空間任意力系,. O,主矢 R=F 與簡化中心位置無關(guān),主矩 M0=m= mo(Fi) 與簡化中心位置有關(guān),二.簡化結(jié)果討論,合力矩定理(略),例:重為G的均質(zhì)正方形板置于水平面內(nèi),求球鉸鏈O和蝶鉸鏈A處的反力及繩的拉力.,T,解:研究板,分析受力,G,ZA,XA,XO,YO,ZO,XO -Tsin300cos450+XA=0,YO-Tsin300sin450=0,ZO-G+Tcos300+ZA=0,-Gb/2+Tcos300b+ZAb=0,Gb/2-Tcos

35、300b=0,XA=0,空間平行力系: 作用點(diǎn)任意分布,方位彼此平行,0=0,讓 z / Fi,0=0,z=0,mx=0,my=0,0=0,空間平行力系的平衡方程為:,S,空間一般力系平衡方程的其他形式,前面我們討論了空間一般力系平衡方程的基本形式,也即三矩式。除了基本形式以外,空間一般力系平衡方程也有其他形式：四矩式、五矩式、六矩式。 三矩式是必要充分條件，而其他形式是必要不充分條件，要使其充分必須附加一定的條件，而我們所遇到的題目都是平衡的，所以只需必要條件即可。不必考慮附加條件。,即：解題時，可以對任意直線取矩。但應(yīng)向盡可能多的力的平行和相交的直線取矩，以減少方程中未知量的數(shù)目。,例：水

36、平均質(zhì)正方形板重P，用六根直桿支撐如圖，求各桿內(nèi)力。,解：研究板，作受力圖,P,S,S,S,S,S,ms1=0,S6=0,ms3=0,S4=0,ms5=0,S2=0,mAC=0,S3=0,mAB=0,S5= -P/2,Z=0,S5= S1= -P/2,例:已知: RC=100mm, RD=50mm,Px=466N, Py=352, Pz=1400N 求：平衡時(勻速轉(zhuǎn)動)力Q=？和軸承A , B的約束反力？,解：選輪軸為研究對象； 受力分析如圖,由：,例：水平軸AB上分別固結(jié)半徑為100cm和10cm的兩圓輪，并在切線方向受力P和Q，已知P=10kN，求平衡時Q=？；A、B兩軸處的反力分別為多少？,解：受力如圖：,例：圖示機(jī)構(gòu)，在踏板C上作用一鉛直力P=1000N，與作用在曲桿上的水平力T相平衡，求軸承A、B兩處的反力。,解：機(jī)構(gòu)受力如圖：,例: 已知