高等數(shù)學第11章D112對坐標曲線積分.ppt

1、,第二節(jié),一、對坐標的曲線積分的概念 與性質(zhì),二、 對坐標的曲線積分的計算法,三、兩類曲線積分之間的聯(lián)系,對坐標的曲線積分,第十一章,一、 對坐標的曲線積分的概念與性質(zhì),1. 引例: 變力沿曲線所作的功.,設一質(zhì)點受如下變力作用,在 xOy 平面內(nèi)從點 A 沿光滑曲線弧 L 移動到點 B,求移,“大化小”,“常代變”,“近似和”,“取極限”,變力沿直線所作的功,解決辦法:,動過程中變力所作的功W.,1) “大化小”.,2) “常代變”,把L分成 n 個小弧段,有向小弧段,近似代替,則有,所做的功為,則,用有向線段,3) “近似和”,4) “取極限”,(其中 為 n 個小弧段的 最大長度),2.

2、 定義.,設 L 為xOy 平面內(nèi)從 A 到B 的一條有向光滑,弧,若對 L 的任意分割和在局部弧段上任意取點,都存在,在有向曲線弧 L 上,對坐標的曲線積分,則稱此極限為函數(shù),或第二類曲線積分.,其中,L 稱為積分弧段 或 積分曲線 .,稱為被積函數(shù) ,在L 上定義了一個向量函數(shù),極限,若 為空間曲線弧 , 記,稱為對 x 的曲線積分;,稱為對 y 的曲線積分.,若記, 對坐標的曲線積分也可寫作,類似地,3. 性質(zhì),(1) 若 L 可分成 k 條有向光滑曲線弧,(2) 用L 表示 L 的反向弧 , 則,則,定積分是第二類曲線積分的特例.,說明:,對坐標的曲線積分必須注意積分弧段的方向 !,二

3、、對坐標的曲線積分的計算法,定理:,在有向光滑弧 L 上有定義且,L 的參數(shù)方程為,則曲線積分,連續(xù),證明: 下面先證,存在, 且有,對應參數(shù),設分點,根據(jù)定義,由于,對應參數(shù),因為L 為光滑弧 ,同理可證,特別是, 如果 L 的方程為,則,對空間光滑曲線弧 :,類似有,定理,例1. 計算,其中L 為沿拋物線,解法1 取 x 為參數(shù), 則,解法2 取 y 為參數(shù), 則,從點,的一段.,例2. 計算,其中 L 為,(1) 半徑為 a 圓心在原點的,上半圓周, 方向為逆時針方向;,(2) 從點 A ( a , 0 )沿 x 軸到點 B ( a , 0 ).,解: (1) 取L的參數(shù)方程為,(2)

4、取 L 的方程為,則,則,例3. 計算,其中L為,(1) 拋物線,(2) 拋物線,(3) 有向折線,解: (1) 原式,(2) 原式,(3) 原式,例4. 設在力場,作用下, 質(zhì)點由,沿 移動到,解: (1),(2) 的參數(shù)方程為,試求力場對質(zhì)點所作的功.,其中 為,例5. 求,其中,從 z 軸正向看為順時針方向.,解: 取 的參數(shù)方程,三、兩類曲線積分之間的聯(lián)系,設有向光滑弧 L 以弧長為參數(shù) 的參數(shù)方程為,已知L切向量的方向余弦為,則兩類曲線積分有如下聯(lián)系,類似地, 在空間曲線 上的兩類曲線積分的聯(lián)系是,令,二者夾角為 ,例6. 設,曲線段 L 的長度為s, 證明,續(xù),證:,設,說明: 上

5、述證法可推廣到三維的第二類曲線積分.,在L上連,例7.,將積分,化為對弧長的積,分,解：,其中L 沿上半圓周,1. 定義,2. 性質(zhì),(1) L可分成 k 條有向光滑曲線弧,(2) L 表示 L 的反向弧,對坐標的曲線積分必須注意積分弧段的方向!,內(nèi)容小結,3. 計算, 對有向光滑弧, 對有向光滑弧,4. 兩類曲線積分的聯(lián)系, 對空間有向光滑弧 :,原點 O 的距離成正比,思考與練習,1. 設一個質(zhì)點在,處受,恒指向原點,沿橢圓,此質(zhì)點由點,沿逆時針移動到,提示:,(解見 P196 例5),2. 已知,為折線 ABCOA(如圖), 計算,提示:,作業(yè),P198 3 (2), (4), (6), (7) ; 4 ; 5 ; 7 ; 8,第三節(jié),備用題 1.,解:,線移動到,向坐標原點,其大小與作用點到 xOy 面的距離成反比.,沿直,2. 設曲線C