高中數(shù)學(xué) 第一章 立體幾何初步 1.2.3 第2課時 平面與平面垂直學(xué)案 新人教B版必修2

1、1.2.3 第2課時平面與平面垂直學(xué)習(xí)目標(biāo)1.掌握平面與平面垂直的定義.2.掌握平面與平面垂直的判定與性質(zhì)定理.3.理解線線垂直，線面垂直和面面垂直的內(nèi)在聯(lián)系.知識鏈接1.直線與平面垂直的判定定理定理：如果一條直線與平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，則這條直線與這個平面垂直.推論1：如果在兩條平行直線中，有一條垂直于平面，那么另一條直線也垂直于這個平面；推論2：如果兩條直線垂直于同一個平面，那么這兩條直線平行.2.直線與平面垂直的性質(zhì)定義：如果一條直線垂直于一個平面，那么它就和平面內(nèi)的任意一條直線垂直.符號表示：ab.預(yù)習(xí)導(dǎo)引1.平面與平面垂直的定義如果兩個相交平面的交線與第三個平面垂直，又這兩個平面

2、與第三個平面相交所得的兩條交線互相垂直，就稱這兩個平面互相垂直.2.平面與平面垂直的判定定理如果一個平面過另一個平面的一條垂線，則兩個平面互相垂直.3.平面與平面垂直的性質(zhì)定理如果兩個平面互相垂直，那么在一個平面內(nèi)垂直于它們的交線的直線垂直于另一個平面.要點一平面與平面垂直判定定理的應(yīng)用例1如圖，AB是O的直徑，PA垂直于O所在的平面，C是圓周上異于A、B的任意一點，求證：平面PAC平面PBC.證明連接AC，BC，則BCAC，又PA平面ABC，PABC，而PAACA，BC平面PAC，又BC平面PBC，平面PAC平面PBC.規(guī)律方法面面垂直的判定定理是證明面面垂直的常用方法，即要證面面垂直，只需

3、轉(zhuǎn)證線面垂直，關(guān)鍵是在其中一個平面內(nèi)尋找一直線與另一個平面垂直.跟蹤演練1如圖，四棱錐PABCD的底面是正方形，PD底面ABCD，點E在棱PB上，求證：平面AEC平面PDB.證明設(shè)ACBDO，連接OE，ACBD，ACPD，PD，BD為平面PDB內(nèi)兩條相交直線，AC平面PDB.又AC平面AEC，平面AEC平面PDB.要點二面面垂直性質(zhì)定理的應(yīng)用例2如果兩個相交平面都垂直于第三個平面，那么它們的交線垂直于第三個平面.解已知：，l.求證：l.方法一在內(nèi)取一點P，作PA垂直與的交線于A，PB垂直與的交線于B，則PA，PB.l，lPA，lPB.又PAPBP，且PA，PB，l.方法二在內(nèi)作直線m垂直于與的

4、交線，在內(nèi)作直線n垂直于與的交線，m，n.mn.又n，m.又m，l，ml.l.規(guī)律方法面面垂直的性質(zhì)是作平面的垂線的重要方法，因此，在有面面垂直的條件下，若需要平面的垂線，要首先考慮面面垂直的性質(zhì).跟蹤演練2如圖，在三棱錐PABC中，PA平面ABC，平面PAB平面PBC.求證：BCAB.證明在平面PAB內(nèi)，作ADPB于D.平面PAB平面PBC，且平面PAB平面PBCPB.AD平面PBC.又BC平面PBC，ADBC.又PA平面ABC，BC平面ABC，PABC，又PAADA，BC平面PAB.又AB平面PAB，BCAB.要點三線線、線面、面面垂直的綜合應(yīng)用例3如圖所示，在四棱錐PABCD中，底面AB

5、CD是邊長為a的菱形，且DAB60，側(cè)面PAD為正三角形，其所在的平面垂直于底面ABCD.(1)若G為AD邊的中點，求證：BG平面PAD；(2)求證：ADPB.證明(1)在菱形ABCD中，G為AD的中點，DAB60，BGAD.又平面PAD平面ABCD, 平面PAD平面ABCDAD，BG平面PAD.(2)連接PG，如圖，PAD為正三角形，G為AD的中點，PGAD.由(1)知BGAD，PGBGG，AD平面PGB，PB平面PGB，ADPB.規(guī)律方法證明線面垂直，一種方法是利用線面垂直的判定定理，另一種方法是利用面面垂直的性質(zhì)定理，本題已知面面垂直，故可考慮面面垂直的性質(zhì)定理.利用面面垂直的性質(zhì)定理，

6、證明線面垂直的問題時，要注意以下三點；(1)兩個平面垂直；(2)直線必須在其中一個平面內(nèi)；(3)直線必須垂直于它們的交線.跟蹤演練3如圖，已知四棱錐PABCD的底面是直角梯形，ABCBCD90，ABBCPBPC2CD，側(cè)面PBC底面ABCD.證明：PABD.證明如圖，取BC的中點O，連接PO、AO.PBPC.POBC，又側(cè)面PBC底面ABCD，平面PBC平面ABCDBC，PO平面PBC，PO底面ABCD.BD平面ABCD，POBD，在直角梯形ABCD中，易證ABOBCD，BAOCBD，CBDABD90，BAOABD90AOBD，又POAOO，BD平面PAO，又PA平面PAO，BDPA.1.若平

7、面平面，平面平面，則()A. B.C.與相交但不垂直 D.以上都有可能答案D解析以正方體為模型；相鄰兩側(cè)面都與底面垂直；相對的兩側(cè)面都與底面垂直；一側(cè)面和一對角面都與底面垂直，故選D.2.已知l，則過l與垂直的平面()A.有1個 B.有2個C.有無數(shù)個 D.不存在答案C解析由面面垂直的判定定理知，凡過l的平面都垂直于平面，這樣的平面有無數(shù)個.3.已知長方體ABCDA1B1C1D1，在平面AB1上任取一點M，作MEAB于E，則()A.ME平面AC B.ME 平面ACC.ME平面AC D.以上都有可能答案A解析由于ME平面AB1，平面AB1平面ACAB，且平面AB1平面AC，MEAB，則ME平面A

8、C.4.如圖，設(shè)P是正方形ABCD外一點，且PA平面ABCD，則平面PAB與平面PBC、平面PAD的位置關(guān)系是()A.平面PAB與平面PBC、平面PAD都垂直B.它們兩兩垂直C.平面PAB與平面PBC垂直，與平面PAD不垂直D.平面PAB與平面PBC、平面PAD都不垂直答案A解析PA平面ABCD，PABC.又BCAB，PAABA，BC平面PAB，BC平面PBC，平面PBC平面PAB.由ADPA，ADAB，PAABA，得AD平面PAB.AD平面PAD，平面PAD平面PAB.由已知易得平面PBC與平面PAD不垂直，故選A.5.下列四個命題中，正確的序號有_.，則；，則；，則；，則.答案解析不正確，當(dāng)，時，可以平行、相交或垂