高斯平面直角坐標系的建立

1、. 空間數據的地理參照系和控制基礎4、高斯克呂格投影高斯克呂格投影是一種橫軸等角切橢圓柱投影。它是將一橢圓柱橫切于地球橢球體上，該橢圓柱面與橢球體表面的切線為一經線，投影中將其稱為中央經線，然后根據一定的約束條件即投影條件，將中央經線兩側規(guī)定范圍內的點投影到橢圓柱面上，從而得到點的高斯投影(圖3-2-5)。 將一球橢球體地球裝在橢圓柱內上下切點為中央經線。高斯投影的條件為：(1)中央經線和地球赤道投影成為直線且為投影的對稱軸；(2)等角投影；(3)中央經線上沒有長度變形。根據高斯投影的條件推導出的高斯克呂格投影的計算公式為：式中：X、Y為點的平面直角坐標系的縱、橫坐標；、為點的地理坐標，以弧度

2、計，從中央經線起算；S為由赤道至緯度處的子午線弧長；N為緯度處的卯酉圈曲率半徑；其中為地球的第二偏心率，a、b則分別為地球橢球體的長短半軸。高斯投影由于是等角投影，故沒有角度變形，其沿任意方向的長度比都相等，其面積變形是長度的兩倍。對高斯克呂格投影長度變形的研究可以依下述長度比表達式進行： 由該長度比公式可以分析出高斯投影變形具有以下特點：(1)中央經線上無變形；(2)同一條緯線上，離中央經線越遠，變形越大；(3)同一條經線上，緯度越低，變形越大；由此可見，高斯投影的最大變形處為各投影帶在赤道邊緣處，為了控制變形，我國地形圖采用分帶方法，即將地球按一定間隔的經差(6或3)劃分為若干相互不重疊的

3、投影帶，各帶分別投影。1：2.5萬至1：50萬的地形圖均采用6分帶方案，即從格林尼治零度經線起算，每6為一個投影帶，全球共分為60個投影帶。我國領土位于東經72到136之間，共包括11個投影帶(13帶22帶)。1：1萬及更大比例尺地形圖采用3分帶方案，全球共分為120個投影帶。圖34給出了高斯投影的6帶和3帶分帶方案。為了制作地圖和使用地圖的方便，通常在地圖上都繪有一種或兩種坐標網，即經緯線網和方里網。經緯線網即指由經線和緯線所構成的坐標網，又稱地理坐標網。在1：1萬1：20萬比例尺的地形圖上，經緯線只以圖廓線的形式直接表現出來，并在圖角處注出相應度數。為了在用圖時加密成網，在內外圖廓間還繪有

4、加密經緯網的加密分劃短線(圖式中稱“分度帶”)，必要時對應短線相連就可以構成加密的經緯線網。1：25萬地形圖上，除內圖廓上繪有經緯網的加密分劃外，圖內還有加密用的十字線。我國的1：50萬1：100萬地形圖，在圖面上直接繪出經緯線網，內圖廓上也有供加密經緯線網的加密分劃短線。方里網是由平行于投影坐標軸的兩組平行線所構成的方格網。因為是每隔整公里繪出坐標縱線和坐標橫線，所以稱之為方里網，由于方里線同時又是平行于直角坐標軸的坐標網線，故又稱直角坐標網。直角坐標網的坐標系以中央經線投影后的直線為X軸，以赤道投影后的直線為Y軸，它們的交點為坐標原點。這樣，坐標系中就出現了四個象限?？v坐標從赤道算起向北為

5、正、向南為負；橫坐標從中央經線算起，向東為正、向西為負。我國位于北半球，全部X值都是正值。在每個投影帶中則有一半的Y坐標值為負。為了避免Y坐標出現負值，規(guī)定縱坐標軸向西平移500km(半個投影帶的最大寬度不超過500km)。這樣，全部坐標值都表現為正值了。1 緒論坐標系統的選擇對一項工程來說是一項首先必須進行的工作，同時坐標系統選擇的適當與否關系到整個工程的質量問題，因此對坐標系統的研究是一項非常重要和必須的工作。我國規(guī)范規(guī)定：所有國家的大地點均按高斯正形投影計算其在帶內的平面直角坐標。在1：1萬和更大比例尺測圖的地區(qū)，還應加算其在帶內的直角坐標系。我們通常將這種控制點在帶或帶內的坐標系稱為國

6、家統一坐標系統。在實際應用中，國家統一坐標系統往往不能滿足工程建設的需要，所以必須針對不同的工程采用適合它的獨立坐標系統。線路獨立坐標系的建立方法研究主要是研究線路工程中如何建立坐標系統而使其精度能滿足工程需要。由于線路測量的特點是跨度較長，當采用國家統一坐標系時往往會因為離開中央子午線較遠而使變形量超限，因此必須采用獨立坐標系統。由于線路工程的不同，因此需采用的獨立坐標系統也不盡相同。所以針對不同的線路工程應采用不同的獨立坐標系統。當線路工程是南北走向時由于線路基本上位于中央子午線上,因此不必要對多個獨立坐標系統的轉換銜接問題進行研究。當線路工程是東西走向時由于線路跨度較長而往往需要建立多個

7、獨立坐標系統，因此需要對多個獨立坐標系統的轉換銜接問題進行研究。公路、鐵路、架空送電線路以及輸油管道等均屬于線型工程，它們的中線統稱線路。一條線路的勘測和設計工作，主要是根據國家的計劃與自然地理條件，確定線路經濟合理的位置。為達此目的，必須進行反復地實踐和比較。 線路在勘測設計階段首先要進行控制測量工作，由于在線路控制測量過程中，每條線路所在測區(qū)的位置不同且距離不可能很短,有的可能跨越一個投影帶,二個投影帶甚至更多,所以,在線路控制測量中,投影長度變形很容易超限，這就需要我們采取一定的措施來使投影長度變形減弱，將投影長度變形控制在允許的范圍之內。最有效的方法就是建立與測區(qū)相適應的坐標系統。坐標

8、系統是所有測量工作的基礎，所有測量成果都是建立在其上的,因此坐標系統選擇的適當與否關系到整個工程的質量問題。對于線路工程而言，使投影長度變形控制在允許的精度范圍之內是建立獨立坐標系統主要解決的問題，因此，獨立坐標系統的建立主要是根據線路的長度和所在測區(qū)的不同而建立與本測區(qū)和本線路相適應的坐標系統，從而使其投影長度變形控制在允許范圍之內。本文以線路控制測量為例，詳細論述了線路獨立坐標系統的建立方法。 2 高斯平面直角坐標系的建立我們已經知道，大地坐標系是以橢球面為基準面的坐標系，它可以用來確定地面點在橢球面上的位置，但是如果用于大比例尺測圖控制網以及工程控制網則不適應。因此通常是將橢球面上的元素

9、，如大地坐標、長度、方向等轉化至平面上，采用平面直角坐標系進行計算，本章就高斯平面直角坐標系的建立及相關問題進行了討論。2.1.1地球橢球的基本幾何參數參考橢球 具有一定的幾何參數、定位及定向的用以代表某一地區(qū)大地水準面的地球橢球叫做參考橢球。地面上一切觀測元素都應歸算到參考橢球面上，并在該面上進行計算，它是大地測量計算的基準面，同時又是研究地球形狀和地圖投影的參考面。有關元素如圖1O為橢球中心；NS為旋轉軸； a為長半軸；b為短半軸； 子午圈（或徑圈或子午橢圓）； 平行圈（或緯圈）； 赤道。旋轉橢球的形狀和大小是由子午橢圓的五個基本幾何參數（元素） （圖1：橢球參數示意圖）來決定的，即： 橢

10、圓的長半軸： a橢圓的短半軸： b橢圓的扁率： (2-1) 橢圓的第一偏心率： (2-2) 橢圓的第二偏心率： (2-3)其中：a、b稱為長度元素；扁率反映了橢球體的扁平程度，如=0時，橢球變?yōu)榍蝮w；=1時，則為平面。e和e/是子午橢圓的焦點離開中心的距離與橢圓半徑之比，它們也反映了橢球體的扁平程度，偏心率越大，橢球愈扁。五個參數中，若知道其中的兩個參數就可決定橢球的形狀和大小，但其中至少應已知一個長度元素（如a或b），人們習慣于用和表示橢球的形狀和大小，便于級數展開。引入下列符號：(2-4)式中B為大地緯度，c為極曲率半徑（極點處的子午線曲率半徑）。 兩個常用的輔助函數，W第一基本緯度函數，

11、V第二基本緯度函數。(2-5)傳統大地測量利用天文大地測量和重力測量資料推求地球橢球的幾何參數，自1738年（法國）布格推算出第一個橢球參數以來，200多年間各國大地測量工作者根據某一國或某一地區(qū)的資料，求出了數目繁多，數值各異的橢球參數。由于衛(wèi)星大地測量的發(fā)展，使推求總地球橢球體參數成為可能，自1970年以后的橢球參數都采用了衛(wèi)星大地測量資料。長半經變化于6378135m6378145m之間，扁率分母變化于298.25298.26之間，可見精度已很高。比較著名的有30個橢球參數，其中涉及我國的如表1示：（表1：橢球參數表）橢球參數年代長半徑m扁率分母采用國家、地區(qū)海福特19066378283

12、297.8美、阿根廷、比利時、大洋洲克拉索夫斯基19406378245298.3蘇、東歐、中、朝鮮等1975年大地坐標系19756378140298.2571975年國際第三個推薦值WGS-8419846378137298.25722GPS定位系統我國1954年北京坐標系應用的是克拉索夫斯基橢球參數，1980年西安坐標系應用的是1975年國際橢球參數，而GPS應用的是WGS-84系橢球參數。2.1.2地球橢球參數間的相互關系由(2-2)和(2-3)式得：并得：(2-6) 推得： 同理可得：(2-8) 。2.2.1高斯投影與高斯平面直角坐標地球投影 所謂地球投影，簡略說來就是將橢球面各元素（包括

13、坐標、方向和長度）按一定的數學法則投影到平面上。 (2-9)式中L，B是橢球面上某點的大地坐標，而是該點投影后的平面(投影面)直角坐標。式(2-9)表示了橢球面上一點同投影面上對應點之間坐標的解析關系，也叫做坐標投影公式。投影問題也就是建立橢球面元素與投影面相對應元素之間的解析關系式。投影的方法很多，如高斯投影、蘭勃脫投影等。我國采用高斯投影。高斯投影又稱橫軸橢圓柱等角投影，是德國測量學家高斯于18251830年首先提出的。實際上，直到1912年，由德國另一位測量學家克呂格推導出實用的坐標投影公式后，這種投影才得到推廣，所以該投影又稱高斯-克呂格投影。想象有一橢圓柱面橫套（圖2：橫軸橢圓柱等角

14、投影示意圖）在地球橢球體外面，并與某一條子午線（稱中央子午線或軸子午線）相切，橢圓柱的中心軸通過橢球體中心，然后用一定的投影方法將中央子午線兩側各一定經差范圍內的地區(qū)投影到橢圓柱面上，再將此柱面展開即成為投影面。我國規(guī)定按經差和度進行投影分帶，大比例尺測圖和工程測量一般采用帶投影。特殊情況下工程測量控制網也可用帶或任意帶。高斯投影帶自子午線起每隔經差自西向東分帶，依次編號1,2,3,。我國帶中央子午線的經度，由起每隔而至，共計12帶，帶號用n表示，中央子午線的經度用表示，則與n的關系為。（圖3：高斯投影分帶示意圖）高斯投影帶是自子午線每隔經差自西向東分帶，它的中央子午線一部分同帶中央子午線重合

15、，一部分同帶分界子午線重合，帶號用n/表示，帶中央子午線用L表示，關系是：。在投影面上，中央子午線和赤道的投影都是直線，并且以中央子午線和赤道的交點O作為坐標原點，以中央子午線的投影為縱坐標軸，以赤道的投影為橫坐標軸，這樣便形成了高斯平面直角坐標系。在我國坐標均為正，坐標的最大值（在赤道上）約為330KM。為避免出現負的橫坐標，可在橫坐標上加500KM。此外還應在坐標前面冠以帶號，這種坐標稱為國家統一坐標。如某點Y=19123456.789m，該點位于19帶內，其相對于中央子午線而言的橫坐標是：首先去掉帶號，再減去500KM，最后得y=-376543.211m。由于分帶造成了邊界子午線兩側的控

16、制點和地形圖處于不同的投影帶內，為了把各帶連成整體，一般規(guī)定各投影帶要有一定的重疊度，其中每一帶向東加寬，向西加寬，這樣在上述重疊范圍內，控制點將有兩套相鄰帶的坐標值，地形圖將有兩套公里格網，從而保證了邊緣地區(qū)控制點間的互相應用，也保證了地圖的拼接和使用。由于高斯投影是正形投影，故保證了投影的角度不變性、圖形的相似性以及在某點各方向上長度比的同一性；由于采用了同樣法則的分帶投影，既限制了長度變形，又保證了在不同投影帶中采用相同的簡單公式和數表進行由于變形引起的各項改正的計算，且?guī)c帶間的互相換算也能用相同的公式和方法進行。高斯投影這些優(yōu)點使它得到廣泛的推廣和具有國際性。2.2.2高斯投影坐標正

17、反算公式2.2.2. 1高斯投影坐標正算公式： B, x,y高斯投影必須滿足以下三個條件：中央子午線投影后為直線；中央子午線投影后長度不變；投影具有正形性質，即正形投影條件。由第一條件知中央子午線東西兩側的投影必然對稱于中央子午線，即式中，x為的偶函數，y為的奇函數；，即，如展開為的級數，收斂。（2-10） 式中是待定系數，它們都是緯度B的函數。由第三個條件知：分別對和q求偏導數并代入上式(2-11)上兩式兩邊相等，其必要充分條件是同次冪前的系數應相等，即(2-12) (2-12)是一種遞推公式，只要確定了就可依次確定其余各系數。由第二條件知:位于中央子午線上的點，投影后的縱坐標x應等于投影前

18、從赤道量至該點的子午線弧長X，即(2-10)式第一式中，當時有：(2-13)顧及(對于中央子午線)得：(2-14,15) (2-16)依次求得并代入(2-10)式，得到高斯投影正算公式(2-17) 2.2.2. 2高斯投影坐標反算公式 x,y B,投影方程：(2-18) 高斯投影坐標反算公式推導要復雜些。由x求底點緯度(垂足緯度),對應的有底點處的等量緯度，求x,y與的關系式，仿照式有，由于y和橢球半徑相比較小(1/16.37)，可將展開為y的冪級數；又由于是對稱投影，q必是y的偶函數，必是y的奇函數。(2-19) 是待定系數，它們都是x的函數.由第三條件知：， ， (2-20)(2-19)式分別對x和y求偏導數并代入上式上式相等必要充分條件，是同次冪y前的系數相等，第二條件，當y=0時，點在中央子午線上，即x=X，對應的點稱為底點，其緯度為底點緯度，也就是x=X時的子午線弧長所對應的緯度，設所對應的等量緯度為。也就是在底點展開為y的冪級數。 由(2-19)1式 依次求得其它各系數(2-21)(2-21)1 將代入(2-19)1式得(2-22)1(2-22) 將代入(2-19)2式得(2-23)2式